1、2021 年广东省广州市越秀区年广东省广州市越秀区二校联考二校联考中考数学二模试卷中考数学二模试卷 一一.选择题（本大题每题选择题（本大题每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）在，3.，1，|1|中，有理数有（ ）个 A3 B4 C5 D6 2 （3 分）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A B C D 3 （3 分）如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ） A B C D 4 （3 分）下列计算结果正确的是（ ） A2a3+a33a6 B （a）2a3a6 C （） 24 D （2）01 5 （3 分）计算 2sin302cos60+t
2、an45的结果是（ ） A2 B C D1 6 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x23x+m0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am Bm Cm Dm 7 （3 分）如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，A22.5，OC4，CD 的长为（ ） A2 B4 C4 D8 8 （3 分） 九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架曾记载：今有七 雀、四燕，集称之衡，雀惧重，燕惧轻一雀一燕交而处，衡适平并燕、雀两斤半问燕、雀一枚各 重几何？译文：今有 7 只雀和 4 只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻将 1 只雀、1 只燕交换
3、位置而放，重量相等.7 只雀、4 只燕总重量为 40 两（1 斤16 两） 问雀、燕每只各重多少两？ （每只雀的重量相同、每只燕的重量相同）设每只雀重 x 两，每只燕重 y 两，则可列二元一次方程组为 （ ） A B C D 9 （3 分）在同一直角坐标系中，函数 ykxk 与 y（k0）的图象大致是（ ） A B C D 10 （3 分）如图，已知正ABC 的边长为 2，E、F、G 分别是 AB、BC、CA 上的点，且 AEBFCG，设 EFG 的面积为 y，AE 的长为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 二二.填空题（本大题每题填空题（本大题每题 3 分，共分，
4、共 18 分）分） 11 （3 分）对于函数 yx2+2x+1，当 1x2 时，y 随 x 的增大而 （填写“增大”或“减小” ） 12 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6，CDAB，垂足为 D，则 tanBCD 的 值是 13 （3 分）已知一个扇形的圆心角为 45，半径为 3，将这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半 径为 14 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（8，2） ，点 D 的坐标为（0，2） ，则点 C 的坐标为 15 （3 分）化简 16 （3 分）如图，矩形 EFGH 的四个顶点分别在矩形 ABCD
5、的各条边上，ABEF，FG2，GC3有以 下四个结论： BGFCHG； BFGDHE； tanBFG； 矩形 EFGH 的面积是 4 其 中一定成立的是 （把所有正确结论的序号填在横线上） 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （4 分）解方程： 18 （4 分）如图，已知 D、E 分别是 AB、AC 的中点，ABAC，求证：BC 19 （6 分）先化简，再求值：（1+） ，其中 x1 20 （6 分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组设 计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式现将调查结
6、果进行统计并绘制成如下 两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1） 这次活动共调查了 人； 在扇形统计图中， 表示 “支付宝” 支付的扇形圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整观察此图，支付方式的“众数”是“ ” ； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信” 、 “支付宝” 、 “银行卡”三种支付方式中选一种方式进行 支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率 21 （8 分）为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴已知 1 件 A 产品价格比 1 件 B 产品价格少 20 元，300 元购买 A 产
7、品件数与 400 元购买 B 产品件数相同 （1）A 产品和 B 产品每件分别是多少元？ （2）深圳该对口单位动员职采购该乡 A、B 两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购买 150 件，A 的数量不少于 B 的 2 倍，求购买总费用的最大值 22 （10 分）已知 A（4，2） 、B（n，4）两点是一次函数 ykx+b 和反比例函数 y图象的两个交点 （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求AOB 的面积； （3）观察图象，直接写出不等式 kx+b0 的解集 23 （10 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，点 D 平分劣弧，连接 BD，过点 D 作 AC 的
8、垂线 EF，交 AC 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 F （1）依题意补全图形； （2）求证：直线 EF 是O 的切线； （3）若 AB5，BD3，求线段 BF 的长 24 （12 分）已知抛物线 yx2+4ax4a2+3a（a） ，顶点为点 D，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的最大值； （2）若当 0 x2 时，抛物线函数有最大值 3，求此时 a 的值； （3）若直线 CD 交 x 轴于点 G，求的值 25 （12 分）在平面直角坐标中，边长为 1 的正方形 OABC 的两顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴的
9、正半轴上， 点 O 在原点现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 yx 上时停止旋转旋转 过程中，AB 边交直线 yx 于点 M，BC 边交 x 轴于点 N（如图 1） （1）求边 AB 在旋转过程中所扫过的面积； （2）设MBN 的周长为 p，在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论； （3）设 MNm，当 m 为何值时OMN 的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时BMN 内切圆的 半径 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（本大题每题选择题（本大题每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）在，3.，1，|1
10、|中，有理数有（ ）个 A3 B4 C5 D6 【解答】解：是分数，是分数，3.是循环小数，|1|1 是整数， ，3.，|1|是有理数， 有理数有 4 个 故选：B 2 （3 分）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A B C D 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误 故选：B 3 （3 分）如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ） A B C D 【解答】解：从左面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最左边有一个正方形 故选：B 4 （3 分）下
11、列计算结果正确的是（ ） A2a3+a33a6 B （a）2a3a6 C （） 24 D （2）01 【解答】解：A、2a3+a33a3，故错误； B、 （a）2a3a5，故错误； C、正确； D、 （2）01，故错误； 故选：C 5 （3 分）计算 2sin302cos60+tan45的结果是（ ） A2 B C D1 【解答】解：2sin302cos60+tan45 22+1 11+1 1 故选：D 6 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x23x+m0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am Bm Cm Dm 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x23x+m0 有两
12、个不相等的实数根， b24ac（3）241m0， m 故选：A 7 （3 分）如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，A22.5，OC4，CD 的长为（ ） A2 B4 C4 D8 【解答】解：A22.5， BOC2A45， O 的直径 AB 垂直于弦 CD， CEDE，OCE 为等腰直角三角形， CEOC2， CD2CE4 故选：C 8 （3 分） 九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架曾记载：今有七 雀、四燕，集称之衡，雀惧重，燕惧轻一雀一燕交而处，衡适平并燕、雀两斤半问燕、雀一枚各 重几何？译文：今有 7 只雀和 4 只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在
13、一起的雀重，燕轻将 1 只雀、1 只燕交换位置而放，重量相等.7 只雀、4 只燕总重量为 40 两（1 斤16 两） 问雀、燕每只各重多少两？ （每只雀的重量相同、每只燕的重量相同）设每只雀重 x 两，每只燕重 y 两，则可列二元一次方程组为 （ ） A B C D 【解答】解：设每只雀重 x 两，每只燕重 y 两， 依题意，得：， 故选：A 9 （3 分）在同一直角坐标系中，函数 ykxk 与 y（k0）的图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：当 k0 时， 一次函数 ykxk 经过一、三、四象限， 反比例函数的 y（k0）的图象经过一、三象限， 故 B 选项的图象符合要求， 当 k
14、0 时， 一次函数 ykxk 经过一、二、四象限， 反比例函数的 y（k0）的图象经过二、四象限， 没有符合条件的选项 故选：B 10 （3 分）如图，已知正ABC 的边长为 2，E、F、G 分别是 AB、BC、CA 上的点，且 AEBFCG，设 EFG 的面积为 y，AE 的长为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：根据题意，有 AEBFCG，且正三角形 ABC 的边长为 2， 故 BECFAG2x； 故AEG、BEF、CFG 三个三角形全等 在AEG 中，AEx，AG2x 则 SAEGAEAGsinAx（2x） ； 故 ySABC3SAEG 3x（2x
15、）（3x26x+4） 故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上； 故选：D 二二.填空题（本大题每题填空题（本大题每题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）对于函数 yx2+2x+1，当 1x2 时，y 随 x 的增大而 增大 （填写“增大”或“减小” ） 【解答】解：yx2+2x+1（x+1）2， 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 则当 1x2 时，y 随 x 的增大而增大， 故答案为：增大 12 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6，CDAB，垂足为 D，则 tanBCD 的 值是 【解答】解：在 RtABC 与 RtBCD 中，
16、A+B90，BCD+B90 ABCD tanBCDtanA 故答案为 13 （3 分）已知一个扇形的圆心角为 45，半径为 3，将这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半 径为 【解答】解：扇形的弧长， 圆锥的底面半径为2 故答案为： 14 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（8，2） ，点 D 的坐标为（0，2） ，则点 C 的坐标为 （4，4） 【解答】解：连接 AC、BD 交于点 E，如图所示： 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AECEAC，BEDEBD， 点 B 的坐标为（8，2） ，点 D 的坐标为（0，2） ， OD2，BD8， A
17、EOD2，DE4， AC4， 点 C 的坐标为： （4，4） ； 故答案为： （4，4） 15 （3 分）化简 2 【解答】解：（）2有意义， 2x30， x1.5， 2x1312， 2x+3 2x12x+3 2， 故答案为 2 16 （3 分）如图，矩形 EFGH 的四个顶点分别在矩形 ABCD 的各条边上，ABEF，FG2，GC3有以 下四个结论： BGFCHG； BFGDHE； tanBFG； 矩形 EFGH 的面积是 4 其 中一定成立的是 （把所有正确结论的序号填在横线上） 【解答】解：FGH90，BGF+CGH90 又CGH+CHG90， BGFCHG，故正确 同理可得DEHCHG
18、 BGFDEH 又BD90，FGEH， BFGDHE，故正确 同理可得AFECHG AFCH 易得BFGCGH 设 GH、EF 为 a， BF AFABBFa CHAFa 在 RtCGH 中， CG2+CH2GH2， 32+（a）2a2解得 a2GH2BFa 在 RtBFG 中，cosBFG，BFG30 tanBFGtan30，故错误 矩形 EFGH 的面积FGGH224，故正确 故答案为： 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （4 分）解方程： 【解答】解：方程两边都乘以（x+1） （x1）得： 3xx22（x+1） （x1）+（x+1） ，
19、3x22x10， 解得：x1，x21， 经检验：x1是原方程的解，x21 不是原方程的解， 所以原方程的解为 x 18 （4 分）如图，已知 D、E 分别是 AB、AC 的中点，ABAC，求证：BC 【解答】证明：D、E 分别是 AB、AC 的中点（已知） ， ，（线段中点的意义） ABAC（已知） ， ADAE（等量代换） 在ADC 和AEB 中， ， ADCAEB（SAS） BC（全等三角形对应角相等） 19 （6 分）先化简，再求值：（1+） ，其中 x1 【解答】解：原式， ， x1， 原式 20 （6 分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组
20、设 计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式现将调查结果进行统计并绘制成如下 两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1） 这次活动共调查了 200 人； 在扇形统计图中， 表示 “支付宝” 支付的扇形圆心角的度数为 81 ； （2）将条形统计图补充完整观察此图，支付方式的“众数”是“ 微信 ” ； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信” 、 “支付宝” 、 “银行卡”三种支付方式中选一种方式进行 支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率 【解答】解： （1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）（115%30%）200
21、 人， 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 36081， 故答案为：200、81； （2）微信人数为 20030%60 人，银行卡人数为 20015%30 人， 补全图形如下： 由条形图知，支付方式的“众数”是“微信” ， 故答案为：微信； （3）将微信记为 A、支付宝记为 B、银行卡记为 C， 画树状图如下： 画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有 3 种， 两人恰好选择同一种支付方式的概率为 21 （8 分）为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴已知 1 件 A 产品价格比 1 件 B 产品价格少 20 元，30
22、0 元购买 A 产品件数与 400 元购买 B 产品件数相同 （1）A 产品和 B 产品每件分别是多少元？ （2）深圳该对口单位动员职采购该乡 A、B 两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购买 150 件，A 的数量不少于 B 的 2 倍，求购买总费用的最大值 【解答】解： （1）设 A 产品每件 x 元，则 B 产品每件（x+20）元， ， 解得，x60， 经检验，x60 是原分式方程的解， x+2080， 答：A 产品每件 60 元，则 B 产品每件 80 元； （2）设购买 A 产品 a 件，则购买 B 产品（150a）件，所需费用为 w 元， w60a+80（150a）20
23、a+12000， a2（150a） ， a100， 200， w 随 a 的增大而减小， 当 a100 时，w 取得最大值，此时 w20100+1200010000， 答：购买总费用的最大值为 10000 元 22 （10 分）已知 A（4，2） 、B（n，4）两点是一次函数 ykx+b 和反比例函数 y图象的两个交点 （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求AOB 的面积； （3）观察图象，直接写出不等式 kx+b0 的解集 【解答】解： （1）把 A（4，2）代入 y，得 m2（4）8， 所以反比例函数解析式为 y， 把 B（n，4）代入 y，得4n8， 解得 n2， 把 A（4，
24、2）和 B（2，4）代入 ykx+b，得 ， 解得， 所以一次函数的解析式为 yx2； （2）yx2 中，令 y0，则 x2， 即直线 yx2 与 x 轴交于点 C（2，0） ， SAOBSAOC+SBOC22+246； （3）由图可得，不等式 kx+b0 的解集为：x4 或 0 x2 23 （10 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，点 D 平分劣弧，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线 EF，交 AC 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 F （1）依题意补全图形； （2）求证：直线 EF 是O 的切线； （3）若 AB5，BD3，求线段 BF 的长 【解答】 （1）解：
25、图形如图所示： （2）证明：连接 BC，OD，设 OD 交 BC 于 J AB 是直径， ACBECB90， ， ODBC， CJD90， DEAE， CED90， 四边形 CEDJ 是矩形， EDJ90，即 ODDE， DE 是O 的切线 （3）解：设 OJx BJ2BD2DJ2OB2OJ2， 32（x）2（）2x2， x， BJDF， ， ， OF， BFOFOB 24 （12 分）已知抛物线 yx2+4ax4a2+3a（a） ，顶点为点 D，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的最大值； （2）若当 0 x2 时，抛物线函
26、数有最大值 3，求此时 a 的值； （3）若直线 CD 交 x 轴于点 G，求的值 【解答】解： （1）抛物线开口向下， 在顶点时有最大值， 由顶点坐标公式得 y最大3a， 即抛物线最大值为 3a； （2）yx2+4ax4a2+3a（x2a）2+3a， 抛物线的对称轴是：x2a， a， 2a， 分两种情况： 当2a2 时，即a1， 当 0 x2 时，抛物线函数有最大值是 3a，即 3a3， a1； 当 2a2 时，即 a1，y 随 x 的增大而增大， 当 0 x2 时，x2 时有最大值 3， y（22a）2+3a3， 解得：a1，a21（舍） ， 综上，a 的值是 1 或； （3）如图， y（
27、x2a）2+3a， D（2a，3a） ，C（0，4a2+3a） ， 当 y0 时，（x2a）2+3a0， 解得：x12aa，x22a+a， A（2aa，0） ，B（2a+a，0） ， 设 DC 的解析式为：ykx+b， 则， 解得：， 设 DC 的解析式为：y2ax4a2+3a， 当 y0 时，2ax4a2+3a0， x2a， OG2a， 25 （12 分）在平面直角坐标中，边长为 1 的正方形 OABC 的两顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上， 点 O 在原点现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 yx 上时停止旋转旋转 过程中，AB 边交直线 yx
28、 于点 M，BC 边交 x 轴于点 N（如图 1） （1）求边 AB 在旋转过程中所扫过的面积； （2）设MBN 的周长为 p，在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论； （3）设 MNm，当 m 为何值时OMN 的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时BMN 内切圆的 半径 【解答】解： （1）如图，S阴SOAB+S扇形OBBSOABS扇形OAA S扇形OBBS扇形OAA12 （2）p 值无变化 证明：延长 BA 交 y 轴于 E 点， 在OAE 与OCN 中， OAEOCN（AAS） OEON，AECN 在OME 与OMN 中， OMEOMN（SAS） MNMEAM+AEAM+CN PMN+BN+BMAM+CN+BN+BMAB+BC2； （3）设 AMn，则 BM1n，CNmn，BN1m+n， OMEOMN， SMONSMOEOAEMm 在 RtBMN 中，BM2+BN2MN2 （1n）2+（1m+n）2m2n2mn+1m0 m24（1m）0m22 或 m22， 当 m22 时，OMN 的面积最小，为1 此时 n1， 则 BM1n2，BN1m+n2， RtBMN 的内切圆半径为32
