1、2021 年广西南宁市四大学区中考第二次模拟考试数学试卷年广西南宁市四大学区中考第二次模拟考试数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1若海平面以上 1045 米，记作+1045 米，则海平面以下 155 米，记作（ ） A1200 米 B155 米 C155 米 D1200 米 2下列图形，可以看作中心对称图形的是（ ） A B C D 3一个正比例
2、函数的图象经过（2，1） ，则它的表达式为（ ） Ay2x By2x C D 4下列计算正确的是（ ） A3ab2ab1 B （3a2）29a4 Ca6a2a3 D3a22a6a2 5不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A B C D 6设 a+2则（ ） A2a3 B3a4 C4a5 D5a6 7为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表： 一周做饭次数 4 5 6 7 8 人数 7 6 12 10 5 那么一周内该班学生的平均做饭次数为（ ） A4 B5 C6 D7 8从红，黄，蓝三顶不同颜色的帽子和黑，白两条不同颜色的围巾中，任取一顶帽
3、子和一条围巾搭配，恰 好取到红帽子和黑围巾的概率是（ ） A B C D 9如图，AB 是O 的直径，直线 DA 与O 相切于点 A，DO 交O 于点 C，连接 BC若ABC21， 则D 的度数为（ ） A46 B47 C48 D49 10 九章算术勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上 端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺，牵着绳索退行，在离木柱根部 8 尺处时绳索用尽，请问绳 索有多长？若设绳索长度为 x 尺，根据题意，可列方程为（ ） A82+x2（x3）2 B82+（x+3）2x2 C82+（x3）2x2 Dx2+（x3）282 11如图是
4、一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ） A12cm2 B15cm2 C24cm2 D30cm2 12已知二次函数 yx22bx+2b24c（其中 x 是自变量）的图象经过不同两点 A（1b，m） ，B（2b+c， m） ，且该二次函数的图象与 x 轴有公共点，则 b+c 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 132021 的倒数是 14因式分解：x2yy 15已知直线 mn，将一块含 30角的直角三角板 ABC 按如图方式放置（ABC30） ，其中 A，B 两
5、点分别落在直线 m，n 上，若120，则2 的度数为 16如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，已知BOC120，DC3cm，则 AC 的长为 cm 17 如图， 点 A 在反比例函数 y （x0） 的图象上， 点 B 在 x 轴负半轴上， 直线 AB 交 y 轴于点 C， 若 ，AOB 的面积为 6，则 k 的值为 18如图，O 的半径为 1，弦 AB1，点 P 为优弧 AB 上一动点，ACAP 交直线 PB 于点 C，则ABC 的最大面积是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出
6、文字说明，证明过程或演算步骤） 19 （6 分）计算： 20 （6 分）解方程：x24x+20 21 （8 分）如图，ABC 的顶点坐标分别为 A（1，3） 、B（4，2） 、C（2，1） （1）作出与ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出 A1、B1、C1的坐标； （2）以原点 O 为位似中心，在原点的另一侧画出A2B2C2，使 22 （8 分）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了 安全使用电瓶车专项宣传活动在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车 戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成统计图表 活动前骑电瓶车戴
7、安全帽情况统计表： 类别 人数 A 68 B 245 C 510 D 177 合计 1000 活动后骑电瓶车戴安全帽情况统计图： （1）宣传活动前，在抽取的市民中 类别的人数最多，占抽取人数的比例为 （2）该市约有 30 万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数； （3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为 178，比活动前增加了 1 人，因此交警 部门开展的宣传活动没有效果小明分析数据的方法是否合理？请谈谈你的看法 23 （8 分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在水轮赋中写道： “水能利物，轮乃 曲成” 如图，半径为 3m 的筒车O
8、按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点 A、B，筒车的 轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒若以某个盛水筒 P 刚浮出水面 时开始计算时间 （1）经过多长时间，盛水筒 P 首次到达最高点？ （2）浮出水面 3.4 秒后，盛水筒 P 距离水面多高？ （3）若接水槽 MN 所在直线是O 的切线，且与直线 AB 交于点 M，MO8m求盛水筒 P 从最高点开 始，至少经过多长时间恰好在直线 MN 上 （参考数据：cos43sin47，sin16cos74，sin22cos68） 24 （10 分）某企业接到一批帽子生产任务，按要求在 20 天内完成，约定这
9、批帽子的出厂价为每顶 8 元为 按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第 x 天生产的帽子数量为 y 顶，y 与 x 满足如下关系 式：y （1）小华第几天生产的帽子数量为 220 顶？ （2）如图，设第 x 天每顶帽子的成本是 P 元，P 与 x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画若小华第 x 天创造的利润为 w 元，求 w 与 x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？ （3）设（2）小题中第 m 天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第 m 天的利润至少多 49 元， 则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？ 25 （10 分） 【探索发现】 如图 1
10、，将ABC 沿中位线 EH 折叠，使点 A 的对称点 D 落在 BC 边上，再将BED 和DHC 分别沿 EF、HG 折叠，使点 B、C 均落在点 D 处，折痕形成一个四边形 EFGH小刚在探索这个问题时发现四 边形 EFGH 是矩形 小刚是这样想的： （1）请参考小刚的思路写出证明过程； （2）连接 AD，当 ADBC 时，直接写出线段 EF、BF、CG 的数量关系； 【理解运用】 （3）如图 2，在四边形 ABCD 中，ADBC，B90，AB8，DC10，ADBC，点 E 为 AB 的中 点，把四边形 ABCD 折叠成如图 2 所示的正方形 EFGH，顶点 C、D 落在点 M 处，顶点 A
11、、B 落在点 N 处，求 BC 的长 26 （10 分）如图 1，二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（2，0） ，B（6，0） ，C（0，6） ，点 P 是抛 物线上一点 （1）求抛物线的表达式； （2）在直线 BC 上方的抛物线上是否存在一点 P，使四边形 PCAB 面积最大，若存在，求此时直线 AP 的关系式，若不存在，说明理由； （3）如图 2，点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线 PQ，交 x 轴于点 Q，将APQ 绕点 A 逆时 针旋转得到APQ，且旋转角的正切值等于，当点 P 的对应点 P落在 y 轴上时，请直接写出点 P 的坐标 参考答案参考答案 一、
12、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1 B 2 B 3 C 4 B 5 A 6 C 7 C 8A 9 C 10 C 11 B 12 C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 14 y（x+1） （x1） 15 50 166 17 6 18 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题
13、，共小题，共 66 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19 解：原式16（）+41 2+41 1 20 解：x24x2 x24x+42 （x2）22 或 ， 21 解： （1）如图所示： A1（1，3） ，B1（4，2） ，C1（2，1） ； （2）根据 A（1，3） 、B（4，2） 、C（2，1） ， 以原点 O 为位似中心，在原点的另一侧画出A2B2C2，使， 则 A2（2，6） ，B2（8，4） ，C2（4，2） ；在坐标系中找出各点，画出图形即可， 结果如图所示 22 解： （1）宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴” （或 C 类）
14、的人数最多， 占抽取人数的百分比为100%51%， 故答案为：C，51%； （2）估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数为 305.31（万人） ； （3）小明的分析不合理 宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽所占的百分比为100%8.9%， 活动前“都不戴”安全帽所占的百分比为100%17.7%， 由于 8.9%17.7%， 因此交警部门开展的宣传活动有效果 23 解： （1）如图 1 中，连接 OA 由题意，筒车每秒旋转 360605， 在 RtACO 中，cosAOC AOC43， 27.4（秒） 答：经过 27.4 秒时间，盛水筒 P 首次到达最高点 （2）如图 2 中，盛水筒
15、P 浮出水面 3.4 秒后，此时AOP3.4517， POCAOC+AOP43+1760， 过点 P 作 PDOC 于 D， 在 RtPOD 中，ODOPcos6031.5（m） ， 2.21.50.7（m） ， 答：浮出水面 3.4 秒后，盛水筒 P 距离水面 0.7m （3）如图 3 中， 点 P 在O 上，且 MN 与O 相切， 当点 P 在 MN 上时，此时点 P 是切点，连接 OP，则 OPMN， 在 RtOPM 中，cosPOM， POM68， 在 RtCOM 中，cosCOM， COM74， POH180POMCOM180687438， 需要的时间为7.6（秒） ， 答：盛水筒
16、P 从最高点开始，至少经过 7.6 秒恰好在直线 MN 上 24 解： （1）若 20 x220，则 x11，与 0 x5 不符， 10 x+100220， 解得，x12， 故第 12 天生产了 220 顶帽子； （2）由图象得， 当 0 x10 时，P5.2； 当 10 x20 时，设 Pkx+b（k0） ， 把（10，5.2） ， （20，6.2）代入上式，得 ， 解得， P0.1x+4.2 0 x5 时，wy（8P）20 x（85.2）56x 当 x5 时，w 有最大值为 w280（元） 5x10 时，wy（8P）（10 x+100） （85.2）28x+280，当 x10 时，w 有最
17、大值，最大值为 560（元） ； 10 x20 时，wy（8P）（10 x+100）8（0.1x+4.2）x2+28x+380 当 x14 时，w 有最大值，最大值为 576（元） 综上，第 14 天时，利润最大，最大值为 576 元 （3）由（2）小题可知，m14，m+115，设第 15 天提价 a 元，由题意得 wy（8+aP）（10 x+100）8+a（0.1x+4.2）250（2.3+a） 250（2.3+a）57649 a0.2 答：第 15 天每顶帽子至少应提价 0.2 元 25 （1）证明：AEEB，AHHC， EHBC， 由折叠的性质可知：EFBC，HGBC， EFEH，HGE
18、H， EHGHGFHEFEFG90， 四边形 EFGH 是矩形 （2）解：结论：BF+CGEF 理由：如图中，连接 AD 由折叠的性质可知：BFDF，CGDG， BF+CGBD+CD（BD+CD）BC， AEEB，BFFD， EFAD， ADBC， EFBF+CG （3）解：如图中， 由折叠的性质可知：FGCD5， 四边形 EFGH 是正方形， EHGH5， AEEB4，B90， BH3， BEHGHGC90， C+GHC90，GHC+EHB90， CEHB， CGHHBE， ， ， HC， BCBH+CH 26 解： （1）把点 A（2，0） ，B（6，0） ，C（0，6）的坐标代入二次函数
19、 yax2+bx+c 得： ， 解得：， yx2+2x+6； （2）存在，理由如下： 如答图 1，过 P 作 PHx 轴交 BC 于 H， A（2，0） ，B（6，0） ，C（0，6） ， SABC6（2）624， 四边形 PCAB 面积最大，只需BCP 面积最大， 设 P（m，） ， 由 B（6，0） ，C（0，6）可得直线 BC 解析式为：yx+6， H（m，m+6） ，PH（）（m+6）， SBCP（）（xBxC）（）6， 当 m3 时，SBCP最大，即四边形 PCAB 面积最大，此时 P（3，） ， 设直线 AP 为 ykx+b， 将 A（2，0） ，P（3，） ，代入得： ， 解得：
20、， 直线 AP 的关系式是：yx+3； （3）P 在第一象限时，过 Q作 QDy 轴交 x 轴于 D，过 P作 PEx 轴交直线 DQ于 E，如 图： 旋转角的正切值等于， tanQAD，即， 设 QDm，则 ADm，AQm， AQm， A（2，0） ， ODAD2PE2，OQAQ2m2， AQPAQP90， QAD90AQDPQE， tanPQE，即， 可得 QE， PQPE， PQ， OQm2，PQ， P（m2，） ， 将 P（m2，）代入 yx2+2x+6 得： （m2）2+2（m2）+6， 解得 m， （m0 舍去） ， P（，） P 在第三象限时，过 Q作 QFy 轴交 x 轴于 D，过 P作 PFx 轴交 QD 于 F，如图： 设 QDn， 旋转角的正切值等于，即 tanQAD， ADn，AQn，OQn+2， AQn，ODAD+OAn+2PF， 同tanPQF可得， QFn+，PQn+， PQn+， P（n2，n） ， 将 P（n2，n）代入 yx2+2x+6 得： n（n2）2+2（n2）+6， 解得 n或 n（小于 0，舍去） ， P（，） 综上所述，点 P 的坐标为： （，）或（，）
