1、期末复习：基础知识一遍过 数学 必修第一册(人教 A 版) 第一章 集合与常用逻辑用语知识手册 1.1 集合的概念集合的概念 第第 1 课时课时 集合的概念集合的概念 知识梳理 知识点一 元素与集合的概念 1元素：一般地，把_统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母 _表示 2集合：把一些_组成的总体叫做集合(set)，(简称为_)，常用 大写拉丁字母_表示 3集合相等：指构成两个集合的元素是_的 4集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是_、_的 知识点二 元素与集合的关系 1属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a_集合 A，记作_ 2 不属于： 如果 a 不是集合 A 中
2、的元素， 就说 a_集合 A， 记作_ 知识点三 常见的数集及表示符号 数集 非负整 数集(自 然数集) 正整 数集 _ 有理 数集 _ 符号 N N*或 N Z Q R 思考辨析 判断正误 1组成集合的元素一定是数( ) 2接近于 0 的数可以组成集合( ) 3分别由元素 0,1 和 1,0 组成的两个集合是相等的( ) 4一个集合中可以找到两个相同的元素( ) 第第 2 课时课时 集合的表示集合的表示 知识梳理 知识点一 列举法 把集合的所有元素_出来，并用_括起来表示集合的方法叫做列 举法 知识点二 描述法 一般地，设 A 是一个集合，把集合 A 中所有具有_P(x)的元素 x 所组成
3、的集合表示为xA|P(x)，这种表示集合的方法称为描述法 思考：不等式 x21与y|y1是不同的集合( ) 1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系 知识梳理 知识点一 子集、真子集、集合相等 1子集、真子集、集合相等 定义 符号 表示 图形 表示 子集 如果集合A中的 _元素 都是集合B中的 元素，就称集合 A 是集合 B 的子 集 A_B (或 B _A) 真子集 如果集合AB， 但存在元素 _，就称 集合 A 是集合 B A_B (或 B _A) 的真子集 集合相等 如果集合 A 的 _元素 都是集合B的元 素，同时集合 B 的_元 素都是集合A的 元素，那么集合 A 与集合 B 相等
4、A_B 2.Venn 图 用平面上_的内部代表集合，这种图称为 Venn 图 3子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的_，即 AA. (2)对于集合 A，B，C，如果 AB，且 BC，那么_ 知识点二 空集 1定义：不含_元素的集合叫做空集，记为_ 2规定：空集是_的子集 思考辨析 判断正误 1空集中不含任何元素，所以不是集合( ) 2任何一个集合都有子集( ) 3若 AB，则 AB 且 BA.( ) 4空集是任何集合的真子集( ) 1.3 集合的基本运算集合的基本运算 第第 1 课时课时 并集、交集并集、交集 知识梳理 知识点一 并集 知识点二 交集 知识点三 并集、交集的运算性质 并集的
5、运算性质 交集的运算性质 ABBA ABBA AA_ AA_ A_ A_ 思考辨析 判断正误 1AB 表示由集合 A 和集合 B 中元素共同组成的集合( ) 2AB 是由属于 A 且属于 B 的所有元素组成的集合( ) 3并集定义中的“或”就是“和”( ) 4若 ABCB，则 AC.( ) 第第 2 课时课时 补集补集 知识梳理 知识点 全集与补集 1全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的_，那么就称这个集合 为全集 (2)记法：全集通常记作_ 2补集 自然 语言 对于一个集合 A， 由全集 U 中_的所有元素组 成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集， 记作_ 符号 语言
6、 UA_ 图形 语言 思考辨析 判断正误 1全集是由任何元素组成的集合( ) 2不同的集合在同一个全集中的补集也不同( ) 3集合BC 与AC 相等( ) 4集合 A 与集合 A 在全集 U 中的补集没有公共元素( ) 1.4 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 14.1 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 知识梳理 知识点 充分条件与必要条件 “若 p，则 q”为真命题 “若 p，则 q”为假命题 推出 关系 p_q p_q 条件 关系 p 是 q 的_条件 q 是 p 的_条件 p 不是 q 的_条件 q 不是 p 的_条件 定理 关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定
7、理给出了相应数学结论成立的必要条件 思考：若 p 是 q 的充分条件，这样的条件 p 唯一吗？ 温馨提示：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若 p，则 q”形式的命题若 不是，则首先将命题改写成“若 p，则 q”的形式 (2)不能将“若 p， 则 q”与“pq”混为一谈， 只有“若 p， 则 q”为真命题时， 才有“pq” 思考辨析 判断正误 1“集合a，b，c有 3 个子集”是命题( ) 2若 p 是 q 的充分条件，则 p 是唯一的( ) 3若 q 是 p 的必要条件，则由 p 推出的结论 q 是不唯一的( ) 4数学中每一条定理都给出了相应结论成立的一个充分条件( ) 1.4.2 充要
8、条件充要条件 知识梳理 知识点 充要条件 一般地，如果_，且_，那么称 p 是 q 的充分必要条件，简称 _条件，记作_ 温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若 pq，则称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 若 pq，则 p 是 q 的充要条件 若 pq，且 qp，则称 p 是 q 的充分不必要条件 若 pq，且 qp，则称 p 是 q 的必要不充分条件 若 pq，且 qp，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件 (2)“”的传递性 若 p 是 q 的充要条件，q 是 s 的充要条件，即 pq，qs，则有 ps，即 p 是 s 的充要条件 思考辨析
9、判断正误 1“x0”是“(2x1)x0”的充分不必要条件( ) 2q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件( ) 3若 p 是 q 的充要条件，则条件 p 和 q 是两个相互等价的条件( ) 4q 不是 p 的必要条件时，“pq”成立( ) 随手记： 1.5 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 15.1 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 知识梳理 知识点 全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 命题 含有_的命题是全 称量词命题 含有_的命题是存 在量词命题 命题 形式 “对 M 中任意一个 x， p(x) 成立”，可用符号简记
10、为 “_” “存在 M 中的元素 x， p(x) 成立”，可用符号简记为 “_” 思考 1：x 2是命题吗？对任意的 xR，x 2是命题吗？ 思考 2：全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和存在量词？ 思考辨析 判断正误 1“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词( ) 2全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”( ) 3“三角形内角和是 180 ”是全称量词命题( ) 15.2 全称量词命题和存在量词命题的否定全称量词命题和存在量词命题的否定 知识梳理 知识点 含量词的命题的否定 p 綈 p 结论 全称量词命题xM， p(x) xM，綈 p(x) 全称量词命题的否
11、定是 _ 存在量词命题xM， p(x) _ 存在量词命题的否定是 _ 思考辨析 判断正误 1存在量词命题的否定是一个全称量词命题( ) 2 xM， 使 x 具有性质 p(x)与xM， x 不具有性质 p(x)的真假性相反 ( ) 3从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定( ) 4命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”( ) 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质 第第 1 课时课时 不等关系与不等式不等关系与不等式 知识梳理 知识点一 基本事实 两个实数 a，b，其大小关系有三种可能，即 ab，ab，ab_.
12、 如果 ab_. 如果 ab，那么 c2a 与 c2b 中较大的是_ 4已知 a，bR，若 ab1，则 a2b2的最小值是_ 第第 2 课时课时 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质 知识梳理 知识点一 等式的基本性质 (1)如果 ab，那么_ (2)如果 ab，bc，那么_ (3)如果 ab，那么 a cb c. (4)如果 ab，那么 acbc. (5)如果 ab，c0，那么a c b c. 知识点二 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称 性 abb_a 2 传递 性 ab，bcac 不可逆 3 可加 性 aba c_bc 可逆 4 可乘 性 abc0 ac_bc c 的
13、符号 abcb cd a c_bd 同向 6 同向 同正 可乘 性 ab0 cd0 ac_bd 同向 7 可乘 方性 ab0 an_bn(nN， n2) 同正 思考辨析 判断正误 1若 ab，则 acbc.( ) 2.a b1ab.( ) 3abacbc.( ) 4. ab cd acbd.( ) 2.2 基本不等式基本不等式 第第 1 课时课时 基本不等式基本不等式 知识梳理 知识点 基本不等式 1如果 a0，b0， ab_ab 2 ，当且仅当_时，等号成立其 中ab 2 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平均数 2变形：ab ab 2 2，a，bR，当且仅当 a
14、b 时，等号成立 ab2 ab，a，b 都是正数，当且仅当 ab 时，等号成立 思考辨析 判断正误 1对于任意 a，bR，a2b22ab.( ) 2nN*时，n2 n2 2.( ) 3x0 时，x1 x2.( ) 4若 a0，则 a3 1 a2的最小值为 2 a.( ) 第第 2 课时课时 基本不等式的应用基本不等式的应用 知识梳理 知识点 用基本不等式求最值 用基本不等式xy 2 xy求最值应注意： (1)x，y 是_； (2)如果 xy 等于定值 P，那么当 xy 时，和 xy 有最小值 2 P； 如果 xy 等于定值 S，那么当 xy 时，积 xy 有最大值1 4S 2. (3)讨论等号
15、成立的条件是否满足 思考辨析 判断正误 1若 a0，b0，且 ab16，则 ab64.( ) 2若 ab2，则 ab 的最小值为 2 2.( ) 3当 x1 时，函数 yx 1 x1 2 x x1 ，所以函数 y 的最小值是 2 x x1.( ) 4若 xR，则 x22 1 x222.( ) 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式 第第 1 课时课时 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式 知识梳理 知识点一 一元二次不等式的概念 定义 只含有一个_，并且未知数的最高次数是 _的不等式，叫做一元二次不等式 一般 形式 ax2bxc0，ax2b
16、xc0 0 0)的 图象 一元二次方程 ax2bxc 0(a0)的根 有两个不相等 的实数根 x1， x2(x10(a0)的解集 _ x| x b 2a R ax2bx c0)的解集 _ _ 思考辨析 判断正误 1mx25x0，则一元二次不等式 ax210 无解( ) 3若一元二次方程 ax2bxc0 的两根为 x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式 ax2bxc0 的解集为x|x1x0 的解集为 R.( ) 第第 2 课时课时 一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用 知识梳理 知识点 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1理解题意，搞清量与量之间的关系； 2建立相应的不等关系，把实际问题
17、抽象为数学中的一元二次不等式问题 3解这个一元二次不等式，得到实际问题的解 预习小测 自我检验 1不等式1x 1x0 的解集为_ 2不等式1 x1 的解集为_ 3某商品在最近 30 天内的价格 y1与时间 t(单位：天)的函数关系是 y1t 10(0t30，tN)；销售量 y2与时间 t 的函数关系是 y2t35(0t30，tN)， 使这种商品日销售金额不小于 500 元的 t 的范围是_ 第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示函数的概念及其表示 31.1 函数的概念函数的概念 知识梳理 知识点一 函数的有关概念 函数的 定义 设 A，B 是非空的_，如果对于集合 A 中 _，按
18、照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有_的数 y 和它对应，那么就称 f： _为从集合 A 到集合 B 的一个函数 函数的 记法 _，xA 定义域 x 叫做自变量，x 的_叫做函数的定义域 值域 函数值的集合fx|xA 叫做函数的值域 知识点二 同一个函数 一般地， 函数有三个要素： 定义域， 对应关系与值域 如果两个函数的_ 相同，并且_完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相 同 知识点三 区间 1区间概念(a，b 为实数，且 ab) 定义 名称 符号 数轴表示 x|a xb 闭区间 _ x|a xb 开区间 _
19、x|a xb 半开半 闭区间 _ x|aa x|x a x|x a 区间 _ _ _ _ _ _ 思考辨析 判断正误 1任何两个集合之间都可以建立函数关系( ) 2已知定义域和对应关系就可以确定一个函数( ) 3定义域中的某一个 x 可以对应着不同的 y.( ) 4区间不可能是空集( ) 3.1.2 函数的表示法函数的表示法 第第 1 课时课时 函数的表示方法函数的表示方法 知识梳理 知识点 函数的表示方法 思考：函数三种表示法的优缺点？ 思考辨析 判断正误 1任何一个函数都可以用解析法表示( ) 2任何一个函数都可以用图象法表示( ) 3函数 f(x)2x1 不能用列表法表示( ) 4函数的
20、图象一定是一条连续不断的曲线( ) 第第 2 课时课时 分段函数分段函数 知识梳理 知识点 分段函数 1一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值范围，有 着不同的_的函数 2分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 _；各段函数的定义域的交集是_ 3作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象 思考辨析 判断正误 1函数 f(x) 1，x0，1，x0 是分段函数( ) 2分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函 数( ) 3分段函数各段上的函数值集合的交集为.( ) 4分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集( ) 随手记： 3.
21、2 函数的基本性质函数的基本性质 32.1 单调性与最大单调性与最大(小小)值值 第第 1 课时课时 函数的单调性函数的单调性 知识梳理 知识点一 增函数与减函数的定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 DI： (1)如果x1，x2D，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间 D 上_， 特别地， 当函数 f(x)在它的定义域上单调递增时， 我们称它是_ (2)如果x1，x2D，当 x1f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间 D 上_， 特别地， 当函数 f(x)在它的定义域上单调递减时， 我们称它是_ 知识点二 函数的单调区间 如果函数 yf(x
22、)在区间 D 上单调递增或单调递减， 那么就说函数 yf(x)在这一 区间具有(严格的)_，区间 D 叫做 yf(x)的_ 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性 问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不 属于定义域则只能开 (2)单调区间 D定义域 I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大 思考辨析 判断正误 1如果 f(x)在区间a，b和(b，c上都是增函数，则 f(x)在区间a，c上是增函 数( ) 2函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(3)f(3)( ) 3若函数 yf(x)在定义域上有 f(1)0 时，幂函数
23、的图象通过_，并且在区间0，)上是_ 函数特别地，当 1 时，幂函数的图象_；当 01)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上 的顺序，幂指数按从_到_的顺序排列 思考辨析 判断正误 1函数 yx0(x0)是幂函数( ) 2幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)( ) 3幂函数的图象都不过第二、四象限( ) 4当 0 时，yx是增函数( ) 3.4 函数的应用函数的应用(一一) 知识梳理 知识点一 一次函数模型 形如_的函数为一次函数模型，其中_ 知识点二 二次函数模型 1一般式：_. 2顶点式：_. 3两点式：_. 知识点三 幂函数模型 1解析式：yaxb(a，b， 为常数，a0) 2单调
24、性：其增长情况由 x中的_的取值而定 思考辨析 判断正误 1函数 ykx8(k0)在 R 上是增函数( ) 2二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的最大值是4acb 2 4a .( ) 3分段函数中每一段的模型可以是一次函数或二次函数( ) 预习小测 自我检验 1汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中 汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，则图象可能是( ) 2随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧 量 y(g/m3)与大气压强 x(kPa)成正比例函数关系当 x36 kPa 时，y108 g/m3，则 y 与 x 的函数关系式为(
25、 ) Ay3x(x0) By3x Cy1 3x(x0) Dy 1 3x 第四章 指数函数与对数函数 4.1 指数指数 41.1 n 次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂 知识梳理 知识点一 n 次方根、n 次根式 1a 的 n 次方根的定义 一般地，如果_，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1，且 nN*. 2a 的 n 次方根的表示 n 的奇 偶性 a 的 n 次方根的表示 符号 a 的取值范围 n 为奇数 n a aR n 为偶数 n a 0，) 3.根式 式子na叫做根式，这里 n 叫做_，a 叫做被开方数 知识点二 根式的性质 1.n0_(nN*，且 n1) 2(na)n_(
26、a0，nN*，且 n1) 3.nana(n 为大于 1 的奇数) 4.nan|a| ，a0， ，a0，m，nN*，且 n1) 负分数 指数幂 规定：a -m n 1 am n 1 n am (a0，m，nN*，且 n1) 0 的分数 指数幂 0 的正分数指数幂等于_，0 的负分数指数幂 _ 知识点四 有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)arasar s(a0，r，sQ)； (2)(ar)sars(a0，r，sQ)； (3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ) 思考辨析 判断正误 1当 nN*时，(n3)n都有意义( ) 2(2)6 4(2) 3
27、2.( ) 3a2 a1 2a.( ) 4分数指数幂 am n可以理解为 m n个 a 相乘( ) 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质无理数指数幂及其运算性质 知识梳理 知识点一 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 a(a0， 为无理数)是一个确定的_有理数指 数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 知识点二 实数指数幂的运算性质 1arasar s(a0，r，sR) 2(ar)s_(a0，r，sR) 3(ab)r_(a0，b0，rR) 预习小测 自我检验 1计算( 2)2 1 2_. 2下列等式一定成立的是_(填序号) a 1 3 a 3 2 a; a 1 -2 a 1 20；(a3)2a9
28、；a 1 2 a 1 3a 1 6. 3若 102x25，则 10 x_. 4计算：02 2 21 4 1 2_. 4.2 指数函数指数函数 42.1 指数函数的概念指数函数的概念 知识梳理 知识点一 指数函数的定义 一般地，函数_(a0，且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的 定义域是 R. 思考：为什么底数应满足 a0 且 a1? 知识点二 两类指数模型 1ykax(k0)，当_时为指数增长型函数模型 2ykax(k0)，当_时为指数衰减型函数模型 思考辨析 判断正误 1yxx(x0)是指数函数( ) 2yax 2(a0 且 a1)是指数函数( ) 3y 1 2 x 是指数衰减
29、型函数模型( ) 4若 f(x)ax为指数函数，则 a1.( ) 42.2 指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质(一一) 知识梳理 知识点 指数函数的图象和性质 指数函数 yax(a0，且 a1)的图象和性质如下表： a1 0a0 时，_； 当 x0 时，_； 的变化 当 x0 时，_ 当 xag(x)的不等式，可借助 yax的_求解； (2)形如 af(x)b 的不等式，可将 b 化为以 a 为底数的指数幂的形式，再借助 y ax的_求解； (3)形如 axbx的不等式，可借助两函数 yax，ybx的图象求解 知识点三 指数型函数的单调性 一般地，有形如 yaf(x)(a0，且 a1)函
30、数的性质 (1)函数 yaf(x)与函数 yf(x)有_的定义域 (2)当 a1 时，函数 yaf(x)与 yf(x)具有_的单调性；当 0a0.1b，则 ab.( ) 3a，b 均大于 0 且不等于 1，若 axbx，则 x0.( ) 4由于 yax(a0 且 a1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函 数也组不成具有奇偶性的函数( ) 4.3 对数对数 43.1 对数的概念对数的概念 知识梳理 知识点一 对数的有关概念 对数的概念： 一般地，如果 axN(a0，且 a1)，那么数 x 叫做_，记作 x logaN，其中 a 叫做对数的_，N 叫做_ 常用对数与自然对数： 通常将以
31、10 为底的对数叫做_，以 e(e2.718 28)为底的对数称为 _，log10N 可简记为_，logeN 简记为_ 知识点二 对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系： 若 a0，且 a1，则 axNlogaN_. 对数恒等式：alogaN_；logaax_(a0，且 a1) 知识点三 对数的性质 11 的对数为_ 2底的对数为_ 3零和负数_ 思考辨析 判断正误 1若 3x2，则 xlog32.( ) 2因为 a1a(a0 且 a1)，所以 logaa1.( ) 3logaN0(a0 且 a1，N0)( ) 4若 ln N1 2，则 N 1 2 e.( ) 4.3.2 对数的运算对数
32、的运算 知识梳理 知识点一 对数运算性质 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么： (1)loga(M N)_； (2)logaM N_； (3)logaMn_(nR) 知识点二 换底公式 1logablogcb logca(a0，且 a1；c0，且 c1；b0) 2对数换底公式的重要推论： (1)logaN 1 logNa(N0，且 N1；a0，且 a1)； (2)loganbmm nlogab(a0，且 a1，b0)； (3)logab logbc logcdlogad(a0，b0，c0，d0，且 a1，b1，c1) 预习小测 自我检验 1计算 log84log82_. 2计算 log51
33、0log52_. 3(1)lg 10_； (2)已知 ln a0.2，则 lne a_. 4.log29 log23_. 4.4 对数函数对数函数 44.1 对数函数的概念对数函数的概念 知识梳理 知识点 对数函数的概念 一般地，函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的 定义域是_ 思考：函数 ylogx，ylog2x 3是对数函数吗？ 思考辨析 判断正误 1由 ylogax，得 xay，所以 x0.( ) 2ylog2x2是对数函数( ) 3若对数函数 ylogax，则 a0.( ) 4函数 yloga(x1)的定义域为(0，)( ) 44.2 对数函数的
34、图象和性质对数函数的图象和性质(一一) 知识梳理 知识点 对数函数的图象和性质 对数函数 ylogax(a0，且 a1)的图象和性质如下表： ylogax (a0，且 a1) 底数 a1 0a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为 _ (1)yax的定义域 R 就是 ylogax 的_；而 yax的值域(0，)就是 y logax 的_ (2)互为反函数的两个函数 yax(a0，且 a1)与 ylogax(a0，且 a1)的图象 关于直线_对称 (3)互为反函数的两个函数 yax(a0，且 a1)与 ylogax(a0，且 a1)的 _相同但单调区间不一定相同 预习小测
35、自我检验 1已知 f(x)log2x，若 f(x)1) ylogax (a1) ykx (k0) 在(0， )上 的增减性 _ _ _ 图象的 变化 随 x 的增大逐渐 变“陡” 随 x 的增大逐渐 趋于稳定 随 x 的增大匀速 上升 增长 速度 yax的增长_ykx 的增长，ykx 的增长 _ylogax 的增长 增长 后果 会存在一个 x0，当 xx0时，有_ 思考辨析 判断正误 1 当x每增加一个单位时， y增加或减少的量为定值， 则y是x的一次函数 ( ) 2一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预 测( ) 3函数 ylog 1 2 x 衰减的速度越来越慢( )
36、4 由于指数函数模型增长速度最快， 所以对于任意 xR 恒有 ax2x(a1) ( ) 4.5 函数的应用函数的应用(二二) 45.1 函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 知识梳理 知识点一 函数的零点 对于函数 yf(x)，我们把使_的实数 x 叫做函数 yf(x)的_ 方程、函数、图象之间的关系： 方程 f(x)0_函数 yf(x)_函数 yf(x)的图象与_ 有交点 思考：(1)函数的“零点”是一个点吗？ (2)函数 yx2有零点吗？ 知识点二 函数的零点、方程的解、函数图象与 x 轴的交点 方程f(x)0的实数解函数yf(x)的_函数yf(x)的图象与x轴的交 点的_ 知识点三
37、函数零点存在定理 如果函数 yf(x)在区间a， b上的图象是一条_的曲线， 并且有_， 那么， 函数yf(x)在区间(a， b)内_， 即存在c(a， b)， 使得_， 这个 c 也就是方程 f(x)0 的解 思考辨析 判断正误 1函数 f(x)3x2 的零点为2 3.( ) 2若 f(a) f(b)0，则 f(x)在a，b内无零点( ) 3若 f(x)在a，b上为单调函数，且 f(a) f(b)0，则 f(x)在(a，b)内有且只有一 个零点( ) 4若 f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则 f(a) f(b)0.( ) 45.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 知识梳
38、理 知识点一 二分法 对于在区间a，b上图象连续不断且_的函数 yf(x)，通过不断地把函 数 f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点_，进而得到零 点近似值的方法叫做二分法 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解 思考：已知函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，采用什么方法能进一步有效缩 小零点所在的区间？ 知识点二 用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 1确定零点 x0的初始区间a，b，验证_ 2求区间(a，b)的中点_ 3计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若 f(c)0(此时 x0c)，则_就是函数的零点； (2)若 f(a) f(c)
39、0(此时 x0_)，则令 bc； (3)若 f(c) f(b)0(此时 x0_)，则令 ac. 4判断是否达到精确度 ：若|ab|0且a1) 对数型函 数模型 f(x)_(a， b， c为常数， b0， a0且a1) 幂函数 型模型 f(x)_(a，b 为常数，a0) 知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程 1_弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2_将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利 用数学知识建立相应的数学模型； 3_求解数学模型，得出数学模型； 4_将数学结论还原为实际问题 思考辨析 判断正误 1在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符
40、合该函数模 型( ) 2 利用函数模型求实际应用问题的最值时， 要特别注意取得最值时的自变量与 实际意义是否相符( ) 3用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义 了( ) 第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制任意角和弧度制 51.1 任意角任意角 知识梳理 知识点一 任意角 1角的概念： 角可以看成平面内一条_绕着它的端点_所成的_ 2角的表示： 如图， OA 是角 的_， OB 是角 的_， O 是角 的_ 角 可记为“角 ”或“”或简记为“” 3角的分类： 名称 定义 图示 正角 按_方向旋转形成 的角 负角 按_方向旋转形成 的角 零角 一条射线_作任何 旋
41、转形成的角 知识点二 角的加法与减法 设 ， 是任意两个角，_为角 的相反角 (1)：把角 的_旋转角 . (2)：_. 知识点三 象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与_重合，角的始边与 x 轴的 非负半轴重合，那么，角的_在第几象限，就说这个角是第几_；如 果角的终边在_，就认为这个角不属于任何一个象限 知识点四 终边相同的角 所有与角 终边相同的角， 连同角 在内， 可构成一个集合 S|k 360 ， kZ，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和 思考辨析 判断正误 1第二象限角是钝角( ) 2终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同( ) 3终边相同的
42、角有无数个，它们相差 360 的整数倍( ) 5.1.2 弧度制弧度制 知识梳理 知识点一 度量角的两种单位制 1角度制： (1)定义：用_作为单位来度量角的单位制 (2)1 度的角：周角的 1 360. 2弧度制： (1)定义：以_作为单位来度量角的单位制 (2)1 弧度的角：长度等于_的圆弧所对的圆心角 知识点二 弧度数的计算 知识点三 角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360 _ rad 2 rad_ 180 _ rad rad_ 1 180 rad0.017 45 rad 1 rad 180 57.30 度数 180弧度数 弧度数 180 度数 知识点四 弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为 R，弧长为 l，(00)对 ysin(x)图象的影响 3A(A0)对 yAsin(x)图象的影响 思考辨析 判断正误 1由函数 ysin x 3 的图象得到 ysin x 的图象，必须向左平移( ) 2 把函数 ysin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的 3 倍就得到函数 ysin 3x 的图象( ) 3将函数 ysin x 图象上各点的纵坐标变为原来的 A(A0)倍，便得到函数 y Asin x 的图象( ) 5.6 函数函数 yAsin(x)(二二) 知识梳理 知识点 函数 yAsin(x)(A0，0)的有关性质 名称 性质 定义域 _ 值域 _
