2022高考数学一轮总复习课件:2.4 幂函数与二次函数
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1、24 幂函数与二次函数幂函数与二次函数 【教材梳理】 1幂函数 (1)定义:形如 yx(R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, 是常数 (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 yx R R _函数 在 R 上单调递增 yx2 R _ _ 函数 在_上单调递 减;在_上单调 递增 yx3 R R _ 函数 在 R 上单调递增 y 2 1 x _ _ _ 函数 在_上单调递增 yx 1 _ _ _ 函数 在_和_上单 调递减 _ 2二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)_ (a0) (2)顶点式:f(x)_ (a0) (3)零点
2、式:f(x)_ (a0) 3二次函数的图象与性质 二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线,它的对称轴、顶点坐标、开口方向、 值域、单调性分别是: (1)对称轴:x_ (2)顶点坐标:_ (3)开口方向:a0 时,开口;a0 时,开口 (4)值域:a0 时,y_,a0 时,y_ (5)单调性:a0 时,f(x)在上是减函数,在上是增函数;a0 时,f(x)在 , b 2a 上是, 在 b 2a, 上是_ 4二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系 二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的零点(图象与 x 轴交点的横坐标)是相应一元二次 方程 ax2bxc0 的,也是一元二次
3、不等式 ax2bxc0(或 ax2bxc0)解集的 5二次函数在闭区间上的最值 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值 它只能在区间的或二次函数的处取得,可分别求值再比较大小,最后确定最值 【常用结论】 6幂函数相关常用结论 (1)一般地,在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近 x 轴(简记为“指 大、图低”),在区间(1,)上,幂函数中指数越大,图象越远离 x 轴(不包括幂函数 y x0) (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出 现在第二、三象限内,则要看函数的定义域和奇偶性函数的图象最多只能同时出现在 两个象限内,如果幂函数的图象与坐标轴相
4、交,则交点一定是原点 (3)形如 yx m n或 y m n x (m,n 为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断:当 m,n 都 为奇数时,幂函数在定义域上为奇函数;当 m 为奇数,n 为偶数时,幂函数在定义域上 为非奇非偶函数;当 m 为偶数,n 为奇数时,幂函数在定义域上为偶函数 7二次函数相关常用结论 对于二次函数 f(x)ax2bxc(a0): (1)|a|越大,抛物线开口越小;|a|越小,抛物线开口越大 (2)f(1)abc,f(1)abc,f(0)c (3)|AB|x1x2| |a| (x1x2)24x1x2,其中 A(x1,0),B(x2,0)为二次 函数与 x 轴的交点 8一元
5、二次方程根的分布 设 x1,x2是实系数一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两实根,则 x1,x2的 分布范围与系数之间的关系如表所示 根的分布 (mnp 且 m, n,p 均为常数) 图象 满足的条件 x1x2m 0, b 2a0. mx1x2 0, b 2am, f(m)0. x1mx2 f(m)0, m b 2a0, f(n)0. mx1nx2p f(m)0, f(n)0. mx1x2n 0, m b 2an. 只有一根在区间(m,n)内 f(m) f(n)0. 【自查自纠】 1x|x0 x|x0 y|y0 y|y0 y|y0 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (,0 0,) 0,) (,0)
6、 (0,) (1,1) 2(1)ax2bxc (2)a(xh)2k (3)a(xx1)(xx2) 3(1) b 2a (2) b 2a, 4acb2 4a (3)向上 向下 (4) 4acb2 4a , ,4acb 2 4a (5) , b 2a b 2a, 增函数 减函数 4根 端点值 5端点 顶点 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“” (1)函数 y3x 3 是幂函数 ( ) (2)二次函数 yax2bxc,xa,b的最值一定是4acb 2 4a ( ) (3)二次函数 yax2bxc,xR 不可能是偶函数 ( ) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点
7、( ) (5)当 n0即可,解 得 0a1 4故填 0,1 4 考点一考点一 幂函数的图象和性质幂函数的图象和性质 (1)已知幂函数 yf(x)的图象过点 1 2, 2 2 ,则 log2f(2)的值为 ( ) A1 2 B 1 2 C1 D1 解:由题可得:设 f(x)xa,因为 f(x)的图象过点(1 2, 2 2 ),故(1 2) a 2 2 a1 2, 所以 f(x)x 1 2,故 log2f(2)log22 1 21 2故选 A (2)(2020内蒙古宁城高一期末)已知函数 yxa,yxb,yxc的部分图象如图所示, 则 a,b,c 的大小关系为( ) Acba Babc Cbca
8、Dca1,0b1,c(3x1) 2 3的解为( ) A 1 3,1 B(1,0) C(0,1) D(,0)(1,) 解:(x1) 2 3(3x1) 2 3等价于3 (x1)2 3 (3x1)2,所以(x1)2(3x1)2, 解得1x0 时,图象过原点和(1,1),在第一象 限的图象上升;当 0,且 m1)的图象所经过的定点,则 b 的值等于( ) A1 2 B 2 2 C2 D2 解:由于 g(x)(2a1)xa 1 为幂函数,则 2a11,解得 a1,所以 g(x)x2当 x b 时,f(b)mb b1 2 1 2 ,故 f(x)的图象所经过的定点为 b,1 2 ,所以 g(b)1 2,即
9、b 21 2, 解得 b 2 2 故选 B (2)幂函数 y 2 4mm x (mZ)的图象如图所示,则 m 的值为( ) A0 B1 C2 D3 解:因为 y 2 4mm x (mZ)的图象不过原点,所以 m24m0,即 0m4又因为函数的图象关于 y 轴对称且 mZ,所以 m24m 为偶数, 因此 m2故选 C (3)已知 a2 4 3,b3 2 3,c25 1 3,则 ( ) Abac Babc Cbca Dcaab故选 A 考点二考点二 求二次函数的解析式求二次函数的解析式 (1)已知二次函数 f(x)满足 f(2)1,f(1)1,且 f(x)的最大值是 8, 则二次函数的解析式为_
10、解法一:(利用一般式) 设 f(x)ax2bxc(a0), 由题意得 4a2bc1, abc1, 4acb2 4a 8, 解得 a4, b4, c7 所以所求二次函数为 y4x24x7 解法二:(利用顶点式) 设 f(x)a(xm)2n(a0),因为 f(2)f(1), 所以抛物线对称轴为 x2(1) 2 1 2, 所以 m1 2,又根据题意,函数有最大值为 8,所以 n8, 所以 f(x)a x1 2 2 8 因为 f(2)1,即 a 21 2 2 81解之得 a4 所以 f(x)4 x1 2 2 84x24x7 解法三:(利用零点式) 由已知 f(x)10 的两根为 x12,x21,即 g
11、(x)f(x)1 的两个零点为 2,1, 故可设 f(x)1a(x2)(x1)(a0), 即 f(x)ax2ax2a1 又函数有最大值 ymax8,即4a(2a1)a 2 4a 8, 解之得 a4, 所以所求函数解析式为 f(x)4x24x2(4)14x24x7故填 f(x)4x2 4x7 (2)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)2x 的解集为(1, 3)若方程 f(x)6a0 有两个相等的根,则 f(x)的解析式为_ 解:因为 f(x)2x0 的解集为(1,3), 设 f(x)2xa(x1)(x3),且 a0, 所以 f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x
12、3A 则方程 f(x)6a0,即 ax2(24a)x9a0 因为方程有两个相等的根,所以 (24a)24a9a0,解得 a1 或 a 1 5 由于 a0,所以 a1 5,代入式得 f(x) 1 5x 26 5x 3 5,即为所求故填 f(x) 1 5x 26 5x 3 5 【点拨】 根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,方法如下: (1)二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x2,最小值为1, 则它的解析式是 y_ 解:设 ya(x2)21(a0), 当 x0 时,4a11,a1 2, 所以 y1 2(x2) 211 2x 22x1 故填1 2x 22x1 (2)若函数 f(x
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