1、1.4 二次函数的应用(3)对于二次函数 y=ax2+bx+c(a0) ，当 y=0(或其他数值 m)时，就成了一元二次方程ax2+bx+c=0(或 m)，方程的解就是抛物线与 x 轴(或直线 y=m)交点的横坐标.因此可利用二次函数的图象解一元二次方程或一元二次不等式.1.已知抛物线 y=x2-x-1 与 x 轴的一个交点为 (m，0) ，则代数式 m2-m+2018 的值为(D ).A.2016 B.2017 C.2018 D.20192.若函数 y=x2-2x+b 的图象与坐标轴有三个交点，则 b 的取值范围是(A).A.b1 且 b0 B.b1 C.0b1 D.b13.如图所示为二次函
2、数 y=-x2+2x+4 的图象，使 y1 成立的 x 的取值范围是(D).A.-1x 3 B.x-1 C.x3 D.x-1 或 x3(第 3 题 ) (第 5 题) (第 7 题)4.若二次函数 y=ax2+1 的图象经过点(-2，0) ，则关于 x 的方程 a(x-2)2+1=0 的实数根为(A ).A.x1=0， x2=4 B.x1=-2，x 2=6 C.x1= ，x 2= D.x1=-4，x 2=035.如图所示，二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 的图象与 x 轴的一个交点是(3，0)，对称轴是直线x=1.当 y0 时，自变量 x 的取值范围是 x-1 或 x3 6.已知抛物线
3、y=x2-k 的顶点为点 P，与 x 轴交于点 A，B，且ABP 是正三角形，则 k 的值是 3 7.如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c(a0) 的对称轴是过点(1，0)且平行于 y 轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则 4a-2b+c 的值为 0 8.如图所示，已知二次函数 y=x2-4x+3(1)用配方法求其图象的顶点 C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况(2)求函数图象与 x 轴的交点 A，B 的坐标及ABC 的面积(第 8 题)【答案】(1)y=x 2-4x+3=x2-4x+4-4+3=（x-2） 2-1.顶点 C 的坐标是（2，-1 ）.当 x2 时，
4、y随 x 的增大而减小；当 x2 时，y 随 x 的增大而增大.(2)令 x2-4x+3=0，解得 x1=3，x 2=1.点 A 的坐标是（1，0） ，点 B 的坐标是（3，0）.S ABC = ABh= 21=1.219.如图所示，二次函数的图象与 x 轴交于 A(-3，0)和 B(1，0)两点，交 y 轴于点 C(0，3) ，点 C，D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B，D(第 9 题)(1)请直接写出点 D 的坐标(2)求二次函数的表达式(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围【答案】(1)D（ -2，3）.(2)设二次函数的表达式为 y=a
5、x2+bx+c，由题意得 ,解得 ,二次函309cba321cba数的表达式为 y=-x2-2x+3.(3)x1.10.若二次函数 y=ax2-2ax+c 的图象经过点(-1，0) ，则方程 ax2-2ax+c=0 的解为(C).A.x1=-3，x 2=-1 B.x1=1，x 2=3 C.x1=-1，x 2=3 D.x1=-3，x 2=111.如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A(-1，0)，顶点坐标为点 C(1，k)，与 y 轴的交点 B 在(0，2)，(0，3) 之间( 不包含端点)，则 k 的取值范围是(C).A.2k3 B. k4 C. k4 D.3k4538(
6、第 11 题) (第 12 题) （第 14 题）12.如图所示为二次函数 y=x2+bx 的图象，对称轴为直线 x=1.若关于 x 的一元二次方程x2+bx-t=0(t 为实数 )在-1x 4 的范围内有解，则 t 的取值范围是(C).A.t-1 B.-1t3 C.-1t 8 D.3t813.我们可以在平面直角坐标系中画出抛物线 y=x2 和直线 y=-x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程 x2+x-3=0 的解，也可以画出抛物线 y=x2-3 和直线 y=-x，用它们交点的横坐标来求该方程的解.所以求方程 -x2+3=0 的近似解可以利用熟悉的函数 y= 和x6 x6y=x2-3
7、的图象交点的横坐标来求得14.已知函数 y=|x2-4|的大致图象如图所示，若方程|x 2-4|=m(m 为实数)有 4 个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 0 m4 .15.已知二次函数 y=x2-2mx+m2+3(m 是常数) (1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点(2)把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点？【答案】(1)令 y=x2-2mx+m2+3=0.=（-2m） 2-41（m 2+3）=4m 2-4m2-12=-120，方程 x2-2mx+m2+3=0 没有实数解，即不论 m 为何值，该函数的图象与 x
8、轴没有公共点.(2)y=x2-2mx+m2+3=（x-m） 2+3.把函数 y=（x-m） 2+3 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到函数 y=（x-m） 2 的图象与 x 轴只有一个公共点(m,0).把函数 y=x2-2mx+m2+3 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点.16.已知 y 关于 x 的函数 y=(k-1)x2-2kx+k+2 的图象与 x 轴有交点(1)求 k 的取值范围(2)若该函数图象与 x 轴有两个交点，且有 k2-k=2求 k 的值.作出该函数的草图，并结合函数图象写出当 kxk+2 时 y 的取值范围（第
9、 16 题答图）【答案】(1)当 k=1 时，y=-2x+3 与 x 轴有交点，满足题意；当 k1 时，由题意得 4k2-4（k-1） （k+2 ）0，解得 k2.综上可得，k 的取值范围是 k2.(2)函数图象与 x 轴有两个交点，k2 且 k1.k 2-k=2，解得 k=2 或 k=-1，k 的值为-1.将 k=-1 代入，得 y=-2x2+2x+1=-2（x- ） 2+ .图象如答图所示.当-1x1，根3据图象得-3y .317.【包头】已知一次函数 y1=4x，二次函数 y2=2x2+2，在实数范围内，对于 x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为 y1 与 y2，则下列关系中，正确
10、的是(D ).A.y1y 2 B.y1y 2 C.y1y 2 D.y1y 218.【仙桃】已知关于 x 的一元二次方程 x2-(m+1)x+ (m2+1)=0 有实数根.(1)求 m 的值.(2)先作 y=x2-(m+1)x+12(m2+1)的图象关于 x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，写出变化后图象的表达式.(3)在(2)的条件下，当直线 y=2x+n(nm)与变化后的图象有公共点时，求 n2-4n 的最大值和最小值.【答案】(1)对于一元二次方程 x2-(m+1)x+ (m2+1)=0，=(m+1) 2-4 (m2+1)=-m2+2m-111=-
11、(m-1)2，方程有实数根，-(m-1) 20.m=1.(2)由(1)知 y=x2-2x+1=(x-1)2，它的图象关于 x 轴的对称图形的函数表达式为 y=-(x-1)2,平移后的表达式为 y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.(3)由 ,消去 y 得到 x2+6x+n+2=0，由题意知 0，36-4(n+2)42xyn0.n7.nm，m=1，1n7.令 y=n 2-4n=(n-2)2-4，当 n=2 时，y的值最小，最小值为-4，n=7 时，y的值最大，最大值为 21.n 2-4n 的最大值为 21，最小值为-4.19.已知抛物线 y=3ax2+2bx+c(1)若 a=b=1，c=-1
12、 ，求该抛物线与 x 轴的交点坐标(2)若 a= ，c=b-2，证明抛物线与 x 轴有两个交点31(3)若 a= ，c=b+2，且抛物线在 -1x2 区间上的最小值是-3，求 b 的值【答案】(1)当 a=b=1，c=-1 时，抛物线为 y=3x2+2x-1.方程 3x2+2x-1=0 的两个根为 x1=-1，x 2= ，该抛物线与 x 轴交点的坐标是（-1 ，0）和（ ，0）.3 31(2)当 a= ，c=b-2 时，抛物线为 y=x2+2bx+b-2.令 y=0，则 x2+2bx+b-2=0，=4b 2-4b+8=（ 2b-1） 2+70，抛物线与 x 轴有两个交点.(3)当 a= ，c=b+2 时，抛物线为 y=x2+2bx+b+2，其对称轴为直线 x=-b.当 x=-b-1 时，即31b1，则有抛物线在 x=-1 时取最小值-3，此时-3=（-1 ） 2+2（-1 ）b+b+2 ，解得 b=6，符合题意.当 x=-b2 时，即 b-2，则有抛物线在 x=2 时取最小值-3，此时-3=22+22b+b+2，解得 b=- ，不合题意，舍去.当-1-b 2 时，即-2b1，则有抛物线在 x=-b 时取最小59值-3，此时-3=（-b） 2+2（-b）b+b+2，解得 b= （舍去） ，b= .综上可221得，b=6 或 b= .1
