2022高考数学一轮总复习课件:2.9 函数模型及其应用
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1、29 函数模型及其应用函数模型及其应用 【教材梳理】 1几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 反比例函数模型 f(x)k xb(k,b 为常数,且 k0) 二次函数模型 指数型函数模型 f(x)baxc(a,b,c 为常数,a0 且 a1,b0) 对数型函数模型 f(x)blogaxc(a,b,c 为常数,a 0 且 a1,b0) 幂型函数模型 f(x)axnb(a,b 为常数,a0) 2三种函数模型性质比较 函数 性质 yax(a1) ylogax(a 1) yxn(n0) 在(0,) 上的单调性 单调_函 数 单调_函 数 单调_函 数 增长速度 越来越_ 越来越_ 相对平稳
2、图象的 变化 随x值增大, 图象与_ 轴 接近平行 随x值增大, 图象与_ 轴 接近平行 随 n 值变 化而不同 【自查自纠】 1f(x)axb(a,b 为常数,a0) f(x)ax2bxc(a,b,c 为常数,a0) 2增 增 增 快 慢 y x 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“” ,错误的画“” (1)幂函数增长比直线增长更快 ( ) (2)由“指数爆炸”可知,当 x0 时,axx ( ) (3)在(0,)上,随着 x 的增大,yax(a1)的增长速度会超过并远远大于 y xa(a0)的增长速度 ( ) (4)某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出售,后因库存积压降价
3、,若 按九折出售,则每件还能获利 ( ) (5)不存在 x0,使 ax0 xn 00,且 a1,nN) ( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5) 某工厂 6 年来生产某种产品的情况是:前 3 年年产量的增长速度越来 越快, 后 3年年产量保持不变, 则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年) 的函数关系图象正确的是( ) 解: 前 3 年年产量的增长速度越来越快, 说明总产量增长越来越快, 只有 A,C 图象符合要求,而后 3 年年产量保持不变,所以总产量呈直 线增长故选 A (2019陕西铜川一中期中)某品牌电视新品投放市场后第一个月销售 100 台, 第二个月
4、销售 200 台,第三个月销售 400 台,第四个月销售 790 台,则下列函数模型中能较好地反映销售 y(单位:台) 与投放市场的月数 x 之间关系的是( ) Ay100 x By50 x250 x100 Cy502x Dy100log2x100 解:根据函数模型的增长差异和题目中的数据描点可知,指数型函数模型更符 合要求,同时代入数据验证可知 C 正确故选 C (2019届北京市平谷区高三3月质监)放射性物质的半衰期 T 定义为每经过时间 T,该物质的质量会衰减为原来的一半,铅制容器中有两种放射性物质 A,B,开始记 录时容器中物质 A 的质量是物质 B 的质量的 2 倍,而 120 h
5、后两种物质的质量相等, 已知物质 A 的半衰期为 7.5 h,则物质 B 的半衰期为 ( ) A10 h B8 h C12 h D15 h 解:由题意得 120 7516不妨设开始记录时容器中物质 B 的质量 mB1,则 mA2设物质 B 的半衰期为 t由题意可得 2 1 2 16 1 2 120 t ,解得 t8故选 B 某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 yalog3(x1), 设这种动物 第 2 年有 100 只,则可预测第 8 年有_只 解:因为 alog33100,所以 a100,当 x8 时,y100log39 200故填 200 考点一 用函数图象刻画变化过程 (1
6、)某地一天内的气温 Q(t)(单位:)与时刻 t(单位:h)之间的关系如图所示,令 C(t)表示时间段0,t内的温 差(即时间段0,t内最高温度与最低温度的差),C(t)与 t 之间的函数关系用下列图象表示,则正确的图象是( ) A B C D 解:当 0t4 时,最高温度不变,最低温度减小,所以温差变大,排 除 C;当 4t0,b1),若取 lg20301 0,lg3 0477 1,则下列说法正确的是 ( ) A若选择模型,则函数模型解析式 y4 3 2 2017x 近似反映该城市近几年包装垃圾生产量 y(万吨)与年份 x 的函数关系 B若选择模型,则函数模型解析式 y4sin x 2 01
7、72 017 近似反映该城市近几年包装垃圾生产量 y(万吨) 与年份 x 的函数关系 C若不加以控制,任由包装垃圾如此增长下去,从 2022 年开始,该城市的包装垃圾将超过 40 万吨 D若不加以控制,任由包装垃圾如此增长下去,从 2023 年开始,该城市的包装垃圾将超过 40 万吨 解: 若选 y4 3 2 x2 017 , 计算可得对应数据为 4, 6, 9, 135, 若选 y4sin x 2 0172 017, 计算可得对应数据近似值都大于 2 013,显然 A 正确,B 错误; 按照选择函数模型 y4 3 2 x2 017 , 令 y40, 即 4 3 2 x2 017 40, 所以
8、 3 2 x2 017 10, 所以 x2 017log3 2 10,所以 x2 017lg10 lg3 2 1 lg3lg25678 6,所以 x2 022678 6,即从 2023 年开始,该城市的包装垃圾将超过 40 万吨,故 C 错误,D 正确故选 AD 【点拨】 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法: 构 建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合 模型选图象;验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合 图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况(或误差更大 者) (1)明清时期,古镇河口因水运而繁华若有一商家从石塘沿水路顺水航 行
9、,前往河口,途中因故障停留一段时间,到达河口后逆水航行返回石塘,假设货 船在静水中的速度不变,水流速度不变,若该船从石塘出发后所用的时间为 x(h)、 货船距石塘的距离为 y(km),则下列各图中,能大致反映 y 与 x 之间函数关系的是 ( ) A B C D 解:由题意得,货船从石塘到停留一段时间前,y 随 x 增大而增大;停 留一段时间内,y 随 x 增大而不变;随后 y 随 x 增大继续增大;当返回时 y 随 x 增大而减小,直至为 0,又顺流速度大于逆流速度故选 A (2)(20202021学年福建龙岩北大附属实验学校高一月考)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行 消毒,需对喷雾完毕后,空气
10、中每立方米药物残留量 y (单位:mg)与时间 x(单位:h)的关系进 行研究,为此收集部分数据并做了初步处理,得到如图所示散点图现拟从下列四个函数模型 中选择一个估计 y 与 x 的关系,则应选用的函数模型是( ) Ayaxb Bya 1 4 xb Cyxab(a0) Dyaxb x(a0,b0) 解:由散点图可知,函数在(0,)上单调递减,且散点分布在一条曲线附近,函数 y axb 的图象为一条直线,A 不合题意; 函数 ya 1 4 x b 的图象为一条曲线,且当 a0 时,该函数单调递减,B 符合题意 函数 yxab(a0)在区间(0,)上单调递增,C 不合题意; 由对勾函数的单调性可
11、知,函数 yaxb x(a0,b0)在区间 0, b a 上单调递减,在区 间 b a, 上单调递增,D 不合题意故选 B 考点二考点二 函数的跨学科交汇与近似计算函数的跨学科交汇与近似计算 (1)(2020新高考全国卷)基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行 病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间 传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)ert描述累 计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律,指数增长率 r 与 R0,T 近似满足 R0 1rT有学者基于已有数据估计出 R0328,T6据此,在新冠肺炎疫 情初始
12、阶段,累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln2069) ( ) A12 天 B18 天 C25 天 D35 天 解:因为 R0328,T6,R01rT,所以 r3281 6 038,所以 I(t) erte0 38t,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 t1天, 则 e 1 0 38()tt 2e0 38t, 所以 e 1 0 38t 2, 所以 038t1ln2, 所以 t1 ln2 038 069 038 18 天故选 B (2)射线测厚技术原理公式:II0e t,其中 I 0,I 分别为射线穿过被测物前后的 强度,e 是自然对数的底数,t 为被测物厚
13、度, 为被测物的密度, 是被测物对射 线的吸收系数,工业上通常用镅 241 低能 射线测量钢板的厚度若这种射线对钢 板的半价层厚度为 08,钢的密度为 76,则钢板对这种射线的吸收系数为(半价 层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度,ln20693 1,结果精确 到 0001)( ) A0110 B0112 C0114 D0116 解:由题意可得,t08,76, I I0 1 2,因为 II0e t,所 以1 2e 7608,即 ln2 7608 0693 1 608 0114所以钢板对 这种射线的吸收系数为 0114故选 C (3)民用无人机应用广泛,中国民用无人机技术世界领先如图
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