1、答案第 1 页，共 10 页 2022 届高三届高三教学质量监测数学试题教学质量监测数学试题 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上 1已知集合 2 60 ,01Ax xxBxx ，则 R AB I （ ） A 20 xx B 2 |0 xx 或1 3x C 13xx D | 2 0 xx 或13x 2已知复数 2i 1i z ，则z在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 某亲子栏目中， 节目组给 6 位小朋友布置一项搜寻空投食物的任务
2、 已知： 食物投掷点有远、 近两处； 由于小朋友甲年纪尚小，所以要么不参与该项任务，要么参与搜寻近处投掷点的食物，但不参与时另需 1 位小朋友在大本营陪同；所有参与搜寻任务的小朋友被均匀分成两组，一组去远处，一组去近处那么 不同的搜寻方案有（ ） A10 种 B40 种 C70 种 D80 种 4已知正项等差数列 n a和正项等比数列 n b， 11 1ab ， 3 b是 2 a， 6 a的等差中项， 8 a是 3 b， 5 b的等比 中项，则下列关系成立的是（ ） A 100100 ab B 102411 ab C 105 ab D 999 ab 5碳60（Co）是一种非金属单质，它是由60
3、个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元 环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共 32 个面，且满足：顶点数棱数 面数2，则其六元环的个数为（ ）. A12 B20 C32 D60 6已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为2c，若 2 ab c 取得最大值时，双曲线的离心率等于（ ） A5 B2 C3 D 2 7已知A为锐角ABCV的内角，满足sin 2costan1AAA，则A（ ） A(0, ) 6 B( 6 ，) 4 C( 4 ， ) 3 D( 3 ， ) 2 答案第 2 页，共 10 页 8 定义域为R的偶函数 ( )f x
4、 满足对x R， 有 (2 ) ()( 1 )f xf xf ， 且当 2,3x 时， 2 ( )21218f xxx， 若函数 ( )log (| 1) a yf xx 在(0, )上至多有三个零点，则 a 的取值范围是（ ） A 5 ,1 5 B 5 ,1(1,) 5 U C 5 0, 5 D 3 ,1 3 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9某电视台的一档栏目推出有奖猜歌名活动，规则：根据歌曲的主旋律制作的铃声来猜歌名，猜对当前歌 曲的歌名方能猜下一首歌曲的
5、歌名.现推送三首歌曲A，B，C给某选手，已知该选手猜对每首歌曲的歌名 相互独立，且猜对三首歌曲的歌名的概率以及猜对获得相应的奖金如下表所示. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的奖金金额/元 1000 2000 3000 下列猜歌顺序中获得奖金金额的均值超过 2000 元的是（ ） AA BC BCBA CCAB DBCA 10定义两个非零平面向量的一种新运算 *sin,aba ba b rrrrr r ，其中, a b r r 表示a r ，b r 的夹角，则对于 两个非零平面向量a r ，b r ，下列结论一定成立的有（ ） Aa r 在b r 方向上的投影向量为
6、sin, b aa b b r rr r r B 2222 *a ba bab rrr rrr C若 *a bab rrrr D若*0ab rr ，则a r 与平行b r 11若二项式1 3 n x 展开式中二项式系数之和为 n a，展开式的各项系数之和为 n b，各项系数的绝对值之和 为 n c，则下列结论正确的是（ ） A nnn a bc B存在n N，使得nnn bca C nn nn bc cb 的最小值为 2 D 123 232 n bbbnb 12“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面 体，它体现了数学的
7、对称美如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截 答案第 3 页，共 10 页 去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体已知2AB ，则关于如图 半正多面体的下列说法中，正确的有（ ） A该半正多面体的体积为 20 3 B该半正多面体过, ,A B C三点的截面面积为 3 3 2 C该半正多面体外接球的表面积为8 D该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式2VFE 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 22 2i2ixyxy，则实数 , x y的取值分别为_ 14某大学外语系有 6 名志愿者，其中志愿者
8、12 ,A A，C 只通晓英语，志愿者 123 ,B B B只通晓俄语现从这 6 名志愿者中选出 2 名，组成一个能通晓两种语言的小组，则 C 被选中的概率为_ 15函数 11 ( ) 22 x f xx a 定义域为（，1）（1，+） ，则满足不等式 axf（a）的实数 x 的集合为 _ 16已知数列 n a满足 2 1kk aad （d为常数，1,2kn， * Nn，3n） ，给出下列四个结论：若 数列 n a是周期数列，则周期必为 2：若0d ，则数列 n a必是常数列：若0d ，则数列 n a是递增 数列：若0d ，则数列 n a是有穷数列，其中，所有错误结论的序号是_. 四、解答题：
9、本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本题满分 10 分） 已知ABC中，3sin4cos 6AB，3cos4sin1AB，求C的大小某同学的解法如下： 由 22 3sin4cos6, 3sin4cos3cos4sin37 3cos4sin1 AB ABAB AB 即 1 2524 sincoscossin37sin 2 ABABAB 又在ABC中， sinsinABC，则 1 sin 2 C ，30C或150 该同学的解法是否正确？若正确，请写出他的解题依据，若不正确，请写出正确答案 答案第 4 页，共 10 页 18 （本题满分 12 分） 已知数列
10、 n a满足： 1 3 2 a ，且 1 1 3 2, 21 n n n na ann an N （1）求数列 n a的通项公式； （2）求证：对于一切正整数 n，不等式 12 2! n a aanL 恒成立 19 （本题满分 12 分） 如图 1，已知在等边三角形ABC中，点E，F分别为AB，AC的中点，点M为EF的中点，点N为BC边 上一点，且 1 4 CNBC，连接AM，MN，BF，将AEFV沿EF折起到A EF的位置，使平面A EF平 面EFCB，如图 2. （1）求证：平面AMN平面ABF； （2）求二面角EA FB的平面角的余弦值. 20 （本题满分 12 分） 为响应党中央“扶贫
11、攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度 要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了 2019 年种植的一批试 答案第 5 页，共 10 页 验紫甘薯在温度升高时 6 组死亡的株数. 温度x/ 21 23 24 27 29 30 死亡数y/株 6 11 20 27 57 77 经计算， 6 1 1 26 6 i i xx ， 6 1 1 33 6 i i yy ， 6 1 557 ii i xxyy ， 6 2 1 84 i i xx ， 6 2 1 3930 i i yy ， 6 2 1 236.64 ii i yy ，
12、 8.0605 e3167， 其中i x， i y分别为试验数据中的温度和死亡株数， 1,2,3,4,5,6i . （1）若用一元线性回归模型，求y关于x的经验回归方程 ybxa（结果精确到 0.1） ； （2）若用非线性回归模型求得y关于x的非线性经验回归方程 0.2303 0.06e x y ，且相关指数为 2 0.8841R . （i）试与（1）中的回归模型相比，用 2 R说明哪种模型的拟合效果更好； （ii）用拟合效果好的模型预测温度为 35时该批紫甘薯的死亡株数（结果取整数）. 21 （本题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :10 xy ab ab 经过点 2,1M ，且右焦点
13、为 3,0F. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点1,0N的直线AB交椭圆于A，B两点，记t MA MB uuu r uuu r ，若t的最大值和最小值分别为 1 t， 2 t， 求1 2 tt 的值. 22 （本题满分 12 分） 已知函数( )e(2)e xx a f xxx （e2.73）. 答案第 6 页，共 10 页 （1）当2a 时，证明函数 ( )f x 在R上是增函数； （2）若2a 时，当1x时， 2 21 ( ) ex xx f x 恒成立，求实数 a 的取值范围. 数学试题答案 1B 2C 3B 4B 5B 6D 7C 8B 9AD 10BD 11AB 12ACD 13
14、1，1 或 1, 1 14 1 3. 15x|x1 16 17解：经检验，当150C 时， 30AB， 30AB，代入原式3sin4cos6AB，得3sin 304cos6BB，11 3 3 cossin6 22 BB， 0cos1B， 3 311 sincos60 22 BB，这与sin0B矛盾 因此150C ，故30C 18解： （1）当2n时，由 1 1 3 21 n n n na a an 得 1 11 11 3 nn nn aa ，因此1 n n a 是一个等比数列，其首项 为 1 11 1 3a ，公比为 1 3 ，从而 1 1 3n n n a ，据此得 3 1 31 n n n
15、 n an （2） 12 2 ! 111 111 333 n n n a aa L L ， 要证 12 2! n a aanL 成立，只要证n N时，有 2 1111 111 3332 n L ， 显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n N，有 22 111111 1111 333333 nn LL ，用数学归纳法证明式： 1 ，当1n 时，式显然成立； 2 ，假设nk时，式成立，即 22 111111 1111 333333 kk LL ，则当1nk时， 2121 11111111 111111 33333333 kkkk LL 2112 11111111 1 33333333 kkk
16、k LL 答案第 7 页，共 10 页 21 1111 1 3333 kk L，即当1nk时， 2121 11111111 11111 33333333 kkkk LL 成立 故对一切n N，式都成立 利用式得 22 111111 1111 333333 nn LL 11 1 33 1111 11 111 1 2322 32 1 3 n nn ，故式成立 从而结论成立 19解：(1)因为点E，F分别为等边三角形ABC的AB，AC边的中点， 所以A EF是等边三角形，且/EF BC. 因为点M是EF的中点，所以AM EF . 又平面A EF平面EFCB，平面AEF I平面EFCBEF ， 所以A
17、 M平面EFCB. 又BF 平面EFCB，所以A MBF. 因为 1 4 CNBC，所以MF与CN平行且相等， 所以四边形MFCN为平行四边形，所以 /MN CF. 易知BFCF，所以BFMN. 又A MMNM ，所以BF 平面AMN . 又BF 平面ABF，所以平面AMN平面ABF. (2)设等边三角形ABC的边长为 4，取BC的中点G，连接MG，由题设知MG EF， 由(1)知A M平面EFCB，又MG平面EFCB，所以A MMG ， 以点M为原点，ME，MN， MA 所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz， 则 1,0,0F ， 0,0, 3 A ， 2,
18、 3,0B ， 1,0, 3FA uuu r ， 3, 3,0FB uuu r . 答案第 8 页，共 10 页 设平面ABF的一个法向量为 , ,nx y z r ，则由 0 0 FA n FB n uuu v v uuu v v ，得 30 330 xz xy ， 令1z ，则3x ， 3y ，此时 3,3,1n r . 易知平面AEF的一个法向量为0,1,0m u r ， 所以 3 13 cos, 13 m n n m m n u r r r u r u r r ， 由图易知二面角EA FB的平面角是锐角， 所以二面角EA FB的平面角的余弦值为 3 13 13 . 20解： （1）由题
19、意，得 6 1 6 2 1 557 6.6 84 ii i i i xxyy b xx ， 336.6 26138.6a ， y关于x的经验回归方程为 6.6138.6yx . （2） （i）经验回归方程 6.6138.6yx 对应的决定系相关指数为 6 2 2 1 6 2 1 236.64 110.9398 3930 ii i i i yy R yy ， 因为0.93980.8841， 所以经验回归方程 6.6138.6yx 比非线性经验回归方程 0.2303 0.06e x y 的拟合效果更好. （ii）当35x 时， 6.6 35 138.692.492y ， 即当温度为 35时，该批紫
20、甘薯的死亡株数为 92. 21解： （1）由题意可知， 22 22 3 41 1 ab ab ，解得 2 6a ， 2 3b ， 故椭圆的标准方程为 22 1 63 xy . （2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为 1yk x ， 11 ,A x y， 22 ,B x y. 联立 22 1 63 1 xy yk x ，消去y，得 2222 1 24260kxk xk. 答案第 9 页，共 10 页 因为1,0在椭圆内部，所以0， 所以 2 12 2 4 1 2 k xx k ， 2 1 2 2 26 1 2 k x x k . 则 1212 2211tMA MBxxyy uuu r
21、uuu r ， 121212 2411x xxxkxkkxk ， 222 1 212 1225kx xkkxxkk， 22 222 22 264 1225 1 21 2 kk kkkkk kk ， 2 2 1521 12 kk k ， 所以 2 15 2210t kkt ，kR， 则 2 24 15210tt . 215110tt ，即 2 213160tt. 设 1 t， 2 t是 2 213160tt的两根，1 2 13 2 tt. 当直线AB斜率不存在时，联立 22 1 63 1 xy x ，得 10 2 y . 不妨设 10 1, 2 A ， 10 1, 2 B ， 则 10 3,1
22、2 MA uuu r ， 10 3,1 2 MB uuu r ， 1015 91 44 MA MB uuu r uuu r .此时t为定值，不存在最大值与最小值. 综上所述： 12 13 2 tt. 22解： （1）当2a 时， 2 ( )e(2)e xx f xxx ， ( )f x 的定义域为R. 22211 ( )eee(2)e(1) eee (1) e1e1 xxxxxxxxx f xxxxx 当1x时， 1 0 x ， 1 e1 0 x ， ( ) 0f x. 当1x 时，10 x ， 1 e10 x ， ( ) 0f x. 对任意实数 x， ( ) 0f x，( )f x在R上是增
23、函数； （2）当1x时， 2 21 ( ) ex xx f x 恒成立，即 22 (2)e31 0 x a xxx 恒成立. 设 22 ( )(2)e31 x a h xxxx （1x） ，则 2 ( )(23) e1 x a h xx ， 答案第 10 页，共 10 页 令 2 (23) e10 x a x ，解得 1 3 2 x ， 2 2 a x . 当 3 1 22 a ，即23a时 x 1, 2 a 2 a 3 , 2 2 a 3 2 3 , 2 ( )h x + 0 - 0 + ( )h x 极大值 极小值 要使结论成立，则 2 (1)e1 0 a h ， 3 315 e0 224
24、 a h ，即 2 e1 a ， 3 5 e 2 a . 解得2a， 5 3 ln 2 a， 5 3ln3 2 a； 当 3 22 a ，即3a 时，( ) 0h x恒成立，( )h x是增函数. 又 1 (1)e10h ，故结论成立； 当 3 22 a ，即3a 时， x 3 1, 2 3 2 3 , 2 2 a 2 a , 2 a ( )h x + 0 - 0 + ( )h x 极大值 极小值 要使结论成立，则 2 (1)e1 0 a h ， 2 23 0 24 aa ha ，即 2 e1 a ， 2 812 0aa. 解得2a，26a剟，3 6a . 综上所述，若2a ，当1x时， 2 21 ( ) ex xx f x 恒成立， 实数 a 的取值范围是 5 3 ln6 2 a剟 .
