1、2021 年甘肃省定西市中考数学试卷年甘肃省定西市中考数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确选项。分，每小题只有一个正确选项。 13 的倒数是（ ） A3 B3 C D 22021 年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展 拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展” ，下面的剪纸作品是轴对称图形 的是（ ） A B C D 3下列运算正确的是（ ） A+3 B44 C D4 4中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止 2
2、021 年 3 月底，我国已无偿向 80 个国家 和 3 个国际组织提供疫苗援助 预计 2022 年中国新冠疫苗产能有望达到 50 亿剂， 约占全球产能的一半， 必将为全球抗疫作出重大贡献数据“50 亿”用科学记数法表示为（ ） A5108 B5109 C51010 D50108 5将直线 y5x 向下平移 2 个单位长度，所得直线的表达式为（ ） Ay5x2 By5x+2 Cy5（x+2） Dy5（x2） 6如图，直线 DEBF，RtABC 的顶点 B 在 BF 上，若CBF20，则ADE（ ） A70 B60 C75 D80 7如图，点 A，B，C，D，E 在O 上，ABCD，AOB42，
3、则CED（ ） A48 B24 C22 D21 8我国古代数学著作孙子算经有“多人共车”问题： “今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问： 人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每 3 人坐一辆车，那么有 2 辆空车；如果每 2 人 坐一辆车，那么有 9 人需要步行，问人与车各多少？设共有 x 人，y 辆车，则可列方程组为（ ） A B C D 9对于任意的有理数 a，b，如果满足+，那么我们称这一对数 a，b 为“相随数对” ，记为（a， b） 若（m，n）是“相随数对” ，则 3m+23m+（2n1）（ ） A2 B1 C2 D3 10如图 1，在ABC 中，ABBC，BDAC
4、 于点 D（ADBD） 动点 M 从 A 点出发，沿折线 ABBC 方 向运动，运动到点 C 停止设点 M 的运动路程为 x，AMD 的面积为 y，y 与 x 的函数图象如图 2，则 AC 的长为（ ） A3 B6 C8 D9 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分。分。 11因式分解：4m2m2 12关于 x 的不等式x1的解集是 13关于 x 的方程 x22x+k0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 。 14开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续 14 天进行了体温测量，结果统计如表： 体温（） 36.3 36.4 36.5 3
5、6.6 36.7 36.8 天数（天） 2 3 3 4 1 1 这 14 天中，小芸体温的众数是 。 15如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，AED90，EAD30，F 是 AD 边的中点，EF 4cm，则 BE cm 16若点 A（3，y1） ，B（4，y2）在反比例函数 y的图象上，则 y1 y2 （填“”或“” 或“” ） 17 如图， 从一块直径为 4dm 的圆形铁皮上剪出一圆心角为 90的扇形， 则此扇形的面积为 dm2 18 一组按规律排列的代数式： a+2b， a22b3， a3+2b5， a42b7， ， 则第 n 个式子是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大
6、题共 5 小题，共小题，共 26 分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 19 （4 分）计算： （2021）0+（） 12cos45 20 （4 分）先化简，再求值： （2），其中 x4 21 （6 分） 在 阿基米德全集 中的 引理集 中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理 如 图，已知，C 是弦 AB 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程 （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ； 作线段 AC 的垂直平分线 DE，分别交于点 D，AC 于点 E，连接 AD，CD； 以点 D 为圆心，DA 长为
7、半径作弧，交于点 F（F，A 两点不重合） ，连接 DF，BD，BF （2）直接写出引理的结论：线段 BC，BF 的数量关系 22 （6 分）如图 1 是平凉市地标建筑“大明宝塔” ，始建于明嘉靖十四年（1535 年） ，是明代平凉韩王府延 恩寺的主体建筑宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧” 某数学兴 趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计： 如图 2， 宝塔 CD 垂直于地面， 在地面上选取 A， B 两处分别测得CAD 和CBD 的度数 （A， D，B 在同一条直线上） 数据收集：通过实地测量：地面上 A，B 两点的距离为 58
8、m，CAD42，CBD58 问题解决：求宝塔 CD 的高度（结果保留一位小数） 参考数据： sin420.67， cos420.74， tan420.90， sin580.85， cos580.53， tan581.60 根据上述方案及数据，请你完成求解过程 23 （6 分）一个不透明的箱子里装有 3 个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同， 每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现 摸到红色小球的频率稳定于 0.75 左右 （1）请你估计箱子里白色小球的个数； （2）现从该箱子里摸出 1 个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后
9、，再摸出 1 个小球，求两次摸出的小 球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 40 分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 24 （7 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知 识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成 A，B，C，D，E 五个等级，并绘 制了如下不完整的统计图请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩 x A 50 x60 B 60 x70 C 70 x80 D 80
10、 x90 E 90 x100 （1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 m ； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）所抽取学生成绩的中位数落在 等级； （4）若成绩在 80 分及以上为优秀，全校共有 2000 名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？ 25 （7 分）如图 1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图 书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计） 小刚离家的距离 y（m）与他 所用的时间 x（min）的函数关系如图 2 所示 （1）小刚家与学校的距离为 m，小刚骑自行车的速度为 m/min； （2）求小
11、刚从图书馆返回家的过程中，y 与 x 的函数表达式； （3）小刚出发 35 分钟时，他离家有多远？ 26 （8 分）如图，ABC 内接于O，D 是O 的直径 AB 的延长线上一点，DCBOAC过圆心 O 作 BC 的平行线交 DC 的延长线于点 E （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 CD4，CE6，求O 的半径及 tanOCB 的值 27 （8 分）问题解决：如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，BC 边上，DEAF，DEAF 于点 G （1）求证：四边形 ABCD 是正方形； （2）延长 CB 到点 H，使得 BHAE，判断AHF 的形状，并说明理由 类比迁移：
12、如图 2，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，BC 边上，DE 与 AF 相交于点 G，DEAF， AED60，AE6，BF2，求 DE 的长 28 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与坐标轴交于 A（0，2） ，B（4，0）两 点，直线 BC：y2x+8 交 y 轴于点 C点 D 为直线 AB 下方抛物线上一动点，过点 D 作 x 轴的垂线， 垂足为 G，DG 分别交直线 BC，AB 于点 E，F （1）求抛物线 yx2+bx+c 的表达式； （2）当 GF时，连接 BD，求BDF 的面积； （3）H 是 y 轴上一点，当四边形 BEHF 是矩形时，
13、求点 H 的坐标； 在的条件下，第一象限有一动点 P，满足 PHPC+2，求PHB 周长的最小值 2021 年甘肃省定西市中考数学试卷年甘肃省定西市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确选项。分，每小题只有一个正确选项。 13 的倒数是（ ） A3 B3 C D 【分析】根据倒数的定义进行答题 【解答】解：设 3 的倒数是 a，则 3a1， 解得，a 故选：D 22021 年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展 拓
14、荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展” ，下面的剪纸作品是轴对称图形 的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念判断求解 【解答】解：A不是轴对称图形，故此选项不合题意； B是轴对称图形，故此选项符合题意； C不是轴对称图形，故此选项不合题意； D不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B 3下列运算正确的是（ ） A+3 B44 C D4 【分析】根据二次根式的加减法对 A、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对 C 进行判断；根据二次 根式的除法法则对 D 进行判断 【解答】解：A、原式2，所以 A 选项的计算错误； B、原式3，所以 B 选项的计算
15、错误； C、原式，所以 C 选项的计算正确； D、原式2，所以 D 选项的计算错误 故选：C 4中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止 2021 年 3 月底，我国已无偿向 80 个国家 和 3 个国际组织提供疫苗援助 预计 2022 年中国新冠疫苗产能有望达到 50 亿剂， 约占全球产能的一半， 必将为全球抗疫作出重大贡献数据“50 亿”用科学记数法表示为（ ） A5108 B5109 C51010 D50108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点
16、移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 50 亿用科学记数法表示为 5109 故选：B 5将直线 y5x 向下平移 2 个单位长度，所得直线的表达式为（ ） Ay5x2 By5x+2 Cy5（x+2） Dy5（x2） 【分析】根据“上加下减”的原则求解即可 【解答】解：将直线 y5x 向下平移 2 个单位长度，所得的函数解析式为 y5x2 故选：A 6如图，直线 DEBF，RtABC 的顶点 B 在 BF 上，若CBF20，则ADE（ ） A70 B60 C75 D80 【分析】根据角的和差得到ABF70,再根据两直线平行，同位角相等即
17、可得解 【解答】解：ABC90,CBF20， ABFABCCBF70, DEBF， ADEABF70, 故选：A 7如图，点 A，B，C，D，E 在O 上，ABCD，AOB42，则CED（ ） A48 B24 C22 D21 【分析】连接 OC、OD，可得AOBCOD42，由圆周角定理即可得CEDCOD21 【解答】解：连接 OC、OD， ABCD，AOB42， AOBCOD42， CEDCOD21 故选：D 8我国古代数学著作孙子算经有“多人共车”问题： “今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问： 人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每 3 人坐一辆车，那么有 2 辆空车；如果
18、每 2 人 坐一辆车，那么有 9 人需要步行，问人与车各多少？设共有 x 人，y 辆车，则可列方程组为（ ） A B C D 【分析】设共有 x 人，y 辆车，根据“如果每 3 人坐一辆车，那么有 2 辆空车；如果每 2 人坐一辆车， 那么有 9 人需要步行” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解 【解答】解：设共有 x 人，y 辆车， 依题意得： 故选：C 9对于任意的有理数 a，b，如果满足+，那么我们称这一对数 a，b 为“相随数对” ，记为（a， b） 若（m，n）是“相随数对” ，则 3m+23m+（2n1）（ ） A2 B1 C2 D3 【分析】根据（m，n）是“相随
19、数对”得出 9m+4n0，再将原式化成 9m+4n2，最后整体代入求值即 可 【解答】解：（m，n）是“相随数对” ， +， ， 即 9m+4n0， 3m+23m+（2n1） 3m+23m+2n1 3m+6m+4n2 9m+4n2 02 2， 故选：A 10如图 1，在ABC 中，ABBC，BDAC 于点 D（ADBD） 动点 M 从 A 点出发，沿折线 ABBC 方 向运动，运动到点 C 停止设点 M 的运动路程为 x，AMD 的面积为 y，y 与 x 的函数图象如图 2，则 AC 的长为（ ） A3 B6 C8 D9 【分析】先根据 ABBC 结合图 2 得出 AB，进而利用勾股定理得，A
20、D+BD13，再由运动结 合ADM 的面积的变化，得出点 M 和点 B 重合时，ADM 的面积最大，其值为 3，即ADBD3， 进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论 【解答】解：由图 2 知，AB+BC2， ABBC， AB， ABBC，BDBC， AC2AD，ADB90， 在 RtABD 中，AD+BDAB13， 设点 M 到 AC 的距离为 h， SADMADh， 动点 M 从 A 点出发，沿折线 ABBC 方向运动， 当点 M 运动到点 B 时，ADM 的面积最大，即 hBD， 由图 2 知，ADM 的面积最大为 3， ADBC3， ADBD6， +2得，AD+BD+2ADBD13+
21、2625， (AD+BD)25， AD+BD5（负值舍去） ， BD5AD， 将代入得，AD(5AD)6， AD3 或 AD2， ADBD， AD3， AC2AD6， 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分。分。 11因式分解：4m2m2 2m（2m） 【分析】提取公因式进行因式分解 【解答】解：4m2m22m(2m)， 故答案为：2m(2m) 12关于 x 的不等式x1的解集是 x 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为 1 可得 【解答】解：移项，得：x1+， 合并同类项，得：x， 系数化为 1
22、，得：x， 故答案为：x 13关于 x 的方程 x22x+k0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 1 。 【分析】根据根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次方程，解之即可得出 k 值 【解答】解：关于 x 的方程 x22x+k0 有两个相等的实数根， (2)241k0， 解得：k1 故答案为：1 14开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续 14 天进行了体温测量，结果统计如表： 体温（） 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 36.8 天数（天） 2 3 3 4 1 1 这 14 天中，小芸体温的众数是 36.6 。 【分析】根据众数的定义就可解决问题 【解答】解：36.6
23、出现的次数最多有 4 次，所以众数是 36.6 故答案为：36.6 15如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，AED90，EAD30，F 是 AD 边的中点，EF 4cm，则 BE 6 cm 【分析】 先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 求出 AD 长， 再根据矩形的性质得出 ADBC, B90,然后解直角三角形 ABE 即可 【解答】解：AED90F 是 AD 边的中点，EF4， AD2EF8, EAD30, AEADcos3084, 又四边形 ABCD 是矩形， ADBC,B90, BEAAED30, 在 RtABE 中， BEAEcosBEA4cos3046(cm
24、), 故答案为：6 16若点 A（3，y1） ，B（4，y2）在反比例函数 y的图象上，则 y1 y2 （填“”或“” 或“” ） 【分析】反比例函数 y的图象在一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，判断出 y 的 值的大小关系 【解答】解：ka2+10， 反比例函数 y的图象在一、三象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小， 点 A（3，y1） ，B（4，y2）同在第三象限，且34， y1y2， 故答案为 17如图，从一块直径为 4dm 的圆形铁皮上剪出一圆心角为 90的扇形，则此扇形的面积为 2 dm2 【分析】连接 AC，根据圆周角定理得出 AC 为圆的直径，解直角三
25、角形求出 AB，根据扇形面积公式求 出即可 【解答】解：连接 AC, 从一块直径为 4dm 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90的扇形，即ABC90， AC 为直径，即 AC4dm，ABBC（扇形的半径相等） ， AB2+BC222， ABBC2dm， 阴影部分的面积是2（dm2） 故答案为：2 18一组按规律排列的代数式：a+2b，a22b3，a3+2b5，a42b7，则第 n 个式子是 an+（1）n+1 2b2n 1 【分析】根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中 a 的次数是式子的序号；第二项的符号：第奇数 项是正号，第偶数项是负号；第二项中 b 的次数是序号的 2 倍减 1，据此即可
26、写出 【解答】解:观察代数式,得到第 n 个式子是:an+(1)n+12b2n 1 故答案为:an+(1)n+12b2n 1 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 26 分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 19 （4 分）计算： （2021）0+（） 12cos45 【分析】根据零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值计算即可 【解答】解:原式1+22 3 20 （4 分）先化简，再求值： （2），其中 x4 【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将 x 的值代入求出答案 【解
27、答】解：原式（） , 当 x4 时，原式 21 （6 分） 在 阿基米德全集 中的 引理集 中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理 如 图，已知，C 是弦 AB 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程 （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ； 作线段 AC 的垂直平分线 DE，分别交于点 D，AC 于点 E，连接 AD，CD； 以点 D 为圆心，DA 长为半径作弧，交于点 F（F，A 两点不重合） ，连接 DF，BD，BF （2）直接写出引理的结论：线段 BC，BF 的数量关系 【分析】 （1）根据要求作出图形即可 根据要求作出图形即可 （2）证明DFBDCB 可得结论
28、 【解答】解： （1）如图，直线 DE，线段 AD,线段 CD 即为所求 如图，点 F，线段 CD,BD,BF 即为所求作 (2)结论：BFBC 理由：DE 垂直平分线段 AC, DADC, DACDCA, ADDF, DFDC, DBCDBF, DFB+DAC180DCB+DCA180, DFBDCB, 在DFB 和DCB 中， , DFBDCB(AAS), BFBC 22 （6 分）如图 1 是平凉市地标建筑“大明宝塔” ，始建于明嘉靖十四年（1535 年） ，是明代平凉韩王府延 恩寺的主体建筑宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧” 某数学兴 趣小组开展了测量“
29、大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计： 如图 2， 宝塔 CD 垂直于地面， 在地面上选取 A， B 两处分别测得CAD 和CBD 的度数 （A， D，B 在同一条直线上） 数据收集：通过实地测量：地面上 A，B 两点的距离为 58m，CAD42，CBD58 问题解决：求宝塔 CD 的高度（结果保留一位小数） 参考数据： sin420.67， cos420.74， tan420.90， sin580.85， cos580.53， tan581.60 根据上述方案及数据，请你完成求解过程 【分析】设设 CDxcm，在 RtACD 中，可得出 AD，在 RtACD 中,BD， 再由
30、 AD+BDAB,列式计算即可得出答案 【解答】解：设 CDxcm， 在 RtACD 中，AD, 在 RtACD 中,BD, AD+BDAB, , 解得，x33.4 答：宝塔的高度约为 33.4m 23 （6 分）一个不透明的箱子里装有 3 个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同， 每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现 摸到红色小球的频率稳定于 0.75 左右 （1）请你估计箱子里白色小球的个数； （2）现从该箱子里摸出 1 个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出 1 个小球，求两次摸出的小 球颜色恰好不同的概率（用
31、画树状图或列表的方法） 【分析】 （1）设白球有 x 个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.75 左右可估计摸到红 球的概率为 0.75，据此利用概率公式列出关于 x 的方程，解之即可； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 【解答】解： （1）通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.75 左右， 估计摸到红球的概率为 0.75， 设白球有 x 个， 根据题意，得：0.75， 解得 x1， 经检验 x1 是分式方程的解， 估计箱子里白色小球的个数为 1； （2）画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰
32、好颜色不同的结果数为 6， 两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 40 分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 24 （7 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知 识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成 A，B，C，D，E 五个等级，并绘 制了如下不完整的统计图请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩 x A 50 x60 B 60 x70 C 70 x80 D 80 x90 E 90 x
33、100 （1）本次调查一共随机抽取了 200 名学生的成绩，频数分布直方图中 m 16 ； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）所抽取学生成绩的中位数落在 C 等级； （4）若成绩在 80 分及以上为优秀，全校共有 2000 名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？ 【分析】 （1）由 B 等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以 A 等级对应百分比可得 m 的值； （2）总人数乘以 C 等级人数所占百分比求出其人数即可补全图形； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）总人数乘以样本中 D、E 等级人数和所占比例即可 【解答】解： （1）一共调查学生人数为 4020%200，A
34、 等级人数 m2008%16， 故答案为：200，16； （2）C 等级人数为 20025%50， 补全频数分布直方图如下： （3）由于一共有 200 个数据，其中位数是第 100、101 个数据的平均数，而第 100、101 个数据都落在 C 等级， 所以所抽取学生成绩的中位数落在 C 等级； 故答案为：C （4）估计成绩优秀的学生有 2000940（人） 25 （7 分）如图 1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图 书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计） 小刚离家的距离 y（m）与他 所用的时间 x（min）的函数关系如图
35、2 所示 （1）小刚家与学校的距离为 3000 m，小刚骑自行车的速度为 200 m/min； （2）求小刚从图书馆返回家的过程中，y 与 x 的函数表达式； （3）小刚出发 35 分钟时，他离家有多远？ 【分析】 （1）根据函数图象和题意可以求得小刚家与学校的距离为 3000m，小刚骑自行车的速度为 200m/min； （2）先求出小刚从图书馆返回家的时间，进而得出总时间，再利用待定系数法即可求出 y 与 x 之间的函 数关系式； （3）把 x35 代入（2）的结论解答即可 【解答】解： （1）由题意得，小刚家与学校的距离为 3000m， 小刚骑自行车的速度为： （50003000）1020
36、0（m/min） ， 故答案为：3000；200； （2）小刚从图书馆返回家的时间：500020025（min） ， 总时间：25+2045（min） ， 设小刚从图书馆返回家的过程中，y 与 x 的函数表达式为 ykx+b， 把（20，5000） ， （45，0）代入得： ，解得, y200 x+9000（20 x45） ； （3）小刚出发 35 分钟时，即当 x35 时， y20035+90002000 答：此时他离家 2000m 26 （8 分）如图，ABC 内接于O，D 是O 的直径 AB 的延长线上一点，DCBOAC过圆心 O 作 BC 的平行线交 DC 的延长线于点 E （1）求证
37、：CD 是O 的切线； （2）若 CD4，CE6，求O 的半径及 tanOCB 的值 【分析】 （1）由等腰三角形的性质与已知条件得出,OCADCB，由圆周角定理可得ACB90， 进而得到OCD90，即可得出结论； （2）根据平行线分线段成比例定理得到,设 BD2x,则 OBOC3x,ODOB+BD5x,在 RtOCD 中，根据勾股定理求出 x1,即O 的半径为 3，由平行线的性质得到OCBEOC,在 Rt OCE 中，可求得 tanEOC2,即 tanOCB2 【解答】 （1）证明：OAOC, OACOCA, DCBOAC, OCADCB, AB 是O 的直径， ACB90, OCA+OCB
38、90, DCB+OCB90, 即OCD90, OCDC, OC 是O 的半径， CD 是O 的切线； （2）解：OEAC， , CD4，CE6， , 设 BD2x,则 OBOC3x,ODOB+BD5x, OCDC, OCD 是直角三角形， 在 RtOCD 中，OC2+CD2OD2, (3x)2+42(5x)2, 解得，x1, OC3x3,即O 的半径为 3， BCOE, OCBEOC, 在 RtOCE 中，tanEOC2, tanOCBtanEOC2 27 （8 分）问题解决：如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，BC 边上，DEAF，DEAF 于点 G （1）求证：四边形
39、 ABCD 是正方形； （2）延长 CB 到点 H，使得 BHAE，判断AHF 的形状，并说明理由 类比迁移：如图 2，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，BC 边上，DE 与 AF 相交于点 G，DEAF， AED60，AE6，BF2，求 DE 的长 【分析】 （1）根据矩形的性质得DABB90，由等角的余角相等可得ADEBAF，利用 AAS 可得ADEBAF（AAS） ，由全等三角形的性质得 ADAB，即可得四边形 ABCD 是正方形； （2）根据矩形的性质得DABABH90，ABDA，利用 SAS 可得DABABH（SAS） ，由全 等三角形的性质得 AHDE，由已知 DEA
40、F 可得 AHAF，即可得AHF 是等腰三角形； （3）延长 CB 到点 H，使 BHAE6，连接 AH，利用 SAS 可得DAEABH（SAS） ，由全等三角形 的性质得 AHDE， AHBDEA60， 由已知 DEAF 可得 AHAF， 可得AHF 是等边三角形， 则 AHHFHB+BFAE+BF6+28，等量代换可得 DEAH8 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， DABB90， DEAF， DABAGD90， BAF+DAF90，ADE+DAF90， ADEBAF， DEAF， ADEBAF（AAS） ， ADAB， 四边形 ABCD 是矩形， 四边形 ABCD 是正方形
41、； （2）解：AHF 是等腰三角形， 理由：四边形 ABCD 是矩形， DABABH90，ABDA， BHAE， DABABH（SAS） ， AHDE， DEAF， AHAF， AHF 是等腰三角形； （3）解：延长 CB 到点 H，使 BHAE6，连接 AH， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC,ABAD, ABHBAD, BHAE, DAEABH（SAS） ， AHDE，AHBDEA60， DEAF, AHAF， AHF 是等边三角形， AHHFHB+BFAE+BF6+28， DEAH8 28 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与坐标轴交于 A（0，2） ，
42、B（4，0）两 点，直线 BC：y2x+8 交 y 轴于点 C点 D 为直线 AB 下方抛物线上一动点，过点 D 作 x 轴的垂线， 垂足为 G，DG 分别交直线 BC，AB 于点 E，F （1）求抛物线 yx2+bx+c 的表达式； （2）当 GF时，连接 BD，求BDF 的面积； （3）H 是 y 轴上一点，当四边形 BEHF 是矩形时，求点 H 的坐标； 在的条件下，第一象限有一动点 P，满足 PHPC+2，求PHB 周长的最小值 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可 （2）求出点 D 的坐标，可得结论 （3） 过点 H 作 HMEF 于 M,证明EMHFGB(AAS),推出 MHGB
43、,EMFG,由 HMOG,可得 OG GBOB2,由题意直线 AB 的解析式为 yx2,设 E(a,2a+8),F(a,a2),根据 MHBG,构建方 程求解，可得结论 因为PHB 的周长PH+PB+HBPC+2+PB+5PC+PB+7,所以要使得PHB 的周长最小，只要 PC+PB 的值最小，因为 PC+PBBC,所以当点 P 在 BC 上时，PC+PBBC 的值最小 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 过 A（0，2） ，B（4，0）两点， , 解得, yx2x2 （2）B(4,0),A(0,2), OB4,OA2, GFx 轴，OAx 轴， 在 RtBOA 和 RtBGF 中，
44、tanABO, 即, GB1, OGOBGB413, 当 x3 时，yD9322, D(3,2),即 GD2, FDGDGF2, SBDFDFBG1 (3)如图 1 中，过点 H 作 HMEF 于 M, 四边形 BEHF 是矩形， EHBF,EHBF, HEFBFE, EMHFGB90, EMHFGB(AAS), MHGB,EMFG, HMOG, OGGBOB2, A(0,2),B(4,0), 直线 AB 的解析式为 yx2, 设 E(a,2a+8),F(a,a2), 由 MHBG 得到，a04a, a2, E(2,4),F(2,1), FG1, EMFG, 4yH1, yH1, H(0,3) 如图 2 中， BH5, PHPC+2, PHB 的周长PH+PB+HBPC+2+PB+5PC+PB+7, 要使得PHB 的周长最小，只要 PC+PB 的值最小， PC+PBBC, 当点 P 在 BC 上时，PC+PBBC 的值最小， BC4, PHB 的周长的最小值为 4+7
