1、7.47.4 二项分布与超几何分布二项分布与超几何分布 7 7. .4.14.1 二项分布二项分布 学习目标 1.理解 n重伯努利试验的概念.2.掌握二项分布.3.能利用 n重伯努利试验及二项分 布解决一些简单的实际问题 知识点一 n 重伯努利试验及其特征 1n 重伯努利试验的概念 将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验 2n 重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做 n 次 (2)各次试验的结果相互独立 思考 在相同条件下，有放回地抽样试验是 n 重伯努利试验吗？ 答案 是其满足 n 重伯努利试验的共同特征 知识点二 二项分布 一般地，在 n
2、 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0p1)，用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为 P(Xk)Cknpk(1p)n k，k0,1,2，n. 称随机变量 X 服从二项分布，记作 XB(n，p) 知识点三 二项分布的均值与方差 若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p) 1设 X 为 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数，则 XB(n，p)( ) 2在 n 重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响( ) 3对于 n 重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同( ) 4如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 重伯努利试验中
3、这个事件恰好发生 k 次的概率 P(Xk)Cknpk(1p)n k，k0,1,2，n.( ) 一、n 重伯努利试验的判断 例 1 判断下列试验是不是 n 重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3 次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了 10 次，其中 6 次击中； (3)口袋中装有 5 个白球，3 个红球，2 个黑球，依次从中抽取 5 个球，恰好抽出 4 个白球 解 (1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是 n 重伯努利试验 (2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是 n 重伯努利试验 (3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可
4、能性不相等，因此不是 n 重伯努利试验 反思感悟 n 重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行 (2)每次试验相互独立，互不影响 (3)每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生 跟踪训练 1 (多选)下列事件不是 n 重伯努利试验的是( ) A运动员甲射击一次，“射中 9 环”与“射中 8 环” B甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中 10 环”与“乙射中 9 环” C甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D在相同的条件下，甲射击 10 次，5 次击中目标 答案 ABC 解析 AC 符合互斥事件的概念，是互斥事件；B 是相互独立
5、事件；D 是 n 重伯努利试验 二、n 重伯努利试验的概率 例 2 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是2 3和 3 4，假设每次射击是否击中目标， 相互之间没有影响(结果需用分数作答) (1)求甲射击 3 次，至少有 1 次未击中目标的概率； (2)求两人各射击 2 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 1 次的概率 解 (1)记“甲射击 3 次至少有 1 次未击中目标”为事件 A1，由题意，知射击 3 次，相当于 3 重伯努利试验，故 P(A1)1P( A1)1 2 3 319 27. (2)记“甲射击 2 次，恰有 2 次击中目标”为事件 A2，“乙射击 2 次，恰有 1 次
6、击中目标”为 事件 B2，则 P(A2)C22 2 3 24 9，P(B2)C 1 2 3 4 1 13 4 3 8，由于甲、乙射击相互独立， 故 P(A2B2)4 9 3 8 1 6. 延伸探究 1在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标 1 次的概率 解 记“甲击中目标 1 次”为事件 A3， “乙击中目标 1 次”为事件 B3， 则 P(A3)C122 3 1 3 4 9，P(B3) 3 8， 所以甲、乙均击中目标 1 次的概率为 P(A3B3)4 9 3 8 1 6. 2在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中 2 次的概率 解 记“甲未击中目标”为事件 A4， “乙击中 2 次”为事
7、件 B4， 则 P(A4)C02 12 3 21 9， P(B4)C22 3 4 29 16，所以甲未击中、乙击中 2 次的概率为 P(A4B4) 1 9 9 16 1 16. 反思感悟 n 重伯努利试验概率求法的三个步骤 (1)判断：依据 n 重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为 n 重伯努利试验 (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆 (3)计算：就每个事件依据 n 重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式 计算 跟踪训练 2 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为2 3，没有平局 (1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者胜，甲获胜的概率是多少？ (2)若进行
8、五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？ 解 (1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则 P 2 3 2C1 22 3 1 3 2 3 20 27. (2)甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则 P 2 3 3C2 3 2 3 21 3 2 3C 2 4 2 3 2 1 3 22 3 64 81. 三、二项分布的应用 例 3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有 5 个交通岗，假设他在各交通岗遇 到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 3. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数 的均值； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车
9、前经过的路口数 的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 解 (1)方法一 由 B 5，1 3 ，则 P(k)Ck5 1 3 k 2 3 5k，k0,1,2,3,4,5. 即 P(0)C05 1 3 0 2 3 532 243； P(1)C151 3 2 3 480 243； P(2)C25 1 3 2 2 3 380 243； P(3)C35 1 3 3 2 3 240 243； P(4)C45 1 3 42 3 10 243； P(5)C55 1 3 5 1 243. 故 的分布列为 0 1 2 3 4 5 P 32 243 80 243 80 243 40 243 10
10、243 1 243 E()0 32 2431 80 2432 80 2433 40 2434 10 2435 1 243 5 3. 方法二 B 5，1 3 ，E()5 3. (2) 的分布列为 P(k)P(前 k 个是绿灯，第 k1 个是红灯) 2 3 k1 3，k0,1,2,3,4,5， 即 P(0) 2 3 01 3 1 3； P(1)2 3 1 3 2 9； P(2) 2 3 21 3 4 27； P(3) 2 3 31 3 8 81； P(4) 2 3 41 3 16 243； P(5)P(5 个均为绿灯) 2 3 532 243. 故 的分布列为 0 1 2 3 4 5 P 1 3
11、2 9 4 27 8 81 16 243 32 243 (3)所求概率为 P(1)1P(0) 1 2 3 5211 243. 反思感悟 概率综合问题的求解策略 (1)定模型：准确地确定事件的性质，把问题归为古典概型、互斥事件、独立事件、n 重伯努 利试验中的某一种 (2)明事件：判断事件是 AB 还是 AB. (3)套公式：选择相应公式求解即可 跟踪训练 3 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为3 4， 某班 3 名同学商定明天分别就同 一问题询问该服务中心 且每人只拨打一次， 求他们中成功咨询的人数X的分布列， 并求E(X) 解 由题意可知 XB 3，3 4 ， P(Xk)Ck3 3 4
12、k 1 4 3k，k0,1,2,3， 即 P(X0)C03 3 4 0 1 4 31 64； P(X1)C133 4 1 4 29 64； P(X2)C23 3 4 21 4 27 64； P(X3)C33 3 4 327 64. X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 64 9 64 27 64 27 64 方法一 E(X)0 1 641 9 642 27 643 27 64 9 4. 方法二 XB 3，3 4 ，E(X)33 4 9 4. 1若随机变量 XB 5，1 3 ，则 P(X2)等于( ) A. 1 3 2 2 3 3 B. 2 3 2 1 3 3 CC25 2 3 2 1 3
13、 3 DC25 1 3 2 2 3 3 答案 D 解析 随机变量 XB 5，1 3 ， P(X2)C25 1 3 2 2 3 3. 2一头猪服用某药品后被治愈的概率是 90%，则服用这种药的 5 头猪中恰有 3 头被治愈的 概率为( ) A0.93 B1(10.9)3 CC350.930.12 DC350.130.92 答案 C 解析 5 头猪中恰有 3 头被治愈的概率为 C350.930.12. 3一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，已知至少命中一次的概率为80 81，则此射手的命中 率是( ) A.1 3 B. 2 3 C. 1 4 D. 2 5 答案 B 解析 设此射手的命中概率为
14、x，则不能命中的概率为 1x，由题意知 4 次射击全部没有命 中目标的概率为 180 81 1 81，有(1x) 41 81，解得 x 2 3或 x 4 3(舍去) 4从次品率为 0.1 的一批产品中任取 4 件，恰有两件次品的概率为_ 答案 0.048 6 解析 PC24(0.1)2(10.1)20.048 6. 5 已知小明投 10 次篮， 每次投篮的命中率均为 0.7， 记 10 次投篮中命中的次数为 X， 则 D(X) _. 答案 2.1 解析 由题意，知 XB(10,0.7)，则 D(X)100.7(10.7)2.1. 1知识清单： (1)n 重伯努利试验的概念及特征 (2)二项分布的概念及表示 2方法归纳：数学建模 3常见误区：二项分布的判断错误
