1、 1 / 18 专题专题 21 与圆有关的压轴题与圆有关的压轴题 一、一、填空填空题题 1 （ （2021 广西玉林市广西玉林市 中考真题）中考真题）如图、在正六边形ABCDEF中，连接线AD，AE，AC，DF，DB， AC与BD交于点M，AE与DF交于点为N，MN与AD交于点O，分别延长AB，DC于点G，设 3AB 有以下结论：MNAD； 2 3MN ；DAG 的重心、内心及外心均是点M；四边形 FACD绕点O逆时针旋转30与四边形ABDE重合则所有正确结论的序号是_ 2 （ （2021 内蒙古通辽市内蒙古通辽市 中考真题）中考真题）如图，AB是O 的弦，2 3AB ，点 C 是O 上的一个
2、动点，且 60ACB，若点 M，N 分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是_ 3 （ （2021 黑龙江中考真题）黑龙江中考真题）如图，在Rt AOB 中，90AOB，4OA，6OB，以点O为圆心，3 为半径的O，与OB交于点C，过点C作CDOB交AB于点D，点P是边OA上的点，则PCPD 的最小值为_ 4 （ （2021 湖南岳阳市湖南岳阳市 中考真题）中考真题）如图，在Rt ABC中，90C ，AB的垂直平分线分别交AB、AC 于点D、E，8BE ，O为BCE的外接圆，过点E作O的切线EF交AB于点F，则下列结论正 确的是_ （写出所有正确结论的序号） AEBE；AEDCBD
3、；若40DBE，则 DE的长为 8 9 ； DFEF EFBF ；若6EF ，则2.24CE 5 （ （2020 内蒙古呼和浩特市内蒙古呼和浩特市 中考真题）中考真题）已知AB为O 的直径且长为2r，C为O 上异于 A，B 的点， 2 / 18 若AD与过点 C 的O 的切线互相垂直， 垂足为 D 若等腰三角形AOC的顶角为 120 度， 则 1 2 CDr； 若AOC为正三角形，则 3 2 CDr ；若等腰三角形AOC的对称轴经过点 D，则CDr；无论 点 C 在何处，将ADC沿AC折叠，点 D 一定落在直径AB上，其中正确结论的序号为_ 6 （ （2019 湖南岳阳市湖南岳阳市 中考真题）
4、中考真题）如图，AB 为O 的直径，点 P 为 AB 延长线上的一点，过点 P 作O 的 切线 PE，切点为 M，过 A、B 两点分别作 PE 的垂线 AC、BD，垂足分别为 C、D，连接 AM，则下列结论 正确的是_.(写出所有正确结论的序号)AM 平分CAB；AM2ACAB；若 AB4，APE 30 ，则BM的长为 3 ；若 AC3，BD1，则有 CMDM3. 二、解答题二、解答题 1 （ （2021 黑龙江中考真题）黑龙江中考真题） 已知 O是ABC的外接圆，AB为O的直径， 点N为AC的中点， 连接ON 并延长交O于点E，连接BE，BE交AC于点D （1）如图 1，求证： 1 135
5、2 CDEBAC； （2）如图 2，过点D作DGBE，DG交AB于点F，交O于点G，连接OG，OD，若D GBD， 求证：/ /OGAC； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接AG，若 2 5 5 DN ，求AG的长 3 / 18 2 （ （2021 江苏扬州市江苏扬州市 中考真题）中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段2BC ，使用作图工具作30BAC，尝试操作后思考： （1）这样的点 A 唯一吗？ （2）点 A 的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 A 的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点 B、C 除 外） ，小
6、华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 1） （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决 该弧所在圆的半径长为_；ABC面积的最大值为_； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图 1 所示的弓形内部，我们 记为 A ，请你利用图 1 证明30BAC； （3） 请你运用所学知识， 结合以上活动经验， 解决问题： 如图 2， 已知矩形ABCD的边长2AB ，3BC ， 点 P 在直线CD的左侧，且 4 tan 3 DPC 线段PB长的最小值为_；若 2 3 PCDPAD SS，则线段PD长为_ 4 / 18 3（2021 浙江温州市浙江温州市 中考真题）中考真题）
7、如图， 在平面直角坐标系中， M经过原点O， 分别交x轴、y轴于2,0A， 0,8B，连结AB直线CM分别交M于点D，E（点D在左侧） ，交x轴于点17,0C，连结AE （1）求M的半径和直线CM的函数表达式 （2）求点D，E的坐标 （3）点P在线段AC上，连结PE当AEP与OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长 4 （ （2021 北京中考真题）北京中考真题）在平面直角坐标系 中，的半径为 1，对于点和线段，给出如下定 义： 若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点） ， 则称线段是 的以点为中心的“关联线段” （1）如图，点的横纵坐标都是整数在线段 中，的以点为中心的“关联线
8、段”是_； （2）是边长为 1 的等边三 角形，点，其中若是的以点为中心的“关联线段”，求 的值； （3）在中， 若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应 的长 xOyO ABC BCAOBC ,B C,B C BCO A 112233 ,A B C B C B C 112233 ,BC B C B COAABC 0,At0t BCOA tABC 1,2ABACBCOAOA BC 5 / 18 5 （ （2021 江苏泰州市江苏泰州市 中考真题）中考真题）如图，在O 中，AB 为直径，P 为 AB 上一点，PA1，PBm（m 为常 数，且 m0） 过点 P 的弦 CD
9、AB， Q 为BC上一动点 （与点 B 不重合） ， AHQD， 垂足为 H连接 AD、 BQ （1）若 m3求证：OAD60 ；求 BQ DH 的值； （2）用含 m 的代数式表示 BQ DH ，请直接写出 结果； （3）存在一个大小确定的O，对于点 Q 的任意位置，都有 BQ22DH2+PB2的值是一个定值，求此 时Q 的度数 6 （ （2021 浙江台州市浙江台州市 中考真题）中考真题）如图，BD 是半径为 3 的O 的一条弦，BD42，点 A 是O 上的一 个动点（不与点 B，D 重合） ，以 A，B，D 为顶点作平行四边形 ABCD （1）如图 2，若点 A 是劣弧BD的中点求证：平
10、行四边形 ABCD 是菱形；求平行四边形 ABCD 的面 积 （2）若点 A 运动到优弧BD上，且平行四边形 ABCD 有一边与O 相切 求 AB 的长；直接写出平行四边形 ABCD 对角线所夹锐角的正切值 6 / 18 7 （ （2021 四川成都市四川成都市 中考真题）中考真题）如图，AB为 O的直径，C 为O上一点，连接,AC BC，D 为AB延 长线上一点，连接CD，且BCDA （1）求证：CD是O的切线； （2）若O的半径为5，ABC的面积为2 5，求CD的长； （3）在（2）的条件下，E 为O上一点，连接CE交线段OA于点 F，若 1 2 EF CF ，求BF的长 8 （ （202
11、1 广西来宾市广西来宾市 中考真题）中考真题）如图，已知AD，EF是 O的直径， 6 2AD ， O与OABC的 边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，AFEOCD （1）求证：CD是O的切线； （2）若1GF ，求cosAEF的值； （3）在（2）的条件下，若ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交O于点N，求 AB NH 的值 7 / 18 9（2021 四川宜宾市四川宜宾市 中考真题）中考真题） 如图 1， D 为O 上一点， 点 C 在直径 BA 的延长线上， 且CDACBD （1）判断直线 CD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 tanADC
12、 1 2 ，AC2，求O 的半径； （3） 如图 2，在（2）的条件下， ADB 的平分线 DE 交O 于点 E，交 AB 于点 F， 连结 BE 求 sinDBE 的值 10 （ （2021 黑龙江绥化市黑龙江绥化市 中考真题）中考真题）如图，在ABC中，ABAC ，以AB为直径的O与BC相交于 点,D DEAC，垂足为E （1）求证：DE是O的切线； （2）若弦MN垂直于AB，垂足为 1 ,3 4 AG GMN AB ，求O的半径； （3）在（2）的条件下，当36BAC时，求线段CE的长 8 / 18 11 （ （2021 湖南永州市湖南永州市 中考真题）中考真题）如图 1，AB是 O的直
13、径，点 E 是O上一动点，且不与 A，B 两点重 合，EAB的平分线交O于点 C，过点 C 作CDAE，交AE的延长线于点 D （1）求证：CD是O的切线； （2）求证： 2 2ACAD AO； （3）如图 2，原有条件不变，连接,BE BC，延长AB至点 M，EBM的平分线交AC的延长线于点 P， CAB的平分线交CBM的平分线于点 Q求证：无论点 E 如何运动，总有PQ 12 （ （2021 内蒙古呼和浩特市内蒙古呼和浩特市 中考真题）中考真题）已知AB是O 的任意一条直径， （1）用图 1，求证：O 是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形； （2）已知O 的面积为4，直线CD与O 相切
14、于点 C，过点 B 作BDCD，垂足为 D，如图 2，求证： 2 1 2 2 BCBD；改变图 2 中切点 C 的位置，使得线段ODBC时， 2 2OD 9 / 18 13 （ （2021 湖北黄石市湖北黄石市 中考真题）中考真题）如图，PA、PB是 O的切线，A、B是切点，AC是O的直径， 连接OP，交O于点D，交AB于点E （1）求证：/BC OP； （2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16 3，求阴影部分的面积； （3）若 1 sin 3 BAC，且 2 3AD ，求切线PA的长 14 （ （2021 黑龙江大庆市黑龙江大庆市 中考真题）中考真题）如图，已知AB是 O的直
15、径BC是O的弦，弦ED垂直AB于 点F，交BC于点G过点C作O的切线交ED的延长线于点P （1）求证：PCPG； （2）判断 2 PGPD PE 是否成立？若成立，请证明该结论； （3）若G为BC中点，5OG ， 5 sin 5 B ，求DE的长 10 / 18 15 （ （2021 广西柳州市广西柳州市 中考真题）中考真题） 如图， 四边形ABCD中，/, 1,5AD BC ADAB ADABDC， 以 A 为圆心，AD为半径作圆， 延长CD交A于点 F， 延长DA交A于点 E， 连结BF， 交DE于点 G （1）求证：BC为A的切线； （2）求cos EDF的值； （3）求线段BG的长 1
16、6 （ （2021 江西中考真题）江西中考真题）如图 1，四边形ABCD内接于 O，AD为直径，过点C作CEAB于点E， 连接AC （1）求证：CADECB； （2）若CE是O的切线，30CAD，连接OC，如图 2 请判断四边形 ABCO 的形状，并说明理由；当 AB=2 时，求 AD， AC 与CD围成阴影部分的面积 11 / 18 17（2021 山东枣庄市山东枣庄市 中考真题）中考真题） 如图，O是ABC的外接圆， 点O在BC边上， BAC的平分线交O 于点D，连接BD，CD，过点D作O的切线与AC的延长线交于点P （1）求证：/DP BC； （2）求 证：ABDDCP； （3）当5cm
17、AB，12cmAC 时，求线段PC的长 18 （ （2021 山东泰安市山东泰安市 中考真题）中考真题） 如图 1， O 为半圆的圆心， C、 D 为半圆上的两点， 且 连接 并延长，与的延长线相交于点 E （1）求证：； （2）与，分别交于点 F，H 若，如图 2，求证：；若圆的半径为 2，如图 3，求的值 BDCD AC BD CDEDADOCBC CFCHCF AFFO AH1BD AC 12 / 18 19 （ （2021 四川自贡市四川自贡市 中考真题）中考真题）如图，点 D 在以 AB 为直径的O 上，过 D 作O 的切线交 AB 延长线 于点 C，于点 E，交O 于点 F，连接
18、AD，FD （1）求证：； （2）求证： ； （3）若，求 EF 的长 20 （ （2021 新疆中考真题）新疆中考真题）如图，AC 是O 的直径，BC，BD 是O 的弦，M 为 BC 的中点，OM 与 BD 交 于点 F，过点 D 作DEBC，交 BC 的延长线于点 E，且 CD 平分ACE （1）求证：DE 是O 的切线； （2）求证：CDEDBE； （3）若6DE ， 2 tan 3 CDE，求 BF 的长 AECDDAEDAC DF ACAD DC 1 sin 4 C 4 10AD 13 / 18 21 （ （2021 湖南长沙市湖南长沙市 中考真题）中考真题）如图，点O为以AB为直径
19、的半圆的圆心，点M，N在直径AB上， 点P，Q在AB上，四边形MNPQ为正方形，点C在QP上运动（点C与点P，Q不重合） ，连接BC并 延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ （1）求sinAOQ的值； （2）求 AM MN 的值； （3）令MEx，QDy，直径2ABR（0R，R是 常数） ，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围 22 （ （2021 浙江宁波市浙江宁波市 中考真题）中考真题）如图 1，四边形ABCD内接于 O，BD为直径，AD上存在点 E，满 足AE CD ，连结BE并延长交CD的延长线于点 F，BE与AD交于点 G （1） 若DBC， 请用含的
20、代数式表列AGB （2） 如图 2， 连结,CE CEBG 求证；EFDG （3）如图 3，在（2）的条件下，连结CG，2AD 若 3 tan 2 ADB，求FGD的周长求CG 的最小值 14 / 18 23 （ （2020 柳州市柳林中学中考真题）柳州市柳林中学中考真题）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上的一点，连接 AC、BC，OD BC 于点 E，交O 于点 D，连接 CD、AD，AD 与 BC 交于点 F，CG 与 BA 的延长线交于点 G （1）求证：ACDCFD； （2）若CDAGCA，求证：CG 为O 的切线； （3）若 sinCAD，求 tanCDA 的值 24 （ （20
21、20 四川四川绵阳市绵阳市中考真题）中考真题）如图，在O 中，弦 AB 与直径 CD 垂直，垂足为 M，CD 的延长线上有 一点 P，满足PBDDAB过点 P 作 PNCD，交 OA 的延长线于点 N，连接 DN 交 AP 于点 H （1）求证：BP 是O 的切线； （2）如果 OA5，AM4，求 PN 的值； （3）如果 PDPH，求证：AHOP HPAP 1 3 15 / 18 25 （ （2020 内蒙古鄂尔多斯市内蒙古鄂尔多斯市 中考真题）中考真题）我们知道，顶点坐标为(h，k)的抛物线的解析式为 ya（xh） 2+k （a0） 今后我们还会学到，圆心坐标为(a，b)，半径为 r 的圆
22、的方程（xa）2+（yb）2r2，如：圆心 为 P(2，1)，半径为 3 的圆的方程为（x+2）2+（y1）29 （1）以 M(3，1)为圆心，为半径的圆的方程为 （2）如图，以 B(3，0)为圆心的圆与 y 轴相切于原点，C 是B 上一点，连接 OC，作 BDOC，垂足为 D，延长 BD 交 y 轴于点 E，已知 sinAOC连接 EC，证明：EC 是B 的切线； 在 BE 上是否存在一点 Q，使 QBQCQEQO？若存在，求点 Q 的坐标，并写出以 Q 为圆心，以 QB 为半径的Q 的方程；若不存在，请说明理由 26 （ （2020 辽宁盘锦市辽宁盘锦市 中考真题）中考真题）如图，是的直径
23、， 是的弦，交于点，连接 ，过点作，垂足为， （1）求证：； （2）点在的延长线上，连接 求证：与相切；当时，直接写出的长 3 3 5 BCOADOADBCE ,AB CD EEFABFAEFD ADBCGBC,2AGDAGD AGO 2 ,4 5 AF CE BF CG 16 / 18 27 （ （2020 江苏常州市江苏常州市 中考真题）中考真题）如图 1，I 与直线 a 相离，过圆心 I 作直线 a 的垂线，垂足为 H，且交 I 于 P、Q 两点（Q 在 P、H 之间） 我们把点 P 称为I 关于直线 a 的“远点”，把的值称为I 关于直线 a 的“特征数” （1）如图 2，在平面直角坐
24、标系中，点 E 的坐标为，半径为 1 的O 与两坐标轴交于点 A、B、 C、D过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m，则O 关于直线 m 的“远点”是点_（填“A”、“B”、“C”或 “D”） ，O 关于直线 m 的“特征数”为_；若直线 n 的函数表达式为，求关于直 线 n 的“特征数”； （2）在平面直角坐标系中，直线 l 经过点，点 F 是坐标平面内一点，以 F 为圆心，为半径作F若F 与直线 l 相离，点是F 关于直线 l 的“远点”，且F 关于直线 l 的“特征数”是，求直线 l 的函数表达式 PQ PH xOy0,4 34yxO xOy1,4M 2 1,0N 4 5 17 / 18
25、28 （ （2020 湖北咸宁市湖北咸宁市 中考真题）中考真题）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形 理解： （1）若四边形是对余四边形，则与的度数之和为_；证明： （2）如图 1，是的直径，点在上，相交于点 D 求证：四边形是对余四边形； 探究： （3）如图 2，在对余四边形中，探究线段，和之间 有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由 29 （ （2020 陕西中考真题）陕西中考真题）问题提出 （1）如图 1，在 RtABC 中，ACB90 ，ACBC，ACB 的平分线交 AB 于点 D过点 D 分别作 DE AC，DFBC垂足分别为 E，F，则图 1 中与线段 CE 相等的线段是_
26、问题探究 （2）如图 2，AB 是半圆 O 的直径，AB8P 是上一点，且，连接 AP，BPAPB 的平 分线交 AB 于点 C，过点 C 分别作 CEAP，CFBP，垂足分别为 E，F，求线段 CF 的长 问题解决 （3）如图 3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图已知O 的直径 AB70m，点 C 在O 上，且 CA CB P 为 AB 上一点， 连接 CP 并延长， 交O 于点 D 连接 AD， BD 过点 P 分别作 PEAD， PFBD， 重足分别为 E，F按设计要求，四边形 PEDF 内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分 为绿化区设 AP 的长为 x（m） ，阴
27、影部分的面积为 y（m2） 求 y 与 x 之间的函数关系式； 按照“少儿活动中心”的设计要求， 发现当 AP 的长度为 30m 时， 整体布局比较合理 试求当 AP30m 时 室 ABCDAC MNO , ,A B CO AMCN ABCD ABCDABBC60ABC ADCDBD ABPB2PA 18 / 18 内活动区（四边形 PEDF）的面积 30 （ （2020 湖北鄂州市湖北鄂州市 中考真题）中考真题）如图所示：与 的边相切于点 C，与、分别交于 点 D、E，是的直径连接，过 C 作交于 G，连接、， 与交于点 F （1）求证：直线与相切； （2）求证：； （3）若 时，过 A 作交于 M、N 两点（M 在线段上） ，求的长 OABCBCACAB /DE OBDCOOE/CG OEODGECDG ECABOAE EDAC EF 1 3,tan 2 EFACE/AN CEOANAN
