1、 2019-2020 学年山西省晋中市学年山西省晋中市高三高三上第一次月考数学试卷（文科） （上第一次月考数学试卷（文科） （9 月份）月份） 一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|xa，Bx|x23x+20，若 ABB，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 Ca2 Da2 2 （5 分）下列选项中，说法正确的是（ ） A命题“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0” B命题“pq
2、为真”是命题“pq 为真”的充分不必要条件 C命题“若 am2bm2，则 ab”是假命题 D命题“在ABC 中，若 sinA，则 A”的逆否命题为真命题 3（5 分） 已知命题， 命题 q： xR， ex1， 则下列为真命题的是 （ ） Ap（q） B （p）（q） C （p）q Dpq 4 （5 分）设 a，b，clog32，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 5 （5 分）cos105cos15（ ） A B C D 6 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，f（x+1）f（1x） ，且当 x0，1 时，f（x）lo
3、g2（x+1） ，则 f（31）（ ） A0 B1 C1 D2 7 （5 分）若 tan（）2，则 tan（2）等于（ ） A2 B C2+ D 8 （5 分）将函数 f（x）2sin（x+） （0）的图象向右平移个单位长度，得到函数 yg（x） 的图象，若 yg（x）在上为增函数，则 的最大值为（ ） A2 B3 C4 D6 9 （5 分）函数的导函数在，上的图象大致是（ ） A B C D 10 （5 分）为了得到 y2cos 2x 的图象，只需把函数 ysin 2xcos2x 的图象（ ） A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 11 （5
4、 分）已知函数 f（x）的定义域为1，5，部分对应值如表 x 1 0 2 4 5 f（x） 1 2 0 2 1 f（x）的导函数 yf（x）的图象如图所示下列关于函数 f（x）的命题： 函数 f（x）在0，1是减函数； 如果当 x1，t时，f（x）的最大值是 2，那么 t 的最大值为 4； 函数 yf（x）a 有 4 个零点，则 1a2； 其中真命题的个数是（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 12 （5 分）已知函数 f（x），若关于 x 的方程f（x）2+mf（x）+m10 恰有 3 个不同的实数解， 则实数 m 的取值范围是（ ） A （，2）（2，+） B （1，+） C （
5、1，1） D （1，e） 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x），若 f（x）1，则 x 14 （5 分）曲线 y2xx3在 x1 的处的切线方程为 15 （5 分）设，不等式 sincos2m0 对满足条件的 ， 恒成立，则实数 m 的最小 值为 16 （5 分）已知 f（x）ax3+3x21 存在唯一的零点 x0，且 x00，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程
6、或演算步骤. 17 （10 分）已知 y2x，x2，4的值域为集合 A，ylog2x2+（m+3）x2（m+1）定义域为集合 B， 其中 m1 （）当 m4，求 AB； （）设全集为 R，若 ARB，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）已知二次函数 f（x）满足 f（x）f（4x） ，f（0）3，若 x1，x2是 f（x）的两个零点，且 |x1x2|2 （）求 f（x）的解析式； （）若 x0，求 g（x）的最大值 19 （12 分）已知函数 （1）若 f（）1，（0，） ，求 的值； （2）求 f（x）的单调增区间 20 （12 分）已知 f（x）cos2x+2sin（+x）sin（x
7、） ，xR （）最小正周期及对称轴方程； （）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f（A），a3，求 BC 边上的 高的最大值 21 （12 分）已知函数 f（x）x33ax1，a0 （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）在 x1 处取得极值，直线 ym 与 yf（x）的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范 围 22 （12 分）已知函数 f（x），mR，x1 （）讨论 f（x）的单调区间； （）若 f（x）mx 恒成立，求 m 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题
8、5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|xa，Bx|x23x+20，若 ABB，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 Ca2 Da2 【分析】化简集合 B，根据 ABB，建立条件关系即可求实数 a 的取值范围 【解答】解：由题意，集合 Ax|xa，Bx|x23x+20 x|1x2， ABB， BA， 则：a2 实数 a 的取值范围2，+） 故选：C 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2 （5 分）下列选项中，说法正确的是（ ） A命题“xR，x2
9、x0”的否定是“xR，x2x0” B命题“pq 为真”是命题“pq 为真”的充分不必要条件 C命题“若 am2bm2，则 ab”是假命题 D命题“在ABC 中，若 sinA，则 A”的逆否命题为真命题 【分析】根据特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，逐一分析四个答案是否成立，最后 综合讨论结果，可得结论 【解答】解：对于 A，命题“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0” ，故错误； 对于 B，命题“pq 为真”是命题“pq 为真”的必要不充分条件，故错误； 对于 C，命题“若 am2bm2，则 ab”在 m0 时，不一定成立，故是假命题，故正确； 对于 D， “在ABC 中，若
10、 sinA，则 A或 A”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故 错误； 故选：C 【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的 关系，难度不大，属于基础题 3（5 分） 已知命题， 命题 q： xR， ex1， 则下列为真命题的是 （ ） Ap（q） B （p）（q） C （p）q Dpq 【分析】利用取特殊值法进行真假命题的判断，从而得出结果 【解答】解：命题 P：当 x1 时，sin12，而 1+12，则不满足 sinx，故命题 P 是假命题； 命题 q：当 x1 时，满足 ex1，故命题 q 是真命题 因此若想结果为真命题，只能是（p）q 故
11、选：C 【点评】本题主要考查全称量词与存在量词，属于基础题 4 （5 分）设 a，b，clog32，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 【分析】容易得出，从而可得出 a，b，c 的大小关系 【解答】解：， acb 故选：B 【点评】考查分数指数幂的运算，对数函数的单调性，减函数和增函数的定义 5 （5 分）cos105cos15（ ） A B C D 【分析】直接利用三角函数关系式的变换和同角三角函数的关系式的应用求出结果 【解答】解：由于：cos15+sin15， 所以：cos105cos15cos（90+15）cos15sin15cos15（cos1
12、5+sin15） 故选：D 【点评】 本题考查的知识要点： 三角函数关系式的恒等变变换， 同角三角函数关系式和诱导公式的应用， 主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题 6 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，f（x+1）f（1x） ，且当 x0，1 时，f（x）log2（x+1） ，则 f（31）（ ） A0 B1 C1 D2 【分析】由已知推导出 f（x）f（x） ，f（x+4）f（x+2）f（x）f（x） ，当 x0，1时， f（x）log2（x+1） ，由此能求出 f（31） 【解答】解：定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，
13、f（x+1）f（1x） ， f（x+4）f（x+2）f（x）f（x） ， 当 x0，1时，f（x）log2（x+1） ， f（31）f（321）f（1）f（1）log221 故选：C 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用 7 （5 分）若 tan（）2，则 tan（2）等于（ ） A2 B C2+ D 【分析】根据二倍角的正切公式即可求出 【解答】解：tan（）2， tan（2）tan2（）， 故选：B 【点评】本题考查了二倍角的正切公式，属于基础题 8 （5 分）将函数 f（x）2sin（x+） （0）的图象向右平移个单位长度，得到函数 yg（x）
14、 的图象，若 yg（x）在上为增函数，则 的最大值为（ ） A2 B3 C4 D6 【分析】根据平移关系先求出 g（x）的表达式，结合函数的单调性进行转化即可 【解答】解：将函数 f（x）2sin（x+） （0）的图象向右平移个单位长度， 得到函数 yg（x）的图象， 则 g（x）2sin（x）+2sinx， 若 yg（x）在上为增函数， 则满足，即 T， 即， 02， 即 的最大值为 2， 故选：A 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的单调性是解决本 题的关键 9 （5 分）函数的导函数在，上的图象大致是（ ） A B C D 【分析】先求出函数的导数
15、，结合导函数的函数值的对应性进行判断即可 【解答】解：f（x）xsin（x+）xcosx， 函数的导数 f（x）cosxxsinx， 则 f（0）cos00sin010，排除 B，D， f（）cossin00，排除 C， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的判断和识别，先求出函数的导数，结合函数定点符号是否一致进行排 除是解决本题的关键 10 （5 分）为了得到 y2cos 2x 的图象，只需把函数 ysin 2xcos2x 的图象（ ） A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 【分析】利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 【
16、解答】解：把函数 ysin 2xcos2x2sin（2x） 的图象向右平移个单位长度， 可得到 y2cos 2xsin（2x） 的图象， 故选：D 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题 11 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为1，5，部分对应值如表 x 1 0 2 4 5 f（x） 1 2 0 2 1 f（x）的导函数 yf（x）的图象如图所示下列关于函数 f（x）的命题： 函数 f（x）在0，1是减函数； 如果当 x1，t时，f（x）的最大值是 2，那么 t 的最大值为 4； 函数 yf（x）a 有 4 个零点，则 1a2； 其中真命题的个数是（ ） A
17、3 个 B2 个 C1 个 D0 个 【分析】由 f（x）的导函数图象可得 f（x）在1，0递增，0，1递减，1，4递增，4，5递减，可得 f（x）的最大值为 2，最小值为 f（1）0，结合单调性可判断；由最值可判断；由 f（x）的图象与 直线 ya 的交点情况，可判断 【解答】解：由 f（x）的导函数图象可得 f（x）在1，0递增， 0，1递减，1，4递增，4，5递减， 可得 f（x）的最大值为 2，最小值为 f（1）0， 则函数 f（x）在0，1是减函数，故正确； 如果当 x1，t时，f（x）的最大值是 2，那么 t 的最大值为 5，故错误； 函数 yf（x）a 有 4 个零点，即 yf（
18、x）图象与 ya 有 4 个交点，由 f（x）的定义域为1，5， 且 f（1）f（5）1，f（2）f（4）取得最大值为 2，a2 时有 2 个交点， 可得 1a2，故正确 故选：B 【点评】本题考查函数的导数和原函数的关系，考查单调性和最值、零点问题，注意运用数形结合思想 方法，考查判断能力，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x），若关于 x 的方程f（x）2+mf（x）+m10 恰有 3 个不同的实数解， 则实数 m 的取值范围是（ ） A （，2）（2，+） B （1，+） C （1，1） D （1，e） 【分析】本题先利用导数法对函数 f（x）的单调性进行分析并画出 f（x）大致
19、图象，然后运用赋值法排 除错误选项，最终得到正确选项 【解答】解：由题意 f（x） 令 f（x）0，解得 x1； 令 f（x）0，解得 x1； 令 f（x）0，解得 x1 f（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， 在 x1 处取极大值 f（x）大致图象如下： 假设 m2，令 tf（x） 则 t2+2t+10解得 t1，即 f（x）1 根据 f（x）图象，很明显此时只有一个解， 故 m2 不符合题意，由此排除 B、D 选项； 假设 m3， 则 t2+3t+20，解得 t12，t21 即 f（x）2，或 f（x）1 根据 f（x）图象，很明显此时方程只有两个解， 故 m3 不符合题意
20、，由此排除 A 选项 故选：C 【点评】本题主要考查利用导数法对函数 f（x）的单调性进行分析，并在选择题中运用赋值法本题属 较难题 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x），若 f（x）1，则 x 或 2 【分析】当 x1 时，f（x）log2（1x）1，当 x1 时，f（x）3x101，由此能求出 x 的 值 【解答】解：函数 f（x），f（x）1， 当 x1 时，f（x）log2（1x）1，解得 x， 当 x1 时，f（x）3x101，解得 x2 综上，x 的值为或 2 故答案为：
21、或 2 【点评】本题考查实数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查理解能力、运算求解能力，是基础题 14 （5 分）曲线 y2xx3在 x1 的处的切线方程为 x+y+20 【分析】根据导数的几何意义求出函数在 x1 处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写 出切线方程即可 【解答】解：y23x2 y|x11 而切点的坐标为（1，1） 曲线 y2xx3在 x1 的处的切线方程为 x+y+20 故答案为：x+y+20 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题 15 （5 分）设，不等式 sincos2m0 对满足条件的 ， 恒成立，则实数 m 的
22、最小 值为 【分析】等式 sincos2m0 对满足条件的 ， 恒成立，可得 msincos2 的最大值，根据所 给的函数式，整理出 sinsin，求得 sin 的范围，代入要求的三角函数式，整理出关于 sin 的二 次函数形式，根据正弦函数的值域，得到函数的最大值，可得所求范围 【解答】解：sin+sin，sinsin， 由，可得sin1， sincos2sin（1sin2）（sin）2， 当 sin时，上式取得最大值，且为， 等式 sincos2m0 对满足条件的 ， 恒成立， 可得 msincos2 的最大值， 可得 m，即 m 的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的化简求值
23、和二次函数的性质，本题解题的关键是整理出关于正弦函数的二 次函数的形式，问题转化成二次函数的最值，考查变形能力和运算能力，属于中档题 16（5 分） 已知 f （x） ax3+3x21 存在唯一的零点 x0， 且 x00， 则实数 a 的取值范围是 （， 2） 【分析】讨论 a 的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求 解即可 【解答】解： （i）当 a0 时，f（x）3x2+1，令 f（x）0，解得 x，函数 f（x）有两个零点， 舍去 （ii）当 a0 时，f（x）3ax2+6x3ax（x+） ，令 f（x）0，解得 x0 或 当 a0 时，0，当 x或
24、 x0，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减；当 0 x时， f（x）0，此时函数 f（x）单调递增 故 x是函数 f（x）的极大值点，0 是函数 f（x）的极小值点 函数 f（x）ax3+3x21 存在唯一的零点 x0，且 x00，则 f（）+110， 即 a24 得 a2（舍）或 a2 当 a0 时，0，当 x或 x0 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递增； 当x0 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减 x是函数 f（x）的极大值点，0 是函数 f（x）的极小值点 f（0）10， 函数 f（x）在（0，+）上存在一个零点，此时不满足条件 综上可得：实数 a 的取值范围是（，2
25、） 故答案为： （，2） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理 能力与计算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知 y2x，x2，4的值域为集合 A，ylog2x2+（m+3）x2（m+1）定义域为集合 B， 其中 m1 （）当 m4，求 AB； （）设全集为 R，若 ARB，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）欲求 AB，先分别求出集合 A，B，再求它们的交集即可； （2）由题目中条件： “
26、ARB， ”得集合 A 是RBx|x2 或 xm+1的子集，结合端点处的不等关系， 可得 m 的取值范围 【解答】解： （1）y2x，x2，4的值域为 A4，16， 当 m4，由x2+7x100，解得 B（2，5） ， AB4，5） （2）若 m1，则RBx|x2 或 xm+1 m+14， 1m3 若 m1，则RBx|xm+1 或 x2，此时 ARB 成立 综上所述，实数 m 的取值范围为（，1）（1，3） 【点评】本题主要考查对数函数的定义域、集合的包含关系判断及应用、指数函数的值域以及交集及其 运算等 18 （12 分）已知二次函数 f（x）满足 f（x）f（4x） ，f（0）3，若 x1
27、，x2是 f（x）的两个零点，且 |x1x2|2 （）求 f（x）的解析式； （）若 x0，求 g（x）的最大值 【分析】 （）利用函数的零点，求出对称轴，求出零点，然后求解 f（x）的解析式； （）化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的最值即可 【解答】 （本小题满分 12 分） 解（）f（x）f（4x） ，x1，x2是 f（x）的两个零点，且|x1x2|2 f（x）的对称轴为：x2，可得 x13，x21（2 分） 设 f（x）a（x+3） （x+1） （a0）（4 分） 由 f（0）3a3 得 a1，f（x）x2+4x+3（6 分） （）g（x）1（10 分） 当且仅当 （12 分
28、） 【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，基本不等式的应用，考查计算能力 19 （12 分）已知函数 （1）若 f（）1，（0，） ，求 的值； （2）求 f（x）的单调增区间 【分析】利用二倍角余弦公式及和差角公式把已知化简可得，f（x）sin （1）把 代入可得结合 的范围可求 的值 （2） 结合正弦函数的单调增区间及复合函数的单调性， 令， 解出 x 的区间即为函数的单调增区间 【解答】解：（2 分） （4 分） （6 分） （1）， ；（kz） ， 又（0，）（8 分） （2）f（x）单调增，故， （10 分） 即， 从而 f（x）的单调增区间为 （12 分） 【点评】利用三角公式
29、对三角函数化简，然后借助辅助角公式 asinx+bcosx（其中 tan）求解三角函数的问题是历年高考中使用频率相当高的，应加以关注，此外降幂公式 也要熟练掌握 20 （12 分）已知 f（x）cos2x+2sin（+x）sin（x） ，xR （）最小正周期及对称轴方程； （）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f（A），a3，求 BC 边上的 高的最大值 【分析】 （）利用二倍角公式，诱导公式和两角和公式对函数解析式进行化简，利用三角函数图象和性 质求得其最小正周期 T，及对称轴 （）利用三角形面积公式得到 h 和 bc 的关系式，进而利用余弦定理得到 b 和
30、c 的关系式，利用基本不 等式的性质求得 bc 的最大值，进而求得 h 的最大值 【解答】解： （）f（x）cos2x+2sin（+x）sin（x）cos2x2cosxsinxcos2xsin2x 2（cos2xsin2x）2cos（2x+） ， T， 令 2x+k（kZ） ，即 x（kZ） ， 函数 f（x）的对称轴方程为 x（kZ） ， （）f（x）2cos（2x+） ， f（A）2cos（2A+），即 cos（2A+）， 0A， 2A+， 2A+， A 设 BC 边上的高为 h， 则 SABCbcsinAah，即 bc2h，hbc， cosA， bc+9b2+c2， b2+c22bc，当
31、且仅当 bc 时，等号成立 bc+92bc，bc9，此时 bc， A， bca3，等号能成立 此时 h h 的最大值为 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，诱导公式，三角函数恒等变换的应用考查了基础的知 识的综合运用 21 （12 分）已知函数 f（x）x33ax1，a0 （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）在 x1 处取得极值，直线 ym 与 yf（x）的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范 围 【分析】 （1）先确求导数 f（x） ，在函数的定义域内解不等式 f（x）0 和 f（x）0，f（x） 0 的区间是增区间，f（x）0 的区间是减区间 （2）先根据极值点求出
32、a，然后利用导数研究函数的单调性，求出极值以及端点的函数值，观察可知 m 的范围 【解答】解析： （1）f（x）3x23a3（x2a） ， 当 a0 时，对 xR，有 f（x）0， 当 a0 时，f（x）的单调增区间为（，+） 当 a0 时，由 f（x）0 解得或； 由 f（x）0 解得， 当 a0 时，f（x）的单调增区间为； f（x）的单调减区间为 （2）因为 f（x）在 x1 处取得极大值， 所以 f（1）3（1）23a0，a1 所以 f（x）x33x1，f（x）3x23， 由 f（x）0 解得 x11，x21 由（1）中 f（x）的单调性可知，f（x）在 x1 处取得极大值 f（1）1
33、， 在 x1 处取得极小值 f（1）3 因为直线 ym 与函数 yf（x）的图象有三个不同的交点， 结合 f（x）的单调性可知，m 的取值范围是（3，1） 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及求最值和利用导数研究图象等问题，属于中档 题 22 （12 分）已知函数 f（x），mR，x1 （）讨论 f（x）的单调区间； （）若 f（x）mx 恒成立，求 m 的取值范围 【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间即可； （）由题意 lnxm（x21） ，x1 恒成立，令 g（x）lnxm（x21） ，x1，gmax（x）0，通过 讨论 m 的范围，求出函数
34、的单调区间，从而求出 m 的范围即可 【解答】解： （），x1（1 分） 当 1m0 时，即 m1 时，1mlnx0 在1，+）上恒成立， 所以 f（x）的单调减区间是1，+） ，无单调增区间 （2 分） 当 1m0 时，即 m1 时，由 f（x）0 得 x（1，e1 m） 由 f（x）0，得 x（e1 m，+） ， 所以 f（x）的单调减区间是（e1 m，+） ，单调增区间是（1，e1m（4 分） （）由题意，lnxm（x21） ，x1 恒成立， 令 g（x）lnxm（x21） ，x1，gmax（x）0 （5 分） （6 分） m0 时，g（x）0， （x1） ，g（x）在（1，+）递增， x1，g（x）g（1）0，舍去；（8 分） m时，g（x）0， （x1） ，g（x）在（1，+）递减， x1，g（x）g（1）0，成立（10 分） 0m时，令 g（x）0（x1） ，解得：x， 故 x（1，）时，g（x）0，g（x）递增，g（x）g（1）0， （舍去） ， 综上，（12 分） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道 综合题
