1、7.37.3 离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征 7 7. .3.13.1 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均 值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值， 解决一些相关的实际问题 知识点一 离散型随机变量的均值 1离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn i1 n xipi为随机变量 X 的均值或数学期望 2离散
2、型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概 率，反映了随机变量取值的平均水平 3离散型随机变量的均值的性质 若 YaXb， 其中 a， b 均是常数(X 是随机变量)， 则 Y 也是随机变量， 且有 E(aXb)aE(X) b. 证明如下：如果 YaXb，其中 a，b 为常数，X 是随机变量，那么 Y 也是随机变量因此 P(Yaxib)P(Xxi)，i1,2,3，n，所以 Y 的分布列为 Y ax1b ax2b axib axnb P p1 p2 pi pn 于是有 E(Y)(ax1b)p1(ax2b)p2(axib)pi(axnb
3、)pna(x1p1x2p2 xipixnpn)b(p1p2pipn)aE(X)b，即 E(aXb)aE(X)b. 思考 离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？ 答案 (1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个 随机变量，它随样本抽取的不同而变化 (2)联系： 对于简单的随机样本， 随着样本容量的增加， 样本平均值越来越接近于总体的均值 知识点二 两点分布的均值 如果随机变量 X 服从两点分布，那么 E(X)0(1p)1pp. 1随机变量 X 的均值 E(X)是个变量，其随 X 的变化而变化( ) 2随机变量的均值反映了样本的平均水平( ) 3若随机
4、变量 X 的均值 E(X)2，则 E(2X)4.( ) 4若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)P(X1)( ) 一、利用定义求离散型随机变量的均值 例 1 袋中有 4 只红球，3 只黑球，现从袋中随机取出 4 只球，设取到一只红球得 2 分，取到 一只黑球得 1 分，试求得分 X 的均值 解 取出 4 只球颜色及得分分布情况是 4 红得 8 分，3 红 1 黑得 7 分，2 红 2 黑得 6 分，1 红 3 黑得 5 分，因此，X 的可能取值为 5,6,7,8， P(X5)C 1 4C 3 3 C47 4 35， P(X6)C 2 4C 2 3 C47 18 35， P(X7)C 3 4
5、C 1 3 C47 12 35， P(X8)C 4 4C 0 3 C47 1 35， 故 X 的分布列为 X 5 6 7 8 P 4 35 18 35 12 35 1 35 E(X)5 4 356 18 357 12 358 1 35 44 7 . 反思感悟 求随机变量 X 的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量 X 的意义，写出 X 所有可能的取值 (2)求出 X 取每个值的概率 P(Xk) (3)写出 X 的分布列 (4)利用均值的定义求 E(X) 跟踪训练 1 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉 宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得 1 分，若
6、猜对两道题目可得 3 分，要是 三道题目完全猜对可得 6 分，若三道题目全部猜错，则扣掉 4 分如果嘉宾猜对这三道题目 的概率分别为2 3， 1 2， 1 3，且三道题目之间相互独立求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的 分布列与均值 解 根据题意，设 X 表示“该嘉宾所得分数”，则 X 的可能取值为4,1,3,6. P(X4) 12 3 11 2 11 3 1 9， P(X1)2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 1 3 7 18， P(X3)2 3 1 2 2 3 2 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 3 7 18， P(X6)2 3 1 2 1 3 2 18
7、 1 9. X 的分布列为 X 4 1 3 6 P 1 9 7 18 7 18 1 9 E(X)(4)1 91 7 183 7 186 1 9 16 9 . 二、离散型随机变量均值的性质 例 2 已知随机变量 X 的分布列为 X 2 1 0 1 2 P 1 4 1 3 1 5 m 1 20 若 Y2X，则 E(Y)_. 答案 17 15 解析 由随机变量分布列的性质，得 1 4 1 3 1 5m 1 201，解得 m 1 6， E(X)(2)1 4(1) 1 30 1 51 1 62 1 20 17 30. 由 Y2X，得 E(Y)2E(X)， 即 E(Y)2 17 30 17 15. 延伸探
8、究 本例条件不变，若 aX3，且 E()11 2 ，求 a 的值 解 E()E(aX3)aE(X)317 30a3 11 2 ， 所以 a15. 反思感悟 求线性关系的随机变量 ab 的均值方法 (1)定义法：先列出 的分布列，再求均值 (2)性质法：直接套用公式，E()E(ab)aE()b，求解即可 跟踪训练 2 已知随机变量 和 ，其中 127，且 E()34，若 的分布列如下表，则 m 的值为( ) 1 2 3 4 P 1 4 m n 1 12 A.1 3 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 8 答案 A 解析 因为 127， 则 E()12E()7， 即 E()12 11 42m3n
9、4 1 12 734. 所以 2m3n5 3， 又1 4mn 1 121，所以 mn 2 3， 由可解得 m1 3. 三、均值的实际应用 例 3 随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等 品 20 件、次品 4 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万 元，而 1 件次品亏损 2 万元，设 1 件产品的利润(单位：万元)为 X. (1)求 X 的分布列； (2)求 1 件产品的平均利润(即 X 的均值)； (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1%，一等品率提高为 70%.若此时要 求 1
10、件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？ 解 (1)X 的所有可能取值有 6,2,1，2， P(X6)126 2000.63，P(X2) 50 2000.25， P(X1) 20 2000.1，P(X2) 4 2000.02. 故 X 的分布列为 X 6 2 1 2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34(万元) (3)设技术革新后的三等品率为 x，则此时 1 件产品的平均利润为 E(X)60.72(10.7 0.01x)1x(2)0.014.76x(0 x0.29)， 依题意，E(X)4.73，即 4.
11、76x4.73， 解得 x0.03，所以三等品率最多为 3%. 反思感悟 解答概率模型的三个步骤 (1)建模：即把实际问题概率模型化 (2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值 (3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断 跟踪训练 3 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首 次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该 厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆，统计数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现故障 时间 x(年) 0x 1 12 02 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2
12、.9 将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1，生产一辆乙品牌轿车的 利润为 X2，分别求 X1，X2的分布列； (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若 从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由 解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A，则 P(A)23 50 1 10. (2)依题意得，X1的分布列为 X1 1 2 3 P 1 25 3 50 9 10 X2的分布列
13、为 X2 1.8 2.9 P 1 10 9 10 (3)由(2)得 E(X1)1 1 252 3 503 9 102.86(万元) E(X2)1.8 1 102.9 9 102.79(万元) E(X1)E(X2)，应生产甲品牌轿车 1已知离散型随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 P 3 5 3 10 1 10 则 X 的均值 E(X)等于( ) A.3 2 B2 C. 5 2 D3 答案 A 解析 E(X)13 52 3 103 1 10 3 2. 2抛掷一枚硬币，规定正面向上得 1 分，反面向上得1 分，则得分 X 的均值为( ) A0 B.1 2 C1 D1 答案 A 解析 因为 P
14、(X1)1 2，P(X1) 1 2，所以由均值的定义得 E(X)1 1 2(1) 1 20. 3设 的分布列为 1 2 3 4 P 1 6 1 6 1 3 1 3 又设 25，则 E()等于( ) A.7 6 B. 17 6 C.17 3 D.32 3 答案 D 解析 E()11 62 1 63 1 34 1 3 17 6 ， E()E(25)2E()5217 6 532 3 . 4若随机变量 YaX3，且 E(Y)7 3，E(X) 1 3，则 a_. 答案 2 解析 E(X)1 3，E(Y) 7 3，YaX3， aE(X)37 3，解得 a2. 5某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验 3 次均失败，则放弃试验若此人每次试验成功的概率均为2 3，则此人试验次数 的均值是 _ 答案 13 9 解析 试验次数 的可能取值为 1,2,3， 则 P(1)2 3， P(2)1 3 2 3 2 9， P(3)1 3 1 3 2 3 1 3 1 9. 所以 的分布列为 1 2 3 P 2 3 2 9 1 9 所以 E()12 32 2 93 1 9 13 9 . 1知识清单： (1)离散型随机变量的均值 (2)离散型随机变量的均值的性质 (3)两点分布的均值 2方法归纳：函数与方程、转化化归 3常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析
