全国重点高中竞赛讲座 22因式分解
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1、竞赛讲座 22 -因式分解因式分解 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,具有一定的灵活性和技巧性,下面 我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上,结合竞赛再补充介绍添项、拆项法, 待定系数法、换元法、对称式的分解等有关内容和方法. 1.添项.拆项法 添项、拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式, 解题时要注意 观察分析题目的特点. 例 1 (1986 年扬州初一数学竞赛题)分解因式 (1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解:原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =(1+y)+x2(1-
2、y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2 =(1+y)+x2(1-y)+2x (1+y)+x2(1-y)-2x =(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1) =(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1) =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 例 2(第 11 届国际数学竞赛题)证明:具有如下性质的自然数 a 有无穷多个,对 于任意的自然数 m.z=n4+a 都不是素数. 证明 设 a=4k4(k 为大于 1 的自然数) ,则 z=n4+a =n4+4k4 =n4+4n2k2+4k
3、4-4n2k2 =(n2+2k2)2-4n2k2 =(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk) =(n+k)2+k2(n-k)2+k2. k 为大于 1 的自然数, (n+k)2+k21, (n-k)2+k21 故的右边两个因子都大于 1,故当 k1 时,z 是合数. 由于大于 1 的自然数 k 有无穷多个,故有无穷多个自然数 a,使 n4+a 对一切自然 数 n 总非素数 2.待定系数法 若两多项式 f(x)=g(x),则它们同次的对应项系数一定相等,利用这条结论可将某些 因式分解的问题转化为解方程组的问题来解决. 例 3 分解因式 3x2+5xy-2y2+x+9y-4. 解 由于 3
4、x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y),故可设 3x2+5xy-2y2+x+9y-4 =(3x-y+a)(x+2y+b) =3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab. 比较两边系数得 由,联立得 a=4,b=-1,代入式适合. 原式=(3x-y+4)(x+2y-1). 例4 (1963年北京中学生数学竞赛试题)已知多项式x3+bx2+cx+d 的系数都是 整数,若 bd+cd 是奇数,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积. 证明 设 x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r) =x3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr (其中 p、q、r 均为
5、整数) 比较两边系数得 pr=d. 又 bd+cd=d(b+c)是奇数,故 b+c 与 d 均为奇数,那么 pr 也是奇数,即 p 与 r 也是奇数. 今以 x=1 代入(因为它是恒等式)得 1+b+c+d=(1+p)(1+q+r). b+c,d 为奇数,1+b+c+d 也为奇数,而 p 为奇数,1+p 为偶数. (1+p)(1+q+r)为偶数.这说明等式的左端为奇数,右端为偶数,这是不可能的. 所以,所述多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积. 3.换元法 例 5 分解因式 (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120. 解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120 =(x+
6、2)(x+3)(x+1)(x+4)-120 =(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120 令 x2+5x=A, 代入上式,得 原式=(A+6)(A+4)-120=A2+10A-96 =(A+16)(A-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1) 例 6 证明 a(a+1)(a+2)(a+3)+1 必为完全平方数 解 原式=a(a+3)(a+1)(a+2)+1 =(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1 =(a2+3a+1)2 a(a+1)(a+2)(a+3)+1 为完全平方数. 说明:这里未设新元,但在思想上把
7、 a2+3a 看作一个新元素. 4.对称式的因式分解 在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的 多项式叫做对称多项式. 例 7 分解因式 x4+(x+y)4+y4 分析 这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是 x+y,xy 任何二元对称多项 式都可用 x+y,xy 表示,如 x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将 其用 xy,x+y 表示,再行分解. 解 x4+y4 =(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2 =(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2. 原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y



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