1、2021 年湖南省长沙市开福区中考数学二模试卷年湖南省长沙市开福区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）3 的绝对值是（ ） A3 B3 C D 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a4 B （ab）2a2+b2 C （a3）4a7 D （a+1） （a1）a21 3 （3 分）下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4 （3 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 5 （3 分）下列立体图形中，左视
2、图与主视图不同的是（ ） A正方体 B圆柱 C圆锥 D球 6 （3 分）事件 A：掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面；事件 B：连续掷三次硬币，都是正面朝上则 （ ） A事件 A 和事件 B 都是必然事件 B事件 A 是随机事件，事件 B 是不可能事件 C事件 A 是必然事件，事件 B 是随机事件 D事件 A 和事件 B 都是随机事件 7 （3 分）我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题： “一条竿子一条索，索比竿子长一 托折回索子却量竿，却比竿子短一托 ”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿 长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设绳索长 x
3、尺则符合题意的方程是（ ） Ax（x5）5 Bx（x+5）+5 C2x（x5）5 D2x（x+5）+5 8 （3 分）点 A 在函数 y（x0）的图象上，且 OA4，过点 A 作 ABx 轴于点 B，则ABO 的周长为 （ ） A B C D 9 （3 分）如图，直线 abc，一直角三角板的直角顶点落在直线 b 上，若154，则2（ ） A24 B36 C54 D64 10 （3 分）如图，ABC 中，ACB90，AC3，BC4，以 AB 上的一点 O 为圆心的圆与 AC 相切于 点 G，与 BC 交于 D，E 两点，连接 DF，EF若DFEB，则弦 DE 的长是（ ） A B C D 二、填
4、空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）因式分解：2a38ab2 12 （3 分）互不相等的一组数据 9，2，6，4，a 中，整数 a 是这组数据的中位数，则该数字 a 为 13 （3 分）方程1 的解为 14 （3 分）为了测量教学楼的高度，某同学先在点 D 处用测角仪测得楼顶 M 的仰角为 30，再沿 DF 方向 前行 40 米到达点 E 处，在点 E 处测得楼顶 M 的仰角为 45，已知测角仪的高 AD 为 1.5 米，则此楼 MF 的高为 米 （结果精确到 0.1 米，1.414，1.732，2.449）
5、15（3 分） 若菱形 ABCD 的一条对角线长为 8， 边 CD 的长是方程 x210 x+240 的一个根， 则该菱形 ABCD 的周长为 16 （3 分）已知抛物线 yx22bx+2b24c（其中 b，c 为常数）经过不同两点 A（1b，m） ，B（2b+c， m） ，且该二次函数的图象与 x 轴有公共点，则 b+c 的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，第个小题，第 17、18、19 题每小题题每小题 6 分，第分，第 20、21 题每小题题每小题 6 分，第分，第 22、23 题每题每 小题小题 6 分，第分，第 24、25 题每小题题每小题 6 分，共分，共
6、 72 分） 。分） 。 17 （6 分）计算：|1|+（2021）0 18 （6 分）先化简，再求值：（a1） ，其中 a 取 0a2 的整数 19 （6 分）在 66 的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点叫做格点例如 A （1，5） ，B（0，3） ，C（5，3）都是格点 （1）ABC 的形状为 ； （2）利用尺规在 BC 下方画出以 BC 为斜边的等腰 RtBCD（保留作图痕迹） 20 （8 分）为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对 A、B、C、D 四个 厂家生产的同种型号的零件共 2000 件进行合格率检测，通过检测得出 C 厂家的
7、合格率为 95%，并根据 检测数据绘制了如图 1、图 2 两幅不完整的统计图 （1）抽查 D 厂家的零件为 件，扇形统计图中 D 厂家对应的圆心角为 ； （2）抽查 C 厂家的合格零件为 件，并将图 1 补充完整； （3）若要从 A、B、C、D 四个厂家中，随机抽取两个厂家参加工业产品博览会，请用“列表法”或“画 树形图”的方法求出 A、D 两个厂家同时被选中的概率 21 （8 分）如图，在锐角ABC 中，ABBC，以 BC 为直径画O 交 AC 于点 D，过点 D 作 DEAB 于点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）当 AC4AE，DE时，求劣弧的长 22 （9 分）某钢铁厂计划
8、今年第一季度一月份的总产量为 500t，三月份的总产量为 720t，若平均每月的增 长率相同 （1）第一季度平均每月的增长率； （2） 如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年 5 月份 总产量能否突破 1000t？ 23 （9 分） （1）如图 1，正方形 ABCD 和正方形 DEFG（其中 ABDE） ，连接 CE，AG 交于点 H，请直接 写出线段 AG 与 CE 的数量关系 ，位置关系 ； （2）如图 2，矩形 ABCD 和矩形 DEFG，AD2DG，AB2DE，ADDE，连接 AG，CE 交于点 H， （1） 中线段关系还成立吗？若成立，请写出
9、理由；若不成立，请写出线段 AG，CE 的数量关系和位置关系， 并说明理由； （3）矩形 ABCD 和矩形 DEFC，AD2DG6，AB2DE8，直线 AG，CE 交于点 H，当点 E 与点 H 重合时，请直接写出线段 AE 的长 24 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，定义点 C（a，b）为抛物线 L：yax2+bx（a0）的特征点坐标 （1）已知抛物线 L 经过点 A（2，2） 、B（4，0） ，求出它的特征点坐标； （2）若抛物线 L1：yax2+bx 的位置如图所示： 抛物线 L1：yax2+bx 关于原点 O 对称的抛物线 L2的解析式为 ； 若抛物线 L1的特征点 C 在抛物线
10、 L2的对称轴上，试求 a、b 之间的关系式； 在的条件下，已知抛物线 L1、L2与 x 轴有两个不同的交点 M、N，当一点 C、M、N 为顶点构成的 三角形是等腰三角形时，求 a 的值 25 （10 分）已知，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交点为 A（1，0）和点 B，与 y 轴交点为 C（0，3） ，直 线 L：ykx1 与抛物线的交点为点 A 和点 D （1）求抛物线和直线 L 的解析式； （2）如图，点 M 为抛物线上一动点（不与 A、D 重合） ，当点 M 在直线 L 下方时，过点 M 作 MNx 轴 交 L 于点 N，求 MN 的最大值； （3）点 M 为抛物线上一动点（不与
11、 A、D 重合） ，M为直线 AD 上一动点，是否存在点 M，使得以 C、 D、M、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 M 的坐标，如果不存在，请说明 理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）3 的绝对值是（ ） A3 B3 C D 【解答】解：|3|3 故3 的绝对值是 3 故选：B 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a4 B （ab）2a2+b2 C （a3）4a7 D （a+1） （a1）a21 【解答】解：Aa2+a22a2
12、，错误，故不符合题意； B(ab）2a22ab+b2，错误，故不符合题意； C （a3）4a12，错误，故不符合题意； D （a+1） （a1）a21，正确，故符合题意 故选：D 3 （3 分）下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确； D、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误 故选：C 4 （3 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【解答】解：不等式组， 解不等式得：
13、x1， 解不等式得：x3， 解得：1x3， 表示在数轴上，如图所示： 故选：A 5 （3 分）下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（ ） A正方体 B圆柱 C圆锥 D球 【解答】解：A左视图与主视图都是正方形，故选项 A 不合题意； B左视图是圆，主视图都是矩形，故选项 B 符合题意； C左视图与主视图都是三角形；故选项 C 不合题意； D左视图与主视图都是圆，故选项 D 不合题意； 故选：B 6 （3 分）事件 A：掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面；事件 B：连续掷三次硬币，都是正面朝上则 （ ） A事件 A 和事件 B 都是必然事件 B事件 A 是随机事件，事件 B 是不可能事件 C
14、事件 A 是必然事件，事件 B 是随机事件 D事件 A 和事件 B 都是随机事件 【解答】解：掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面可能是正面，也可能是反面， 事件 A 为随机事件， 连续掷三次硬币，都是正面朝上每一枚硬币都有可能正面朝上或者反面朝上， 事件 B 是随机事件， 故选：D 7 （3 分）我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题： “一条竿子一条索，索比竿子长一 托折回索子却量竿，却比竿子短一托 ”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿 长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设绳索长 x 尺则符合题意的方程是（ ） Ax（x5）5 Bx（x+5）+
15、5 C2x（x5）5 D2x（x+5）+5 【解答】解：设绳索长 x 尺，则竿长（x5）尺， 依题意，得：x（x5）5 故选：A 8 （3 分）点 A 在函数 y（x0）的图象上，且 OA4，过点 A 作 ABx 轴于点 B，则ABO 的周长为 （ ） A B C D 【解答】解：点 A 在函数 y（x0）的图象上， 设点 A 的坐标为（n，） （n0） 在 RtABO 中，ABO90，OA4， OA2AB2+OB2， 又ABOBn4， （AB+OB）2AB2+OB2+2ABOB42+2424， AB+OB2，或 AB+OB2（舍去） ABO 的周长AB+OB+OA2+4 故选：D 9 （3
16、分）如图，直线 abc，一直角三角板的直角顶点落在直线 b 上，若154，则2（ ） A24 B36 C54 D64 【解答】解：如图， abc， 13，24， 154， 354， 4+390， 436， 236， 故选：B 10 （3 分）如图，ABC 中，ACB90，AC3，BC4，以 AB 上的一点 O 为圆心的圆与 AC 相切于 点 G，与 BC 交于 D，E 两点，连接 DF，EF若DFEB，则弦 DE 的长是（ ） A B C D 【解答】解：连接 OG、OD，作 OHCB 于 H， DOE2DFE，DFEB， DOE2B， ODOE，OHDE， DOHEOHDOEB， AC 切圆
17、 O 于 G， OGAC，即OGC90， C90OHC90， 四边形 GCHO 为矩形， OHGC， RtABC 中，AC3，BC4， AB5， sinA，tanA，sinB，cosB， 设 OGODOEr，则 AGOG， CGOHODcosBr， ACAG+GC， r， DHODsinB， OHOE，ODOE， OE2DH 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）因式分解：2a38ab2 2a（a+2b） （a2b） 【解答】解：2a38ab2 2a（a24b2） 2a（a+2b） （a2b） 故
18、答案为：2a（a+2b） （a2b） 12 （3 分）互不相等的一组数据 9，2，6，4，a 中，整数 a 是这组数据的中位数，则该数字 a 为 5 【解答】解：互不相等的一组数据 9，2，6，4，a 中，整数 a 是这组数据的中位数， a5， 故答案为：5 13 （3 分）方程1 的解为 x2 【解答】解：去分母得：1+x2+xx21， 解得：x2， 经检验 x2 是分式方程的解， 故答案为：x2 14 （3 分）为了测量教学楼的高度，某同学先在点 D 处用测角仪测得楼顶 M 的仰角为 30，再沿 DF 方向 前行 40 米到达点 E 处，在点 E 处测得楼顶 M 的仰角为 45，已知测角仪
19、的高 AD 为 1.5 米，则此楼 MF 的高为 56.1 米 （结果精确到 0.1 米，1.414，1.732，2.449） 【解答】解：在 RtMBC 中， MBC45， MCBC， 在 RtMAC 中， MAC30， ACMC， 设 MCx，则 ACx40+x， 解得 x20+2054.64（米） MFMC+CF54.64+1.556.1（米） ， 故答案为：56.1 15（3 分） 若菱形 ABCD 的一条对角线长为 8， 边 CD 的长是方程 x210 x+240 的一个根， 则该菱形 ABCD 的周长为 24 【解答】解：如图所示： 四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD，
20、x210 x+240， 因式分解得： （x4） （x6）0， 解得：x4 或 x6， 分两种情况： 当 ABAD4 时，4+48，不能构成三角形； 当 ABAD6 时，6+68， 菱形 ABCD 的周长4AB24 故答案为：24 16 （3 分）已知抛物线 yx22bx+2b24c（其中 b，c 为常数）经过不同两点 A（1b，m） ，B（2b+c， m） ，且该二次函数的图象与 x 轴有公共点，则 b+c 的值为 3 【解答】解：由二次函数 yx22bx+2b24c 的图象与 x 轴有公共点， （2b）241（2b24c）0，即 b24c0 ， 由抛物线的对称轴 xb，抛物线经过不同两点 A
21、（1b，m） ，B（2b+c，m） ， b，即，cb1 ， 代入得，b24（b1）0，即（b2）20，因此 b2， cb1211， b+c2+13， 故答案为：3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，第个小题，第 17、18、19 题每小题题每小题 6 分，第分，第 20、21 题每小题题每小题 6 分，第分，第 22、23 题每题每 小题小题 6 分，第分，第 24、25 题每小题题每小题 6 分，共分，共 72 分） 。分） 。 17 （6 分）计算：|1|+（2021）0 【解答】解：原式11+1 18 （6 分）先化简，再求值：（a1） ，其中 a 取 0a2 的整数
22、 【解答】解：原式 ， a10 且 a20 且 a+10 且 a+20 a1 且 a2 a 取 0a2 的整数， a0 当 a0 时，原式 19 （6 分）在 66 的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点叫做格点例如 A （1，5） ，B（0，3） ，C（5，3）都是格点 （1）ABC 的形状为 直角三角形 ； （2）利用尺规在 BC 下方画出以 BC 为斜边的等腰 RtBCD（保留作图痕迹） 【解答】解： （1）AB,AC2,BC5, AB2+AC2AB2 BAC90, 故答案为：直角三角形 （2）如图，BCD 即为所求 20 （8 分）为响应国家的“一带一路”经济发展
23、战略，树立品牌意识，我市质检部门对 A、B、C、D 四个 厂家生产的同种型号的零件共 2000 件进行合格率检测，通过检测得出 C 厂家的合格率为 95%，并根据 检测数据绘制了如图 1、图 2 两幅不完整的统计图 （1）抽查 D 厂家的零件为 500 件，扇形统计图中 D 厂家对应的圆心角为 90 ； （2）抽查 C 厂家的合格零件为 380 件，并将图 1 补充完整； （3）若要从 A、B、C、D 四个厂家中，随机抽取两个厂家参加工业产品博览会，请用“列表法”或“画 树形图”的方法求出 A、D 两个厂家同时被选中的概率 【解答】解： （1）D 厂的零件比例为：120%20%35%25%，
24、则 D 厂的零件数为：200025%500（件） ； D 厂家对应的圆心角为：36025%90， 故答案为：500，90； （2）C 厂的零件数200020%400（件） ， 则 C 厂的合格零件数40095%380（件） ， 故答案为：380， 将图 1 补充完整如下： （3）画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，A、D 两个厂家同时被选中的结果有 2 种， A、D 两个厂家同时被选中的概率为 21 （8 分）如图，在锐角ABC 中，ABBC，以 BC 为直径画O 交 AC 于点 D，过点 D 作 DEAB 于点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）当 AC4AE，DE时，求劣
25、弧的长 【解答】 （1）证明：连接 OD，BD， BC 为O 的直径， BDC90， ABBC， CBDABD， ODOB， ODBOBD， ODBABD， ODAB， DEAB， ODDE， DE 是O 的切线； （2）解：BDAC，ABBC， ADCD， AC4AE， AD2AE， AED90， ADE30， A60， ABDCBD30， COD60, OCOD, COD 是等边三角形, CDOC, DE, AE1, ADCD2， OC2, 劣弧的长为 22 （9 分）某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为 500t，三月份的总产量为 720t，若平均每月的增 长率相同 （1）第一季度平
26、均每月的增长率； （2） 如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年 5 月份 总产量能否突破 1000t？ 【解答】解： （1）设第一季度平均每月的增长率为 x， 根据题意得：500（1+x）2720， 解得：x10.220%，x22.2（舍去） 答：第一季度平均每月的增长率为 20% （2）720（1+20%）21036.8（t） ， 1036.81000， 该厂今年 5 月份总产量能突破 1000t 23 （9 分） （1）如图 1，正方形 ABCD 和正方形 DEFG（其中 ABDE） ，连接 CE，AG 交于点 H，请直接 写出线段 AG 与 C
27、E 的数量关系 AGCE ，位置关系 AGCE ； （2）如图 2，矩形 ABCD 和矩形 DEFG，AD2DG，AB2DE，ADDE，连接 AG，CE 交于点 H， （1） 中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段 AG，CE 的数量关系和位置关系， 并说明理由； （3）矩形 ABCD 和矩形 DEFC，AD2DG6，AB2DE8，直线 AG，CE 交于点 H，当点 E 与点 H 重合时，请直接写出线段 AE 的长 【解答】 （1）如图 1，在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中，ADCEDG90， ADE+EDGADC+ADE， 即ADGCDE， DGDE，DADC
28、， GDAEDC（SAS） ， AGCE，GADECD， CODAOH， AHOCDO90， AGCE， 故答案为：AGCE，AGCE； （2）不成立，CE2AG，AGCE，理由如下： 如图 2，设 CE 与 AD 交于点 M， 由（1）知，EDCADG， AD2DG，AB2DE，ADDE， ， ， GDAEDC， ，ECDGAD， CE2AG， CMDAMH， AHMCDM90， AGCE； （3）当点 E 在线段 AG 上时，如图 3， AD2DG6，AB2DE8， DG3，ED4， 矩形 DEFC， EDG90， EG5， 过点 D 作 DPAG 于点 P， DPGEDG90，DGPEG
29、D， DGPEGD， ，即， PG，PD， AP， AEAGGEAP+GPGE+5； 当点 G 在线段 AE 上时，如图 4， 过点 D 作 DPAG 于点 P， DPGEDG90，DGPEGD， 同理得：PD，AP， 由勾股定理得：PE， AEAP+PE+； 综上，AE 的长为或 24 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，定义点 C（a，b）为抛物线 L：yax2+bx（a0）的特征点坐标 （1）已知抛物线 L 经过点 A（2，2） 、B（4，0） ，求出它的特征点坐标； （2）若抛物线 L1：yax2+bx 的位置如图所示： 抛物线 L1：yax2+bx 关于原点 O 对称的抛物线 L2
30、的解析式为 yax2+bx ； 若抛物线 L1的特征点 C 在抛物线 L2的对称轴上，试求 a、b 之间的关系式； 在的条件下，已知抛物线 L1、L2与 x 轴有两个不同的交点 M、N，当一点 C、M、N 为顶点构成的 三角形是等腰三角形时，求 a 的值 【解答】解： （1）将点 A（2，2） 、B（4，0）代入到抛物线解析式中， 得，解得： 抛物线 L 的解析式为 y+2x， 它的特征点为（，2） （2）抛物线 L1：yax2+bx 与抛物线 L2关于原点 O 对称， 抛物线 L2的解析式为ya（x）2+b（x） ，即 yax2+bx 故答案为：yax2+bx 抛物线 L2的对称轴为直线：x
31、 当抛物线 L1的特征点 C（a，b）在抛物线 L2的对称轴上时，有 a， a 与 b 的关系式为 b2a2 抛物线 L1、L2与 x 轴有两个不同的交点 M、N， 在抛物线 L1：yax2+bx 中，令 y0，即 ax2+bx0， 解得：x1，x20（舍去） ， 即点 M（，0） ； 在抛物线 L2：yax2+bx 中，令 y0，即ax2+bx0， 解得：x1，x20（舍去） ， 即点 N（，0） b2a2， 点 M（2a，0） ，点 N（2a，0） ，点 C（a，2a2） MN2a（2a）4a，MC，NC 因此以点 C、M、N 为顶点的三角形是等腰三角形时，有以下三种可能： （i）MCMN
32、，此时有：4a，即 9a2+4a416a2， 解得：a0，或 a， a0， a； （ii）NCMN，此时有：4a，即 a2+4a416a2， 解得：a0，或 a， a0， a； （iii）MCNC，此时有：，即 9a2a2， 解得：a0， 又a0， 此情况不存在 综上所述：当以点 C、M、N 为顶点的三角形是等腰三角形时，a 的值为或 25 （10 分）已知，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交点为 A（1，0）和点 B，与 y 轴交点为 C（0，3） ，直 线 L：ykx1 与抛物线的交点为点 A 和点 D （1）求抛物线和直线 L 的解析式； （2）如图，点 M 为抛物线上一动点（不与
33、A、D 重合） ，当点 M 在直线 L 下方时，过点 M 作 MNx 轴 交 L 于点 N，求 MN 的最大值； （3）点 M 为抛物线上一动点（不与 A、D 重合） ，M为直线 AD 上一动点，是否存在点 M，使得以 C、 D、M、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 M 的坐标，如果不存在，请说明 理由 【解答】解： （1）将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得，解得：， 故抛物线的表达式为：yx22x3， 将点 A 的坐标代入直线 L 的表达式得：0k1，解得：k1， 故直线 L 的表达式为：yx1； （2）设点 M 的坐标为（m，m22m3） ， 点 N 的纵坐标与点
34、M 的纵坐标相同， 将点 N 的纵坐标代入 yx1 得：m22m3x1， 解得：xm2+2m+2， 故点 N（m2+2m+2，m22m3） ， 则 MNm2+2m+2mm2+m+2， 10，故 MN 有最大值，当 m时，MN 的最大值为； （3）设点 M（m，n） ，则 nm22m3，点 M（s，s1） ， 当 CD 为边时， 点 C 向右平移 2 个单位得到 D，同样点 M（M）向右平移 2 个单位得到 M（M） ， 即 m2s 且 ns1， 联立并解得：m0（舍去）或 1 或， 故点 M 的坐标为（1，4）或（，）或（，） ； 当 CD 为对角线时， 由中点公式得：（0+2）（m+s）且（33）（ns1）， 联立并解得：m0（舍去）或 1，故点 M（1，4） ； 综上，点 M 的坐标为（1，4）或（，）或（，）
