1、2021 年湖北省武汉市中考数学试卷年湖北省武汉市中考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正 确答案的标号涂黑确答案的标号涂黑. 1实数 3 的相反数是（ ） A3 B3 C D 2下列事件中是必然事件的是（ ） A抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数 C打开电视机，正在播放广告 D从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级 3 下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的， 其中
2、既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ） A B C D 4计算（a2）3的结果是（ ） Aa6 Ba6 Ca5 Da5 5如图是由 4 个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A B C D 6学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女 的概率是（ ） A B C D 7我国古代数学名著九章算术中记载“今有共买物，人出八，盈三，不足四问人数、物价各几何？” 意思是：现有几个人共买一件物品，每人出 8 钱；每人出 7 钱，还差 4 钱问人数，物价是 y 钱，则下 列方程正确的是（ ） A8（x3）7（x+4） B8x+37x4 C D
3、 8一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小 不变（单位：km）与慢车行驶时间 t（单位：h）的函数关系如图（ ） Ah Bh Ch Dh 9如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦沿 BC 翻折交 AB 于点 D，再将，设ABC， 则 所在的范围是（ ） A21.922.3 B22.322.7 C22.723.1 D23.123.5 10已知 a，b 是方程 x23x50 的两根，则代数式 2a36a2+b2+7b+1 的值是（ ） A25 B24 C35 D36 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共
4、 18 分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题 卡指定的位置卡指定的位置. 11计算的结果是 12我国是一个人口资源大国第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这 组数据的中位数是 城市 北京 上海 广州 重庆 成都 常住人口 数万 2189 2487 1868 3205 2094 13已知点 A（a，y1） ，B（a+1，y2）在反比例函数 y（m 是常数）的图象上，且 y1y2，则 a 的 取值范围是 14如图，海中有一个小岛 A一艘轮船由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60方向上，这
5、时测 得小岛 A 在北偏东 30方向上小岛 A 到航线 BC 的距离是 nmile（1.73，结果用四舍 五入法精确到 0.1） 15已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 是常数） ，a+b+c0下列四个结论： 若抛物线经过点（3，0） ，则 b2a； 若 bc，则方程 cx2+bx+a0 一定有根 x2； 抛物线与 x 轴一定有两个不同的公共点； 点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）在抛物线上，若 0ac，则当 x1x21 时，y1y2 其中正确的是 （填写序号） 16如图（1） ，在ABC 中，ABAC，边 AB 上的点 D 从顶点 A 出发，向顶点 B 运动，边 BC 上的点
6、E 从 顶点 B 出发，向顶点 C 运动，D，设 xAD，yAE+CD（2） ，图象过点（0，2） ，则图象最低点的横坐 标是 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤 或画出图形或画出图形. 17 （8 分）解不等式组请按下列步骤完成解答 （1）解不等式，得 ； （2）解不等式，得 ； （3）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是 18 （8 分）如图，ABCD，BD，BC 的延长线分别交于点 E，F，求证：DEFF 19
7、 （8 分）为了解落实国家关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见的实施情况，某校从全体学 生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间 t（单位：h） ，B 组“5t7” ，C 组“7t9” ， 绘制成如下两幅不完整的统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是 ，C 组所在扇形的圆心角的大小是 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有 1500 名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于 7h 的学生人数 20 （8 分）如图是由小正方形组成的 57 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形 ABCD 的四个顶点都 是格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图
8、 （1）在图（1）中，先在边 AB 上画点 E，使 AE2BE，使 EF 平分矩形 ABCD 的面积； （ 2 ） 在 图 （ 2 ） 中 ， 先 画 BCD的 高CG ， 再 在 边AB上 画 点H 21 （8 分）如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上两点的中点，过点 C 作 AD 的垂线 （1）求证：CE 是O 的切线； （2）若，求 cosABD 的值 22 （10 分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 A，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品A 原料 的单价是 B 原料单价的 1.5 倍，每盒还需其他成本 9 元市场调查发现：该产品每盒的售价是 60 元时， 每天可以销售 5
9、00 盒，每天少销售 10 盒 （1）求每盒产品的成本（成本原料费+其他成本） ； （2）设每盒产品的售价是 x 元（x 是整数） ，每天的利润是 w 元，求 w 关于 x 的函数解析式（不需要写 出自变量的取值范围） ； （3）若每盒产品的售价不超过 a 元（a 是大于 60 的常数，且是整数） ，直接写出每天的最大利润 23 （10 分）问题提出 如图（1） ，在ABC 和DEC 中，ACBDCE90，ECDC，点 E 在ABC 内部，BF，CF 之 间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （1）先将问题特殊化如图（2） ，当点 D，F 重合时，表示 AF，BF； （2）再探究一般情形如图（1）
10、 ，当点 D，F 不重合时（1）中的结论仍然成立 问题拓展 如图（3） ，在ABC 和DEC 中，ACBDCE90，ECkDC（k 是常数） ，点 E 在ABC 内部， 表示线段 AF，BF 24 （12 分）抛物线 yx21 交 x 轴于 A，B 两点（A 在 B 的左边） （1）ACDE 的顶点 C 在 y 轴的正半轴上，顶点 E 在 y 轴右侧的抛物线上； 如图（1） ，若点 C 的坐标是（0，3） ，点 E 的横坐标是，D 的坐标 如图（2） ，若点 D 在抛物线上，且ACDE 的面积是 12 （2）如图（3） ，F 是原点 O 关于抛物线顶点的对称点，不平行 y 轴的直线 l 分别交
11、线段 AF（不含端点） 于 G，H 两点若直线 l 与抛物线只有一个公共点 2021 年湖北省武汉市中考数学试卷年湖北省武汉市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正 确答案的标号涂黑确答案的标号涂黑. 1实数 3 的相反数是（ ） A3 B3 C D 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案 【解答】解：实数 3 的相反数是：3 故选：B 2下列事件中是必然事件的是（ ） A抛掷一枚质地均匀的
12、硬币，正面朝上 B随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数 C打开电视机，正在播放广告 D从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可 【解答】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，是随机事件； B、随意翻到一本书的某页，是随机事件； C、打开电视机，是随机事件； D、从两个班级中任选三名学生，是必然事件； 故选：D 3 下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的， 其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ） A B C D 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图 形就叫做中心对称图形，
13、这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 【解答】解：A既是轴对称图形又是中心对称图形； B不是轴对称图形，故此选项不合题意； C不是轴对称图形，故此选项不合题意； D是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A 4计算（a2）3的结果是（ ） Aa6 Ba6 Ca5 Da5 【分析】根据幂的乘方的运算法则计算可得 【解答】解： （a2）3a4， 故选：A 5如图是由 4 个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A B C D 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主
14、视图中 【解答】解：从正面看易得有两层，底层三个正方形 故选：C 6学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女 的概率是（ ） A B C D 【分析】画树状图，共有 12 种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有 8 种，再由概率公式 求解即可 【解答】解：画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有 8 种， 两人恰好是一男一女的概率为， 故选：C 7我国古代数学名著九章算术中记载“今有共买物，人出八，盈三，不足四问人数、物价各几何？” 意思是：现有几个人共买一件物品，每人出 8 钱；每人出 7 钱，还
15、差 4 钱问人数，物价是 y 钱，则下 列方程正确的是（ ） A8（x3）7（x+4） B8x+37x4 C D 【分析】根据人数总钱数每人所出钱数，得出等式即可 【解答】解：设物价是 y 钱，根据题意可得： 故选：D 8一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小 不变（单位：km）与慢车行驶时间 t（单位：h）的函数关系如图（ ） Ah Bh Ch Dh 【分析】根据图象得出，慢车的速度为，快车的速度为从而得出快车和慢车对应的 y 与 t 的函数关系式联立两个函数关系式，求解出图象对应两个交点的坐标，即可得出间隔时间 【解答】解：根据图象可知，
16、慢车的速度为 对于快车，由于往返速度大小不变， 因此单程所花时间为 2 h，故其速度为 所以对于慢车，y 与 t 的函数表达式为 对于快车，y 与 t 的函数表达式为 联立，可解得交点横坐标为 t3， 联立，可解得交点横坐标为 t4.5， 因此，两车先后两次相遇的间隔时间是 7.5， 故选：B 9如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦沿 BC 翻折交 AB 于点 D，再将，设ABC， 则 所在的范围是（ ） A21.922.3 B22.322.7 C22.723.1 D23.123.5 【分析】如图，连接 AC,CD,DE证明CAB3,利用三角形内角和定理求出 ，可得结论 【解答】解：如图
17、，连接 AC,DE , EDEB, EDBEBD, , ADCDDE, DCEDECEDB+EBD2, CADCDADCE+EBD3, AB 是直径， ACB90, CAB+ABC90, 290, 22.5, 故选：B 10已知 a，b 是方程 x23x50 的两根，则代数式 2a36a2+b2+7b+1 的值是（ ） A25 B24 C35 D36 【分析】根据一元二次方程解的定义得到 a23a50，b23b50，即 a23a+5，b23b+5，根据 根与系数的关系得到 a+b3,然后整体代入变形后的代数式即可求得 【解答】解：a，b 是方程 x23x70 的两根， a24a50，b23b5
18、3，a+b3, a24a5，b27b+5， 2a26a2+b8+7b+1 6a（a23a)+2b+5+7b+3 10a+10b+6 10(a+b)+6 103+6 36 故选：D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题 卡指定的位置卡指定的位置. 11计算的结果是 5 【分析】根据二次根式的性质解答 【解答】解：|4|5 12我国是一个人口资源大国第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这 组数据的中位数是 2189 城
19、市 北京 上海 广州 重庆 成都 常住人口 数万 2189 2487 1868 3205 2094 【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可 【解答】解：将这组数据重新排列为 1868，2094，2487， 所以这组数据的中位数为 2189， 故答案为：2189 13已知点 A（a，y1） ，B（a+1，y2）在反比例函数 y（m 是常数）的图象上，且 y1y2，则 a 的 取值范围是 1a0 【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，当点 A（a，y1） ，B（a+1，y2）在同一象限时， 当点 A（a，y1） ，B（a+1，y2）在不同象限时 【解答】解：km2
20、+15， 反比例函数 y（m 是常数）的图象在一，在每个象限， 当 A（a，y4） ，B（a+1，y2）在同一象限， y3y2， aa+1， 此不等式无解； 当点 A（a，y8） 、B（a+1，y2）在不同象限， y2y2， a0，a+50， 解得：1a6， 故答案为1a0 14如图，海中有一个小岛 A一艘轮船由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60方向上，这时测 得小岛 A 在北偏东 30方向上小岛 A 到航线 BC 的距离是 10.4 nmile（1.73，结果用四舍五 入法精确到 0.1） 【分析】过点 A 作 AEBD 交 BD 的延长线于点 E，根据三角形的外角性质得到B
21、ADABD，根据 等腰三角形的判定定理得到 ADAB，根据正弦的定义求出 AE 即可 【解答】解：过点 A 作 AEBD 交 BD 的延长线于点 E， 由题意得，CBA60， ABD30，ADE60， BADADEABD30， BADABD， ADAB12nmile， 在 RtADE 中，sinADE， AEADsinADE610.5（nmile） ， 故小岛 A 到航线 BC 的距离是 10.4nmile， 故答案为 10.4 15已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 是常数） ，a+b+c0下列四个结论： 若抛物线经过点（3，0） ，则 b2a； 若 bc，则方程 cx2+bx+a0
22、 一定有根 x2； 抛物线与 x 轴一定有两个不同的公共点； 点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）在抛物线上，若 0ac，则当 x1x21 时，y1y2 其中正确的是 （填写序号） 【分析】由题意可得，抛物线的对称轴为直线 x1，即 b2a，即正确； 若 bc，则二次函数 ycx2+bx+a 的对称轴为直线：x，则，解得 m2， 即方程 cx2+bx+a0 一定有根 x2；故正确； b24ac （a+c） 24ac （ac）20， 则当 ac 时， 抛物线与 x 轴一定有两个不同的公共点 故 不正确； 由题意可知，抛物线开口向上，且1，则当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，则当 x1x
23、21 时，y1 y2故正确 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 是常数） ， （1，3）是抛物线与 x 轴的一个交点 抛物线经过点（3，0） ， 抛物线的对称轴为直线 x8， 1，即正确； 若 bc，则二次函数 ycx7+bx+a 的对称轴为直线：x， 且二次函数 ycx2+bx+a 过点（1，2） ， ， ycx2+bx+a 与 x 轴的另一个交点为（6，0）2+bx+a2 一定有根 x2；故正确； b26ac（a+c）24ac（ac）20， 抛物线与 x 轴一定有两个公共点， 且当 ac 时，抛物线与 x 轴一定有两个不同的公共点； 由题意可知，抛物线开口向上，且， （1，
24、7）在对称轴的左侧， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x1x41 时，y1y8故正确 故答案为： 16如图（1） ，在ABC 中，ABAC，边 AB 上的点 D 从顶点 A 出发，向顶点 B 运动，边 BC 上的点 E 从 顶点 B 出发，向顶点 C 运动，D，设 xAD，yAE+CD（2） ，图象过点（0，2） ，则图象最低点的横坐 标是 1 【分析】观察函数图象，根据图象经过点（0，2）即可推出 AB 和 AC 的长，构造NBECAD，当 A、 E、N 三点共线时，y 取得最小值，利用三角形相似求出此时的 x 值即可 【解答】解：图象过点（0，2） ， 即当 xAD7 时,点
25、 D 与 A 重合， 此时 yAE+CDAB+AC2, ABC 为等腰直角三角形， ABAC1， 过点 A 作 AFBC 于点 F，过点 B 作 NBBC，如图所示： ADBE,NBECAD， NBECAD(SAS)， NECD， 又yAE+CD, yAE+CDAE+NE, 当 A、E、N 三点共线时，如图所示 ADBEx,ACBN6， AFACsin45, 又BENFEA，NBEAFE NBEAFE ，即， 解得：x， 图象最低点的横坐标为：1 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤分）下列各题
26、需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤 或画出图形或画出图形. 17 （8 分）解不等式组请按下列步骤完成解答 （1）解不等式，得 x1 ； （2）解不等式，得 x3 ； （3）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是 x1 【分析】先解出两个不等式，然后在数轴上表示出它们的解集，即可写出不等式组的解集 【解答】解： （1）解不等式，得 x1； （2）解不等式，得 x5； （3）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是 x1 故答案为：x1；x8 18 （8 分）如图，ABCD，BD，BC 的延长线分别交于点 E，F，求证：DEFF 【分
27、析】由平行线的性质得到DCFB，进而推出DCFD，根据平行线的判定得到 ADBC， 根据平行线的性质即可得到结论 【解答】证明：ABCD， DCFB， BD， DCFD， ADBC， DEFF 19 （8 分）为了解落实国家关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见的实施情况，某校从全体学 生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间 t（单位：h） ，B 组“5t7” ，C 组“7t9” ， 绘制成如下两幅不完整的统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是 100 ，C 组所在扇形的圆心角的大小是 108 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有 1500
28、名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于 7h 的学生人数 【分析】 （1）用 D 组的人数所占百分比计算即可，计算 C 组的百分比，用 C 组的百分数乘以 360即 可得出 C 组所在扇形的圆心角的大小； （2）求出 B 组人数，画出条形图即可； （3）用 C，D 两组的百分数之和乘以 1500 即可 【解答】解： （1）这次抽样调查的样本容量是 1010%100， C 组所在扇形的圆心角的大小是 360108， 故答案为：100，108； （2）B 组的人数10015301045（名） ， 条形统计图如图所示， （3）1500600（名） 答：估计该校平均每周劳动时间不少于 7h 的学生
29、人数为 600 20 （8 分）如图是由小正方形组成的 57 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形 ABCD 的四个顶点都 是格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图 （1）在图（1）中，先在边 AB 上画点 E，使 AE2BE，使 EF 平分矩形 ABCD 的面积； （ 2 ） 在 图 （ 2 ） 中 ， 先 画 BCD的 高CG ， 再 在 边AB上 画 点H 【分析】 （1）如图取格点 T,连接 DT 交 AB 于点 E,连接 BD,取 BD 的中点 F,作直线 EF 即可 （2） 取格点E,F,连接EF交格线于P,连接CP交BD于点G,线段CG即为所求 取格点M,N,T,K,连接MN
30、,TK 交于点 J,取 BD 的中点 O,作直线 OJ 交 AB 于 H,连接 DH,点 H 即为所求 【解答】解： （1)如图，直线 EF 即为所求 （2）如图，线段 CG 21 （8 分）如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上两点的中点，过点 C 作 AD 的垂线 （1）求证：CE 是O 的切线； （2）若，求 cosABD 的值 【分析】 （1）连接 OC 交 BD 于点 G，可证明四边形 EDGC 是矩形，可求得ECG90，进而可求 CE 是O 的切线； （2）连接 BC，设 FGx,OBr，利用，设 DFt,DCt,利用 RtBCGRtBFC 的性质 求出 CG,OG,利用勾股定
31、理求出半径，进而求解 【解答】 （1）证明：连接 OC 交 BD 于点 G， 点 C 是的中点， 由圆的对称性得 OC 垂直平分 BD， DGC90, AB 是O 的直径， ADB90, EDB90, CEAE， E90, 四边形 EDGC 是矩形， ECG90， CEOC, CE 是O 的切线； （2）解：连接 BC，设 FGx， ， 设 DFt,DCt, 由（1）得，BCCDt, AB 是O 的直径， ACB90, BCG+FCG90, DGC90, CFB+FCG90, BCGCFB, RtBCGRtBFC, BC2BGBF, （t）7（x+t） （x+2t） 解得 x1t,x3t（不符
32、合题意， CGt, OGrt, 在 RtOBG 中，由勾股定理得 OG2+BG4OB2, （rt）2+（2r）2r7, 解得 rt, cosABD 22 （10 分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 A，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品A 原料 的单价是 B 原料单价的 1.5 倍，每盒还需其他成本 9 元市场调查发现：该产品每盒的售价是 60 元时， 每天可以销售 500 盒，每天少销售 10 盒 （1）求每盒产品的成本（成本原料费+其他成本） ； （2）设每盒产品的售价是 x 元（x 是整数） ，每天的利润是 w 元，求 w 关于 x 的函数解析式（不需要写 出自变量的取值范围）
33、； （3）若每盒产品的售价不超过 a 元（a 是大于 60 的常数，且是整数） ，直接写出每天的最大利润 【分析】 （1）根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本原料费+其他成本计算每盒产品的成 本即可； （2）根据利润等于售价减去成本列出函数关系式即可； （3）根据（2）中的函数关系式，利用函数的性质求最值即可 【解答】解： （1）设 B 原料单价为 m 元，则 A 原料单价为 1.5m 元， 根据题意，得100， 解得 m3， 5.5m4.8， 每盒产品的成本是：4.55+43+630（元） ， 答：每盒产品的成本为 30 元； （2）根据题意，得 w(x30)50010(x60)1
34、0 x2+1400 x33000， w 关于 x 的函数解析式为：w10 x2+1400 x33000； （3）由（2）知 w10 x7+1400 x3300010（x70）2+16000， 当 a70 时，每天最大利润为 16000 元， 当 60a70 时，每天的最大利润为(10a2+1400a33000)元 23 （10 分）问题提出 如图（1） ，在ABC 和DEC 中，ACBDCE90，ECDC，点 E 在ABC 内部，BF，CF 之 间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （1）先将问题特殊化如图（2） ，当点 D，F 重合时，表示 AF，BF； （2）再探究一般情形如图（1） ，当点
35、D，F 不重合时（1）中的结论仍然成立 问题拓展 如图（3） ，在ABC 和DEC 中，ACBDCE90，ECkDC（k 是常数） ，点 E 在ABC 内部， 表示线段 AF，BF 【分析】 （1）证明ACDBCE（SAS） ，则CDE 为等腰直角三角形，故 DEEFCF，进而求 解； （2）由（1）知，ACDBCE（SAS） ，再证明BCGACF（AAS） ，得到GCF 为等腰直角三角 形，则 GFCF，即可求解； （3）证明BCECAD 和BGCAFC，得到，则 BGkAF，GCkFC，进而求 解 【解答】解： （1）如图（2） ，ACD+ACE90， BCEACD， BCAC，ECDC，
36、 ACDBCE（SAS） ， BEADAF，EBCCAD， 故CDE 为等腰直角三角形， 故 DEEFCF， 则 BFBDBE+EDAF+CF； 即 BFAFCF； （2）如图（1） ，由（1）知， CAFCBE，BEAF， 过点 C 作 CGCF 交 BF 于点 G， FCE+ECG90，ECG+GCB90， ACFGCB， CAFCBE，BCAC， BCGACF（AAS） ， GCFC，BGAF， 故GCF 为等腰直角三角形，则 GF， 则 BFBG+GFAF+CF， 即 BFAFCF； （3）由（2）知，BCEACD， 而 BCkAC，ECkDC， 即， BCECAD， CADCBE，
37、过点 C 作 CGCF 交 BF 于点 G， 由（2）知，BCGACF， BGCAFC， ， 则 BGkAF，GCkFC， 在 RtCGF 中，GF， 则 BFBG+GFkAF+FC， 即 BFkAFFC 24 （12 分）抛物线 yx21 交 x 轴于 A，B 两点（A 在 B 的左边） （1）ACDE 的顶点 C 在 y 轴的正半轴上，顶点 E 在 y 轴右侧的抛物线上； 如图（1） ，若点 C 的坐标是（0，3） ，点 E 的横坐标是，D 的坐标 如图（2） ，若点 D 在抛物线上，且ACDE 的面积是 12 （2）如图（3） ，F 是原点 O 关于抛物线顶点的对称点，不平行 y 轴的直
38、线 l 分别交线段 AF（不含端点） 于 G，H 两点若直线 l 与抛物线只有一个公共点 【分析】 （1）点 A 向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得到点 C，而四边形 ACDE 为平行四边形，故 点 E 向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得到点 D，即可求解； 利用 SACES梯形CNMASCENSAEM6，求出 m5（舍去）或 2，即可求解； （2）由 FG+FH+（xHxG）（），即可求解 【解答】解： （1）对于 yx21，令 yx410，解得 x5，则 y1， 故点 A、B 的坐标分别为（1、 （4，顶点坐标为（0， 当 x时，yx21， 由点 A、C 的坐标知， 四边形
39、 ACDE 为平行四边形， 故点 E 向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得到点 D， 则+8， 故点 D 的坐标为（，） ； 设点 C（3，n） ，m21） ， 同理可得，点 D 的坐标为（m+4，m21+n） ， 将点 D 的坐标代入抛物线表达式得：m31+n（m+1）21， 解得 n2m+8， 故点 C 的坐标为（0，2m+6） ； 连接 CE，过点 E 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 M， 则 SACES梯形CNMASCENSAEM （m+2+m）（2m+1） 26） m5m+1 （m28） SACED 6， 解得 m5（舍去）或 2， 故点 E 的坐标为（8,3） ； （2）F 是原点 O 关于抛物线顶点的对称点，故点 F 的坐标为（0， 由点 B、F 的坐标得， 同理可得，直线 AF 的表达式为 y6x2， 设直线 l 的表达式为 ytx+n， 联立 ytx+n 和 yx24 并整理得：x2txn16， 直线 l 与抛物线只有一个公共点， 故（t）24（n6）0，解得 nt21， 故直线 l 的表达式为 ytxt28， 联立并解得 xH， 同理可得，xG， 射线 FA、FB 关于 y 轴对称，设AFOBFO， 则 sinAFOBFOsin， 则 FG+FH+（xHxG）（）
