1、29 函数模型及其应用函数模型及其应用 【教材梳理】 1几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 反比例函数模型 f(x)k xb(k，b 为常数，且 k0) 二次函数模型 指数型函数模型 f(x)baxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0) 对数型函数模型 f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，a 0 且 a1，b0) 幂型函数模型 f(x)axnb(a，b 为常数，a0) 2三种函数模型性质比较 函数 性质 yax(a1) ylogax(a 1) yxn(n0) 在(0，) 上的单调性 单调_函 数 单调_函 数 单调_函 数 增长速度 越来越_ 越来越_ 相对平稳
2、图象的 变化 随x值增大， 图象与_ 轴 接近平行 随x值增大， 图象与_ 轴 接近平行 随 n 值变 化而不同 【自查自纠】 1f(x)axb(a，b 为常数，a0) f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 2增 增 增 快 慢 y x 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“” ，错误的画“” (1)幂函数增长比直线增长更快 ( ) (2)由“指数爆炸”可知，当 x0 时，axx ( ) (3)在(0，)上，随着 x 的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于 y xa(a0)的增长速度 ( ) (4)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 25%出售，后因库存积压降价
3、，若 按九折出售，则每件还能获利 ( ) (5)不存在 x0，使 ax0 xn 00，且 a1，nN) ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来 越快， 后 3年年产量保持不变， 则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年) 的函数关系图象正确的是( ) 解： 前 3 年年产量的增长速度越来越快， 说明总产量增长越来越快， 只有 A，C 图象符合要求，而后 3 年年产量保持不变，所以总产量呈直 线增长故选 A (2019陕西铜川一中期中)某品牌电视新品投放市场后第一个月销售 100 台， 第二个月
4、销售 200 台，第三个月销售 400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销售 y(单位：台) 与投放市场的月数 x 之间关系的是( ) Ay100 x By50 x250 x100 Cy502x Dy100log2x100 解：根据函数模型的增长差异和题目中的数据描点可知，指数型函数模型更符 合要求，同时代入数据验证可知 C 正确故选 C (2019届北京市平谷区高三3月质监)放射性物质的半衰期 T 定义为每经过时间 T，该物质的质量会衰减为原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质 A，B，开始记 录时容器中物质 A 的质量是物质 B 的质量的 2 倍，而 120 h
5、后两种物质的质量相等， 已知物质 A 的半衰期为 7.5 h，则物质 B 的半衰期为 ( ) A10 h B8 h C12 h D15 h 解：由题意得 120 7516不妨设开始记录时容器中物质 B 的质量 mB1，则 mA2设物质 B 的半衰期为 t由题意可得 2 1 2 16 1 2 120 t ，解得 t8故选 B 某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 yalog3(x1)， 设这种动物 第 2 年有 100 只，则可预测第 8 年有_只 解：因为 alog33100，所以 a100，当 x8 时，y100log39 200故填 200 考点一 用函数图象刻画变化过程 (1
6、)某地一天内的气温 Q(t)(单位：)与时刻 t(单位：h)之间的关系如图所示，令 C(t)表示时间段0，t内的温 差(即时间段0，t内最高温度与最低温度的差)，C(t)与 t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象是( ) A B C D 解：当 0t4 时，最高温度不变，最低温度减小，所以温差变大，排 除 C；当 4t0，b1)，若取 lg20301 0，lg3 0477 1，则下列说法正确的是 ( ) A若选择模型，则函数模型解析式 y4 3 2 2017x 近似反映该城市近几年包装垃圾生产量 y(万吨)与年份 x 的函数关系 B若选择模型，则函数模型解析式 y4sin x 2 01
7、72 017 近似反映该城市近几年包装垃圾生产量 y(万吨) 与年份 x 的函数关系 C若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从 2022 年开始，该城市的包装垃圾将超过 40 万吨 D若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从 2023 年开始，该城市的包装垃圾将超过 40 万吨 解： 若选 y4 3 2 x2 017 ， 计算可得对应数据为 4， 6， 9， 135， 若选 y4sin x 2 0172 017， 计算可得对应数据近似值都大于 2 013，显然 A 正确，B 错误； 按照选择函数模型 y4 3 2 x2 017 ， 令 y40， 即 4 3 2 x2 017 40， 所以
8、 3 2 x2 017 10， 所以 x2 017log3 2 10，所以 x2 017lg10 lg3 2 1 lg3lg25678 6，所以 x2 022678 6，即从 2023 年开始，该城市的包装垃圾将超过 40 万吨，故 C 错误，D 正确故选 AD 【点拨】 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法： 构 建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合 模型选图象；验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合 图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况(或误差更大 者) (1)明清时期，古镇河口因水运而繁华若有一商家从石塘沿水路顺水航 行
9、，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货 船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为 x(h)、 货船距石塘的距离为 y(km)，则下列各图中，能大致反映 y 与 x 之间函数关系的是 ( ) A B C D 解：由题意得，货船从石塘到停留一段时间前，y 随 x 增大而增大；停 留一段时间内，y 随 x 增大而不变；随后 y 随 x 增大继续增大；当返回时 y 随 x 增大而减小，直至为 0，又顺流速度大于逆流速度故选 A (2)(20202021学年福建龙岩北大附属实验学校高一月考)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行 消毒，需对喷雾完毕后，空气
10、中每立方米药物残留量 y (单位：mg)与时间 x(单位：h)的关系进 行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图所示散点图现拟从下列四个函数模型 中选择一个估计 y 与 x 的关系，则应选用的函数模型是( ) Ayaxb Bya 1 4 xb Cyxab(a0) Dyaxb x(a0，b0) 解：由散点图可知，函数在(0，)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数 y axb 的图象为一条直线，A 不合题意； 函数 ya 1 4 x b 的图象为一条曲线，且当 a0 时，该函数单调递减，B 符合题意 函数 yxab(a0)在区间(0，)上单调递增，C 不合题意； 由对勾函数的单调性可
11、知，函数 yaxb x(a0，b0)在区间 0， b a 上单调递减，在区 间 b a， 上单调递增，D 不合题意故选 B 考点二考点二 函数的跨学科交汇与近似计算函数的跨学科交汇与近似计算 (1)(2020新高考全国卷)基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行 病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间 传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累 计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0 1rT有学者基于已有数据估计出 R0328，T6据此，在新冠肺炎疫 情初始
12、阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln2069) ( ) A12 天 B18 天 C25 天 D35 天 解：因为 R0328，T6，R01rT，所以 r3281 6 038，所以 I(t) erte0 38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 t1天， 则 e 1 0 38()tt 2e0 38t， 所以 e 1 0 38t 2， 所以 038t1ln2， 所以 t1 ln2 038 069 038 18 天故选 B (2)射线测厚技术原理公式：II0e t，其中 I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的 强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚
13、度， 为被测物的密度， 是被测物对射 线的吸收系数，工业上通常用镅 241 低能 射线测量钢板的厚度若这种射线对钢 板的半价层厚度为 08，钢的密度为 76，则钢板对这种射线的吸收系数为(半价 层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20693 1，结果精确 到 0001)( ) A0110 B0112 C0114 D0116 解：由题意可得，t08，76， I I0 1 2，因为 II0e t，所 以1 2e 7608，即 ln2 7608 0693 1 608 0114所以钢板对 这种射线的吸收系数为 0114故选 C (3)民用无人机应用广泛，中国民用无人机技术世界领先如图
14、是一款民用四 旋翼无人机，要直线飞往 6 300 m 外的某山谷上空进行航拍起飞后其飞行距离 y(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)近似满足函数关系 yek(t 30)b(e2 718为自 然对数的底数，k，b 为常数)若该无人机起飞后 30 s 的飞行距离为 900 m，120 s 的飞行距离为 900 7 m，预测该无人机到达目标点大约需要飞行( ) A180 s B190 s C200 s D210 s 解：由题意得 e b900， e90k b900 7，所以 e 90k 7，所以令 ek(t30)b6 300，即 ek(t30) 7，所以 k(t30)180k，解得 t210故选
15、D 【点拨】 新高考对学科素养的考查，不但追求必要的深度，还追求一定的广度， 包括跨学科领域的交汇，由所给函数模型解决跨学科领域的交汇问题是近几年高考热 点问题，解此类问题的关键点：仔细审题，认清所给函数模型，弄清哪些量为待定 系数；根据已知条件，利用待定系数法确定模型中的待定系数；利用该模型求解 实际问题与函数或其他知识相关的近似计算及估算问题，是高考新热点问题，这是 因为生活中遇到的常常是不那么“简洁”的运算注意近似计算与估算的细微差别： 前者更强调“数”，后者更强调“理” (1)(2020全国卷)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领 域有学者根据公布数据建立了某地
16、区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：I(t) K 1e 023（t53），其中 K 为最大确诊病例数当 I(t*)095K 时， 标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(ln193) ( ) A60 B63 C66 D69 解： 因为 I(t) K 1e 023（t53）， 所以 I(t*) K 1e 023（t53）095K， 则 e * 0 23(53)t 19，所以 023(t*53)ln193，解得 t* 3 0235366故选 C (2)研究表明，未成年男性的体重 G(单位：kg)与身高 x(单位：cm)的关 系可用指数模型 Gaebx来描述，
17、根据大数据统计计算得到 a2004，b 0019 7现有一名未成年男性身高为 110 cm，体重为 175 kg，预测 当他的体重为 35 kg 时，身高约为(ln2069) ( ) A155 cm B150 cm C145 cm D135 cm 解： 将 x110， G175 代入 G2004e0 019 7x， 得 17 52004e0 019 7110， 将 G35 代入 G2 004e0 019 7x， 得 352 004e0 019 7x 由 得 2e0 019 7(x110)，即 0019 7(x110)ln2，解得 x145故选 C (3)物理学上， “分贝”是一种测量声音相对响
18、度的单位，分贝的计算公式为 G 20lg(V1 V0)，其中 G 为分贝，V0 为声压标准值(V0210 5 Pa)，V 1为声压测量值，0 分 贝是人刚能听到的最微弱的声音，3040 分贝是较为理想的安静环境，超过 50 分贝 会影响休息和睡眠，超过 70 分贝会影响学习和工作，超过 90 分贝会影响听力，如果 突然暴露在高达 150 分贝的噪声环境中，鼓膜会破裂出血，双耳完全失去听力已知 某场摇滚演唱会最前排听到声音的声压约为 34 Pa，则其约为(lg20301 0，lg3 0477 1) ( ) A123 分贝 B125 分贝 C127 分贝 D129 分贝 解：G20lg 34 21
19、0 520lg(17105)10020lg17，由于 lg16lg17lg18，即 4lg2lg17 lg22lg3，1204lg171255 2，所以 12408G125104故选 B 考点三考点三 建立函数模型解决实际问题建立函数模型解决实际问题 命题角度 1 初等函数模型 (1)李冶(11921279)，真定栾城(今属河北石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人， 数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：如求圆的直径，正方形的边长等其 中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积 为 y 亩，若方田的四边到水池的最近距离均为 20 步，则 y 关
20、于圆池半径 r(步)的函数关系式为 y _(注： 240 平方步为 1 亩，圆周率按 3 近似计算) 解：圆池的半径为 r 步，则方田的边长为(2r40)步，由题意得，(2r40)2 r2y240，得 y 1 240r 22 3r 20 3 故填 1 240r 22 3r 20 3 (2)某工厂拟建一个平面图形为矩形， 且总面积为 400 m2的三级污水处理池， 如图所 示， 已知池外墙造价为 200 元/m， 中间两条隔墙造价为 250 元/m， 池底造价为 80 元/m2(池 壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖)若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理 池的长和宽分别为( ) A40 m，
21、10 m B20 m，20 m C30 m，40 3 m D50 m，8 m 解：设污水处理池的宽为 x m，则长为400 x m，总造价为 y 元， 则 y200 2x2400 x 2250 x80400 900 x160 000 x 32 0002 900160 00032 00056 000， 当且仅当 900 x160 000 x ，即 x40 3 时，总造价最低故选 C (3)交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 02 mg/ml某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 08 mg/ml，在停止喝酒后， 血液中酒精含量以每小时 20%的速度减少，则至少经过_小时他才可
22、以 驾驶机动车(精确到个位，lg20301) 解： 设至少经过 n 小时后他才可以驾驶机动车， 由题意得 08(120%)n02， nN*，08n 102，n1log 0802 lg21 3lg2172，则 n62，即至少 经过 7 小时他才可以驾驶机动车故填 7 【点拨】 在现实生活中， 很多问题涉及的两个变量之间的关系是二次函 数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等，一般构建二次函数模型，利用 二次函数的图象与性质解决在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细 胞分裂等增长率问题常用指数型函数模型表示通常可以表示为 yN(1 p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式求解
23、时可利用指数运算与 对数运算的关系 (1)算法统宗中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三 十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱 的数目，买一斤(十六两)还差三十文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该 问题中，肉价是每两_文 解：设肉价是每两 x 文，由题意得 16x308x18，解得 x6，即 肉价是每两 6 文故填 6 (2)(2019山西朔州一中期末)设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产，平均 每人每年创造产值 t 万元(t 为正常数)公司决定从原有员工中分流 x(0 x100，x N*)人去进行新开发的产品 B 的生产分流后，
24、继续从事产品 A 生产的员工平均每 人每年创造产值在原有的基础上增长了 12x%若要保证产品 A 的年产值不减少， 则最多能分流的人数是 ( ) A15 B16 C17 D18 解：由题意，分流前每年创造的产值为 100t 万元，分流 x 人后，每年创造的产值为(100 x)(112x%)t 万元，则 0 x100，xN*， （100 x）（112x%）t100t，解得 00，解得 x23， 因为 x 为整数，所以 3x6 当 x6 时，y503(x6)x1153x268x115 令3x268x1150，有 3x268x1150，结合 x 为整数得 6x20 故 x3，20，xZ， y 50
25、x115，3x6，xZ， 3x268x115，6x20，xZ (2)对于 y50 x115(3x6，xZ)， 显然当 x6 时，ymax185， 对于 y3x268x1153 x34 3 2 811 3 (6185，所以当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多 【点拨】 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验 证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，数学知识的这一应用 过程称为数学建模数学建模的步骤通常是：正确理解并简化实际问题：了解问题的 实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息根据实际对象的特征和建模的目的， 对问题进行必
26、要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设建立数学模型：在 的基础上， 利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系， 建立相应的数学结构 求得数学问题的解将数学模型分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准 确性、合理性和适用性 (2019河北唐山一中模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、 经 济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下， 每尾鱼的平均生长速度 v(单位：kg/年)是养殖密度 x(单位：尾/m3)的函数当 x 不超过 4 尾/m3时，v 的值为 2 kg/年；当 4x20 时，v 是 x 的一次函数，当 x 达到 20 尾/m3时，因缺氧等原因，
27、v 的值为 0 kg/年 (1)当 0 x20 时，求函数 v 关于 x 的函数解析式； (2)当养殖密度 x 为多大时，鱼的年生长量(单位：kg/m3)可以达到最大？并 求出最大值 解：(1)由题意得当 0 x4 时，v2，当 4x20 时，设 vaxb(a0)， 显然 vaxb 在(4，20内是减函数， 由已知得 20ab0， 4ab2， 解得 a1 8， b5 2， 所以 v1 8x 5 2 故函数 v 2，0 x4， 1 8x 5 2，4x20 (2)设年生长量为 f(x) kg/m3，依题意， 由(1)得 f(x) 2x，0 x4， 1 8x 25 2x，4x20 当 0 x4 时，f(x)为增函数，故 f(x)maxf(4)428； 当 4x20 时，f(x)1 8x 25 2x 1 8(x 220 x)1 8(x10) 225 2 ，f(x)maxf(10)125 所以当 0 x20 时，f(x)的最大值为 125 故当养殖密度为 10 尾/m3时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 125 kg/m3
