1、 2021 年山东省聊城市中考数学试卷年山东省聊城市中考数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目分在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目 要求 ）要求 ） 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. |2| B. 2 5 C. （-1）0 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】先求出各个运算结果，继而即可判断正负性 【详解】解：A. |2|=2，是正数，不符合题意， B. （5）2=5，是正数，不符合题意， C. （1）0=1 是正数，不符合题意， D. 32=-9 是负数，符合题意， 故选 D 【点
2、睛】本本题主要考查正负数的概念，掌握乘方运算，零指数幂运算以及绝对值的意义，是解题的关键 2. 如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图的定义及画图规则，画出俯视图，再与各选项进行对比即可找出正确答案 【详解】解：从上向下看几何体时，外部轮廓如图 1 所示： 上半部有圆孔，且在几何体内部，看不见的轮廓线画虚线， 整个几何体的俯视图如图 2 所示： 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的知识点，熟知左视图的定义和画三视图的规则是解题的关键 3. 已知一个水分子的直径约为 3.85109米，某花粉的直径约为 5
3、104米，用科学记数法表示一个水分 子的直径是这种花粉直径的（ ） A. 0.77105倍 B. 77104倍 C. 7.7106倍 D. 7.7105倍 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10n，与较大数的科学记数法不 同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定 【详解】由题意得：(3.85109) (5104)= 7.7106倍， 故选 C 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a 10n，其中 1|a|10，n为由原数左 边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定
4、 4. 如图，ABCDEF，若ABC130，BCE55，则CEF的度数为（ ） A. 95 B. 105 C. 110 D. 115 【答案】B 【解析】 【分析】由/ABCD平行的性质可知ABCDCB，再结合/EFCD即可求解 【详解】解：/ABCD 130ABCDCB 1305575ECDDCBBCE /EFCD 180ECDCEF 18075105CEF 故答案是：B 【点睛】本题考查平行线的性质和角度求解，难度不大，属于基础题解题的关键是掌握平行线的性质 5. 为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取 40 名学生 对收集废旧电池的数量进行的统
5、计： 废旧电池数/节 4 5 6 7 8 人数/人 9 11 11 5 4 请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ） A. 样本为 40名学生 B. 众数是 11 节 C. 中位数是 6 节 D. 平均数是 5.6 节 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本定义可判定 A，利用众数定义可判定 B，利用中位数定义可判定 C，利用加权平均数计算 可判定 D 即可 【详解】解：A. 随机抽取 40 名学生对收集废旧电池的数量是样本，故选项 A样本为 40 名学生不正确； B. 根据众数定义重复出现次数最多的数据是 5 节或 6 节，故选项 B众数是 11节不正确， C. 根据中位数定
6、义样本容量为 40，中位数位于 40 20,21 2 两个位置数据的平均数，第 20位、第 21 位两个 数据为 6节与 7节的平均数 67 6.5 2 节，故选项 C中位数是 6 节不正确； D. 根据样本平均数 1 4 95 11 6 11 7 58 45.6 40 x 节 故选项 D 平均数是 5.6 节正确 故选择：D 【点睛】本题考查样本，众数，中位数，平均数，熟练掌握样本，众数，中位数，平均数解题关键 6. 下列运算正确的是（ ） A. a2a4a8 B. a（ab）a2ab C. （2a）2（2a） 18a3 D. （ab）2a2b2 【答案】C 【解析】 【分析】依次分析各选项
7、，利用同底数幂的乘法法则、单项式乘多项式、积的乘方、负整数指数幂、同底 数幂的除法、乘法公式进行运算即可得出 A、B、D 三个选项错误，只有 A 选项正确 【详解】解： 246 a aa， 2 a abaab， 2 22 2abaabb， 故 A、B、D 三个选项错误； 21 23 22428aaaaa ， C 选项正确， 故选：C 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算、单项式乘多项式、积的乘方运算、负整数指数幂、同底数幂的 除法运算、乘法公式等内容，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出 现符号错误，因此应加强学生的符号运算意识，提高运算能力与技巧等 7. 关于
8、x的方程 x24kx2k24的一个解是2，则 k值为（ ） A. 2 或 4 B. 0或 4 C. 2 或 0 D. 2 或 2 【答案】B 【解析】 【分析】把 x=-2 代入方程即可求得 k 的值； 【详解】解：将 x=-2 代入原方程得到： 2 2-8 +4 = 4kk， 解关于 k的一元二次方程得：k=0 或 4， 故选：B 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程相关知识点，代入解求值是关键 8. 如图，A，B，C 是半径为 1的O上的三个点，若 AB 2，CAB30，则ABC的度数为（ ） A 95 B. 100 C. 105 D. 110 【答案】C 【解析】 【分析】连接 OB，O
9、C，根据勾股定理逆定理可得AOB90，ABOBAO45，根据圆周角定理 可得COB2CAB60 ，OBCOCB60 ，由此可求得答案 【详解】解：如图，连接 OB，OC， OAOB1，AB 2， OA2OB2AB2， AOB90， 又OAOB， ABOBAO45， CAB30 ， COB2CAB60 ， 又OCOB， OBCOCB60 ， ABCABOOBC105 ， 故选：C 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本 题的关键 9. 若3a3，则关于 x的方程 xa2 解的取值范围为（ ） A. 1x5 B. 1x1 C. 1x1 D. 1
10、x5 【答案】A 【解析】 【分析】先求出方程的解，再根据3a3 的范围，即可求解 【详解】解：由 xa2，得：x2-a， 3a3， 12-a5，即：1x5， 故选 A 【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含 a 的代数式表示 x，是解题的关键 10. 已知二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，则一次函数 ybxc 的图象和反比例函数 y abc x 的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过二次函数的图像确定 a、b、c 的正负，再利用 x=1 代入解析式，得到 a+b+c 的正负即可判定 两个函数的图像所在的象限，即
11、可得出正确选项 【详解】解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于 y 轴左侧，与 y 轴正半轴交于一点， 可得：0,0,0,abc 又由于当 x=1 时，0yabc 因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限； 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决 本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的 正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等 11. 如图，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标为 A（0，2） ，B（1，0） ，将AB
12、O绕点 O按顺时针旋转得 到A1B1O，若 ABOB1，则点 A1的坐标为（ ） A. （ 2 5 4 5 , 55 ） B. （ 4 5 2 5 , 55 ） C. （ 2 4 , 3 3 ） D. （ 4 8 , 5 5 ） 【答案】A 【解析】 【分析】先求出 AB，OA1，再作辅助线构造相似三角形，如图所示，得到对应边成比例，求出 OC 和 A1C， 即可求解 【详解】解:如图所示，点 A，B 的坐标分别为 A（0，2） ，B（1，0） ， OB=1，OA=2， 22 125AB ， AOB=90， A1OB1=90， O A1OB1， 又ABOB1， O A1AB， 1=2， 过 A
13、1点作 A1Cx轴， A1CO=AOB， 1 AOBCOA， 11 = OCOC ABOO A B A A ， O A1=OA=2， 1 2 = 125 OCAC ， 2 =5 5 OC， 1 4 =5 5 AC， 1 2 5 4 5 , 55 A ， 故选：A 【点睛】本题综合考查了勾股定理、旋转的性质、相似三角形的判定和性质等内容，解决本题的关键是理 解并掌握相关概念，能通过作辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合的思想方法等 12. 如图，四边形 ABCD中，已知 ABCD，AB与 CD 之间的距离为 4，AD5，CD3，ABC45， 点 P， Q同时由 A 点出发， 分别沿边 AB
14、， 折线 ADCB向终点 B 方向移动， 在移动过程中始终保持 PQAB， 已知点 P 的移动速度为每秒 1个单位长度，设点 P的移动时间为 x 秒，APQ的面积为 y，则能反映 y与 x 之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次分析当03t 、36t 、610t 三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像 进行判断即可确定正确选项 【详解】解：如图所示，分别过点 D、点 C向 AB作垂线，垂足分别为点 E、点 F， 已知 ABCD，AB 与 CD之间的距离为 4， DE=CF=4， 点 P， Q同时由 A点出发， 分别沿边 AB， 折线 AD
15、CB向终点 B 方向移动， 在移动过程中始终保持 PQAB， PQDECF， AD=5， 22 3AEADDE , 当03t 时，P 点在 AE 之间，此时，AP=t， APPQ AEDE , 4 = 3 PQt， 2 142 = 2233 APQ t SAP PQtt， 因此，当03t 时，其对应的图像为 2 2 03 3 ytt ，故排除 C和 D； CD3， EF=CD=3， 当36t 时， P 点位于 EF 上， 此时， Q点位于 DC 上， 其位置如图中的 P1Q1， 则 11 1 42 2 APQ Stt ， 因此当36t 时，对应图像为2 36ytt ，即为一条线段； ABC45
16、， BF=CF=4， AB=3+3+4=10， 当610t 时，P 点位于 FB上，其位置如图中的 P2Q2，此时，P2B=10-t， 同理可得，Q2P2=P2B=10-t， 22 2 11 105 22 AP Q St ttt ， 因此当610t 时， 对应图像为 2 1 5 610 2 yttt ， 其为开口向下的抛物线的610t 的一段图像； 故选：B 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函 数的图像等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本题蕴含了数形结合与分类 讨论的思想方法等 二、填空题（本题共二、填空题（本
17、题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分只要求填写最后结果）分只要求填写最后结果） 13. 计算： 1 2188 2 _ 【答案】4 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法，再算加减法，即可 【详解】解：原式= 1 21882 2 = 1 2 188 2 2 = 1 64 2 =4 故答案是：4 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键 14. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这四 张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又
18、是中心 对称图形的概率是_ 【答案】 1 6 【解析】 【分析】由等边三角形、平行四边形、菱形、圆中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有菱形、圆， 再画出树状图展示所有等可能的结果，进而即可求得答案 【详解】解：设等边三角形、平行四边形、菱形、圆分别为 A，B，C，D， 根据题意画出树状图如下： 一共有 12 种情况，抽出的两张卡片的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形为 C、D共有 2种情况， P（既是中心对称图形，又是轴对称图形）212 1 6 故答案是： 1 6 【点睛】本题考查了列表法和树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，画 出树状图，是解题的关键 15.
19、如图，在ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为点 D 和点 E，AD 与 CE 交于点 O，连接 BO 并延 长交 AC 于点 F，若 AB5，BC4，AC6，则 CE：AD：BF 值为_ 【答案】12:15:10 【解析】 【分析】由题意得：BFAC，再根据三角形的面积公式，可得 5 43 2 ABC SADCEBF，进而即可得 到答案 【详解】解：在ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为点 D和点 E，AD与 CE交于点 O， BFAC， AB5，BC4，AC6， 111 222 ABC SBC ADAB CEAC BF， 5 43 2 ABC SADCEBF， CE：AD：BF=12
20、:15:10， 故答案是：12:15:10 【点睛】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键 16. 用一块弧长 16cm的扇形铁片，做一个高为 6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计） ，那么这个扇形铁 片的面积为_cm2 【答案】80 【解析】 【分析】 先求出圆锥的底面半径， 再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可 【详解】解：弧长 16cm的扇形铁片， 做一个高为 6cm的圆锥的底面周长为 16cm， 圆锥的底面半径为：162=8cm， 圆锥的母线长为： 22 6810cm ， 扇形铁片的面积=16 1 10 2 80cm2， 故答案是：
21、80 【点睛】 本题考查了圆锥与扇形， 掌握圆锥的侧面展开图为一扇形， 这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长，是解题的关键 17. 如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O在坐标原点，顶点 A，C 分别在 x 轴，y轴上，B，D两点 坐标分别为 B（4，6） ，D（0，4） ，线段 EF 在边 OA 上移动，保持 EF3，当四边形 BDEF 的周长最小 时，点 E 的坐标为_ 【答案】0.4,0 【解析】 【分析】先得出 D 点关于 x 轴的对称点坐标为 H（0，-4） ，再通过转化，将求四边形 BDEF 的周长的最小 值转化为求 FG+BF的最小值，再利用两
22、点之间线段最短得到当 F、G、B三点共线时 FG+BF的值最小，用 待定系数法求出直线 BG的解析式后，令 y=0，即可求出点 F的坐标，最后得到点 E 的坐标 【详解】解：如图所示，D（0，4） ， D 点关于 x 轴的对称点坐标为 H（0，-4） ， ED=EH， 将点 H向左平移 3个单位，得到点 G（-3，-4） ， EF=HG，EFHG， 四边形 EFGH是平行四边形， EH=FG， FG =ED， B（-4，6） ， BD= 22 4064=2 5 ， 又EF3， 四边形 BDEF 的周长=BD+DE+EF+BF=2 5+FG+3+BF, 要使四边形 BDEF的周长最小，则应使 F
23、G+BF 的值最小， 而当 F、G、B三点共线时 FG+BF 的值最小， 设直线 BG的解析式为：0ykxb k B（-4，6） ，G（-3，-4） ， 46 34 kb kb ， 10 34 k b ， 1034yx ， 当 y=0时，3.4x， 3.4,0F ， 0.4,0E 故答案为：0.4,0 【点睛】 本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识， 解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问 题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等 三、解答题（本题共三、解答题
24、（本题共 8 个小题，共个小题，共 69 分解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤分解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤 18. 先化简，再求值： 2 2 21221 1 111 aaaa a aaa ，其中 a 3 2 【答案】 2 1 a a ；6 【解析】 【分析】先把分式化简后，再把 a的值代入求出分式的值即可 【详解】解：原式 2 2 212(21)(1)(1) 111 aaaaaa aaa 22 2 2122 111 aaaaa aaa 211 11 a aa 2 1 a a ， 当 3 2 a 时，原式6 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键 19.
25、为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间，开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团 活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查 结果绘制成条形统计图和扇形统计图： 请根据以上的信息，回答下列问题： （1）抽取的学生有 人，n ，a ； （2）补全条形统计图； （3）若该校有学生 3200人，估计参加书法社团活动的学生人数 【答案】 （1）200，54，25； （2）见解析； （3）800人 【解析】 【分析】 （1）用乒乓球的人数除以乒乓球所占的百分比，即可求得样本容量，进而可分别求得 n 和 a的值即 可； （2）先计算出参加朗诵的人
26、数，即可补全条形统计图； （3）先计算参加书法所占的百分比，再乘以 2000，即可解答 【详解】解： （1）8040%200（人） ， 30 360 200 54， 5020025%， 故答案为：200，54，25； （2）20050308040（人） ， 补全条形统计图如图所示 （3） 50 200 3200800（人） 答：该校参加书法社团活动的约有 800 人 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的 信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的 百分比大小 20. 为迎接建党一百周年，我市
27、计划用两种花卉对某广场进行美化已知用 600 元购买 A种花卉与用 900 元 购买 B种花卉的数量相等，且 B种花卉每盆比 A种花卉多 0.5 元 （1）A，B两种花卉每盆各多少元？ （2）计划购买 A，B 两种花卉共 6000盆，其中 A种花卉的数量不超过 B种花卉数量的 1 3 ，求购买 A种花卉 多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】 （1）A 种花弃每盆 1 元，B种花卉每盆 1.5元； （2）购买 A 种花卉 1500 盆时购买这批花卉总费用 最低，最低费用为 8250元 【解析】 【分析】 （1）设 A 种花弃每盆 x 元，B 种花卉每盆（x0.5）元，根
28、据题意列分式方程，解出方程并检验； （2）设购买 A 种花卉t盆，购买这批花卉总费用为 w 元，则 t 1 3 （6000t） ，wt1.5（6000t） 0.5t9000，w 随 t的增大而减小，所以根据 t的范围可以求得 w的最小值 【详解】解： （1）设 A 种花弃每盆 x 元，B 种花卉每盆（x0.5）元 根据题意，得 600900 0.5xx 解这个方程，得 x1 经检验知，x1 是原分式方程的根，并符合题意 此时 x0.510.51.5（元） 所以，A种花弃每盆 1 元，B种花卉每盆 1.5元 （2）设购买 A 种花卉t盆，购买这批花卉的总费用为 w元，则 t 1 3 （6000t
29、） ， 解得t1500. 由题意，得 wt1.5（6000t）0.5t9000. 因为 w是 t的一次函数，k0.50，w随 t的增大而减小，所以当 t1500 盆时，w最小 w0.5 150090008250（元） 所以，购买 A 种花卉 1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为 8250 元 【点睛】本题主要考查了分式方程解决实际问题和一次函数求最值，根据等量关系列出方程和函数关系式 及取值范围是解题关键 21. 如图，在四边形 ABCD中，AC与 BD相交于点 O，且 AOCO，点 E 在 BD上，满足EAODCO （1）求证：四边形 AECD是平行四边形； （2）若 ABBC，C
30、D5，AC8，求四边形 AECD的面积 【答案】 （1）见解析； （2）24 【解析】 【分析】 （1）根据题意可证明AOECODVV，得到 ODOE，从而根据“对角线互相平分的四边形为平 行四边形”证明即可； （2）根据 AB=BC，AO=CO，可证明 BD 为 AC 的中垂线，从而推出四边形 AECD 为菱形，然后根据条件求 出 DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可 【详解】 （1）证明：在AOE 和COD中， EAODCO AOCO AOECOD ()AOECOD ASA ODOE 又AOCO， 四边形 AECD 是平行四边形 （2）ABBC，AOCO， BO为 AC的垂直平分线，
31、BOAC 平行四边形 AECD 是菱形 AC8， 1 4 2 COAC 在 RtCOD 中，CD5， 2222 543ODCDCO ， 26DEOD， 11 6 824 22 AECD SDE AC 菱形 ， 四边形 AECD 的面积为 24 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面 积计算公式是解题关键 22. 时代中学组织学生进行红色研学活动 学生到达爱国主义教育基地后， 先从基地门口 A处向正南方向走 300米到达革命纪念碑 B处，再从 B处向正东方向走到党史纪念馆 C 处，然后从 C处向北偏西 37方向走 200米到达人民英雄雕塑 D
32、处，最后从 D处回到 A处已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东 65方向， 求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离 （精确到 1 米） （参考数据： sin370.60， cos370.80， tan370.75， sin650.91，cos650.42，tan652.14） 【答案】420米 【解析】 【分析】 过 D点分别作 DEBC， DFAB， 垂足分别是点 E， 点 F 由三角函数可求 120CE ，160DE 可 证四边形 BEDF 是矩形，可求 AF140,在 RtADF中，利用三角函数可求 DFAFtan65299.60.,可求 BC BECE420（米） 【详解】解过 D 点分别作
33、 DEBC，DFAB，垂足分别是点 E，点 F 由题意得，CDE37 在 RCDE中 sin37,cos37,200 CEDE CD CDCD ， 200 sin37200 0.60 120CE，200 cos37200 0.80 160DE ,ABBC DEBC DFAB ， 90BDEBDFB 四边形 BEDF 是矩形， BEDF，BFDE160， AFABBF300160140. 在 RtADF 中，tan65 DF AF ， DFAFtan651402.14299.60. BCBECE299.60120420（米） 所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420 米 【点睛】本题考
34、查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解 题关键 23. 如图，过 C 点的直线 y 1 2 x2与 x 轴，y轴分别交于点 A，B 两点，且 BCAB，过点 C作 CHx 轴，垂足为点 H，交反比例函数 y k x （x0）的图象于点 D，连接 OD，ODH的面积为 6 （1）求 k值和点 D的坐标； （2）如图，连接 BD，OC，点 E在直线 y 1 2 x2上，且位于第二象限内，若BDE的面积是OCD 面积的 2倍，求点 E的坐标 【答案】 （1）12k ，点 D 坐标为（4，3） ； （2）点 E的坐标为（8，2） 【解析】 【分析】 （1）结合反
35、比例函数k的几何意义即可求解k值；由CHx轴可知 / /CHy轴，利用平行线分线 段成比例即可求解 D点坐标； （2） / /CHy可知 OCD和BCD的面积相等，由函数图像可知BDE、BCD、CED的面积关系， 再结合题意2 BDEOCD SS ， 即可求 CD边上高的关系， 故作EFCD， 垂足为 F， 即可求解 E点横坐标， 最后由 E 点在直线 AB上即可求解 【详解】解（1）设点 D 坐标为（m，n） ， 由题意得 11 6,12 22 OH DHmnmn 点 D在 k y x 的图象上，12kmn 直线 1 2 2 yx 的图象与x轴交于点 A， 点 A 的坐标为（4，0） CHx
36、 轴，CH/y 轴 1.4 AOAB OHAO OHBC 点 D 在反比例函数 12 y x 的图象上， 点 D 坐标为（4，3） （2）由（1）知CDy轴， BCDOCD SS 2,3 BDEOCDEDCBCD SSSS 过点 E作 EFCD，垂足为点 F，交 y 轴于点 M， 1111 ,3 2222 EDCBCD SCD EF SCD OHCD EFCD OH 312.8EFOHEM 点 E 的横坐标为8. 点 E 在直线 1 2 2 yx 上，点 E的坐标为（8，2） 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形面积问题、k的几何意义，属于中档难度的 综合题型解题的关键是掌握
37、一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想 24. 如图，在ABC中，ABAC，O是ABC 的外接圆，AE 是直径，交 BC于点 H，点 D在AC上，连 接 AD，CD过点 E作 EFBC交 AD的延长线于点 F，延长 BC 交 AF 于点 G （1）求证：EF是O的切线； （2）若 BC2，AHCG3，求 EF和 CD 的长 【答案】 （1）见解析； （2） 40 9 EF ， 3 10 5 CD 【解析】 【分析】 （1）因为 AE 是直径，所以只需证明 EFAE即可； （2）因 EFBG，可利用AHGAEF，将要求的 EF的长与已知量建立等量关系；因四边形 ABCD 是圆内接四边形，可
38、证得CDGABG，由此建立 CD 与已知量之间的等量关系 【详解】 （1）证明：ABAC， ABAC 又AE是O的直径， BECE BAECAE AB=AC， AEBC AHC=90 EFBC， AEF=AHC=90 EFAE EF 是O的切线 （2）如图所示，连接 OC，设O的半径为 r AEBC， 11 2=1 22 CHBHBC 3CG ， 1 34HGHCCG 2222 345AGAHHG 在 RtCOH中， 222 OHCHOC ， 又OH=AH-OA=3-r， 222 (3)1rr 解得， 5 3 r 510 22 33 AEr EFBC， AHGAEF AHHG AEEF 34
39、10 3 EF ， 40 9 EF 四边形 ABCD内接于O， 180BADC +=180ADCCDG， CDGB =DGCBGA， CDGABG CDCG ABAG 2222 1310ACCHAH， 10ABAC 3 510 CD 3 10 5 CD 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂径定理及推论、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性 质等知识点， 熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础， 寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键 25. 如图，抛物线 yax2 3 2 xc与 x轴交于点 A，B，与 y轴交于点 C，已知 A，C两点坐标分别是 A（1， 0） ，C（0，2） ，连接
40、 AC，BC （1）求抛物线的表达式和 AC所在直线的表达式； （2）将ABC 沿 BC 所在直线折叠，得到DBC，点 A的对应点 D是否落在抛物线的对称轴上，若点 D在 对称轴上，请求出点 D 的坐标；若点 D 不在对称轴上，请说明理由； （3）若点 P 是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接 AP 交 BC 于点 Q，连接 BP，BPQ的面积记为 S1，ABQ 的面积记为 S2，求 1 2 S S 的值最大时点 P 的坐标 【答案】 （1） 2 13 2 22 yxx；22yx； （2）点 D 不在抛物线的对称轴上，理由见解析； （3）点 P 坐标为（2，3） 【解析】 【分析】 （1）
41、利用待定系数法求解即可； （2）先求出点 B坐标，再结合点 A、C 坐标利用相似三角形的判定及性质可证得ACBC，延长 AC 到 点 D，使 DCAC，过点 D作 DEy 轴，垂足为点 E，由此可得()ACODCE AAS，进而可求得点 D 的横坐标为1，最后根据抛物线的对称轴是直线 3 2 x 即可判断出点 B不在对称轴上； （3）先利用待定系数法求出直线 BC的函数表达式，然后过点 A 作 x 轴的垂线交 BC 的延长线于点 M，则 点 M坐标为 5 1, 2 ， 过点 P作 x轴的垂线交 BC于点 N， 垂足为点 H， 设点 P 坐标为 2 13 ,2 22 mmm ， 则点 N坐标为
42、1 ,2 2 mm ，根据相似三角形的判定及性质可得 2 1 2 14 (2) 55 S m S ，由此可得答案 【详解】解； （1）抛物线 2 3 2 yaxxc过 A（1，0） ，C（0，2） ， 3 0 2 2 ac c ， 解得： 1 2 2 a c ， 抛物线的表达式为 2 13 2 22 yxx 设 AC 所在直线的表达式为y kxb ， 0 2 kb b ， 解得 2 2 k b ， AC 所在直线的表达式为22yx； （2）点 D不在抛物线的对称轴上，理由是 抛物线的表达式是 2 13 2 22 yxx， 令 y0，则 2 13 20 22 xx， 解得 1 4x ， 2 1x
43、 ， 点 B坐标为（4，0） 1OA，2OC ， OAOC OCOB 又90 ,AOCCOB AOCCOB ACOCBO 90ACOBCOCBOBCO， ACBC 将 ABC 沿 BC 折叠，点 A 的对应点 D一定在直线 AC上 如下图，延长 AC 到点 D，使 DCAC，过点 D 作 DEy 轴，垂足为点 E 又ACO DCE， ()ACODCE AAS， DEOA1， 点 D的横坐标为1， 抛物线的对称轴是直线 3 2 x ， 点 D不在抛物线的对称轴上； （3）设过点 B，C 的直线表达式为 11 yk xb， 点 C 坐标是（0，2） ，点 B 坐标是（4，0） ， 过点 B，C的直
44、线表达式为 1 2 2 yx 过点 A 作 x 轴的垂线交 BC的延长线于点 M， 则点 M 坐标为 5 1, 2 ， 如下图，过点 P作 x轴的垂线交 BC于点 N，垂足为点 H， 设点 P 坐标 2 13 ,2 22 mmm ，则点 N坐标为 1 ,2 2 mm ， 22 1131 222 2222 PNmmmmm AQMPQN， PQPN AQAM ， 若分别以 PQ，AQ为底计算 BPQ 与 BAQ的面积，则 BPQ与 BAQ的面积的比为 PQ AQ ， 即 1 2 SPQ SAQ 2 2 2 1 2 1 2 414 2 (2) 5 5555 2 mm SPNmm m SAM ， 1 0 5 ， 当 m2 时， 1 2 S S 的最大值为 4 5 ， 将 m2代入 2 13 2 22 yxx，得3y ， 当 1 2 S S 取得最大值时，点 P坐标为（2，3） 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，相似三角形的判定及性质，熟练 掌握二次函数的图像与性质及相似三角形的判定与性质是解决本题的关键
