1、第二十三章 旋转（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2021安徽九年级期中）如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（ ）A B C D2（2021内蒙古九年级期末）如图，将ABC绕点C顺时针旋转得到DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：ACAD；ABEB；BCEC；AEBC；其中一定正确的是（）A B C D3（2021湖北）将抛物线y+1绕原点O旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为（）Ay2x2+1By2x21CD4（2
2、021广东深圳市深圳中学八年级期中）如图，ABC以点O为旋转中心，旋转180后得到ABC，ED是ABC的中位线，经旋转后为线段ED已知ED6，则BC等于（ ）A8B10C12D145.（2021绵阳市九年级期中）如图，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的12，如图，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的（）A12B14C16D186（2020浙江温州市九年级期末）如图，在中，轴，已知点C的纵坐标是6，将绕点A旋转至，使C恰好落在y轴的负半轴E点处若点C和点D关于原点成中心对称，则点A的坐标（ ）ABC
3、D7（2021北京市第十三中学）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边CD，BC上，点G在CB的延长线上，DECFBG下列说法：将DCF沿某一直线平移可以得到ABG；将ABG沿某一直线对称可以得到ADE；将ADE绕某一点旋转可以得到DCF其中正确的是（）ABCD8（2021山东）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换例如，在的正方形网格图形中（如图1），从点经过一次跳马变换可以到达点，等处现有的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点经过跳马变换到达与其相对的顶点，最少需要跳马变换的次数是（ ）ABC
4、D9（2021河南九年级一模）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2021次旋转结束时，点C的坐标为（ ）ABCD10.（2021浙江八年级期中）如图，在正方形中，点G为边上一点，以为边向右作正方形，连接，交于点P，连接，过点F作交于点H，连接，交于点K，下列结论中错误的是（ ）A B是等腰直角三角形 C点P为中点 D二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。11（2021浙江八年级期末）平面直角坐标系中，点关于点成中心对称的点的坐标是_12（2021湖南师大附中高新实验中学）在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则称点P为“对等
5、点”已知一个二次函数的图像上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为_13（2021江苏九年级一模）如图，ABC中，ABC=90，以AC为斜边在ABC的外部作等腰RtADC，若AB=，BD=，则BC=_14（2021凤翔县期中）在等边三角形ABC中，AC9，点O在AC上，且AO3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是15（2021湖南长沙市九年级期中）如图，中，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，连接，则=_16（2021江都区期中）已知矩形ABCD，AB6，AD8，将矩形AB
6、CD绕点A顺时针旋转（0360）得到矩形AEFG，当 时，GCGB17（2021四川成都市成都实外八年级期末）如图，将边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60得到正方形AEGF，连接EF，BF，点M，N分别为EF，BF的中点，连接MN，则线段MN的长为_18（2021四川成都市成都铁路中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，将ABO绕点B顺时针旋转到A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线yx上，再将A1BO1绕点A1顺时针旋转到A1B1Q2的位置，使点O1的对应点O2落在直线yx上，依次进行下去，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A12的横坐标是_三、解答题（19
7、-22题每题9分，其他每题10分，共66分）19（2021山西九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应学习任务旋转对称把正n边形绕着它的中心旋转的整数倍后所得的正n边形重合我们说，正n边形关于其中心有的旋转对称一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角（0360）后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角的旋转对称图1就是具有旋转对称性质的一些图形任务：（1）如图2，正六边形关于其中心O有 的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有 的旋转对称；（2）图3是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转 与原图形重合；（3）请以图4为基本图案，在图5中利用平移、轴对称或旋转
8、进行图案设计，使得设计出的图案是中心对称图形 20（2021福建三明市九年级一模）如图，Rt中，绕点顺时针旋转，得到，（1）求证：垂直平分；（2）是中点，连接，若，求四边形的面积21（2021全国九年级专题练习）如图，在中，以为边向外作等边，把绕点D顺时针方向旋转后得到若（1）试判断的形状，并说明理由；（2）求的度数；（3）求的长22（2021甘肃白银市九年级一模）如图1，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且EAF45，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是将ABE绕A点旋转90使得B与D重合，连接AG，由此得到 ，再证明 ，可得出结论，他的结论应是
9、 拓展延伸：如图2，等腰直角三角形ABC中，ABC90，ABBC，点G，H在边AC上，且GBH45，写出图中线段AG，GH，CH之间的数量关系并证明23（2021苏州高新区第一初级中学校九年级二模）在平面直角坐标系中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归地物线，点A叫做这条抛物线的回归点（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式； 24（2021山东临沂市九年级一模）如图1，点E为正方形内一点，现将绕点B
10、按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点G（1）试判断四边形是什么图形，并证明你的结论（2）连接，如图2若，试求的长；如图3，若，求证： 25（2021四川成都市九年级期末）如图1，在ABC中，A120，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上，ADAE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，连接NM，NP（1）图1中，线段NM，NP的数量关系是 ，MNP的度数为 ；（2）把ADE绕点A顺时针旋转到如图2所示的位置，连接MP求证：MNP是等边三角形；（3）把ADE绕点A在平面内旋转，若AD2，AB5，请直接写出MNP面积的最大值 26（2021辽宁葫芦岛市九年级一模
11、）在菱形中，点在的延长线上，点是直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针得到线段，连接，.（1）如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系；（2）如图2，当点在上时，线段，之间有怎样的数量关系？请写出结论并给出证明；（3）当点在直线上时，若，请直接写出线段的长.第二十三章 旋转（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2021安徽九年级期中）如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（ ）A B C D【答案】D【分析】根据三角形和中心对称的性质求解，即可得到答案【详解】和关
12、于点O成中心对称 错误，其他选项正确 故选：D【点睛】本题考查了三角形和中心对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形和中心对称图形的性质，从而完成求解2（2021内蒙古九年级期末）如图，将ABC绕点C顺时针旋转得到DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：ACAD；ABEB；BCEC；AEBC；其中一定正确的是（）A B C D【答案】C【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性【详解】解：旋转，但是旋转角不一定是，不一定是等边三角形，不一定成立，即不一定正确；旋转，故正确；旋转，等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶
13、角相等，它们的底角也相等，即，故正确；不一定成立，不一定成立，不一定成立，即不一定正确故选：C【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质3（2021湖北）将抛物线y+1绕原点O旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为（）Ay2x2+1By2x21CD【答案】D【分析】先确定抛物线线y+1的顶点坐标为（0，1），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点（0，1）变换后所得对应点的坐标为（0，1），然后利用顶点式写出旋转后抛物线【详解】解：抛物线y+1的顶点坐标为（0，1），点关于原点O的对称点的坐标为（0，1），此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为y1故选：D
14、【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：抛物线绕某点旋转180得到旋转后的抛物线开口相反，抛物线的开口大小不变4（2021广东深圳市深圳中学八年级期中）如图，ABC以点O为旋转中心，旋转180后得到ABC，ED是ABC的中位线，经旋转后为线段ED已知ED6，则BC等于（ ）A8B10C12D14【答案】C【分析】先根据旋转的性质可得EDED6，再根据三角形的中位线定理求解即可【详解】解：ABC以点O为旋转中心，旋转180后得到ABC，ED是ABC的中位线，经旋转后为线段EDEDED6，BC2ED12.故选：C5.（2021绵阳市九年级期中）如图，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重
15、叠部分面积是正方形A面积的12，如图，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的（）A12B14C16D18【分析】设正方形B的面积为S，正方形B对角线的交点为O，标注字母并过点O作边的垂线，根据正方形的性质可得OEOM，EOM90，再根据同角的余角相等求出EOFMON，然后利用“角边角”证明OEF和OMN全等，根据全等三角形的面积相等可得阴影部分的面积等于正方形B的面积的14，再求出正方形B的面积2正方形A的面积，即可得出答案【解答】解：设正方形B对角线的交点为O，如图1，设正方过点O作边的垂线，则OEOM，EOM90，EOF+EON90
16、，MON+EON90，EOFMON，在OEF和OMN中EOF=MONOE=OMOEF=OMN=90，OEFOMN（ASA），阴影部分的面积S四边形NOEP+SOEFS四边形NOEP+SOMNS四边形MOEP=14S正方形CTKW，即图1中阴影部分的面积正方形B的面积的四分之一，同理图2中阴影部分烦人面积正方形A的面积的四分之一，图，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的12，正方形B的面积正方形A的面积的2倍，图2中重叠部分面积是正方形B面积的18，故选：D6（2020浙江温州市九年级期末）如图，在中，轴，已知点C的纵坐标是6，将绕点A旋转至，使C恰好落在y轴
17、的负半轴E点处若点C和点D关于原点成中心对称，则点A的坐标（ ）ABCD【答案】C【分析】根据旋转可得ABCADE，设C点坐标为（a，6），根据点C和点D关于原点成中心对称，可得D点坐标为（-a，-6），得DE=BC=a，所以B点坐标为（a，6-a），A点坐标为（-a，6-a），根据AD=AB列出方程即可求出a的值，进而可得结果【详解】解：ABC绕点A旋转ADE，ABCADE，ABC=ADE=90，AB=AD，BC=DE，ABx轴，CBy轴，设C点坐标为（a，6），点C和点D关于原点成中心对称，D点坐标为（-a，-6），DE=BC=a，B点坐标为（a，6-a），A点坐标为（-a，6-a），AD
18、=AB=6-a-（-6）=a-（-a），12-a=2a，解得a=4，点A的坐标为（-4，2）故选：C7（2021北京市第十三中学）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边CD，BC上，点G在CB的延长线上，DECFBG下列说法：将DCF沿某一直线平移可以得到ABG；将ABG沿某一直线对称可以得到ADE；将ADE绕某一点旋转可以得到DCF其中正确的是（）ABCD【答案】C【分析】由正方形的性质和已知条件可以得到ADEDCF、ADEABG、ABGDCF，然后根据图形变换的知识可以对各选项的正误作出判断【详解】四边形ABCD是正方形，ABADCD，ABCADEDCB90，又DECF，ADEDC
19、F（SAS），同理可得：ADEABG，ABGDCF，将DCF沿某一直线平移可以得到ABG，故正确；将ABG绕点A旋转可以得到ADE，故错误；将ADE绕线段AD，CD的垂直平分线的交点旋转可以得到DCF，故正确；故选：C【点睛】本题考查正方形性质和图形变换的综合应用，根据全等三角形的性质和图形变换的知识解题是关键所在8（2021山东）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换例如，在的正方形网格图形中（如图1），从点经过一次跳马变换可以到达点，等处现有的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点经过跳马变换到达与其相
20、对的顶点，最少需要跳马变换的次数是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据题意画出F点,由图一计算出规律即可推出【详解】如图1，连接AC，CF，则AF=，两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格又MN=，（不是整数），按ACF的方向连续变换10次后，相当于向右移动了1023=15格，向上移动了1023=15格，此时M位于如图所示的55的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14次故选D【点睛】本题考查规律计算题,主要在于结合图形找出规律9（2021河南九年级一模）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x
21、轴，y轴上，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2021次旋转结束时，点C的坐标为（ ）ABCD【答案】B【分析】过点C作CEy轴于点E，连接OC，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2021次旋转结束时，点C的坐标【详解】解：如图，过点C作CEy轴于点E，连接OC，OA=OB=2，ABO=BAO=45，ABC=90，CBE=45，BC=AD=4，CE=BE=4，OE=OB+BE=6，C（-4，6），矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90，则第1次旋转结束时，点C的坐标为（6，4）；则第2次旋转结束时，点C的坐标为（4，-6
22、）；则第3次旋转结束时，点C的坐标为（-6，-4）；则第4次旋转结束时，点C的坐标为（-4，6）；发现规律：旋转4次一个循环，20214=5051，则第2021次旋转结束时，点C的坐标为（6，4）故选：B【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转、规律型-点的坐标，解决本题 的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律10.（2021浙江八年级期中）如图，在正方形中，点G为边上一点，以为边向右作正方形，连接，交于点P，连接，过点F作交于点H，连接，交于点K，下列结论中错误的是（ ）AB是等腰直角三角形C点P为中点D【答案】D【分析】A证明四边形BHFG为平行四边形，得BH=GF=CE，得BC=HE，再
23、由正方形的性质得HE=CD，进而便可判断选项正误；B证明ABHHEF，进而得出AHF是等腰直角三角形，便可判断选项正误；C过H作HMBC，HM与BD交于点M，连接MF，证明四边形EFMH为矩形，再证明PADPFM得AP=FP，便可判断选项正误；D将ADP绕点A顺时针旋转90，得ABQ，连接QK，证明AQKAPK得AK=PK，进而得BK2+DP2=KP2，便可判断正误【详解】解：A四边形CEFG是正方形，GFCE，GF=CE，BGHF，四边形BHFG为平行四边形，GF=BH，BH=CE，BC=HE，四边形ABCD为正方形，BC=CDHE=CD，故A正确；BABCD是正方形，CEFG是正方形，AB
24、=BC，CE=EF，ABH=HEF=90，BC=HE，BH=CE，AB=HE，BH=EF，ABHHEF（SAS），AH=HF，BAH=EHF，BAH+AHB=90，EHF+AHB=90，AHF=90，AHF为等腰直角三角形，故B正确；C过H作HMBC，HM与BD交于点M，连接MF，则MHEF，四边形ABCD是正方形，ABC=90，HBD=ABC，HBM=45，BH=MH，ABHHEF，BH=EF，MH=EF，四边形EFMH为矩形，MFBEAD，MF=HE，DAP=MFP，ADP=FMP，AD=BC=HE，AD=MF，PADPFM（ASA），AP=FP，故C正确；D将ADP绕点A顺时针旋转90，
25、得ABQ，连接QK，则AQ=AP，QAP=90，AHF是等腰直角三角形，HAF=45，QAK=PAK=45，AK=AK，AQKAPK（SAS），QK=PK，四边形ABCD是正方形，ABD=ADB=45，由旋转性质知，ABQ=ADP=45，BQ=DP，QBK=90，BK2+BQ2=QK2，BK2+DP2=KP2，故D错误；故选：D二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。11（2021浙江八年级期末）平面直角坐标系中，点关于点成中心对称的点的坐标是_【答案】（-1，2）【分析】设Q（1，0），连结PQ并延长到点P，使PQPQ，设P（x，y），则x0，y0过P作PMx轴于点M，过P作PNx轴
26、于点N利用AAS证明QPNQPM，得出QNQM，PNPM，即1-x3-1，y2，求出x-1，y2，进而得到P的坐标【详解】解：如图，设Q（1，0），连结PQ并延长到点P，使PQPQ，设P（x，y），则x0，y0过P作PMx轴于点M，过P作PNx轴于点N在QPN与QPM中，QPNQPM（AAS），QNQM，PNPM，1-x3-1，y2，x-1，y2，P（-1，2）故答案为（-1，2）【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定与性质，准确作出点P（3，-2）关于点（1，0）对称的点P是解题的关键12（2021湖南师大附中高新实验中学）在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则称点P为“对等
27、点”已知一个二次函数的图像上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为_【答案】【分析】设这两个“对等点”的坐标为和，代入抛物线的解析式，两式相减，计算即可求得【详解】解：设这两个“对等点”的坐标为和，代入得，两式相减得，解得，故答案为：【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数以及关于原点对称的点的坐标，图象上点的坐标适合解析式13（2021江苏九年级一模）如图，ABC中，ABC=90，以AC为斜边在ABC的外部作等腰RtADC，若AB=，BD=，则BC=_【答案】【分析】本题可以将分散的条件通过旋转来集中到一起，将ABD绕点D旋转90，构造出等腰直角三角形来解决问题【
28、详解】解：如图，将ABD绕点D逆时针旋转90得到DCE，所以DCE=BAD，AB=CE=，因为ABC+ADE=180，所以BAD+BCD=180，所以BCD+DCE=180，所以B、C、E三点共线，所以BDE是等腰直角三角形，所以BE=2，所以，故答案为：14（2021凤翔县期中）在等边三角形ABC中，AC9，点O在AC上，且AO3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是【分析】先计算出OC6，根据等边三角形的性质得AC60，再根据旋转的性质得ODOP，POD60，根据三角形内角和和平角定义得1+2+A180，1+3+PO
29、D180，利用等量代换可得23，然后根据“AAS”判断AOPCDO，则APCO6【解析】如图，AC9，AO3，OC6，ABC为等边三角形，AC60，线段OP绕点D逆时针旋转60得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，ODOP，POD60，1+2+A180，1+3+POD180，1+2120，1+3120，23，在AOP和CDO中，A=C2=3OP=OD，AOPCDO（AAS），APCO6，故答案为：615（2021湖南长沙市九年级期中）如图，中，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，连接，则=_【答案】【分析】由直角三角形的性质可求CB=2AB，由旋转的性质可得BC=B1C1，AC
30、=AC1，由等腰三角形的判定和性质可得AB=BC1，即可求解【详解】如图，延长CA交B1C1于H，设AB=x ，CB=2AB=2x，将绕点A顺时针旋转得到，BC=B1C1=2x，AC=AC1=，AB1=x， ， ，故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键16（2021江都区期中）已知矩形ABCD，AB6，AD8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转（0360）得到矩形AEFG，当 时，GCGB【分析】当GBGC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据DAG60，即可得到旋转角的度数【解析】当GBGC时，点G在BC的垂直平分线上，
31、分两种情况讨论：当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，GCGB，GHBC，四边形ABHM是矩形，AMBH=12AD=12AG，GM垂直平分AD，GDGADA，ADG是等边三角形，DAG60，旋转角60；当点G在AD左侧时，同理可得ADG是等边三角形，DAG60，旋转角36060300故答案为：60或30017（2021四川成都市成都实外八年级期末）如图，将边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60得到正方形AEGF，连接EF，BF，点M，N分别为EF，BF的中点，连接MN，则线段MN的长为_【答案】2【分析】连接BE，根据点M，N分别为EF，BF的中点，可得MN是FBE的中
32、位线，求出BE即可；【详解】解：连接BE 正方形ABCD绕点A逆时针旋转60AB=AE，BAE=60ABE为等边三角形AB=BE=4在EBF中，点M，N分别为EF，BF的中点，MN是EBF的中位线，MNBE=2，故答案为：2【点睛】本题考查了旋转以及三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半18（2021四川成都市成都铁路中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，将ABO绕点B顺时针旋转到A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线yx上，再将A1BO1绕点A1顺时针旋转到A1B1Q2的位置，使点O1的对应点O2落在直线yx上，依次进行下去，若点A的坐标是（0，1），点
33、B的坐标是（，1），则点A12的横坐标是_【答案】9（+1）【分析】先求出点A2，A4，A6，A8的横坐标，探究规律即可解决问题【详解】解：根据将A1BO1绕点A1顺时针旋转到A1B1O2的位置可知：BA1O190，OAB90，当y1时，x，即AB，AOB60，如图，延长A2O2交x轴于E，则OEO290，OO22+13+，O2E=，OE=（+1），点A2的横坐标为（+1），同理可得：点A4的横坐标3（+1），点A6的横坐标（+1），点A8的横坐标6（+1），点A12的横坐标是6（+1），即9（+1）故答案为：9（+1）三、解答题（19-22题每题9分，其他每题10分，共66分）19（2021
34、山西九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应学习任务旋转对称把正n边形绕着它的中心旋转的整数倍后所得的正n边形重合我们说，正n边形关于其中心有的旋转对称一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角（0360）后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角的旋转对称图1就是具有旋转对称性质的一些图形任务：（1）如图2，正六边形关于其中心O有 的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有 的旋转对称；（2）图3是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转 与原图形重合；（3）请以图4为基本图案，在图5中利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使得设计出的图案是中心对称图形【答案】（1）
35、60；180；（2）72；（3）如图所示，是中心对称图形（答案不唯一）见解析.【分析】（1）根据正六边形的边数，即可得到正六边形关于其中心O有60的旋转对称，依据中心对称的概念，即可得到中心对称图形关于其对称中心有180的旋转对称；（2）依据3605=72，即可得到将该图形绕其中心至少旋转72与原图形重合；（3）利用平移、轴对称或旋转变换，即可设计出中心对称图形【详解】（1）正六边形关于其中心O有60的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有180的旋转对称；故答案为60；180；（2）360572，将该图形绕其中心至少旋转72与原图形重合；故答案为72；（3）如图5所示，是中心对称图形（答案不
36、唯一）【点睛】本题主要考查了平移、旋转和轴对称变换进行作图，解题时注意：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形20（2021福建三明市九年级一模）如图，Rt中，绕点顺时针旋转，得到，（1）求证：垂直平分；（2）是中点，连接，若，求四边形的面积 【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）由，得ABC=30，根据旋转角的定义，得ACD=60，故BCD=30，BCE=60，因此ABC=BCD，DB=DC，问题得证；（2）四边形ACFB的面积是三角形ACD面积的3倍，计算三角形ADC的面积即可【详解】（1），ABC=30，根据旋转角的定义，
37、得ACD=60，BCD=30，BCE=60，ABC=BCD，DB=DC，ACD=A=CDE=60BDE=60DE平分BDC点D在线段BC的垂直平分线上，DE垂直平分BC；（2）如图，过点D作DGAC，垂足为G，CA=CD，A=60，ACD是等边三角形，AD=CD=AC，DE垂直平分BC，DB=DC，FB=FC，DB=DC=DA=CA=AB，是中点，CF=DF=EF=DE，DB=DC=DA=CA= CF=DF=BF，四边形ACFD是菱形，四边形DCFB是菱形；四边形ACFB的面积是三角形ACD面积的3倍，AC=AD=2，AG=1，DG=，四边形ACFB的面积：3ACDG=32=321（2021全
38、国九年级专题练习）如图，在中，以为边向外作等边，把绕点D顺时针方向旋转后得到若（1）试判断的形状，并说明理由；（2）求的度数；（3）求的长【答案】（1）是等边三角形，理由见解析；（2）60；（3）12【详解】解：（1）是等边三角形理由如下：是由绕点D顺时针旋转得到的，A，C，E三点共线是等边三角形（2）是等边三角形，（3）是等边三角形，22（2021甘肃白银市九年级一模）如图1，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且EAF45，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是将ABE绕A点旋转90使得B与D重合，连接AG，由此得到 ，再证明 ，可得出结论，他的结
39、论应是 拓展延伸：如图2，等腰直角三角形ABC中，ABC90，ABBC，点G，H在边AC上，且GBH45，写出图中线段AG，GH，CH之间的数量关系并证明【答案】（1）BE=DG，EF=FG，EF=BE+DF；（2）GH2=AG2+CH2，证明见解析【分析】（1）结论：EF=BE+DF证明AFEAFG（SAS）即可解决问题（2）结论：GH2=AG2+CH2将BCH绕点B逆时针旋转90得到BAM证明MAG=90，BGHBGM（SAS）即可解决问题【详解】解：（1）结论：EF=BE+DF由旋转的性质可知：DG=BE，BAE=DAG，AE=AG，EAF=45，BAD=90，FAG=DAG+DAF=B
40、AE+DAF=45，FAG=EAF，AF=AF，AFEAFG（SAS），EF=FG，FG=DF+DG=DF+BE，EF=BE+DF（2）结论：GH2=AG2+CH2如图：将BCH绕点B逆时针旋转90得到BAMBA=BC，ABC=90，BAC=C=45，由旋转的性质可知：BH=BM，C=BAM=45，ABM=CBH，MAG=BAM+BAC=90，HBG=45，GBM=ABG+ABM=ABG+CBH=90-HBG=45，HBG=MBG，BG=BG，BGHBGM（SAS），GH=GM，MAG=90，AM2+AG2=GM2，GH2=AG2+CH223（2021苏州高新区第一初级中学校九年级二模）在平面
41、直角坐标系中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归地物线，点A叫做这条抛物线的回归点（1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；【答案】（1）是，见解析；（2）【分析】（1）当时，求得点，再解得点M关于原点对称的点，判断点是否在抛物线上，即可解题；（2）利用配方法解得点C的坐标，继而解得点C关于原点对称的点，再根据题意代入抛物线中，得到关于的一元一次方程，解方程即可【详解】解：（1）当时，点M关于原点对称的点，当时，在抛物线上，抛物线是回归抛物线；（2）由题意得，点C关于原点对称的点也在抛物线上，【点睛】本题考查抛物线的性质、抛物线的顶点、中心对称、判断点是否在抛物线上、求二次函数解析式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键24（2021山东临沂市九年级一模）如图1，点E为正方形内一点，现将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点G（1）试判断四边形是什么图形，并证明你的结论（2）连接，如图2若，试求的长；如图3，若，求证
