1、南昌南昌东湖区东湖区 2019-2020 学年第一学期期中考试高三数学（文科）试题学年第一学期期中考试高三数学（文科）试题 第 I 卷(选择题) 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1、设集合31 |,4 , 3 , 2,5 , 3 , 2 , 1 , 1xRxCBA，则BCA)( ( ) 4 , 3 , 2 , 1.3 , 2 , 1.3 , 2.2.DCBA 2、已知为虚数单位，满足 2 )1 ()1 (iiz,则复数所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3、已
2、知函数f(x)在x = x0处可导,若lim x0 f(x0+2x)f(x0) x = 1,则f(x0) = ( A. 2 B. 1 C. 1 2 D. 0 4、已知等差数列*an+的前 n 项和为Sn,且a2= 4,a4= 2,则S5=( ) A. 0 B. 10 C. 15 D. 30 5、设向量a = (m,0),b = (1,1),且|b |2= |a |2 |a b |2,则 m 等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6、已知命题p：函数) 6 tan( xy在定义域上为减函数,命题q：在 中,若 30A,则sin 1 2, 则下列命题为真命题的是 A. (p) q B
3、. (p) (q) C. p (q) D. p q 7、已知奇函数)(xf在 R 上是增函数，)()(xxfxg.若) 3(),2(),1 . 5log( 8 . 0 2 gcgbga，则cba, 的大小关系为 （ ） cbaA、 abcB、 cabC、 acbD、 8、已知双曲线)0, 0( , 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点为 F，离心率为2，若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平 行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （ ） 1 48 .1 84 .1 88 .1 44 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 yx D yx C yx
4、 B yx A 9、若实数 x,y 满足|x 1| ln 1 y = 0,则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是 ( ) A. B. C. D. 10、 在 ABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知三个向量 m = (a,cos A 2 ), n = (b,cos B 2 ), p = (c,cos C 2)共线, 则 的形状为 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 11、正四棱锥 的侧棱长为5,底面ABCD边长为 2,E为AD的中点,则BD与PE所成角的余弦值为 ( ) A. 6 4 B. 1 3 C. 3 4 D. 2 4 12、已知
5、函数), 1 ()( 2 为自然对数的底数eex e axxxf与 x exg)(的图像上存在关于直线xy 对称的点，则实数a的取值范围是 （ ） , 1 . 1 , 1 . 1 , 1 . 1 , 1 .e e eD e e e eC e eB e eA 第卷(非选择题) 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13、若函数)ln()( 2 xaxxxf为偶函数，则_a 14、设52, 0, 0yxyx，则 xy yx) 12)(1( 的最小值为 15、定义在 R 上的函数f(x)满足f(x + 6) = f(x)
6、.当x ,3,3)时, 31; 13;)2( )( 2 xx xx xf， 则)2019()2018()3()2() 1 (fffff 16、已知定义在 R 上的单调递增奇函数，若当 11x时，0) 12()( 2 mfmxmxf恒成立，则 实数m的取值范围是 . 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分）分） 17、 （12 分）数列*+满足1= 1,+1= ( + 1)+ ( + 1), （1）证明：数列* +是等差数列；（2）设= 3 ,求数列*+的前n项和 18、 （12 分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对 30 名六年级学生进
7、行了问卷调查,得到 如下列联表平均每天喝 500ml 以上为常喝,体重超过 50kg 为肥胖： 常喝 不常喝 合计 肥胖 2 不肥胖 18 合计 30 已知在全部 30 人中随机抽取 1 人,抽到肥胖的学生的概率为 4 15 ()请将上面的列联表补充完整； ()是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由； ()现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(2名女生),抽取 2 人参加电视节目,则正好抽到一男一女的概率 是多少 (2 ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
8、10.828 参考公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+),其中 = + + + ) 19、（12 分）如图,在梯形ABCD中,已知 , = 1, = 210, = 4,tan = 2, 求：(1)的长；(2) 的面积 20、 （12 分）如图,已知四棱锥 ,底面ABCD为菱形, 平面 ABCD, 60ABC,E,F分别是BC,PC的中点证明： ； 若 = = 2,求C到平面EAF的距离 21、（12 分）已知函数f(x) = ax3 3 2x 2 + 1(x R),其中a 0 若a = 1,求曲线y = f(x)在点(2,f(2)处的切线方程； 若在区间, 1 2, 1 2-上,f(x)
9、 0恒成立,求 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题积分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题积分.(.(本题本题 1010 分分) ) 22、在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为)( 2 , 1 为参数t ty tx .在以原点 O 为极点，x轴的正半轴 为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2 cos21 3 . （1）直接写出直线l、曲线 C 的平面直角坐标方程； （2）设曲线 C 上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围。 23、已知函数|2| 12|)(xxxf，不等式2)(xf的解集为 M. （1）
10、求 M； （2）记集合 M 的最大元素为 m，若正数cba,满足mabc ，求证： cba cba 111 . 数学（文科）参考答案数学（文科）参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C C B B C B B A D A 二、填空题 13、 1 14、34 15、338 16、) 2 12 ,( 三、解答题 17、证明： nan+1= (n + 1)an+ n(n + 1), an+1 n+1 = an n + 1, an+1 n+1 an n = 1, 数列*an n +是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列；解：由知, an n
11、 = 1 + (n 1) 1 = n, an= n2, bn= 3nan= n 3n, Sn= 1 3 + 2 32+ 3 33+ + (n 1) 3n1+ n 3n, 3Sn= 1 32+ 2 33+ 3 34+ + (n 1) 3n+ n 3n+1, 得2Sn= 3 + 32+ 33+ + 3n n 3n+1= 33n+1 13 n 3n+1= 12n 2 3n+1 3 2, Sn= 2n1 4 3n+1+ 3 4 18、解：(I)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有 x 人, x+2 30 = 4 15,x = 6.(1分 常喝 不常喝 合计 肥胖 6 2 8 不胖 4 18 22 合计 10 2
12、0 30 (II)由已知数据可求得：K2= 30(61824)2 1020822 8.522 7.879(6分 因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关 (III) 设 常 喝 碳 酸 饮 料 的 肥 胖 者 男 生 为A 、 B 、 C 、 D, 女 生 为E 、 F, 则 任 取 两 人 有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种其中一男一女有 AE,AF,BE,BF,CE,CF,DE,DF.共 8 种 故抽出一男一女的概率是p = 8 15(12 19、解：(1) tanADC = 2, sinADC = 25 5 ,c
13、osADC = 5 5 sinACD =sin(CAD + ADC) =sinCADcosADC +cosCADsinADC = 2 2 ( 5 5 ) + 2 2 25 5 = 10 10 在 ACD中,由正弦定理得 AD sinACD = CD sinCAD,即 1 10 10 = CD 2 2 , 解得CD = 5 (2) AD BC, , sinBCD =sinADC = 25 5 ,cosBCD = cosADC = 5 5 在 BCD中,由余弦定理得BD2= CD2+ BC2 2BC CDcosBCD, 即40 = 5 + BC2 2BC,解得BC = 7或BC = 5(舍 SBC
14、D= 1 2BC CDsinBCD = 1 2 7 5 25 5 = 7 20、证明：由四边形ABCD为菱形,可得 为正三角形 因为E为BC的中点,所以 PBECDFA 又 ,因此 .- 因为 平面ABCD, 平面ABCD,所以 而 平面PAD, 平面PAD且 = , 所以 平面. 又 平面PAD, 所以 . 解：由条件可得 = 3, = 2, = 2 所以 的面积为= 1 2 3 2 3 4 = 15 4 设C到平面EAF的距离为d,则 三棱锥 的体积 = 1 3 1 = 1 3 所以1 2 1 3 1 = 15 4 ,从而 = 25 5 即C到平面EAF的距离为25 5 21、解：当a =
15、 1时,f(x) = x3 3 2x 2 + 1, f(2) = 3； f(x) = 3x2 3x, f(2) = 6 所以曲线y = f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y 3 = 6(x 2), 即y = 6x 9；)f(x) = 3ax2 3x = 3x(ax 1) 令f(x) = 0, 解得x = 0或x = 1 a 以下分两种情况讨论： (1)若0 0,等价于 f( 1 2) 0 f(1 2) 0 即 5a 8 0 5+a 8 0 解不等式组得5 5.因此0 2,则0 1 a 0等价于 f( 1 2) 0 f(1 a) 0 即 5a 8 0 1 1 2a2 0. 解不等式组得 2
16、 2 5或a 2 2 因此2 5 综合(1)和(2),可知 a 的取值范围为0 5 22、解、（1） . 1 3 33 3cos2 cos21 3 cos21 3 03 03, 3 2 , 1 2 2 22 222 2 2 2 y x yxC yxl yxyx t ty tx 即 的直角坐标方程为曲线 即 ，的直角坐标方程是直线 即 为参数）（ 2 25 , 2 2 2 2 d-1) 3 cos( 2 25 d,1) 3 cos( 2 |3) 3 2cos(| 2 |3sin3-cos| )( , sin3 cos 2 的取值范围是 取得最小值时，当 ；取得最大值时当 的距离上的点到直线则曲线 为参数的参数方程为曲线）（ d dlC y x C 23、 15| 1 2 1 2 1 5 23 2 213 2 2 1 23 2 1 2|2| 12|)(1 xxM xx x x x x x x xxxf 所以集合 或 或或 可化为由零点分段法）（ a bc abc bcbc c ab abc abba cbaabc mM 22 1 2 11 22 1 2 11 0, 0, 0, 1 112 其中 中最大元素为）可知集合证明：由（）（ 三式相加得) 111 (22 cba cba）（， 所以 cba cba 111 得证。 b ac abc acca 22 1 2 11
