1、宿迁市宿迁市 2021 年初中学业水平考试年初中学业水平考试 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，在每小题所给出的四个选项中，恰有分，在每小题所给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 3 的相反数为（ ） A. 3 B. 1 3 C. 1 3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可 【详解】解：3的相反数是 3 故选：D 【点睛】此题考查求一
2、个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念 2. 对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的 是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断 【详解】解：A、是中心对称图形，故选项正确； B、不是中心对称图形，故选项错误； C、不是中心对称图形，故选项错误； D、不是中心对称图形，故选项错误 故选：A 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重 合 3. 下列运算正确的是（ ） A. 22aa B. 3 26 aa C. 236 a aa
3、D. 2 2 abab 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则和积的乘方法则逐个判断即可 【详解】解：A、2aaa，故该选项错误； B、 3 26 aa，故该选项正确； C、 235 aaa，故该选项错误； D、 2 22 aba b，故该选项错误； 故选：B 【点睛】本题考查了合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则和积的乘方法则，熟练掌握相 关运算法则是解决本题的关键 4. 已知一组数据：4，3，4，5，6，则这组数据的中位数是（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 【答案】C 【解析】 【分析】将原数据排序，根据中位数意
4、义即可求解 【详解】解：将原数据排序得 3，4， 4，5，6， 这组数据的中位数是 4 故选：C 【点睛】本题考查了求一组数据的中位数，熟练掌握中位数的意义是解题关键，注意求中位数时注意先排 序 5. 如图， 在 ABC 中， A=70 ， C=30 ， BD 平分ABC交 AC于点 D， DEAB， 交 BC 于点 E， 则BDE 的度数是（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的内角和可求ABC，根据角平分线可以求得ABD，由 DE/AB，可得BDE=ABD 即 可 【详解】解：A+C=100 ABC=80 ， BD平分BAC， ABD
5、=40 ， DEAB， BDE=ABD=40 ， 故答案为 B 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题 的关键 6. 已知双曲线 k y(0)k x 过点(3， 1 y)、(1， 2 y)、(-2， 3 y)，则下列结论正确的是（ ） A. 312 yyy B. 321 yyy C. 213 yyy D. 231 yyy 【答案】A 【解析】 【分析】利用分比例函数的增减性解答即可 【详解】解： k y(0)k x 当 x0时，y随 x的增大，且 y0；当 x0 时，y 随 x 的增大，且 y0； 013，-20 y2y10，y30 312
6、 yyy 故选 A 【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，掌握数形结合思想成为解答本题的关键 7. 折叠矩形纸片 ABCD，使点 B落在点 D 处，折痕为 MN，已知 AB=8，AD=4，则 MN的长是（ ） A. 5 5 3 B. 2 5 C. 7 5 3 D. 4 5 【答案】B 【解析】 【分析】连接 BM，利用折叠的性质证明四边形 BMDN为菱形，设 DNNBx，在 RtABD中，由勾股定 理求 BD，在 RtADN中，由勾股定理求 x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求 MN 【详解】解：如图，连接 BM， 由折叠可知，MN垂直平分 BD， ,ODOB 又 ABCD， ,MD
7、ONBODMOBNO BONDOM， ONOM， 四边形 BMDN 为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形） ， ,DNBNBMDM 设 DNNBx，则 AN8x， 在 RtABD中，由勾股定理得：BD2 2 ADAB 4 5， 在 RtADN中，由勾股定理得：AD2+AN2DN2， 即 42+（8x）2x2， 解得 x5， 根据菱形计算面积的公式，得 BNAD 1 2 MNBD， 即 54 1 2 MN4 5， 解得 MN2 5 故选：B 【点睛】本题考查图形的翻折变换，勾股定理，菱形的面积公式的运用，解题过程中应注意折叠是一种对 称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状
8、和大小不变，如本题中折叠前后对应线 段相等 8. 已知二次函数 2 yaxbxc的图像如图所示， 有下列结论： 0a； 2 4bac0； 40ab； 不等式 2 1axbxc（）0的解集为 1x3，正确的结论个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、于 x 轴的交点情况、对称轴的知识可判的正误，再根据函数图象的 特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定 【详解】解：抛物线的开口向上， a0，故正确； 抛物线与 x轴没有交点 2 4bac0，故错误 抛物线的对称轴为 x=1 1 2 b a ，即 b=-2a 4a
9、+b=2a0，故错误； 由抛物线可知顶点坐标为（1,1） ，且过点（3,3） 则 2 1 933 ba abc abc ，解得 1 2 1 3 2 a b c 2 1axbxc0 可化为 2 13 2 22 xx0，解得：1x3 故错误 故选 A 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特征成 为解答本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分，不需写出解答过程，请把答案直接填分，不需写出解答过程，请把答案直接填 写在答题卡相应位置上写在答题卡相应位置上) 9. 若代数式 2 2x
10、有意义，则x的取值范围是_ 【答案】任意实数 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件及平方的非负性即可得解 【详解】解： 2 0 x ， 2 2x 0， 无论 x取何值，代数式 2 2x 均有意义， x的取值范围为任意实数， 故答案为：任意实数 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件及平方的非负性， 熟练掌握二次根式的定义是解决本题的关键 10. 2021年 4 月，白鹤滩水电站正式开始蓄水，首批机组投产发电开始了全国冲刺，该电站建成后，将仅次 于三峡水电站成为我国第二大水电站，每年可减少二氧化碳排放 51600000 吨，减碳成效显著，对促进我市 实现碳中和目标具有重要作用，51600
11、000 用科学计数法表示为_ 【答案】 7 5.16 10 . 【解析】 【分析】科学记数法的形式是：10na ，其中1a10，n为整数所以5.16a，n取决于原数小数 点的移动位数与移动方向，n是小数点的移动位数，往左移动，n为正整数，往右移动，n为负整数本 题小数点往左移动到5的后面，所以7.n 【详解】解：51600000 7 5.16 10 . 故答案为： 7 5.16 10 . 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定 好 , a n的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响 11. 分解因式： 2 axa =_ 【答案】a（x+1）
12、（x-1） 【解析】 【分析】所求代数式中含有公因数 a，可先提取公因数，然后再运用平方差公式分解因式 【详解】原式=a（x2-1）=a（x+1） （x-1） 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行两次分解，注意要 分解彻底 12. 方程 2 2 1 42 x xx 的解是_ 【答案】 1 113 2 x ， 2 113 2 x 【解析】 【分析】先把两边同时乘以 2 4x ，去分母后整理为 2 30 xx，进而即可求得方程的解 【详解】解： 2 2 1 42 x xx ， 两边同时乘以 2 4x ，得 2 2(2)4x xx， 整理得： 2 30 xx
13、解得： 1 113 2 x ， 2 113 2 x ， 经检验， 1 113 2 x ， 2 113 2 x 是原方程的解， 故答案为： 1 113 2 x ， 2 113 2 x 【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解决本 题的关键 13. 已知圆锥的底面圆半径为4， 侧面展开图扇形的圆心角为120 ， 则它的侧面展开图面积为_ 【答案】48 【解析】 【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得 面积即可 【详解】解：底面圆的半径为 4， 底面周长为 8， 侧面展开扇形的弧长为 8， 设扇形的
14、半径为 r， 圆锥的侧面展开图的圆心角是 120， 120 180 r 8， 解得：r12， 侧面积为 41248， 故答案为：48 【点睛】 考查了圆锥的计算， 解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大 14. 九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸 齐问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为 10尺的正方形，一棵芦苇 AB 生长在 它的中央，高出水面部分 BC 为 1 尺如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B恰好 碰到岸边的 B（示意图如图，则水深为_尺 【答案】12 【解析】 【
15、分析】依题意画出图形，设芦苇长 AB=AB=x 尺，则水深 AC=（x1）尺，因为 BE=10 尺，所以 BC=5 尺，利用勾股定理求出 x的值即可得到答案 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长 AB=AB=x尺，则水深 AC=（x1）尺， 因为 BE=10尺，所以 BC=5 尺， 在 RtABC 中，52+（x1）2=x2， 解之得 x=13， 即水深 12 尺，芦苇长 13尺 故答案为：12 【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的 关键 15. 如图，在 Rt ABC 中，ABC=90 ，A=32 ，点 B、C 在O上，边 AB、AC分
16、别交O于 D、E两 点点 B 是CD的中点，则ABE=_ 【答案】13 【解析】 【分析】如图，连接,DC 先证明,BDCBCD 再证明,ABEACD 利用三角形的外角可得： ,BDCAACDAABE 再 利 用 直 角 三 角 形 中 两 锐 角 互 余 可 得 ： 2902,BDCAABE 再解方程可得答案 【详解】解：如图，连接,DC B是CD的中点， ,BDBCBDCBCD ,DEDE ,ABEACD ,BDCAACDAABE 90 ,32 ,ABCA 2902,BDCAABE 45453213 .ABEA 故答案为：13 . 【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三
17、角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的 含义是解题的关键 16. 如图，点 A、B 在反比例函数 k y0 x x 的图像上，延长 AB 交x轴于 C 点，若 AOC 的面积是 12， 且点 B是 AC的中点，则k =_ 【答案】8 【解析】 【分析】由AOC的面积为 12，故作ADOC，设 k A m m ，,0C n即可表示AOC的面积，再利用 中点坐标公式表示 B点坐标，利用 B点在反比例图像上即可求解 【详解】解：作ADOC，设 k A m m ，,0C n , k ADOCn m AOC的面积为 12 11 12 222 AOC knk SOCADn mm B 点是 AC 中点 B 点坐
18、标, 22 mnk m B 点在反比例图像上 2 2 k k mmn 又0k 3nm 3 12 2 mk m 8k 故答案是：8 【点睛】本题考查反比例函数的综合运用、中点坐标公式和设而不解的方程思想，属于中档难度的题型解 题的关键是设而不解的方程思想此外设有 1122 ,A x yB x y两点，则AB、的中点坐标是： 1212 , 22 xxyy 17. 如图，在 ABC中，AB=4，BC=5，点 D、E分别在 BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交 AD于点 F， 则 AFE面积的最大值是_ 【答案】 4 3 【解析】 【分析】 连接 DF， 先根据相似三角形判定与性质证明 2
19、 3 DE AE ,得到 3 5 AEFADF SS ,进而根据 CD=2BD， CF=2AF，得到 2 15 AEFABC SS ,根据 ABC中，AB=4，BC=5，得到当 ABBC 时，ABC面积最大，即 可求出 AFE面积最大值 【详解】解：如图，连接 DF， CD=2BD，CF=2AF， 2 = 3 CFCD CACB ， C=C， CDFCBA， 2 = 3 DFCD BACG ,CFD=CAB， DFBA， DFEABE， 2 = 3 DFDE ABAE , 3 5 AEFADF SS , CF=2AF， 1 3 ADFADC SS , 1 5 AEFADC SS , CD=2B
20、D， 2 3 ADCABC SS , 2 15 AEFABC SS , ABC中，AB=4，BC=5， ，当 ABBC 时，ABC面积最大，为 1 4 5=10 2 ， 此时 AFE 面积最大 24 10= 153 故答案为： 4 3 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质与判定得到 2 3 DE AE ,理解等高三角 形的面积比等于底的比是解题关键 三、简答题（本大题共三、简答题（本大题共 10 小题，共小题，共 96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明，证明过程或演算步骤文字说明，证明过程或演算步
21、骤) 18. 计算： 0 184sin45 【答案】1 【解析】 【分析】结合实数的运算法则即可求解 【详解】解：原式 2 =12 2412 22 21 2 【点睛】本题考察非 0 底数的 0 次幂等于 1、二次根式的化简、特殊三角函数值等知识点，属于基础题型， 难度不大解题的关键是掌握实数的运算法则 19. 解不等式组 10 52 1 2 x x x ，并写出满足不等式组的所有整数解 【答案】解集为 4 1 3 x，整数解为1，0 【解析】 【分析】 先分别解得每个不等式的解集，再根据大小小大取中间求得不等式组的解集，进而可求得整数解 【详解】解： 10 52 1 2 x x x ， 由得：
22、1x， 由得： 4 3 x ， 原不等式组的解集为 4 1 3 x， 该不等式组的所有整数解为1，0 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解决本题的关键 20. 某机构为了解宿迁市人口年龄结构情况，对宿迁市的人口数据进行随机抽样分析，绘制了如下尚不完整 的统计图表： 类别 A B C D 年龄（t岁） 0t15 15t60 60t65 t65 人数（万人） 4.7 11.6 m 2.7 根据以上信息解答下列问题： (1)本次抽样调查，共调查了_万人； (2)请计算统计表中m的值以及扇形统计图中“C”对应的圆心角度数； (3)宿迁市现有人口约 500万人，请根
23、据此次抽查结果，试估计宿迁市现有 60岁及以上的人口数量 【答案】 （1）20； （2）1；18； （3）92.5 万人 【解析】 【分析】 （1）用 B 类的人数除以所占百分比即可求出被调查的总人数； （2） 用总人数减去 A， B， D类的人数即可求出 m的值， 再用 C类人数除以总人数得到的百分比乘以 360 即 可得到结论； （3）首先计算出样本中 60 岁及以上的人口数量所占百分比，再乘以 500万即可得到结论 【详解】解： （1）11.6 58%=20（万人） ， 故答案为：20； （2）20 4.7 11.6 2.71m 1 360=18 20 故 m 的值为 1；扇形统计图中“
24、C”对应的圆心角度数为 18 ； （3）宿迁市现有 60 岁及以上的人口数=1+2.7500=92.5 20 （万人） 所以，宿迁市现有 60 岁及以上的人口数量为 92.5万人 【点睛】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息 是解决问题的关键扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 21. 在AE=CF；OE=OF；BEDF 这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程 已知，如图，四边形 ABCD是平行四边形，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 在 AC上， (填写 序号) 求证：BE=DF 注：如果选择多个条件分别解答，按第
25、一个解答计分 【答案】见解析 【解析】 【分析】 若选， 即 OE=OF； 根据平行四边形的性质可得 BO=DO， 然后即可根据 SAS证明BOEDOF， 进而可得结论；若选，即 AE=CF；根据平行四边形的性质得出 OE=OF 后，同上面的思路解答即可；若 选，即 BEDF，则BEO=DFO，再根据平行四边形的性质可证BOEDOF，于是可得结论 【详解】解：若选，即 OE=OF； 证明：四边形 ABCD是平行四边形， BO=DO， OE=OF，BOE=DOF， BOEDOF（SAS） ， BE=DF； 若选，即 AE=CF； 证明：四边形 ABCD是平行四边形， BO=DO，AO=CO， A
26、E=CF， OE=OF， 又BOE=DOF， BOEDOF（SAS） ， BE=DF； 若选，即 BEDF； 证明：四边形 ABCD是平行四边形， BO=DO， BEDF； BEO=DFO， 又BOE=DOF， BOEDOF（AAS） ， BE=DF； 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握平行四边形 的性质和全等三角形的判定是关键 22. 即将举行的 2022 年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”： 将三张正面分别印有以上 3 个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上、洗匀 (1)若从中任意抽取 1张，抽得得卡片上的图案
27、恰好为“莲莲”的概率是 (2)若先从中任意抽取 1 张， 记录后放回， 洗匀， 再从中任意抽取 1张， 求两次抽取的卡片图案相同的概率 (请 用树状图或列表的方法求解) 【答案】 （1） 1 3 ； （2） 1 3 【解析】 【分析】 （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两次抽取的卡片图案相同的情况数，然后根据概率公式 即可得出答案 【详解】解： （1）有 3张形状、 大小、质地均相同的卡片， 正面分别印有“宸宸”、 “琮琮”、“莲莲”， 从中随机抽取 1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率为 1 3 ； 故答案为： 1 3 ； （2）把“宸宸”
28、、“琮琮”、“莲莲”分别用字母 A、B、C表示，画树状图如下： 或列表为： A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 由图(或表)可知：共有 9 种等可能的结果，其中抽到相同图案的有 3 种， 则两次抽取的卡片图案相同的概率是 31 = 93 【点睛】此题考查的是树状图法(或列表法)求概率树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注 意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 23. 一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点 P 处测得正前方水平地面上某建筑物 AB 的顶端 A 的俯 角为 30 ，面向 AB方向继续飞
29、行 5米，测得该建筑物底端 B 的俯角为 45 ，已知建筑物 AB 的高为 3 米，求 无人机飞行的高度(结果精确到 1 米，参考数据： 2 1.414，3 =1.732) 【答案】无人机飞行的高度约为 14 米 【解析】 【分析】延长 PQ，BA，相交于点 E，根据BQE45 可设 BEQEx，进而可分别表示出 PEx5，AE x3，再根据 sinAPE AE PE ，APE30即可列出方程 33 53 x x ，由此求解即可 【详解】解：如图，延长 PQ，BA，相交于点 E， 由题意可得：ABPQ，E90， 又BQE45 ， BEQE， 设 BEQEx， PQ5，AB3， PEx5，AEx
30、3， E90， sinAPE AE PE ， APE30， sin30 33 53 x x ， 解得：x4 3714， 答：无人机飞行的高度约为 14 米 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形 并解直角三角形 24. 如图，在 Rt AOB 中，AOB=90 ，以点 O 为圆心，OA为半径的圆交 AB 于点 C，点 D在边 OB 上， 且 CD= BD （1）判断直线 CD与圆 O的位置关系，并说明理由； （2）已知 24 tan 7 DOC，AB=40，求O的半径 【答案】 （1）直线 CD 与圆 O 相切，理由见解析； （2）4 2
31、. 【解析】 【分析】 （1）连接,OC 证明90 ,DCBOCA可得90 ,OCD 从而可得答案； （2）由 24 ,tan, 7 CD OCCDDOC OC 设24 ,CDx 则7 ,OCx 再求解25 ,7 ,ODx OAx 再 表示49 ,OBODBDx 再利用 222, AOBOAB 列方程解方程，可得答案 【详解】解： （1）直线 CD与圆 O相切，理由如下： 如图，连接,OC 90 ,AOBOAOC 90 ,BOACOACOCA ,CDBD ,BDCB 90 ,DCBOCA 1809090 ,OCD ,OCCD OC为O的半径， CD是O的切线 （2） 24 ,tan, 7 CD
32、 OCCDDOC OC 设24 ,CDx 则7 ,OCx 22 25 ,7 ,ODOCCDx OAOCx ,CDBD 24 ,BDx 49 ,OBODBDx 40,90 ,ABAOB 222, AOBOAB 22 2 74940 ,xx 2 32 , 49 x 12 4 24 2 , 77 xx （负根舍去） O的半径为： 4 2 774 2. 7 OCx 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用， 一元二次方程的解法，熟练应用基础知识，把知识串联起来是解题的关键 25. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，
33、两车在途中相遇时， 快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止， 两车之间距离 s(km)与慢车行驶的时间 t(h)之间的关系如图： (1)快车的速度为 km/h，C 点的坐标为 (2)慢车出发多少小时候，两车相距 200km 【答案】 （1）100， （8,480） ； （2）1.75h和 4.875h 【解析】 【分析】 （1）由图像可知，甲乙两地的距离为 480km， 0-3小时快车和慢车一起行驶了 3 小时，3-4 小时快 车出现故障停止前行、仅有慢车行驶，进而求出慢车速度，然后再求出快车的速度；A、B段为快车已维修 好，两车共同行驶且快
34、车在 B 点到站，BC 段仅为慢车行驶；则可求出 B 点坐标，进而求出 C 点的横坐标即 可解答； （2）分快车出现故障前和故障后两种情况解答即可 【详解】解： （1）由图像可知，甲乙两地的距离为 480km 在 0-3 小时快车和慢车一起行驶了 3 小时，3-4 小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶 则慢车速度为 60 43 =60km/h 设快车速度为 v，则有： （v+60）3=480，解得 v=100km/h B点的横坐标为 480 100 +1=5.8，从坐标为 60+（60+100）（5.8-4）=348，即 B（5.8,348） 慢车行驶时间为 480 8 60 h， C 点的
35、横坐标为 8 C 点的坐标为（8,480） ； （2）在快车出现故障前，两车相距 200km 所用时间为：（480-200）（100+60）=1.75h； 在快车出现故障后，慢车 1 小时行驶了 60km，然后两车共同行驶了 200-60=140km 共同行驶时间为 140（100+60）=0.875h 两车相距 200km 所用时间为 4+0.875=4.875h 答：两车相距 200km 所用时间为 1.75h和 4.875h 【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息和行程问题，从函数图象中获取有用的信息成为解答本题的关 键 26. 已知正方形 ABCD与正方形 AEFG，正方形 AEFG
36、绕点 A 旋转一周 (1)如图，连接 BG、CF，求 CF BG 的值； (2)当正方形 AEFG 旋转至图位置时，连接 CF、BE，分别去 CF、BE 的中点 M、N，连接 MN、试探究： MN与 BE的关系，并说明理由； (3)连接 BE、BF，分别取 BE、BF的中点 N、Q，连接 QN，AE=6，请直接写出线段 QN扫过的面积 【答案】 （1） 2； （2） 1 ; 2 MNBE MNBE； （3）9 【解析】 【分析】 （1）由旋转的性质联想到连接AFAC、，证明CAFBAG即可求解； （2）由 M、N 分别是 CF、BE 的中点，联想到中位线，故想到连接 BM并延长使 BM=MH，
37、连接 FH、EH， 则可证BMCHMF即可得到HFBCBA，再由四边形BEFC内角和为360可得 BACHFE，则可证明BAEHFE，即BHE是等腰直角三角形，最后利用中位线的性质即可 求解； （3）Q、N两点因旋转位置发生改变，所以 Q、N两点的轨迹是圆，又 Q、N两点分别是 BF、BE 中点，所 以想到取 AB 的中点 O，结合三角形中位线和圆环面积的求解即可解答 【详解】解： （1）连接AFAC、 四边形 ABCD和四边形 AEFG 是正方形 ,90ABBC AGFGBADGAECBAAGF AFAC、分别平分,EAGBAD 45BACGAF BACCAGGAFCAG即BAGCAF 且,
38、ABCAGF都是等腰直角三角形 2 ACAF ABAG CAFBAG 2 CFAC BGAB （2）连接 BM并延长使 BM=MH，连接 FH、EH M是 CF的中点 CMMF 又CMBFMH CMBFMH ,BCHFBCMHFM 在四边形 BEFC 中 360BCMCBEBEFEFC 又90CBAAEF 3609090180BCMABEAEBEFC 即180HFMEFCABEAEB 即180HFEABEAEB 180BAEABEAEB HFEBAE 又四边形 ABCD和四边形 AEFG 是正方形 ,BCABFH EAEF BAEHFE .BEHEBEAHEF 90HEFHEAAEF 90BE
39、AHEABEH 三角形 BEH 是等腰直角三角形 M、N 分别是 BH、BE 的中点 1 / /, 2 MNHE MNHE 1 90 , 2 MNBHEBMNBE 1 , 2 MNBE MNBE （3）取 AB的中点 O，连接 OQ、ON，连接 AF 在ABF中，O、Q 分别是 AB、BF 的中点 1 2 OQAF 同理可得 1 2 ONAE 26 2AFAE 3 2,3OQON 所以 QN 扫过的面积是以 O为圆心，3 2和3为半径的圆环的面积 2 2 3 239S 【点睛】本题考察旋转的性质、三角形相似、三角形全等、正方形的性质、中位线的性质与应用和动点问 题，属于几何综合题，难度较大解题
40、的关键是通过相关图形的性质做出辅助线 27. 如图，抛物线 2 1 y 2 xbxc 与x轴交于 A(-1，0)，B(4，0)，与y轴交于点 C连接 AC，BC，点 P 在抛物线上运动 (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点 P在第四象限，点 Q在 PA 的延长线上，当CAQ=CBA45 时，求点 P的坐标； (3)如图，若点 P在第一象限，直线 AP交 BC于点 F，过点 P作x轴的垂线交 BC于点 H，当 PFH 为等 腰三角形时，求线段 PH的长 【答案】 （1） 2 13 2 22 yxx ； （2） （6，-7） ； （3）PH=3 5 5 或 1.5 或 15 8 【解析】 【
41、分析】 （1）根据待定系数法解答即可； （2）求得点 C 的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断ACB=90 ，继而可得ACO=CBA，在 x 轴上取点 E（2，0） ，连接 CE，易得OCE 是等腰直角三角形，可得OCE=45 ，进一步可推出ACE=CAQ，可 得 CEPQ，然后利用待定系数法分别求出直线 CE与 PQ 的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解 即可； （3）设直线 AP交 y 轴于点 G，如图，由题意可得若PFH 为等腰三角形，则CFG 也为等腰三角形，设 G（0，m） ，求出直线 AF和直线 BC的解析式后，再解方程组求出点 F的坐标，然后分三种情况求出 m的 值，再求出直
42、线 AP的解析式，进而可求出点 P的坐标，于是问题可求解 【详解】解： （1）把 A(-1，0)，B(4，0)代入 2 1 y 2 xbxc ，得 1 0 2 840 bc bc ，解得： 3 2 2 b c ， 抛物线的解析式是 2 13 2 22 yxx ； （2）令 x=0，则 y=2，即 C（0，2） ， 222 125AC ， 222 2420BC ，AB 2=25， 222 ACBCAB， ACB=90 ， ACO+CAO=CBA+CAO=90 ， ACO=CBA， 在 x轴上取点 E（2，0） ，连接 CE，如图， 则 CE=OE=2， OCE=45 ， ACE=ACO+45 =
43、CBA+45 =CAQ， CEPQ， C（0，2） ，E（2，0） ， 直线 CE的解析式为 y=-x+2， 设直线 PQ的解析式为 y=-x+n，把点 A（-1，0）代入，可得 n=-1， 直线 PQ的解析式为 y=-x-1， 解方程组 2 13 2 22 1 yxx yx ，得 1 0 x y 或 6 7 x y ， 点 P的坐标是（6，-7） ； （3）设直线 AP交 y 轴于点 G，如图， PHy 轴， PHC=OCB，FPH=CGF， 若PFH 为等腰三角形，则CFG 也为等腰三角形， C（0，2） ，B（4，0） ， 直线 BC的解析式为 1 2 2 yx ， 设 G（0，m） ，
44、A（-1，0） ， 直线 AF的解析式为 y=mx+m， 解方程组 1 2 2 yx ymxm ，得 42 21 5 21 m x m m y m ， 点 F的坐标是 425 , 21 21 mm mm ， 2222 2 222 425425 2,2, 21212121 mmmm CGmCFFGm mmmm ， 当 CG=CF时， 22 2425 22 2121 mm m mm ，解得： 51 2 m （舍去负值） ， 此时直线 AF 的解析式为 y= 51 2 x+ 51 2 ， 解方程组 2 13 2 22 5151 22 yxx yx ，得 1 0 x y 或 55 7 511 2 x
45、y ， 点 P的坐标是（55， 7 511 2 ） ，此时点 H的坐标是（55， 51 2 ） ， PH= 7 51151 3 55 22 ； 当 FG=FC时， 2222 425425 2 21212121 mmmm m mmmm ，解得 m= 1 2 或 m= 1 2 （舍）或 m=2（舍） ， 此时直线 AF 的解析式为 y= 1 2 x+ 1 2 ， 解方程组 2 13 2 22 11 22 yxx yx ，得 1 0 x y 或 3 2 x y ， 点 P的坐标是（3，2） ，此时点 H 的坐标是（3， 1 2 ） ， PH=2- 1 2 =1.5； 当 GF=GC时， 22 242
46、5 2 2121 mm mm mm ，解得 3 4 m 或 m=2（舍去） ， 此时直线 AF 的解析式为 y= 3 4 x+ 3 4 ， 解方程组 2 13 2 22 33 44 yxx yx ，得 1 0 x y 或 5 2 21 8 x y ， 点 P的坐标是（ 5 2 ， 21 8 ） ，此时点 H的坐标是（ 5 2 ， 3 4 ） ， PH= 21315 848 ； 综上，PH=3 5 5 或 1.5或 15 8 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐 标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数 的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键
