1、南昌南昌东湖区东湖区 2019-2020 学年第一学期期中考试高三数学（理科）试题学年第一学期期中考试高三数学（理科）试题 第 I 卷(选择题) 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1、设集合31 |,4 , 3 , 2,5 , 3 , 2 , 1 , 1xRxCBA，则BCA)( ( ) 4 , 3 , 2 , 1.3 , 2 , 1.3 , 2.2.DCBA 2、已知为虚数单位，满足 2 )1 ()1 (iiz,则复数所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3、已
2、知等差数列*+的前n项和为,且2= 4,4= 2,则5=( ) A. 0 B. 10 C. 15 D. 30 4、函数() = * 2 , 0, 4 2,0 1 2， 则下列命题为真命题的是 A. () B. () () C. () D. 6、已知奇函数)(xf在 R 上是增函数，)()(xxfxg.若) 3(),2(),1 . 5log( 8 . 0 2 gcgbga ， 则cba,的大小关系为 （ ） cbaA、 abcB、 cabC、 acbD、 7、若实数x,y满足| 1| ln 1 = 0,则y关于x的函数图象的大致形状是( ) A. B. C. D. 8、在边长为 1 的正方形 A
3、BCD 中,M 为 BC 的中点,点 E 在线段 AB 上运动,则EM EC 的取值范围是 A. ,1 2,2- B. ,0, 1 2 - C. ,1 2, 3 2 - D. ,0,1- 9、已知三棱锥ABCD的外接球的表面积为128，24, 4ACBCAB，则三棱锥ABCD 体积的最大值为（ ） 3 616232 . 3 616 . 3 6810 . 32 27 . DCBA ）（的范围是，则中，若在锐角、 b c BCABC210 )3, 1 (.)2 ,2(.)3,2(.)2 , 0(.DCBA 11、已知 P 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b2 = 1(a 0, 0)上一点,F1,
4、F2为双曲线 C 的左、右焦点,若|PF1| = |F1F2|, 且直线PF2与以 C 的实轴为直径的圆相切,则 C 的渐近线方程为( ) A. y = 4 3 x B. y = 3 4 x C. y = 3 5 x D. y = 5 3x 12、已知函数), 1 ()( 2 为自然对数的底数eex e axxxf与 x exg)(的图像上存在关于直线xy 对称的点，则实数a的取值范围是 （ ） , 1 . 1 , 1 . 1 , 1 . 1 , 1 .e e eD e e e eC e eB e eA 第卷(非选择题) 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小
5、题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13、设52, 0, 0yxyx，则 xy yx) 12)(1( 的最小值为 . 14、已知sin. + 6/ cos = 1 3，则cos.2 3/的值为_ 15、定义在 R 上的函数f(x)满足f(x + 6) = f(x).当x ,3,3)时, 31; 13;)2( )( 2 xx xx xf，则 )2019()2018()3()2() 1 (fffff= 16、已知定义在 R 上的单调递增奇函数，若当11x时，0) 12()( 2 mfmxmxf恒成立， 则实数m的取值范围是 . 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小
6、题，共 7070 分）分） 17、 （12 分）数列*+满足1= 1,:1= ( + 1)+ ( + 1), （1）证明：数列* +是等差数列；（2）设= 3 ,求数列*+的前n项和 18、（12 分） 如图所示,在四棱锥P ABCD中,底面四边形 ABCD 是边长为2的正方形,PB = PD = 32,PC = 4, 点 E 为 PA 中点,AC 与 BD 交于点 O求证：OE 平面 ABCD；求二面角B PA D的余弦值 19、 （12 分）如图,在梯形ABCD中,已知 , = 1, = 210, = 4,tan = 2, 求：(1)的长；(2) 的面积 20、2019 年春节期间,我国高
7、速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆 出行的高峰情况,在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:20 10:40这一时间段内通过的车辆数,统计 发现这一时间段内共有 600 辆车通过该收费点,它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示,其 中时间段9:20 9:40记作区间,20,40),9:40 10:00记作,40,60),10:00 10:20记作,60,80),10:20 10:40记作,80,100-.例如：10 点 04 分,记作时刻 64 （1）估计这 600 辆车在9:20 10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值同一组中的数据用该组区间
8、的 中点值代表； （2）为了对数据进行分析,现采用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆,再从这 10 辆车中随机抽取 4 辆,设抽到的 4 辆车中,在9:20 10:00之间通过的车辆数为X,求X的分布列与数学期望； （3） 由大数据分析可知,车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布 (,2),其中可用这600辆车在9:20 10:40之间通过该收费点的时刻 的平均值近似代替,2可用样本的方差近似代替同一组中的数据用该组 区间的中点值代表,已知大年初五全天共有 1000 辆车通过该收费点,估计 在22:1046:9之间通过的车辆数结果保留到整数 参考数据：若 (,2),则( )
9、= 0.6827； ( 2 + 2) = 0.9545；( 3 + 3) = 0.9973 21、 （12 分）已知函数f(x) = (x 2)ex+ a(x 1)2 ()讨论f(x)的单调性； ()若f(x)有两个零点,求 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题积分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题积分.(.(本题本题 1010 分分) ) 22、在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为)( 2 , 1 为参数t ty tx .在以原点 O 为极点，x轴的正半轴 为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2 cos
10、21 3 . （1）直接写出直线l、曲线 C 的平面直角坐标方程； （2）设曲线 C 上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围。 23、已知函数|2| 12|)(xxxf，不等式2)(xf的解集为 M.（1）求 M； （2）记集合 M 的最大元素为 m，若正数cba,满足mabc ，求证： cba cba 111 . 数学（理科）参考答案数学（理科）参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C A B C B C D B A A 二、填空题 13、 34 14、 9 7 15、338 16、) 2 12 ,( 三、解答题 17、证明： na
11、n:1= (n + 1)an+ n(n + 1), an+1 n:1 = an n + 1, an+1 n:1 an n = 1, 数列*an n +是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列；解：由知, an n = 1 + (n 1) 1 = n, an= n2, bn= 3nan= n 3n, Sn= 1 3 + 2 32+ 3 33+ + (n 1) 3n;1+ n 3n, 3Sn= 1 32+ 2 33+ 3 34+ + (n 1) 3n+ n 3n:1, 得2Sn= 3 + 32+ 33+ + 3n n 3n:1= 3;3n+1 1;3 n 3n:1= 1;2n 2 3n:1 3
12、2, Sn= 2n;1 4 3n:1+ 3 4 18、(I)证明：底面四边形 ABCD 是边长为2的正方形,PB = PD = 32,PC = 4, 在 PBC中, PB2= PC2+ BC2, PC BC, 同理 可得PC CD, 而 BC CD = C,且 BC、CD 平面 ABCD, PC 平面 ABCD, 在 PAC中,由题意知 O、E 分别为 AC、PA 中点, 则 OE PC,而PC 平面 ABCD, OE 平面 ABCD由(I)知：OE 平面 ABCD,故可建立空间直角坐标系O xyz,如图所示, A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,1,0),P(1,0,4), AP =
13、 (2,0,4),AB = (1,1,0),AD = (1,1,0), 设 n = (x,y,z)、m = (a,b,c)分别为平面 PAB 和平面 PAD 的一个法向量, 则 n AP = 0 n AB = 0 , m AP = 0 m AD = 0 , 2x + 4z = 0 x + y = 0 ,2a + 4c = 0 a b = 0 , 不妨设z = c = 1,则n = (2,2,1),m = (2,2,1), cos = n m |n |m | = 22;22:11 99 = 1 9, 由图知二面角B PA D为钝二面角, 二面角的B PA D的余弦值为 1 9 19、解：(1)
14、tanADC = 2, sinADC = 25 5 ,cosADC = 5 5 sinACD =sin(CAD + ADC) =sinCADcosADC +cosCADsinADC = 2 2 ( 5 5 ) + 2 2 25 5 = 10 10 在 ACD中,由正弦定理得 AD sinACD = CD sinCAD,即 1 10 10 = CD 2 2 , 解 得CD = 5 (2) AD BC, , sinBCD =sinADC = 25 5 ,cosBCD = cosADC = 5 5 在 BCD中,由余弦定理得BD2= CD2+ BC2 2BC CDcosBCD, 即40 = 5 +
15、BC2 2BC,解得BC = 7或BC = 5(舍 SBCD= 1 2BC CDsinBCD = 1 2 7 5 25 5 = 7 20、解：（1） 这 600 辆车在 9：2010：40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30 0.005 + 50 0.015 + 70 0.020+ 90 0.010) 20 = 64,即 10 点 04 分 （2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的 10 辆车中, 在 10：00 前通过的车辆数就是位于时间分组中在,20,60)这一区间内的车辆数, 即(0.005 + 0.015) 20 10 = 4,所以X的可能取值为 0,1,2,3,4
16、 所以( = 0) = 6 4 10 4 = 1 14, ( = 1) = 6 341 10 4 = 8 21, ( = 2) = 6 242 10 4 = 3 7, ( = 3) = 6 143 10 4 = 4 35, ( = 4) = 6 044 10 4 = 1 210, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 14 8 21 3 7 4 35 1 210 所以() = 0 1 14 + 1 8 21 + 2 3 7 +3 4 35 + 4 1 210 = 8 5 (3)由(1)可得 = 64, 2= (30 64)2 0.1 + (50 64)2 0.3 + (70 64)
17、2 0.4 + (90 64)2 0.2 = 324, 所以 = 18, 估计在 9：4610：22 这一时间段内通过的车辆数,也就是8246T 通过的车辆数, 由 (,2),得 6827. 0 )18641864( TP 所以,估计在 9：4610：22 这一时间段内通过的车辆数为 )(6836827. 01000辆 21、解：由f(x) = (x 2)ex+ a(x 1)2, 可得f(x) = (x 1)ex+ 2a(x 1) = (x 1)(ex+ 2a) 当a 0时,由f(x) 0,可得x 1；由f(x) 0,可得x 1, 即有f(x)在(,1)递减,在(1,+)递增如右上图； 当a
18、0时如右下图, 若a = e 2,则f(x) 0恒成立,即有f(x)在 R 上递增； 若a 0,可得x (2), 由f(x) 0,可得1 (2), 即有f(x)在(,1),(ln(2a),+)递增,在(1,ln(2a)递减； 若 e 2 0,可得x 1, 由 f(x) 0,可得ln(2a) 0时, f(x)在 (,1)递减；在(1,+)递增, 且 f(1) = e 0或找到一个x 0对于a 0恒成立, 此 时 f(x) 有两个零点； 当 a = 0时,f(x) = (x 2)ex,所以f(x)只有一个零点x = 2； 当 若a e 2 a 0时, 时,f(x)在(1,ln(2a)递减,在(,1
19、),(ln(2a),+)递增, 又f(1) = e e 2时,在(,ln(2a),(1,+)单调增,在(ln(2a),1)单调减, 只有f(ln(2a)等于 0 才有两个零点, f(ln(2a) = ,ln(2a) 2-(2a) + a,ln(2a) 1-2= a*,ln(2a) 2-2+ 1+ 0 函数f(x)在 R 上至多存在一个零点,不合题意； 当a = e 2 时,f(x)在 R 上递增,所以至多有一个零点,不符题意 综上可得,f(x)有两个零点时,a 的取值范围为(0,+) 22、解、（1） . 1 3 33 3cos2 cos21 3 cos21 3 03 03, 3 2 , 1
20、2 2 22 222 2 2 2 y x yxC yxl yxyx t ty tx 即 的直角坐标方程为曲线 即 ，的直角坐标方程是直线 即 为参数）（ 2 25 , 2 2 2 2 d-1) 3 cos( 2 25 d,1) 3 cos( 2 |3) 3 2cos(| 2 |3sin3-cos| )( , sin3 cos 2 的取值范围是 取得最小值时，当 ；取得最大值时当 的距离上的点到直线则曲线 为参数的参数方程为曲线）（ d dlC y x C 23、 15| 1 2 1 2 1 5 23 2 213 2 2 1 23 2 1 2|2| 12|)(1 xxM xx x x x x x x xxxf 所以集合 或 或或 可化为由零点分段法）（ a bc abc bcbc c ab abc abba cbaabc mM 22 1 2 11 22 1 2 11 0, 0, 0, 1 112 其中 中最大元素为）可知集合证明：由（）（ 三式相加得) 111 (22 cba cba）（， 所以 cba cba 111 得证。 b ac abc acca 22 1 2 11
