1、第第 7 章章 三角函数三角函数 （时间：120 分钟 满分：150 分） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中只有一 项符合题目要求） 1.已知 为第二象限角，且 cos 3 5，则 tan 的值为（ ） A.4 3 B.3 4 C.3 4 D.4 3 解析 是第二象限角，sin 1cos24 5，tan sin cos 4 3.故选 A. 答案 A 2.英国浪漫主义诗人 Shelley（雪莱）在西风颂结尾写道“If Winter comes，can Spring be far behind？”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节
2、变迁的 24 节气.它将黄道（地球 绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆）分为 24 等份，每等份为一个节气.2019 年 12 月 22 日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度 数约为（ ） A. 4 B. 3 C. 3 D. 4 解析 由题意可得每一等份为2 24 12，从冬至到次年立春经历了 3 等份，即 12 3 4. 答案 A 3.设 cos（） 3 2 3 2 ，那么 sin（2）的值为（ ） A. 3 2 B.1 2 C.1 2 D. 3 2 解析 cos（）cos 3 2 ，故 cos 3 2 ，bc B.cba C.cab D.bca
3、 解析 atan 5 tan 50，csin 5 sin 51，csin 5 sin 50ac. 答案 D 8.为了得到 ycos 2x 4 的图象，只需将函数 ysin 2x 的图象（ ） A.向右平移3 4 个单位 B.向右平移3 8 个单位 C.向左平移3 4 个单位 D.向左平移3 8 个单位 解析 将函数 ysin 2xcos 2x 2 的图象向左平移3 8 个单位，可得 ycos 2x3 4 2 cos 2x 4 的图象，故选 D. 答案 D 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项 符合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不
4、全的得 3 分，有选错的不得分） 9.下列命题中正确的是（ ） A.若角 是第二象限角，则 2可能在第三象限 B.cos 3 2 cos 5 2 0 C.若 tan 0，则 为第二象限角 D.锐角 终边上一点坐标为 P（cos 2，sin 2） ，则 2 解析 对于 A，角 是第二象限角， 2为第一象限角或第三象限角，故 A 正确. 对于 B，cos 3 2 cos 5 2 sin sin 2sin ，故 B 不正确. 对于 C，同时满足 tan 0，则 为第二象限角，故 C 正确. 对于 D， 因为锐角 终边上一点坐标为 P （cos 2， sin 2） ， 由三角函数定义可得 tan si
5、n 2 cos 2 tan 2tan（2） ，又因为 0 2，所以 2，故 D 正确. 故选 ACD. 答案 ACD 10.在平面直角坐标系 xOy 中，角 顶点在原点 O，以 x 正半轴为始边，终边经过点 P（1，m） （m0） ，则下列各式的值恒大于 0 的是（ ） A.sin tan B.cos sin C.sin cos D.sin cos 解析 由题意知 sin 0，tan 0；B 中，cos sin 0；C 中，sin cos 0；D 中，sin cos 符号不确定.故选 AB. 答案 AB 11.出生在美索不达米亚的天文学家阿尔 巴塔尼大约公元 920 年左右给出了一个关于垂直高
6、度 为 h 的日晷及其投影长度 s 的公式：shsin（90 ） sin ，即等价于现在的 shcot ，我们称 y cot x 为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是（ ） A.函数 ycot x 的最小正周期为 2 B.函数 ycot x 关于（，0）对称 C.函数 ycot x 在区间（0，）上单调递减 D.函数 ytan x 的图象与函数 ycot x 的图象关于直线 x 2对称 解析 ycot xcos x sin x 1 tan x，画出函数图象，如图所示： 故函数的最小正周期为 ，关于（，0）对称，在区间（0，）上单调递减. 且函数 ytan x 的图象与函数 ycot
7、x 的图象不关于直线 x 2对称.故选 BC. 答案 BC 12.已知函数 f（x）sin（3x） 2 2 的图象关于直线 x 4对称，则（ ） A.函数 f x 12 为奇函数 B.函数 f（x）在 12， 3 上单调递增 C.若|f（x1）f（x2）|2，则|x1x2|的最小值为 3 D.函数 f（x）的图象向右平移 4个单位长度得到函数 ycos 3x 的图象 解析 因为直线 x 4是 f（x）sin（3x） 2 2 的对称轴， 所以 3 4 2k （kZ） ， 则 4k （kZ） ， 当 k0 时， 4， 则 f （x） sin 3x 4 ， 对于 A，f x 12 sin 3 x 1
8、2 4 sin 3x，因为 sin（3x）sin 3x，所以 f x 12 为奇 函数，故 A 正确； 对于 B， 22k3x 4 22k（kZ） ，即 12 2k 3 x0， 0， 0 2， 则 ， sin （本题第一空 2 分，第二空 3 分）. 解析 由图知 A2，T2 t 2t ，所以 2 T 2，f（x）2sin（2x） ，又 f 2 2sin （）6 5，所以 sin 3 5. 答案 2 3 5 15.已知函数 f（x）sin x 3 （01）.若函数 f（x）的周期是 4，则函数|f（x）|的单调 递增区间为 . 解析 函数 f（x）的周期是 4，所以 T2 4，1 2，f（x）
9、sin 1 2x 3 ，|f（x）|的周 期为 2，由 01 2x 3 2， 2 3 x0） ，将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 2后与单位 圆交于点 Q，过 Q 作 x 轴的垂线交 x 轴于 M. （1） 求 sin ，tan ； （2）求MOQ 的面积 S. 解 （1）由已知可得 3 5 2 y2P1， yP0，yP4 5，sin 4 5 ，cos 3 5， tan sin cos 4 5 3 5 4 3. （2）因为 sin 4 5 ，cos 3 5；所以 xQcos 2 sin 4 5. yQsin 2 cos 3 5 ， 所以MOQ 的面积 S1 2|xQ| |yQ|
10、1 2 4 5 3 5 6 25. 19.（本小题满分 12 分）已知函数 f（x）2sin 2x 3 1. （1）画出函数在一个周期上的图象； （2）将函数 yf（x）的图象向右平移 6个单位，再向下平移 1 个单位，得到函数 yg（x） ， 求 yg x 12 在 0，3 4 上的值域. 解 （1） （五点法作图） 2x 3 0 2 3 2 2 x 6 12 3 7 12 5 6 f( ) x 1 3 1 1 1 （2）g（x）f x 6 12sin 2 x 6 3 112sin 2x， 则 yg x 12 2sin 2x 6 ，x 0，3 4 ，所以 2x 6 6， 4 3 ，从而 g
11、x 12 在 0，3 4 上 的值域为 3，2. 20.（本小题满分 12 分）已知函数 f（x）sin x，xR.现有如下两种图象变换方案： 方案 1：将函数 f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象 向左平移 6个单位长度； 方案 2：将函数 f（x）的图象向左平移 3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原 来的一半，纵坐标不变. 请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数 g（x）的解析式，并解决如下问题： （1）画出函数 g（x）在长度为一个周期的闭区间上的图象； （2）请你研究函数 g（x）的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结
12、论. 解 方案 1：将函数 f（x）sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到 ysin 2x，再将 ysin 2x 图象向左平移 6个单位长度得到 ysin 2 x 6 sin 2x 3 ， 即 g（x）sin 2x 3 . 方案 2： 将函数 f （x） sin x 的图象向左平移 3个单位长度得到 ysin x 3 ， 再将 ysin x 3 图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到 ysin 2x 3 ，即 g（x）sin 2x 3 ， 所以无论在何种方案下所得的函数都是 g（x）sin 2x 3 ， （1）如图是函数 g（x）sin 2x 3 在0，这
13、一周期上的图象： （2）函数 g（x）sin 2x 3 定义域：R；值域：1，1；周期：T2 2 ； 奇偶性：因为 g（0）sin 3 3 2 0， 1，所以 g（x）不具有奇偶性. 单调性：令 22k2x 3 22k（kZ） ， 解得5 12kx 12k（kZ） ， 即函数在 5 12k， 12k （kZ）上单调递增； 同理可得函数的单调递减区间为 12k， 7 12k （kZ）. 21. （本小题满分 12 分） 弹簧振子的振动是简谐振动.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中， 时间 t（单位：s）与位移 y（单位：mm）之间的对应数据记录如下表： t 0.0 0 0.0 5 0.1 0
14、0.1 5 0.2 0 0.2 5 0.3 0 0.3 5 0.4 0 0.4 5 0.5 0 0.5 5 0.6 0 y 20. 0 17. 8 10. 1 0 10. 0 17. 7 20. 0 17. 7 10. 0 0 10. 1 17. 8 20. 0 （1）试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式； （2）画出该函数在 t0，0.6的函数图象； （3）在整个振动过程中，求位移为 10 mm 时 t 的取值集合. 解 （1）设函数解析式为 yAsin（t） ，t0， 由表格可知 A20，T0.6，则 2 T 2 0.6 10 3 ， 即 y20sin 10 3 t ， 由
15、函数图象过点（0，20） ，则2020sin ，即 sin 1，可取 2， 则这个振子的位移关于时间的函数解析式为 y20sin 10 3 t 2 ，t0. （2）列表： t 0 0.15 0.3 0.45 0.6 10 3 t 2 2 0 2 3 2 y 20 0 20 0 20 由表格数据知 y20sin 10 3 t 2 ，t0，0.6的图象所下图所示. （3）由题意得 20sin 10 3 t 2 10， 即 sin 10 3 t 2 1 2， 则10 3 t 2 62k1，k1Z 或 10 3 t 2 5 6 2k2，k2Z， 化简得 t1 5 3 5k1，k1Z 或 t 2 5 3
16、 5k2，k2Z， 又 t0，0.6，则 t 为 0.2，0.4， 所以在整个振动过程中，位移为 10 mm 时 t 的取值集合为0.2，0.4. 22.（本小题满分 12 分）已知函数 f（x）Asin（x）B A0，0，| | 0）的最小正周期为2 3 ，当 x 0， 3 时，方程 f（nx）m 恰有两个不同的解，求实数 m 的取值范围. 解 （1）设 f（x）的最小正周期为 T，则 T11 6 6 2，由 T2 得 1. 又由 BA3， BA1，解得 A2， B1. 令 5 6 22k（kZ） ， ， 即5 6 22k（kZ） ，解得 32k（kZ）. |0，n3. 令 t3x 3，x 0， 3 ， t 3， 2 3 ， 由 2sin t1m，得 sin tm1 2 ，ysin t 的图象如图. 若m1 2 sin t 在 3， 2 3 上有两个不同的解，则m1 2 3 2 ，1 ， 即 3 2 m1 2 1，解得 31m3，方程 f（nx）m 在 x 0， 3 恰有两个不同的解时， m)31，3 ，故实数 m 的取值范围是)31，3 .
