1、第八章第八章 向量的数量积与三角恒等变换向量的数量积与三角恒等变换 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1(cos 6sin 6)(cos 6sin 6)( ) A 3 2 B1 2 C.1 2 D. 3 2 解析 (cos 6sin 6)(cos 6sin 6) cos2 6sin 2 6cos 3 1 2. 答案 C 2向量 a(1，1)，b(1，2)，则(2ab) a( ) A1 B0 C1 D2 解析 2ab(2，2)(1，2)(1，0)， (2ab) a(1，0
2、) (1，1)1， 故选 C. 答案 C 3已知 sin(45 ) 5 5 ，则 sin 2( ) A4 5 B3 5 C.3 5 D.4 5 解析 sin(45 )(sin cos ) 2 2 5 5 ， sin cos 10 5 . 两边平方得 1sin 22 5，sin 2 3 5. 答案 B 4sin 163 sin 223 sin 253 sin 313 ( ) A1 2 B.1 2 C 3 2 D. 3 2 解析 sin 163 sin 223 sin 253 sin 313 sin(90 73 )sin(270 47 )sin(180 73 )sin(360 47 ) cos 7
3、3 (cos 47 )sin 73 (sin 47 ) (cos 73 cos 47 sin 73 sin 47 ) cos(73 47 ) cos 120 1 2. 答案 B 5已知正方形 ABCD 的边长为 1，AB a，BCb，ACc，则 abc 的模为( ) A0 B2 2 C. 2 D2 2 解析 |abc|AB BCAC|2AC|2|AC|2 2. 答案 D 6若向量 a(1，1)，b(2，5)，c(3，x)，满足条件(8ab) c30，则 x( ) A6 B5 C4 D3 解析 a(1，1)，b(2，5)， 8ab(8，8)(2，5)(6，3) 又(8ab) c30， (6，3)
4、 (3，x)183x30.x4. 答案 C 7为了得到函数 ysin 3xcos 3x 的图像，可以将函数 y 2cos 3x 的图像( ) A向右平移 4个单位 B向左平移 4个单位 C向右平移 12个单位 D向左平移 12个单位 解析 因为 ysin 3xcos 3x 2sin 3x 4 2sin3 x 12 ，又 y 2cos 3x 2sin 3x 2 2sin 3 x 6 ，所以应由 y 2cos 3x 的图像向右平移 12个单位得到 答案 C 8已知向量 a(1，0)，b(cos ，sin )， 2， 2 ，则|ab|的取值范围是( ) A0， 2 B(1， 2 C1，2 D 2，2
5、 解析 |ab|（1cos ）2sin2 22cos . 因为 2， 2 ，所以 cos 0，1 所以|ab| 2，2 答案 D 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项是符 合题目要求的，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9向量BA (4，3)，向量BC(2，4)，则( ) A.AC (2，1) B.CA CB0 CABC 为等腰三角形 DABC 为直角三角形 解析 BA (4，3)，BC(2，4)， AC BCBA(2，1)， CA CB(2，1) (2，4)0， C90 ，且|CA | 5，|CB|2 5，
6、|CA|CB|. ABC 是直角非等腰三角形 答案 ABD 10下面给出的关系式中正确的是( ) A0 a0 Ba bb a Ca2|a|2 D(a b)2a2 b2 解析 D 错误， (a b)2(|a|b| cos )2a2 b2 cos2 答案 ABC 11设函数 f(x)cos2 x 2 6 sin2 x 2 6 ，则下列结论正确的是( ) Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图像关于直线 x 8 3 对称 Cf(x)的一个零点为 x 6 Df(x)在 2， 内单调递减 解析 yf(x)cos x 3 ， 当 x 2， 时，x 3 5 6 ，4 3 ， 函数在该区间内不单调 答案
7、ABC 12关于函数 f(x)cos 2x 3 cos 2x 6 ，下列说法正确的是( ) Ayf(x)的最大值为 2 Byf(x)是以为最小正周期的周期函数 Cyf(x)在区间 24， 13 24 上单调递减 D将函数 y 2cos 2x 的图像向左平移 24个单位后，将与已知函数的图像重合 解析 f(x)cos 2x 3 cos 2x 2 3 cos 2x 3 sin 2x 3 2cos 2x 12 ， f(x)max 2，故 A 正确 T2 | 2 2 ，故 B 正确 f(x)的递减区间为 2k2x 122k(kZ) 即 k 24xk 13 24 (kZ)， k0 时， 24x 13 2
8、4 ，所以 C 正确 将函数 y 2cos 2x 向左平移 24个单位得 y 2cos 2 x 24 f(x)， D 不正确 答案 ABC 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13. 3tan 15 1 3tan 15 的值是_ 解析 3tan 15 3tan 15 1 tan 60 tan 15 1tan 60 tan 15 tan 45 1， 3tan 15 1 3tan 15 1. 答案 1 14函数 ysin 2x 3 sin 2x 在0，的单调递增区间是_ 解析 ysin 2x 3 sin 2x sin 2xcos 3cos 2xsin
9、 3sin 2x 1 2sin 2x 3 2 cos 2x sin 2x 3 . ysin 2x 3 的递增区间是 ysin 2x 3 的递减区间， 22k2x 3 3 2 2k，kZ， 12kx 7 12k，kZ， 令 k0，得 x 12， 7 12 . 答案 12， 7 12 15已知|a|2，|b|10， a，b120 ，则向量 b 在向量 a 方向上的投影数量是_ 解析 向量 b 在向量 a 方向上的投影数量为|b|cosa，b10cos 120 5. 答案 5 1 16已知向量 a3e12e2，b4e1e2，其中 e1(1，0)，e2(0，1)，则 a b_，a 与 b 夹角a，b的
10、余弦值为_ （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 解析 因为 e1(1，0)，e2(0，1)， 所以 a3e12e2(3，2)， b4e1e2(4，1)， 所以 a b(3，2) (4，1)12210， 设 a 与 b 的夹角为 ， 则 cos a b |a|b| 10 13 17 10 221 221 . 答案 10 10 221 221 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)已知 cos 4x 3 5，求 sin 2x2sin2x 1tan x 的值 解 sin 2x2sin2x 1tan x cos x 2si
11、n x（cos xsin x） cos xsin x sin 2x cos 2x 2 2cos2 x 4 1 2 9 251 7 25. 18(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)cos x(sin xcos x)1 2. (1)若 0 2，且 sin 2 2 ，求 f()的值； (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间 解 法一 (1)因为 0 2，sin 2 2 ， 所以 cos 2 2 . 所以 f() 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2. (2)因为 f(x)sin xcos xcos2x1 2 1 2sin 2x 1cos 2x 2 1 2 1 2sin 2x 1 2
12、cos 2x 2 2 sin 2x 4 ， 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 . 由 2k 22x 42k 2，kZ，得 k3 8 xk 8，kZ. 所以 f(x)的单调递增区间为 k3 8 ，k 8 ，kZ. 法二 f(x)sin xcos xcos2x1 2 1 2sin 2x 1cos 2x 2 1 2 1 2sin 2x 1 2cos 2x 2 2 sin 2x 4 . (1)因为 0 2，sin 2 2 ， 所以 4， 从而 f() 2 2 sin(2 4) 2 2 sin3 4 1 2. (2)f(x)的最小正周期 T2 2 . 由 2k 22x 42k 2，kZ，得 k3 8
13、 xk 8，kZ. 所以 f(x)的单调递增区间为k3 8 ，k 8，kZ. 19 (本小题满分 12 分)已知 a( 3， 1)， b 1 2， 3 2 ， 且存在实数 k 和 t， 使得 xa(t23)b， ykatb，且 xy，试求kt 2 t 的最小值 解 由题知|a|2，|b|1，a b 31 21 3 2 0，ab. 由 xy 得a(t23)b (katb)0， 即ka2(t33t)b2(tt2k3k)a b0， k|a|2(t33t)|b|20. |a|2，|b|1，kt 33t 4 ， kt 2 t 1 4(t 24t3)1 4(t2) 27 4. 即当 t2 时，kt 2 t
14、 有最小值7 4. 20(本小题满分 12 分)已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0. (1)若|ab| 2，求证：ab； (2)设 c(0，1)，若 abc，求 ， 的值 (1)证明 由题意得|ab|22， 即(ab)2a22a bb22. 又因为 a2b2|a|2|b|21， 所以 22a b2，即 a b0，故 ab. (2)解 因为 ab(cos cos ，sin sin )(0，1)， 所以 cos cos 0， sin sin 1， 得 cos cos()， 由 0，得 0，又 0，所以 5 6 ， 6 . 21(本小题满分 12 分)设函数 f(x)s
15、in x 6 sin x 2 ，其中 03.已知 f 6 0. (1)求 ； (2)将函数 yf(x)的图像上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)， 再将得到的图像向左 平移 4个单位，得到函数 yg(x)的图像，求 g(x)在 4， 3 4 上的最小值 解 (1)因为 f(x)sin x 6 sin x 2 ， 所以 f(x) 3 2 sin x1 2cos xcos x 3 2 sin x3 2cos x 3 1 2sin x 3 2 cos x 3sin x 3 . 由题设知 f 6 0， 所以 6 3k，kZ. 故 6k2，kZ， 又 03，所以 2. (2)由(1)得 f(
16、x) 3sin 2x 3 ， 所以 g(x) 3sin x 4 3 3sin x 12 . 因为 x 4， 3 4 ， 所以 x 12 3， 2 3 ， 当 x 12 3， 即 x 4时，g(x)取得最小值 3 2. 22 (本小题满分 12 分)已知 0， a(2sin xcos x， 2sin xcos x)， b(sin x， cos x)， 若 f(x)a b，且 f(x)的图像上相邻的两条对称轴之间的距离是 2. (1)求 的值； (2)求函数 f(x)在区间0， 2上的最大值和最小值 解 f(x)a b(2sin xcos x)sin x(2sin xcos x)cos x2sin2 x3sin xcos x cos2x1cos 2x3 2sin 2x 1 2(1cos 2x) 3 2(sin 2x cos 2x)1 2 3 2 2 sin(2x 4) 1 2. (1)函数 f(x)的图像上相邻的两条对称轴之间的距离是 2，函数 f(x)的最小正周期 T. 又0，1.f(x)3 2 2 sin 2x 4 1 2. (2)x0， 2，2x 4 4， 3 4 ，则当 2x 4 4，即 x0 时，f(x)取得最小值1；当 2x 4 2，即 x 3 8 时，f(x)取得最大值3 21 2 .
