1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学 一一选择题选择题 1. 设集合 1Ax x，12Bxx ，则AB （ ） A. 1x x B. 1x x C. 11xx D. 12xx 【答案】D 2. 已知aR， 1i i3ia，(i 为虚数单位)，则a（ ） A. 1 B. 1 C. 3 D. 3 【答案】C 3. 已知非零向量, ,a b c，则“a cb c ”是“a b ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A. 3 2 B. 3 C. 3
2、 2 2 D. 3 2 【答案】A 5. 若实数 x，y 满足约束条件 10 0 2310 x xy xy ，则 1 2 zxy的最小值是（ ） A. 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 1 10 【答案】B 6. 如图已知正方体 1111 ABCDABC D，M，N 分别是 1 AD， 1 D B的中点，则（ ） A 直线 1 AD与直线 1 D B垂直，直线/ /MN平面ABCD B. 直线 1 AD与直线 1 D B平行，直线MN 平面 11 BDD B C. 直线 1 AD与直线 1 D B相交，直线/MN平面ABCD D. 直线 1 AD与直线 1 D B异面，直线MN 平面 11
3、 BDD B 【答案】A 7. 已知函数 2 1 ( ), ( )sin 4 f xxg xx，则图象为如图的函数可能是（ ） A. 1 ( )( ) 4 yf xg x B. 1 ( )( ) 4 yf xg x C. ( ) ( )yf x g x D. ( ) ( ) g x y f x 【答案】D 8. 已知, , 是互不相同的锐角，则在sincos,sincos ,sin cos三个值中，大于 1 2 的个数的最 大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 则 116161 sincos,sincos,sincos 424242 ， 故三式中大于 1 2 的个数
4、的最大值为 2， 故选：C. 9. 已知,0a babR，函数 2 R()f xaxb x.若(),( ),()f stf sf st成等比数列，则平面上点 , s t的轨迹是（ ） A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线 【答案】C 10. 已知数列 n a满足 11 1, 1 n n n a aan a N .记数列 n a的前 n 项和为 n S，则（ ） A. 100 3 2 1 S B. 100 34S C. 100 9 4 2 S D. 100 9 5 2 S 【答案】A 二二填空题填空题 11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图
5、是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正 方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是 3，4，记大正方形的面积为 1 S，小正 方形的面积为 2 S，则 1 1 S S _. 【答案】25 12. 已知aR，函数 2 4,2 ( ) 3,2, xx f x xa x 若63ff ，则a_. 【答案】2 13. 已知多项式 34432 1234 (1)(1)xxxa xa xa xa，则 1 a _， 234 aaa _. 【答案】 (1). 5; (2). 10. 14. 在ABC中， 60 ,2BAB ， M 是BC的中点，2 3AM ， 则AC _，cos MAC _
6、. 【答案】(1). 2 13 (2). 2 39 13 15. 袋中有 4 个红球 m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是 红球的概率为 1 6 ，一红一黄的概率为 1 3 ，则m n_， E_. 【答案】(1). 1 (2). 8 9 16. 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ，焦点 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c(0)c ，若过 1 F的直线和圆 2 22 1 2 xcyc 相切，与椭圆在第一象限交于点 P，且 2 PFx轴，则该直线的斜率是_， 椭圆的离心率是_. 【答案】(1). 2 5 5 (2). 5 5 17.
7、已知平面向量,0)(,a b c c 满足 1,2,0,0aba babc.记向量d在, a b方向上的投影分 别为 x，y，d a 在c方向上的投影为 z，则 222 xyz的最小值为_. 【答案】 2 5 三三解答题解答题 18. 设函数 sin cos)(f xxx xR. （1）求函数 2 2 yfx 的最小正周期； （2）求函数 ( ) 4 yf x fx 在0, 2 上的最大值. 解： （1）由辅助角公式得 ( )sincos2sin 4 f xxxx ， 则 22 2 333 2sin2sin1cos 2 2442 1sin2 yfxxxx x ， 所以该函数的最小正周期 2 2
8、 T ; （2）由题意， 2sin2sin2sinsin 444 yf x fxxxxx 2 22 2sinsincos2sin2sin cos 22 xxxxxx 1cos222222 2sin2sin2cos2sin 2 2222242 x xxxx ， 由 0, 2 x 可得 3 2, 444 x ， 所以当 2 42 x 即 3 8 x 时，函数取最大值 2 1 2 . 19. 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是平行四边形，120 ,1,4,15ABCABBCPA ， M，N 分别为 ,BC PC的中点，,PDDC PMMD. （1）证明：ABPM； （2）求直线AN与平面
9、PDM所成角的正弦值. （1）证明：在DCM中，1DC ，2CM ，60DCM，由余弦定理可得3DM ， 所以 222 DMDCCM，DMDC由题意DC PD且PDDMD，DC平面PDM， 而PM 平面PDM，所以DCPM，又/ABDC，所以ABPM （2）解：由PMMD，ABPM，而AB与DM相交，所以PM 平面ABCD，因为7AM ， 所以 2 2PM ，取AD中点E，连接ME，则,ME DM PM两两垂直，以点M为坐标原点，如图所 示，建立空间直角坐标系, 则(3,2,0),(0,0,2 2),( 3,0,0)APD,(0,0,0),( 3, 1,0)MC 又N为PC中点，所以 313
10、35 , 2 , 2 2222 NAN . 由（1）得CD平面PDM，所以平面PDM的一个法向量(0,1,0)n 从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为 5 |15 2 sin 6|2725 2 44 AN n AN n 20. 已知数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 9 4 a ，且 1 439 nn SS . （1）求数列 n a的通项； （2）设数列 n b满足3(4)0 nn bna，记 n b的前 n 项和为 n T，若 nn Tb对任意n N恒成立， 求的范围. 解： （1）当1n 时， 121 4()39aaa， 22 92727 49, 4416 aa ， 当2n时，
11、由 1 439 nn SS ， 得 1 439 nn SS ，得 1 43 nn aa 1 2 273 0,0, 164 n n n a aa a ， 又 2 1 3 , 4 n a a a 是首项为 9 4 ，公比为 3 4 的等比数列， 1 933 ( )3 ( ) 444 nn n a ； （2）由3(4)0 nn bna，得 43 (4)( ) 34 n nn n ban ， 所以 234 33333 3210(4) 44444 n n Tn ， 2413 333333 321(5)(4) 444444 nn n Tnn ， 两式相减得 2341 1333333 3(4) 444444
12、4 nn n Tn 1 1 93 1 164 93 (4) 3 44 1 4 n n n 111 99333 4(4) 44444 nnn nn ， 所以 1 3 4( ) 4 n n Tn ， 由 nn Tb得 1 33 4( )(4) ( ) 44 nn nn 恒成立， 即(4)30nn恒成立， 4n时不等式恒成立； 4n时， 312 3 44 n nn ，得1； 4n时， 312 3 44 n nn ，得3； 所以31 . 21. 如图，已知 F 是抛物线 2 20ypx p的焦点，M 是抛物线的准线与 x 轴的交点，且2MF ， （1）求抛物线的方程； （2）设过点 F 的直线交抛物线
13、与 AB 两点，斜率为 2 的直线 l 与直线,MA MB AB，x 轴依次交于点 P， Q，R，N，且 2 RNPNQN，求直线 l 在 x 轴上截距的范围. 解： （1）因为2MF ，故2p ，故抛物线的方程为： 2 4yx. （2）设:1AB xty， 1122 ,A x yB x y，,0N n， 所以直线: 2 y l xn，由题设可得1n 且 1 2 t . 由 2 1 4 xty yx 可得 2 440yty，故 1212 4,4y yyyt ， 因为 2 RNPNQN，故 2 111 1+1+1+ 444 RPQ yyy ，故 2 RPQ yyy. 又 1 1 :1 1 y M
14、A yx x ，由 1 1 1 1 2 y yx x y xn 可得 1 11 21 22 P ny y xy ， 同理 2 22 21 22 Q ny y xy ， 由 1 2 xty y xn 可得 21 21 R n y t ， 所以 2 21 2211 212121 = 212222 nnyny txyxy ， 整理得到 2 2 12 2211 1 21 12222 y yn t nxyxy ， 2 22 21 21 4 21 22 22 t yy yy 22 2 22 2 2121 21211221 4 2121 34+ +2+4 42 tt ty yyy yyy yy yyy 故
15、2 2 2 134 1 21 nt n t ， 令21st，则 1 2 s t 且0s ， 故 2 22 222 3424241133 1+4 444 21 tss ssss t ， 故 2 13 14 1 n n n 即 2 1410 1 nn n ， 解得74 3n 或74 31n 或1n . 故直线l在x轴上的截距的范围为74 3n 或74 31n 或1n . 22. 设 a，b 为实数，且1a ，函数 2 e () x f xabxxR （1）求函数 f x的单调区间； （2）若对任意 2 2eb ，函数 f x有两个不同的零点，求 a 的取值范围； （3）当 ea 时，证明：对任意
16、4 eb ，函数 f x有两个不同的零点 12 ,x x，满足 2 21 2 lne 2e bb xx b . (注：e2.71828是自然对数的底数) 解： （1） 2 e( ),( )ln xx f xafxaabbx ， 若0b，则( )ln0 x fxaab ，所以 ( )f x在R上单调递增； 若0b， 当,log ln a b x a 时， 0,fxf x单调递减， 当log, ln a b x a 时， 0,fxf x单调递增. 综上可得，0b时， ( )f x在R上单调递增； 0b时，函数的单调减区间为 ,log ln a b a ，单调增区间为log, ln a b a .
17、(2)( )f x有 2 个不同零点 2 e0 x abx有 2 个不同解 ln2 ee0 xa bx有 2 个不同的解， 令lntxa，则 2 2 ee ee0,0 lnln t t bt b t aat ， 记 2 22 22 eee eee (1)e ( ),( ) tt tt t t g tg t ttt ， 记 2 ( )e (1)e ,( )e (1)e 1e0 tttt h tth ttt ， 又(2)0h，所以(0,2)t时，( )0,(2,)h tt时，( )0h t ， 则( )g t在(0,2)单调递减，(2,)单调递增， 2 2 e(2),ln len bb ga a
18、， 22 2 2e2,ln2,1e e b baa . 即实数a的取值范围是 2 1,e . (3) 2 e, ( )ee x af xbx有 2 个不同零点， 则 2 ee x bx，故函数的零点一定为正数. 由(2)可知有 2 个不同零点，记较大者为 2 x，较小者为 1 x， 12 22 4 12 eeee e xx b xx ， 注意到函数 2 ee x y x 在区间 0,2上单调递减，在区间2,上单调递增， 故 12 2xx，又由 52 4 ee e 5 知 2 5x ， 1 222 1 11 ee2e2e x bx xxb ， 要证 2 21 2 lne 2e bb xx b ，
19、只需 2 2 e lnxb b ， 22 2 22 ee2e xx b xx 且关于b的函数 2 e lng bb b 在 4 eb 上单调递增， 所以只需证 2 2 2 2 22 2 2ee ln5 2ex x x xx x ， 只需证 2 2 2 2 2 2 2ee lneln0 2e x x x x x ， 只需证 2 lnln20 2 x e x x e ， 2 4 2 e ，只需证 4 ( )lnln2 ex x h xx在5x 时为正， 由于 11 ( )4 e4e04e1 xxx h xxx xx ，故函数 h x单调递增， 又 54 520 (5)ln5ln2ln0 2 ee 0 2 h，故 4 ( )lnln2 ex x h xx在5x 时为正， 从而题中的不等式得证.
