1、2021 年四川省乐山市中考数学试卷年四川省乐山市中考数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分. 1 （3 分）如果规定收入为正，那么支出为负，收入 2 元记作+2，支出 5 元记作（ ） A5 元 B5 元 C3 元 D7 元 2 （3 分）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了 40 名学生进行了心理健康测试，并将测试结果 按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ） 类型 健康 亚健康 不健康 数据（人） 32 7 1 A32 B7 C D 3 （3 分）某种商品 m 千克的
2、售价为 n 元，那么这种商品 8 千克的售价为（ ） A（元） B（元） C（元） D（元） 4 （3 分）如图，已知直线 l1、l2、l3两两相交，且 l1l3，若 50，则 的度数为（ ） A120 B130 C140 D150 5 （3 分）如图，已知直线 l1：y2x+4 与坐标轴分别交于 A、B 两点，那么过原点 O 且将AOB 的面积 平分的直线 l2的解析式为（ ） Ayx Byx Cyx Dy2x 6（3 分） 如图是由 4 个相同的小正方体堆成的物体， 将它在水平面内顺时针旋转 90后， 其主视图是 （ ） A B C D 7 （3 分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书周髀算
3、经中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七 巧板，如图 1 所示.19 世纪传到国外，被称为“唐图” （意为“来自中国的拼图” ） ，图 2 是由边长为 4 的 正方形分割制作的七巧板拼摆而成的 “叶问蹬”图， 则图中抬起的 “腿” （即阴影部分） 的面积为 （ ） A3 B C2 D 8 （3 分）如图，已知点 P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 延长线上一点，过点 P 分别作 AD、DC 延长线的垂 线，垂足分别为点 E、F若ABC120，AB2，则 PEPF 的值为（ ） A B C2 D 9 （3 分）如图，已知 OA6，OB8，BC2，P 与 OB、AB 均相切，点 P 是线段 A
4、C 与抛物线 yax2 的交点，则 a 的值为（ ） A4 B C D5 10 （3 分）如图，直线 l1与反比例函数 y（x0）的图象相交于 A、B 两点，线段 AB 的中点为点 C， 过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D直线 l2过原点 O 和点 C若直线 l2上存在点 P（m，n） ，满足APB ADB，则 m+n 的值为（ ） A3 B3 或 C3+或 3 D3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分. 11 （3 分） （2021）0 12 （3 分）因式分解：4a29 13 （3 分）如图是根据甲、乙两人 5 次
5、射击的成绩（环数）制作的折线统计图你认为谁的成绩较为稳定？ （填“甲”或“乙” ） 14 （3 分） 如图， 为了测量 “四川大渡河峡谷” 石碑的高度， 佳佳在点 C 处测得石碑顶 A 点的仰角为 30， 她朝石碑前行 5 米到达点 D 处，又测得石碑顶 A 点的仰角为 60，那么石碑的高度 AB 的长 米 （结果保留根号） 15 （3 分）在 RtABC 中，C90，有一个锐角为 60，AB4若点 P 在直线 AB 上（不与点 A，B 重合） ，且PCB30，则 CP 的长为 16 （3 分）如图，已知点 A（4，3） ，点 B 为直线 y2 上的一动点，点 C（0，n） ，2n3，ACBC
6、 于点 C，连接 AB若直线 AB 与 x 正半轴所夹的锐角为 ，那么当 sin 的值最大时，n 的值 为 三、本大题共三、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 9 分，共分，共 27 分分. 17 （9 分）当 x 取何正整数值时，代数式与的值的差大于 1 18 （9 分）如图已知 ABDC，AD，AC 与 DB 相交于点 O，求证：OBCOCB 19 （9 分）已知，求 A、B 的值 四、本大题共四、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 30 分分. 20 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+xm0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取
7、值范围； （2）二次函数 yx2+xm 的部分图象如图所示，求一元二次方程 x2+xm0 的解 21 （10 分）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬学校德育处随后决定在全 校 1000 名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花 钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图 （1）求这组数据的平均数和众数； （2）经调查，当学生身上的零花钱多于 15 元时，都愿捐出零花钱的 20%，其余学生不参加捐款请你 估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？ （3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知
8、识宣讲小组，若从 4 人中随机指定 两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率 22 （10 分）如图，直线 l 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，交反比例函数 y（k0）的图象于 P、Q 两 点若 AB2BP，且AOB 的面积为 4 （1）求 k 的值； （2）当点 P 的横坐标为1 时，求POQ 的面积 五、本大题共五、本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 20 分分. 23（10 分） 通过实验研究发现： 初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化， 上课开始时， 学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标
9、 y 随时间 x （分钟）变化的函数图象如图所示，当 0 x10 和 10 x20 时，图象是线段；当 20 x45 时，图象 是反比例函数的一部分 （1）求点 A 对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要 17 分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综 合题的讲解时，注意力指标都不低于 36？请说明理由 24 （10 分）如图，已知点 C 是以 AB 为直径的半圆上一点，D 是 AB 延长线上一点，过点 D 作 BD 的垂线 交 AC 的延长线于点 E，连结 CD，且 CDED （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 tanDCE2，BD1，求O 的半径 六、本大
10、题共六、本大题共 2 个小题，第个小题，第 25 题题 12 分，第分，第 26 题题 13 分，共分，共 25 分分. 25 （12 分）在等腰ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 边上一点（不与点 B、C 重合） ，连结 AD （1）如图 1，若C60，点 D 关于直线 AB 的对称点为点 E，连结 AE，DE，则BDE ； （2）若C60，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60得到线段 AE，连结 BE 在图 2 中补全图形； 探究 CD 与 BE 的数量关系，并证明； （3）如图 3，若k，且ADEC试探究 BE、BD、AC 之间满足的数量关系，并证明 26 （13 分）已知二次函
11、数 yax2+bx+c 的图象开口向上，且经过点 A（0，） ，B（2，） （1）求 b 的值（用含 a 的代数式表示） ； （2）若二次函数 yax2+bx+c 在 1x3 时，y 的最大值为 1，求 a 的值； （3）将线段 AB 向右平移 2 个单位得到线段 AB若线段 AB与抛物线 yax2+bx+c+4a1 仅有 一个交点，求 a 的取值范围 2021 年四川省乐山市中考数学试卷年四川省乐山市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分. 1 （3 分）如果规定收入为正，
12、那么支出为负，收入 2 元记作+2，支出 5 元记作（ ） A5 元 B5 元 C3 元 D7 元 【解答】解：如果规定收入为正，那么支出为负，收入 2 元记作+2，支出 5 元记作5 元 故选：B 2 （3 分）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了 40 名学生进行了心理健康测试，并将测试结果 按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ） 类型 健康 亚健康 不健康 数据（人） 32 7 1 A32 B7 C D 【解答】解：抽取了 40 名学生进行了心理健康测试，测试结果为“健康”的有 32 人， 测试结果为“健康”的频率是： 故选：D 3 （3 分
13、）某种商品 m 千克的售价为 n 元，那么这种商品 8 千克的售价为（ ） A（元） B（元） C（元） D（元） 【解答】解：根据题意，得：8（元） ， 故选：A 4 （3 分）如图，已知直线 l1、l2、l3两两相交，且 l1l3，若 50，则 的度数为（ ） A120 B130 C140 D150 【解答】解：如图，根据对顶角相等得：150， l1l3， 290 是三角形的外角， 1+250+90140， 故选：C 5 （3 分）如图，已知直线 l1：y2x+4 与坐标轴分别交于 A、B 两点，那么过原点 O 且将AOB 的面积 平分的直线 l2的解析式为（ ） Ayx Byx Cyx
14、Dy2x 【解答】解：如图，当 y0，2x+40，解得 x2，则 A（2，0） ； 当 x0，y2x+44，则 B（0，4） ， AB 的中点坐标为（1，2） ， 直线 l2把AOB 面积平分 以 l2经过 AB 的中点； 直线 l2过 AB 的中点， 设直线 l2的解析式为 ykx， 把（1，2）代入得 2k，解得 k2， l2的解析式为 y2x， 故选：D 6（3 分） 如图是由 4 个相同的小正方体堆成的物体， 将它在水平面内顺时针旋转 90后， 其主视图是 （ ） A B C D 【解答】解：顺时针旋转 90后，从正面看第一列有一层，第二列有两层， 故选：C 7 （3 分）七巧板起源于
15、我国先秦时期，古算书周髀算经中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七 巧板，如图 1 所示.19 世纪传到国外，被称为“唐图” （意为“来自中国的拼图” ） ，图 2 是由边长为 4 的 正方形分割制作的七巧板拼摆而成的 “叶问蹬”图， 则图中抬起的 “腿” （即阴影部分） 的面积为 （ ） A3 B C2 D 【解答】解：由题意，阴影部分的平行四边形的面积212， 阴影部分的三角形的面积211， 阴影部分的面积2+13， 故选：A 8 （3 分）如图，已知点 P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 延长线上一点，过点 P 分别作 AD、DC 延长线的垂 线，垂足分别为点 E、F若ABC120，
16、AB2，则 PEPF 的值为（ ） A B C2 D 【解答】解：设 AC 交 BD 于 O，如图： 菱形 ABCD，ABC120，AB2， BADBCD60，DACDCA30，ADAB2，BDAC， RtAOD 中，ODAD1，OA， AC2OA2， RtAPE 中，DAC30，PEAP， RtCPF 中，PCFDCA30，PFCP， PEPFAPCP（APCP）AC， PEPF， 故选：B 9 （3 分）如图，已知 OA6，OB8，BC2，P 与 OB、AB 均相切，点 P 是线段 AC 与抛物线 yax2 的交点，则 a 的值为（ ） A4 B C D5 【解答】解：设P 与 OB、AB
17、 分别相切于点 M、N，连接 PM、PN， 设圆的半径为 x，则 PNPMx， 由题意知，OCAO6，则直线 BA 与 y 轴的夹角为 45，则 CMMPx， 由点 A、C 的坐标得，直线 AC 的表达式为 yx+6， 则点 P 的坐标为（x，x+6） ， 由点 P、A 的坐标得，PA（6x） ， 则 AN， P 与 OB、AB 分别相切于点 M、N，故 BNBMBC+CM2+x， 在 RtABO 中，OA6，OB8，则 AB10BN+AN， 即 10+2+x，解得 x1， 故点 P 的坐标为（1，5） ， 将点 P 的坐标代入 yax2得 5a， 故选：D 10 （3 分）如图，直线 l1与
18、反比例函数 y（x0）的图象相交于 A、B 两点，线段 AB 的中点为点 C， 过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D直线 l2过原点 O 和点 C若直线 l2上存在点 P（m，n） ，满足APB ADB，则 m+n 的值为（ ） A3 B3 或 C3+或 3 D3 【解答】解：如图，作ABD 的外接圆J,交直线 l2于 P,连接 AP,PB,则APBADB 满足条件。 由题意 A(1,3),B(3,1), ACBC, C(2,2), CDx 轴， D(2,0), AD,AB2,BD, AD2AB2+BD2, ABD 是直角三角形， J 是 AD 的中点，J(,), 直线 OC 的解析式为
19、yx, P(m,n), PJJA,OJ, OP, m, mn, m+n3,此时 P(,), 根据对称性可知，点 P 关于点 C 的对称点 P(+,+), m+n3+, 综上所述，m+n 的值为 3+或 3， 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分. 11 （3 分） （2021）0 1 【解答】解： （2021）01 故答案为：1 12 （3 分）因式分解：4a29 （2a+3） （2a3） 【解答】解：4a29（2a+3） （2a3） 故答案为： （2a+3） （2a3） 13 （3 分）如图是根据甲、乙两人 5 次
20、射击的成绩（环数）制作的折线统计图你认为谁的成绩较为稳定？ 甲 （填“甲”或“乙” ） 【解答】解：甲的平均成绩为7，乙的平均成绩为7， 甲的方差为 s甲 21.2， 乙的方差为 s乙 22， s甲 2s 乙 2， 甲的成绩较稳定 故答案为：甲 14 （3 分） 如图， 为了测量 “四川大渡河峡谷” 石碑的高度， 佳佳在点 C 处测得石碑顶 A 点的仰角为 30， 她朝石碑前行 5 米到达点 D 处，又测得石碑顶 A 点的仰角为 60，那么石碑的高度 AB 的长 米 （结果保留根号） 【解答】解：设石碑的高度 AB 的长为 x 米， RtABC 中，BCx， RtABD 中，BD， CD5，
21、BCBD5， 即x5， 解得 x， 故答案为： 15 （3 分）在 RtABC 中，C90，有一个锐角为 60，AB4若点 P 在直线 AB 上（不与点 A，B 重合） ，且PCB30，则 CP 的长为 2 或 【解答】解： （1）当ABC60时，则 BCAB2， 当点 P 在线段 AB 上时， PCB30，故 CPAB， 则 PCBCcos302； 当点 P（P）在 AB 的延长线上时， PCB30，ABC60， 则PBC 为的等腰三角形 则 BPBC2， （2）当ABC30时， 同理可得，PC2； 故答案为 2 或 16 （3 分）如图，已知点 A（4，3） ，点 B 为直线 y2 上的一
22、动点，点 C（0，n） ，2n3，ACBC 于点 C，连接 AB若直线 AB 与 x 正半轴所夹的锐角为 ，那么当 sin 的值最大时，n 的值为 【解答】解：过点 A 作 AMy 轴于点 M，作 ANBN 交于点 N， 直线 y2x 轴，故ABN， 当 sin 的值最大时，则 tan值最大， 故 BN 最小，即 BG 最大时，tan 最大， 即当 BG 最大时，sin 的值最大， 设 BGy， 则 AM4，GCn+2，CM4n， ACM+MAC90，ACM+BCG90， CAMBCG， tanCAMtanBCG， ，即， y（n3） （n+2） ， 0， 故当 n（32）时，y 取得最大值，
23、 故 n， 故答案为： 三、本大题共三、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 9 分，共分，共 27 分分. 17 （9 分）当 x 取何正整数值时，代数式与的值的差大于 1 【解答】解：依题意得：1， 去分母，得：3（x+3）2（2x1）6， 去括号，得：3x+94x+26， 移项，得：3x4x629， 合并同类项，得：x5， 系数化为 1，得：x5 18 （9 分）如图已知 ABDC，AD，AC 与 DB 相交于点 O，求证：OBCOCB 【解答】证明：在AOB 与COD 中， AD，AOBDOC，ABDC， AOBCOD（AAS） ， OBOC， OBCOCB 19 （9 分）已知
24、，求 A、B 的值 【解答】解：， ， 解得 四、本大题共四、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 30 分分. 20 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+xm0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）二次函数 yx2+xm 的部分图象如图所示，求一元二次方程 x2+xm0 的解 【解答】解： （1）一元二次方程 x2+xm0 有两个不相等的实数根， 0，即 1+4m0， m； （2）二次函数 yx2+xm 图象的对称轴为直线 x， 抛物线与 x 轴两个交点关于直线 x对称， 由图可知抛物线与 x 轴一个交点为（1，0） ， 另一个
25、交点为（2，0） ， 一元二次方程 x2+xm0 的解为 x11，x22 21 （10 分）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬学校德育处随后决定在全 校 1000 名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花 钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图 （1）求这组数据的平均数和众数； （2）经调查，当学生身上的零花钱多于 15 元时，都愿捐出零花钱的 20%，其余学生不参加捐款请你 估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？ （3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从 4
26、人中随机指定 两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率 【解答】 解：（1） 这组数据的平均数20.5 （元） ， 其中 20 元出现的次数最多， 这组数据的众数为 20 元； （2）调查的 20 人中，身上的零花钱多于 15 元的有 12 人， 估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款为：10002020%+10002520%+1000 3020%+10004020%3150（元） ； （3）把捐款最多的两人记为 A、B，另一个学校选出的两人记为 C、D， 画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有 8 种， 两人来自不同学校的概率为 22 （10 分）如图，直
27、线 l 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，交反比例函数 y（k0）的图象于 P、Q 两 点若 AB2BP，且AOB 的面积为 4 （1）求 k 的值； （2）当点 P 的横坐标为1 时，求POQ 的面积 【解答】解： （1）AB2BP，且AOB 的面积为 4， POB 的面积为 2， 作 PMy 轴于 M, PMOA, PBMABO, ()2,即, PBM 的面积为 1， SPOM1+23, SPOM|k|, |k|6， k0, k6; (2)点 P 的横坐标为1, PM1, PBMABO, ,即, OA2, A(2,0), 把 x1 代入 y得，y6, P(1,6), 设直线 AB 为
28、 ymx+n, 把 P、A 的坐标代入得,解得, 直线 AB 为 y2x+4, 解得或, Q(3,2), SPOQSPOA+SQOA26+28 五、本大题共五、本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 20 分分. 23（10 分） 通过实验研究发现： 初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化， 上课开始时， 学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标 y 随时间 x （分钟）变化的函数图象如图所示，当 0 x10 和 10 x20 时，图象是线段；当 20 x45 时，图象 是反比例函数的一部分 （1）求点 A 对应的指标
29、值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要 17 分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综 合题的讲解时，注意力指标都不低于 36？请说明理由 【解答】解： （1）设当 20 x45 时，反比例函数的解析式为 y，将 C（20，45）代入得： 45，解得 k900， 反比例函数的解析式为 y， 当 x45 时，y20， D（45，20） ， A（0，20） ，即 A 对应的指标值为 20； （2）设当 0 x10 时，AB 的解析式为 ymx+n，将 A（0，20） 、B（10，45）代入得： ，解得， AB 的解析式为 yx+20， 当 y36 时，x+2036，解得 x， 由（
30、1）得反比例函数的解析式为 y， 当 y36 时，36，解得 x25， x25 时，注意力指标都不低于 36， 而 2517， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于 36 24 （10 分）如图，已知点 C 是以 AB 为直径的半圆上一点，D 是 AB 延长线上一点，过点 D 作 BD 的垂线 交 AC 的延长线于点 E，连结 CD，且 CDED （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 tanDCE2，BD1，求O 的半径 【解答】解： （1）连接 OC，如图： CDDE，OCOA， DCEE，OCAOAC， EDAD， ADE90，OAC+E90， O
31、CA+DCE90， DCO90， OCCD， CD 是O 的切线； （2）连接 BC，如图： CDDE， DCEE， tanDCE2， tanE2， EDAD， RtEDA 中，2， 设O 的半径为 x，则 OAOBx， BD1， AD2x+1， 2， EDx+CD， CD 是O 的切线， CD2BDAD， （x+）21（2x+1） ，解得 x或 x（舍去） ， O 的半径为 六、本大题共六、本大题共 2 个小题，第个小题，第 25 题题 12 分，第分，第 26 题题 13 分，共分，共 25 分分. 25 （12 分）在等腰ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 边上一点（不与点 B、C
32、重合） ，连结 AD （1）如图 1，若C60，点 D 关于直线 AB 的对称点为点 E，连结 AE，DE，则BDE 30 ； （2）若C60，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60得到线段 AE，连结 BE 在图 2 中补全图形； 探究 CD 与 BE 的数量关系，并证明； （3）如图 3，若k，且ADEC试探究 BE、BD、AC 之间满足的数量关系，并证明 【解答】解： （1）ABAC，C60， ABC 是等边三角形， B60， 点 D 关于直线 AB 的对称点为点 E， DEAB， BDE180609030； 故答案为：30； （2）补全图形如下： CDBE，证明如下： ABAC，C6
33、0， ABC 是等边三角形， ABAC，BAC60， 线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60得到线段 AE， ADAE，EAD60， BACEAD60， BACBADEADBAD，即EABDAC， 在EAB 和DAC 中， ， EABDAC（SAS） ， CDBE； （3）ACk（BD+BE） ，证明如下： 连接 AE，如图： ABAC， CABC， ADEC， ABCADE， ， ABCADE， DAEBAC， DAEBADBACBAD，即EABDAC， ABAC， AEAD， 在EAB 和DAC 中， ， EABDAC（SAS） ， CDBE， BCBD+CDBD+BE， 而k， k，即
34、ACk（BD+BE） 26 （13 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向上，且经过点 A（0，） ，B（2，） （1）求 b 的值（用含 a 的代数式表示） ； （2）若二次函数 yax2+bx+c 在 1x3 时，y 的最大值为 1，求 a 的值； （3）将线段 AB 向右平移 2 个单位得到线段 AB若线段 AB与抛物线 yax2+bx+c+4a1 仅有 一个交点，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向上，经过点 A（0，） ，B（2，） ， , b2a1(a0) (2)二次函数 yax2(2a+1)x+,a0,在 1x3 时，y 的最大值为 1, x1 时，y1x3 时，y1, 1a(2a+1)+或 19a3(2a+1)+, 解得 a(舍弃）或 a a (3)线段 AB 向右平移 2 个单位得到线段 AB, A(2,),B(4,) 线段 AB与抛物线 yax2(2a+1)x+4a 仅有一个交点, , 解得，a 或不等式组无解， a
