1、27 函数的图象函数的图象 【教材梳理】 1利用描点法作图的步骤 (1)确定函数定义域; (2)化简函数解析式; (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等); (4)描点并作出函数图象 2利用图象变换法作图的步骤 (1)平移变换 水平平移:yf(x)的图象向左平移 a(a0)个单位长度,得到_的图象;yf(xa)(a 0)的图象可由 yf(x)的图象向_平移 a 个单位长度而得到 竖直平移:yf(x)的图象向上平移 b(b0)个单位长度,得到_的图象;yf(x)b(b 0)的图象可由 yf(x)的图象向_平移 b 个单位长度而得到 总之,对于平移变换,记忆口诀为“左加右减,上加下减
2、” (2)对称变换 yf(x),yf(x),yf(x)三个函数的图象与 yf(x)的图象分别关于_、 _、_对称 若对定义域内的一切 x 均有 f(mx)f(mx),则 yf(x)的图象关于直线对称 (3)伸缩变换 要得到 yAf(x)(A0)的图象, 可将 yf(x)的图象上每点的纵坐标伸(A1 时)或缩(A0)的图象,可将 yf(x)的图象上每点的横坐标伸(a1 时)到原来 的_ (4)翻折变换 y|f(x)|的图象作法:作出 yf(x)的图象,将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方,上方的部分不变 yf(|x|)的图象作法: 作出 yf(x)在 y 轴右边的图象
3、, 以 y 轴为对称轴将其翻折到左边得 yf(|x|) 在 y 轴左边的图象,右边的部分不变 【常用结论】 3图象对称性的证明 (1)证明函数的对称性,即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的 对称点仍在图象上 (2)证明曲线 C1与 C2的对称性,即证明 C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的 对称点在 C2上,反之亦然 【自查自纠】 2(1)yf(xa) 右 yf(x)b 下 (2)y 轴 x 轴 原点 xm (3)A 倍 1 a倍 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“” ,错误的画“” (1)当 x(0,)时,函数 y|f(x)|与 yf(|x|)的图象相同 ( ) (2)
4、函数 yaf(x)与 yf(ax)(a0,且 a1)的图象相同 ( ) (3)函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于原点对称 ( ) (4)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x),则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称 ( ) (5)将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 yf(x1)的图 象 ( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5) 设函数 f(x)2x,则如图所示的函数图象对应的函数是( ) Ayf(|x|) By|f(x)| Cyf(|x|) Dyf(|x|) 解:图中是函数 y2 |x|的图象,即函数 yf(|x|)的图 象故选 C (201
5、9河北衡水二中月考)若函数 f(x)axb 的图象如图所示,则( ) Aa1,b1 Ba1,0b1 C0a1 D0a1,0b1 解:由图象从左向右下降,知 0a1又 yf(x)与 y 轴的交点为(0,1b),所以 01 b1,则 0b0,选 项 B 错误故选 A 已知函数 f(x)的部分图象如图所示,若不等式2f(xt)0 部分关于 y 轴的对称部分,即得 y 1 2 |x| 的图象,如图 1 实线部分 图 1 图 2 (2)将函数 ylog2x 的图象向左平移一个单位,再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去,即可得 到函数 y|log2(x1)|的图象,如图 2 (3)因为 y2 1 x1
6、,故函数图象可由 y 1 x图象向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位即得,如图 3 图 3 图 4 (4)y x22x1,x0, x22x1,x0其图象如图 4 【点拨】 画函数图象的一般方法:直接法:当函数解析式(或变 形后的解析式)是熟悉的基本函数时, 就可根据这些函数的特征描出图象 的关键点直接作出图象变换法:若函数图象可由基本函数的图象经 过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,此时应注意平移变换 与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 作出下列函数的图象: (1)y|x24x3|; (2)y2x1 x1 ; (3)y10|lgx| 解:(1)先画出函数 yx24x3 的
7、图象,再将其 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方,如图 1 (2)y2x1 x1 2 1 x1,可由 y 1 x的图象向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位得 到,如图 2 (3)y10|lgx| x,x1, 1 x,0 x1, 如图 3 所示 图 1 图 2 图 3 考点二考点二 识图识图 命题角度 1 给出函数确定图象 (1)(2018浙江卷)函数 y2|x|sin2x 的图象可能是( ) A B C D 解:函数 y2|x|sin2x 是奇函数,故排除 A,B 选项不论 x 取何值, 2|x|始终大于 0当 x 0, 2 时,sin2x0,故 y2|x|sin2x0,图象在 x 轴
8、的 上方;当 x 2, 时,sin2x0,故 y2 |x|sin2x0,排除选项 D; f(6) 263 262 67,排除选项 A故选 B 【点拨】 确定函数的图象主要用排除法要抓住函数的性质,定性分析: 从函数的定义域, 判断图象的左右位置; 从函数的值域, 判断图象的上下位置 从函数的单调性,判断图象的变化趋势从周期性,判断图象的循环往复 从函数的奇偶性,判断图象的对称性同时要善于抓住图象的特征,定量计算: 从函数的特征点入手,利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题 (1)(2020 安徽省庐江金牛中学高三模拟)函数 y sin2x 1cosx的部分图象大致为( ) A B C D 解:
9、由题意知, 函数 y sin2x 1cosx为奇函数,故排除 B;当 x 时, y0,故排除 D;当 x1 时,y sin2 1cos10,故排除 A故选 C (2)函数 f(x)exln|x|的大致图象为( ) A B C D 解: 函数 f(x)ex ln|x|, f(x)e x ln|x|, f(x)f(x), f(x)f( x),则函数 f(x)为非奇非偶函数,图象不关于 y 轴对称,排除 C,D;当 x,f(x),排除 B故选 A (3)(2020湖北高三模拟)函数 y2x2e|x|在2,2的图象大致为( ) A B C D 解:函数 f(x)在2,2上是偶函数,其图象关于 y 轴对
10、称,因为 f(2) 8e2,08e20 时,y0;当 x0 时,y0 时, f(x)0,m2 显然不满足,所以 2m0,即 m0在 1 , 1 上 恒 成 立 , f (x) (2m)(x2m)2x2(2m) (x2m)2 (m2)(x 2m) (x2m)2 0,因为 m20, 所以只需要 x2m1,综上所述,1m0,b0,c0 Ba0,c0 Ca0,c0 Da0,b0,c0,c0,所以 b0,由 f(x)0,得 axb0,即 xb a0,所以 a0所以 a0,c0故选 C 考点三考点三 用图用图 命题角度 1 利用图象研究函数的性质 【多选题】 (20202021 学年福建仙游一中高一上期中
11、)定义 min(a, b) a,a0 时,xf(x) 解:由题可知,f(x)min(x2,1) x2,x21, 1,x21, 即 f(x) 1,x1, x2,1xf(x),故 D 不正确故选 ABC 【点拨】 函数图象应用广泛, 是研究函数性质不可或缺的工具数 形结合应以快、准为前提,充分利用“数”的严谨和“形”的直观, 互为补充,互相渗透 【多选题】(2021 届广东中山市六校高三上一联)函数 f(x) |x21|,x1, lnx,x1, 则 下列说法正确的是( ) A函数 f(x)是偶函数 B函数 f(x)的最小值是 0 C函数 f(x)的单调递增区间是1,) D不等式 f(x)1 的解集
12、为 2,e 解:作出函数 f(x)的图象如图所示 可知函数 f(x)是非奇非偶函数,A 错误; 函数 f(x)的最小值是 0,B 正确; 函数 f(x)的单调递增区间是1,),(1,0),C 错误; 由 f(x)1 知,x 2或 x0 或 xe,结合图象易知 D 正确故选 BD 命题角度 2 利用图象解不等式 (2020北京卷)已知函数 f(x)2xx1,则不等式 f(x)0 的解集是( ) A(1,1) B(,1)(1,) C(0,1) D(,0)(1,) 解:因为 f(x)2xx1,所以 f(x)0 等价于 2xx1,在同一直角坐标系中作 出 y2x和 yx1 的图象如图, 两函数图象的交
13、点坐标为(0,1),(1,2), 不等式 2xx1 的解为 x1 所以不等式 f(x)0 的解集为(,0)(1,)故选 D 【点拨】 与指、对、幂混合型函数相关的不等式问题,常通过数形结 合转化为函数图象的交点和在交点两侧图象的上、下位置关系来求解 (2019福建双十中学模拟)设函数 yf(x1)是定义在(,0)(0,) 上的偶函数, 在区间(, 0)上是减函数, 且图象过点(1, 0), 则不等式(x1)f(x)0 的解集为_ 解:画出 f(x)的大致图象如图所示 不等式(x1)f(x)0 可化为 x1, f(x)0或 x1, f(x)0 由图可知符合条件的解集为x|x0 或 1x2 故填x|x0 或 1x2