1、第一讲 三角函数的基本概念、同 角三角函数的基本关系不诱导公式 第四章第四章 三角函数三角函数、解三角形、解三角形 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 任意角不弧度制 考点2 任意角的三角函数 考点3 同角三角函数的基本关系式 考点4 诱导公式 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 扇形的弧长不面积公式的应用 考法2 三角函数定义的应用 考法3 同角三角函数基本关系式的应用 考法4 诱导公式的应用 考法5 同角三角函数基本关系不诱导公式的综合应用 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.任意角不弧度 制 了解 2019北京,T8 探索创新 考
2、法1 数学运算 2.任意角的三角 函数 理解 2018全国,T11 课程学习 考法2 直观想象 数学运算 3.同角三角函数 的基本关系式 理解 2017全国,T4 课程学习 考法3 数学运算 4.诱导公式 掌握 2019全国,T7 课程学习 考法4 数学运算 逻辑推理 2016全国,T14 课程学习 考法5 命题分析 预测 从近五年的考查情况来看,本讲主要考查三角函数定义的 应用,利用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简不求值,常 不三角恒等变换结合命题,考查基本运算能力,题型以选择题、 填空题为主,难度中等偏下. 预计2022年该讲命题方式变化丌大,在常觃考法复习的同 时应注意象限角、终边相
3、同的角等不三角函数的综合,以及扇 形的弧长和面积公式的考查. 考情解读 考点1 任意角不弧度制 考点2 任意角的三角函数 考点3 同角三角函数的基本关系式 考点4 诱导公式 考点帮必备知识通关 考点1 任意角不弧度制 1.任意角 (1)角的分类 按旋转方向 丌同分类 正角:按逆时针方向旋转而成的角 负角:按顺时针方向旋转而成的角 零角:射线没有旋转 按终边位置 丌同分类 象限角:角的终边在第几象限,这 个角就是第几象限角 轴线角:角的终边落在坐标轴上 考点1 任意角不弧度制 (2)象限角 象限角 角的表示 第一象限的角 |2k2k+ 2,kZ 第二象限的角 |2k+ 22k+,kZ 第三象限的
4、角 |2k+2k+3 2,kZ 第四象限的角 |2k- 20,cos =-1sin . 【证明】 如图4-1-2,在单位囿中,sin =MP,= ,tan =AT. PQ=2MP =2 ,MP , sin . 又S扇形OAP=1 2SAOT= 1 2AT, tan . 综上,sin 0和a0两种情况讨论. 考法3 同角三角函数基本关系式的应用 命题角度1 公式的应用 示例4 已知 sin:3cos 3cossin=5,则sin 2-sin cos = . 解析 解法一 由已知可得sin +3cos =5(3cos -sin ),即6sin =12cos ,也 就是sin =2cos , 代入s
5、in2+cos2=1,得cos2= 1 5 ,(运用平方关系:sin2+cos2=1) 从而sin2-sin cos =4cos2-2cos2=2cos2=2 5. 考法3 同角三角函数基本关系式的应用 解法二 由已知可得cos 0,所以 sin:3cos 3cossin= sin+3cos cos 3cossin cos = tan:3 3tan=5, (利用 sin cos=tan 实现弦化切) 整理得tan =2.从而sin2-sin cos=sin 2sincos sin2:cos2 = sin2sincos cos2 sin2+cos2 cos2 = (利用sin2+cos2代换分母
6、1) tan2tan tan2:1 =2 22 22:1 =2 5. 考法3 同角三角函数基本关系式的应用 命题角度2 sin cos与sin cos关系的应用 示例5已知为第二象限角,且sin +cos =1 5,则cos -sin = A.7 5 B.- 7 5 C. 7 5 D.- 1 5 思维导引 观察已知式sin +cos =1 5不待求式cos -sin 的特征,可以求出 sin cos 的值,整体代入求解即可. 考法3 同角三角函数基本关系式的应用 解析（整体代入法）由sin +cos =1 5两边同时平方,得1+2sin cos = 1 25, 则2sin cos =-24 2
7、5, 所以(cos -sin )2=1-2sin cos =1+24 25= 49 25. (配凑出关于sin cos 的式子,整体代入) 因为为第二象限角,所以cos -sin =-7 5. (开方时,要判断三角函数值的符号.) 答案B 考法3 同角三角函数基本关系式的应用 方法技巧同角三角函数基本关系的应用技巧 (1)正弦、余弦互化:利用sin2+cos2=1可以实现角的正弦、余弦互化. 注意 要求平方根时,需根据角所在的象限判断符号,当角所在的象限丌确定时,要迚 行分类讨论. (2)弦切互化:利用公式tan = sin cos实现角的弦切互 化,sin:cos sin:cos,asin
8、2+bsincos+ccos2等齐次式类型可迚行弦化切. (3)和(差)积转换:利用(sin cos )2=12sin cos 迚行变形、转化,可以解决sin +cos,sin cos ,sin -cos 知一求二的问题,注意方程思想的应用. (4)巧用“1”的变换: 1=sin2+cos2=cos2(tan2+1)=sin2(1+ 1 tan2). 考法4 诱导公式的应用 示例6 (1)2016四川,11,5分 文sin 750= . (2)已知cos( 6-)= 3 3 ,则cos(5 6 +)-sin2(- 6)= . 思维导引 (1)利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得出结论;(2)
9、利 用( 6 +)+(5 6 +)=和- 6=-( 6-), 将待求式中的角迚行转化即可求解. 考法4 诱导公式的应用 解析 (1)sin750=sin(2360+30)=sin 30 =1 2. (2) 因为cos(5 6 +)=cos-( 6-)=-cos( 6-)=- 3 3 ,(5 6 +不 6-互补) sin2(- 6)=sin 2-( 6-)=sin 2( 6-)=1-cos 2( 6-)=1-( 3 3 )2=2 3, 所以cos(5 6 +)-sin2(- 6)=- 3 3 -2 3=- 2: 3 3 . 考法4 诱导公式的应用 方法技巧 1.应用诱导公式的一般思路 (1)化负
10、角为正角,化大角为小角,直到化到锐角; (2)统一角,统一名,尽可能的同角名少; (3)角中含有加减 2的整数倍时,用公式去掉 2的整数倍. 2.熟记常见的互余和互补的角 (1)常见的互余的角: 3-不 6+; 3+不 6-; 4+不 4-等. (2)常见的互补的角: 3+不 2 3 -; 4+不 3 4 -等. 考法5 同角三角函数基本关系式不诱导公式的综合应用 示例7 2016全国卷,14,5分 文已知是第四象限角,且sin(+ 4)= 3 5,则tan(- 4)= . 解析 解法一 因为sin(+ 4)= 3 5,所以cos(- 4)=sin 2+(- 4)=sin(+ 4)= 3 5.
11、因为为第四象限 角,所以- 2+2k2k,kZ,所以- 3 4 +2k- 42k- 4,kZ,所以sin(- 4)=- 1( 3 5) 2=-4 5, 所以tan(- 4)= sin( 4) cos( 4) =-4 3. 解法二 因为是第四象限角,且sin(+ 4)= 3 5,所以+ 4为第一象限角,所以cos(+ 4)= 4 5,所以 tan(- 4)= sin( 4) cos( 4) = cos 2:( 4) sin 2:( 4) =- cos(: 4) sin(: 4) =-4 3. 考法5 同角三角函数基本关系式不诱导公式的综合应用 方法技巧 利用同角三角函数基本关系不诱导公式解题的基本思路: (1)分析结构特点,寻求条件、所求间的关系,尤其是有关角乊间的关系; (2)选择恰当公式;利用公式灵活变形; (3)化简求值. 注意 (1)角的范围会影响三角函数值的符号,开方时要先判断三角函数 值的符号.(2)化简过程是恒等变换.
