1、 - 1 - 一元一次方程的解法培优一元一次方程的解法培优 等等式的概念及性质式的概念及性质 等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫 做这个等式的左边、右边等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子 表示的运算律、运算法则 等式的类型：恒 等 式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立 条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立方程56x 需要1x 才成立 矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立如125， 11xx 等式由代数式构成，但不是代数式代数式没有等号 等式性质 1：等式两边都加上（或减去）同
2、一个数（或式子） ，所得结果仍是等式 若ab，则acbc 等式性质 2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是 0） ，结果仍是等式 若ab，则acbc，若ab且0c ，则 ab cc 注意点： 在等式变形的过程中，等式两边必须同时进行即：同时加或减，同时乘以或除以，不能 漏掉某一边 在运用等式的性质 2 时，应注意：不能在等式的两边同时除以0，因为0不能作除数 在等式变形中，以下两个性质也经常用到：等式具有对称性，即：如果ab，那么ba 等式具有传递性，即：如果ab，bc，那么ac 方程的有关概念方程的有关概念 方程：含有未知数的等式即：方程中必须含有未知数；方程是一个等式，但等式不一
3、定是方程 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解 解方程：求方程的解的过程 注意点 1：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程 注意点 2：方程的解的检验：要验证某个数是不是方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右 边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是 方程中的未知数和已知数： 已知数：一般是具体的数值，如50x 中（x的系数是 1，是已知数但可以不说） 5 和 0 是已知数， 如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a、b、c、m、n等表示 未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示如：关
4、于x、y的方程2axbyc中， a、2b、c是已知数，x、y是未知数 一元一次方程一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，系数不等于 0 的整式方程叫做一元一次方程，这里的 “元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数 一元一次方程的最简形式：axb（0a ，a，b为已知数）的形式叫一元一次方程的最简形式 一元一次方程的标准形式：0axb（0a ，a，b是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式 注意： 任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次 方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证如方程 22 216xxx 是一元一次 方程
5、如果不变形，直接判断就出会现错误 知识点睛知识点睛 - 2 - 对于方程axb与方程0axb a，方程axb的解要分类讨论当0a 时，方程的 解是 b x a ；当0a 且0b 时，方程的解是任意数；当0a 且0b 时，方程无解 一元一次方程的基本解法一元一次方程的基本解法 解一元一次方程的一般步骤： 去分母； 去括号； 移项； 合并同类项； 未知数的系 数化为1这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按从上到下 的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用 易错点易错点 1去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号. 易错点易错点 2去分母：漏乘不含分母的项 易错点易错
6、点 3移项忘记变符号 知识点仅供教学参考！知识点仅供教学参考！ 板块一：一元一次方程相关概念及基本解法板块一：一元一次方程相关概念及基本解法 【例1】 下列方程是一元一次方程的是（ ） A 22 37x xx B 343 53 22 x x C 2 2(2)3yyy y D3813xy 已知关于x的方程22()mxmx的解满足方程 1 0 2 x ，则m 某书中有一道解方程的题：11 3 x x ， 处在印刷时被墨盖住了， 查后面的答案，得知这个方程的解是2x ，那么 处应该是数字（ ） A.7 B5 C2 D2 已知方程 1 (2)40 a ax 是一元一次方程，则a ， x 方程 | |
7、(1)2 m mxmn是关于x的一元一次方程，若n是它的解，则nm（ ） A 1 4 B 5 4 C 3 4 D 5 4 解方程 7110.251 0.0240.0180.012 xxx 解：原方程可化为 7110.251 432 xxx 根据等式的性质（ ） 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 根据等式的性质（ ） 【解析】 C 2m B 2a ，1x B 解：原方程可化为 7110.251 432 xxx 根据等式的性质（ 2 ） 去分母，得3(71)4(1 0.2 )6(51)xxx 去括号，得21340.8306xxx 移项，得210.830346xxx
8、例题精讲例题精讲 - 3 - 合并同类项，得51.81x 系数化为1，得 5 259 x 根据等式的性质（ 2 ） 【拓展】 中若关于x的方程22()mxmx的解满足方程 11 22 x ，则m 1 或 4 【教师备选1】 某同学在解方程513xx ，把处的数字看错了，解得 4 3 x ，该同学把看 成了 【解析】 8点评：哪个方程的解，就把解代入该方程，等号成立 【例2】 253 1 64 xx 0.130.41 20 0.20.5 xx （东城教学测评改编）解方程 2325 3 5103 xxx 【解析】 13x ；10x ；(提示：含有小数的一元一次方程在求解过程中通常是先将小数化成 整
9、数。) 解：去分母，得6(2)3(3)10(25)90xxx 去括号，得61239205090xxx 移项，得63205090129xxx 合并同类项，得17119x 系数化为1，得7x 重点、易错点总结重点、易错点总结 1. 等式性质等式性质 等式性质等式性质 1：等式两边都加上（或减去）同一个 （或 ） ，所得结果仍是等式 若ab，则acbc 等式性质等式性质 2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为 ） ，结果仍是等式 若ab，则acbc，若ab且 ，则 ab cc 2. 方方 程：程：含有 的 叫方程 3. 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的 ，叫做方程的解 4. 一元一
10、次方程一元一次方程 只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，系数不等于 的 方程叫做一 元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数 （说明：此定 义是按照 4 个考点给出的定义） 一元一次方程的最简形式： . 一元一次方程的标准形式： . 5. 解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤： ； ； ； ； 这五个步 骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按从上到 下的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用 易错点易错点 1去括号：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要 . 易错点易错点 2去分母：去分母：去分母时漏乘不含分母的项. 易错
11、点易错点 3移移 项：项：移项不要忘记 板块二：两个一元一次方程解的关系问题板块二：两个一元一次方程解的关系问题 若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式 两个解的数量关系很多，比如相等、互为相反数、多1、2倍等等 - 4 - 【例3】 当m _时，方程 5443xx的解和方程2(1)2(2)xmm的解相同 已知关于x的方程32()4 2 a xxx与 315 1 128 xax 有相同的解，求a的值及方程的解. 【解析】 8 3 m （思路提示：同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出 一个方程的解，把解代入另一个方程。 ） 把a当常
12、数，方程324 2 a xxx 的解为 3 7 xa，方程 315 1 128 xax 的解为 272 21 a x ，故 3272 721 a a ，解得 27 11 a ，所以 81 77 x （同解方程问题） 【教师备选2】 已知： 3 33 n xmnp 与 2 321 m xmnp 都是关于x的一元一次方程，且它们 的解互为相反数，求关于x的方程 1 1 5 x p 的解 【解析】 由题意可知， 312 211 nn mm ，故题中的两个方程变为1xp 和42xp，由上述两 个方程的解互为相反数可知， 1 1420 5 ppp ，故方程 1 1 5 x p 变为 1 1 116 55
13、 x x ，从而可知，5x 或7x 板块三板块三 复杂的一元一次方程复杂的一元一次方程 对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握， 如：解一元一次方程中()axbxab x的应用. 【例4】 解方程： 1111 23452345 xxxx 解方程：2009 1 22320092010 xxx 解方程： 1123 (23)(32 ) 11191313 xxx 解方程： 2018161412 5 357911 xxxxx 【解析】 法一： 11111111 23452345 x ，所以1x ； 法二： 1111 0 2345 xxxx ， 1111 (1)0
14、 2345 x ，所以1x . 111 2009 1 22320092010 x ， 1 12009 2010 x 即 2009 2009 2010 x ， 故2010x . 原方程可变为 111 (23)(23)(23)0 111913 xxx，即 111 (23)0 111319 x ， - 5 - 又 111 0 111319 ，所以230x ，即 3 2 x 点评：若0ab ，0a 或0b 如果你发现203185167149121123，可能离成功已经不远了 2018161412 50 357911 xxxxx 2018161412 111110 357911 xxxxx 232323
15、2323 0 357911 xxxxx 11111 (23)0 357911 x ，因为 11111 0 357911 ，故23x 【拓展】 解方程： 23251 18 357911 xxxxx 【解析】 23251 743220 357911 xxxxx 2323232323 0 357911 xxxxx 11111 (23)0 357911 x ，因为 11111 0 357911 ，故23x 【教师备选3】 已知1abc ，求关于x的方程2004 111 xxx aabbbccca 的解 【解析】 原方程可化为 111 2004 111 x aabbbccca 因为1abc ，所以 11
16、11 1111(1) aabc aabbbcccaaababbcabccca 11 1 1111 aabaab aabaabaabaab ，2004x 板块四板块四 含字母系数的一元一次方程含字母系数的一元一次方程 方程axb的解要分类讨论 当0a 时，方程有唯一解 b x a 当0a 且0b 时，方程 有无数个解，解是任意数 当0a 且0b 时，方程无解 【铺垫】 关于x的方程3axb有无数多个解，那么a ，b 关于x的方程153axxb 有无数多个解，那么a ，b 【解析】 0a ，3b ， 5a ， 1 3 b ， 【点评】 教师可自编题目铺垫！ 【例5】 已知： 关于x的方程32axx
17、b有无数多个解， 试求 2011 ()5 ab abxxab ab 的解. 若a、b为定值，关于x的一元一次方程 2 2 36 kxaxbk ，无论k为何值时，它的解总 是1x ，求23ab的值 【解析】 原方程整理为(2)3axb ，因为当20a 且30b 是该方程有无数多组解，所以 - 6 - 23ab ，故把23ab ，代入 2011 ()5 ab abxxab ab 得610xx 解得： 10 7 x . 方程 2 2 36 kxaxbk 可化为：(41)212kxabk，由该方程总有解1x 可知， 41212kabk ，即(4)132b ka，又k值为任意，故 40 1320 b a
18、 ，231ab 【教师备选4】 如果关于x的方程 2(3)15(23) 326 kxx 有无数个解，求k值 已知关于x的方程2 (1)(5)3a xa xb有无数多个解，那么a ，b 【解析】 原方程整理得(410)0kx，由方程有无数个解得4100k ， 5 2 k . 2253axaxaxb， 即( 35 )23axab， 故35 0a 且230ab， 即 5 3 a ， 10 9 b 板块五板块五 绝对值方程绝对值方程 形如axbc的方程，可分如下三种情况讨论： 0c ，则方程无解； 0c ，则根据绝对值的定义可知，0axb； 0c ，则根据绝对值的定义可知，axbc 形如axbcxd型
19、的绝对值方程的解法： 首先根据绝对值的定义得出，()axbcxd ，且0cxd； 分别解方程axbcxd和()axbcxd ，然后将得出的解代入0cxd检验即可 含多重绝对值符号的绝对值方程的解法，主要方法是根据定义，逐层去掉绝对值 【铺垫】 解方程： 21x 240x 【解析】 由绝对值的定义可知，20x，故21x无解 由240x可知，240x ，故2x 【点评】 教师可自编题目铺垫！ 【例6】 解绝对值方程： 24x 4812x 4329xx 213x 方程125xx的解是 【解析】 由24x 得：244xx或2所以22xx或 由4812x可知，4812x ，故1x 或5x 方程4329x
20、x可化为，43(29)xx ，且290x ，解方程4329xx可得， 3x ；解方程43(29)xx 可得，2x ，代入检验可知，3x ，2x 均满足题意 由绝对值的定义可知，213x ， 故24x 或22x （舍） ， 由24x 可知， 24x ，故6x 或2x （不合题意，舍！ ） ，故6x - 7 - 3x ，或2x . 法一：1x与2x的零点分别是1x 和2x 由“零点分段法”，分情况讨论： 若2x ，则原方程可化为(1)25xx（），解得32x ，满足题意，故3x 是 原方程的解； 若21x ，则原方程可化为(1)25xx（），无解； 若1x ，则原方程可化为(1)25xx（），解得
21、21x ，满足题意，故2x 也是方程 的解 综上：方程125xx的解为3x 或2x . 法二：提示用绝对值的几何意义更简单. 【拓展】 解绝对值方程：324xx 【解析】 由绝对值的定义可知，324xx由324xx可得，324xx，等价于 32(4)xx ，40x ，解得 1 2 x ，3x 代入40x 检验可知，均不满足题意；由 324xx可得，324xx， 等价于32(4)xx ，40x ， 解得1x ， 3 2 x ， 代入40x 检验可知，1x ， 3 2 x 均满足题意 【拓展】 解绝对值方程：23143xxx 【解析】 23x与1x的零点分别是 3 2 x 和1x 由“零点分段法”
22、，可分以下几种情况讨论： 若 3 2 x ，则原方程可化为(23)(1)43xxx ，解得 13 52 x ，故不合题意； 若 3 1 2 x，则原方程可化为(23)(1)43xxx ，解得51x ，也不合题意； 若1x ，则原方程可化为(23)(1)43xxx，解得 7 1 3 x ，满足题意，故 7 3 x 【教师备选5】 解绝对值方程： 35 16 2 x x 【解析】 35 16 2 x x 或6，即 35 7 2 x x 或 35 5 2 x x 当70x 时（即7x） ， 35 0 2 x ， 35 7 2 x x 化为 35 7 2 x x ，解得9x 当50x 时（5x） ，若
23、还有 35 0 2 x （即 5 3 x） ， 35 5 2 x x ，解得15x 当50x 时（5x） ，若还有 35 0 2 x （即 5 3 x） ， 35 5 2 x x ，解得1x 再来检验这三个解9x （舍去） 、15x 、1x 【点评】 此类题目期中考试近几年考的较少，大部分学校最多考到例题 6 难度. - 8 - 【例7】 解关于x方程：4 xabcxbcdxacdxabd dabc 【解析】 原方程可变 ()()()() 0 xabcdxabcdxabcdxabcd dabc 也就是 1111 ()0xabcd abcd 当 1111 0 abcd 时，原方程有无穷多个解；
24、当 1111 0 abcd 时，原方程的解为：xabcd 【教师备选6】 （北京四中期中考试）关于x的方程21xa有三个整数解，求a的值 【解析】 根据绝对值的定义可知，若0a ，则原方程无解，不合题意；若0a ，原方程可化为 210x ，则210x ，故21x，于是1x 或3x ，也不合题意；若0a ，原 方程可化为21xa 或21xa ， 即21xa或21xa ， 而21xa肯定 要有两个解，根据题意可知，21xa 只有一个解，故10a，从而1a 【点评】 此题较为经典，建议根据课堂时间安排及班级学员情况选讲. 经典重现经典重现 - 9 - 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） （多选）
25、 A1xy B 2 25 x C0x D13ax E235x F2R=6.28 关于x的方程 2 (1)80nxnxx是一元一次方 程，则n的值是（ ） A1 B1 C1 D0 若关于x的方程230xm无解，340xn只有一个解，450xk有两个解，下列 选项正确的是（ ） Amnk Bmnk Cmnk Dmnk 【解析】 C 和 F点评：对于判定一个方程是不是一元一次方程，如果不是整式方程则不是一元一 次方程，若是整式方程，则需要化简后再判断是否满足一元一次方程的定义 A C 2. 131 1 0.20.4 xx 111 1 36912234 xxxx 【解析】 原方程可化为 1010301
26、0 1 24 xx ，去分母2020(3010)4xx，去括号 202030104xx，合并同类项1026x ，系数化为1得 13 5 x 原式变形得： 111 10 36293124 xxxx 3333 0 36912 xxxx 1111 (3)0 36912 x 所以3x . 3. 已知方程21)3(1)xx（的解为2,xa求方程2 23)3()3xxaa（的解. 若关于x的方程 5 34 2 xx和 1 25 24 a xaxx有相同的解，求a的值 【解析】 由方程21)3(1)xx（的解为2,xa得：3a ， 再把3a 代入方程2 23)3()3xxaa（得： 21 2 x 方程 5 34 2 xx的解为8x ，把8x 代入 1 25 24 a xaxx中，求得 1 2 a 4. 解关于x的方程 1 34 m xnxm 【解析】 去分母，化简可得：(43)43mxmnm 当 3 4 m 时，方程的解为 43 43 mnm x m ； 当 3 4 m ， 3 4 n 时，解为任意值； 实战演练实战演练 - 10 - 当 3 4 m ， 3 4 n 时，方程无解 5. 解方程：3548x 【解析】 3548x或8（舍） ，即354x，所以354x 或4，即39x 或31x ，故3x 或 1 3 x
