1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试 北京卷 数学 第一部分（选择题共第一部分（选择题共 40 分）分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 已知集合| 11Axx ， |02Bxx，则AB （ ） A. |01xx B. | 12xx C. |12xx D. |01xx 2. 在复平面内，复数z满足(1 i)2z，则z （ ） A. 1 B.i C. 1i D. 1i 3.设函数 ( )f x的定义域为0,1， 则“函数( )f x
2、在0,1上单调递增”是“函数( )f x在0,1上的最大值为(1)f” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ） A. 33 2 B. 1 2 C. 13 2 D. 3 2 5. 双曲线 22 22 1 xy ab 过点 2, 3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A. 2 2 1 3 x y B. 2 2 1 3 y x C. 22 1 23 xy D. 22 1 32 xy 6.已知 n a和 n b是两个等差数列，且 15 k k a k b 是常值，若 1 28
3、8a ， 5 96a， 1 192b ，则 3 b的值 为（ ） A. 64 B. 100 C. 128 D. 132 7.已知函数 ( )coscos2f xxx ，则该函数（ ） A. 奇函数，最大值为 2 B. 偶函数，最大值为 2 C. 奇函数，最大值为 9 8 D. 偶函数，最大值为 9 8 8.对 24 小时内降水在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义： 小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 9. 已知圆 22 :4C xy，直线: l ykxm，则当k的值发生变化时，直线被圆 C 所截的弦长的
4、最小值 为 1，则m的取值为（ ） A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 10. 数列 n a是递增的整数数列，且 1 3a ， 123 100 n aaaa ，则n的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 第二部分（非选择题共第二部分（非选择题共 110 分）分） 二、填空题二、填空题 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11. 34 1 ()x x 的展开式中常数项为_ 12. 已知抛物线 2 :4C yx， C 焦点为F， 点M在C上， 且 6FM ， 则M的横坐标是_； 作M N x 轴于N，则 FMN S_ 13. (2,1)a ，(2
5、, 1)b ，(0,1)c ，则()ab c _；a b _ 14. 若点 (cos ,sin )P与点 (cos(),sin() 66 Q关于y轴对称，写出一个符合题意的值_ 15. 已知 ( )lg2f xxkx，给出下列四个结论： 若0k ，则 ( )f x有两个零点； 0k ，使得 ( )f x有一个零点； 0k ，使得 ( )f x有三个零点； 0k ，使得 ( )f x有三个零点 以上正确结论的序号是_ 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16. 已知在ABC中，2 coscbB
6、， 2 3 C （1）求B的大小； （2）在三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度 2cb ；周长为42 3；面积为 3 3 4 ABC S； 17. 已知正方体 1111 ABCDABC D，点E为 11 AD中点，直线 11 BC交平面CDE于点F （1）求证：点F为 11 BC中点； （2）若点M为棱 11 AB上一点，且二面角MCFE的余弦值为 5 3 ，求 1 11 AM A B 的值 18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合 1 检测法”，即将 k 个人的拭子样本合并检测，若为阴 性，则可确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需
7、要对本组的每个人再做检测现有 100 人，已知其 中 2 人感染病毒 （1）若采用“10 合 1 检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数； 已知 10 人分成一组，分 10 组，两名感染患者在同一组的概率为 1 11 ，定义随机变量 X 为总检测次数，求 检测次数 X 的分布列和数学期望 E(X)； （2）若采用“5 合 1 检测法”，检测次数 Y 的期望为 E(Y)，试比较 E(X)和 E(Y)的大小(直接写出结果) 19. 已知函数 2 32x fx xa （1）若0a，求 yf x在 1,1f处的切线方程； （2）若函数 f x在1x处取得极值，求 f x的单调区间，以及最大值和最小
8、值 20. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 过点 (0, 2)A，以四个顶点围成的四边形面积为4 5 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）过点 P(0，-3)的直线 l 斜率为 k，交椭圆 E 于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 交 y=-3 于点 M、N，若 |PM|+|PN|15，求 k 的取值范围 21. 定义 p R 数列 n a：对 pR，满足： 1 0ap ， 2 0ap ； 414 , nn naa N ；,m n N， ,1 m nmnmn aaap aap （1）对前 4 项 2，-2，0，1 的数列，可以是 2 R数列吗？说明理由； （2）若 n
9、 a是 0 R数列，求 5 a的值； （3）是否存在 pR，使得存在 p R 数列 n a，对任意,n N满足 10n SS ？若存在，求出所有这样的 p； 若不存在，说明理由 参考答案 一、选择题一、选择题 1.B 2.D 3.A 4.A 5.A 6.C 7.D 8.B 9.C 10.C 二、填空题二、填空题 11.-4 12. (1)5 (2)4 5 13. (1)0 (2)3 14. 5 12 （满足 5 , 12 kkZ即可） 15. 三、解答题三、解答题 16. 解： （1） 6 ； （2）答案不唯一 由余弦定理可得BC边上的中线的长度为： 2 2 2 3122 3 1 cos7 6
10、 ； 则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为： 2 2 23321 2cos33 223422 aa bb . 17. （1）略； （2） 1 11 1 2 AM A B 18.解： （1）20次；分布列见解析；期望为 320 11 ； （2）若 2 11 p 时， E XE Y； 若 2 11 p 时， E XE Y； 若 2 11 p 时， E XE Y. 19.解： （1）4 50 xy； （2）函数 f x的增区间为, 1 、 4,，单调递减区间为1,4 ， 最大值为1，最小值为 1 4 . 20.解： （1） 22 1 54 xy ； （2） 3, 1)(1,3 21. 解： （1）不可以是 2 R数列； （2） 5 1a ； （3）存在；2p
