1、2021 年四川省泸州市中考数学试卷年四川省泸州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的）. 12021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 2第七次全国人口普查统计，泸州市常住人口约为 4254000 人，将 4254000 用科学记数法表示为（ ） A4.254105 B42.54105 C4.254106 D0.4254107 3下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A B C D 4函数
2、 y的自变量 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 5如图，在ABCD 中，AE 平分BAD 且交 BC 于点 E，D58，则AEC 的大小是（ ） A61 B109 C119 D122 6在平面直角坐标系中，将点 A（3，2）向右平移 5 个单位长度得到点 B，则点 B 关于 y 轴对称点 B 的坐标为（ ） A （2，2） B （2，2） C （2，2） D （2，2） 7下列命题是真命题的是（ ） A对角线相等的四边形是平行四边形 B对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C对角线互相垂直的四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8在锐角ABC 中，A，B，C
3、所对的边分别为 a，b，c，有以下结论：2R （其中 R 为ABC 的外接圆半径）成立在ABC 中，若A75，B45，c4，则ABC 的 外接圆面积为（ ） A B C16 D64 9关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+m2m0 的两实数根 x1，x2，满足 x1x22，则（x12+2） （x22+2）的值 是（ ） A8 B32 C8 或 32 D16 或 40 10已知 10a20，100b50，则a+b+的值是（ ） A2 B C3 D 11如图，O 的直径 AB8，AM，BN 是它的两条切线，DE 与O 相切于点 E，并与 AM，BN 分别相交 于 D，C 两点，BD，OC 相交于
4、点 F，若 CD10，则 BF 的长是（ ） A B C D 12直线 l 过点（0，4）且与 y 轴垂直，若二次函数 y（xa）2+（x2a）2+（x3a）22a2+a（其中 x 是自变量）的图象与直线 l 有两个不同的交点，且其对称轴在 y 轴右侧，则 a 的取值范围是（ ） Aa4 Ba0 C0a4 D0a4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分）. 13分解因式：44m2 14不透明袋子中装有 3 个红球，5 个黑球，4 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一 个球，则摸出红球的概率是 15关于 x 的
5、不等式组恰好有 2 个整数解，则实数 a 的取值范围是 16如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，点 F 在 CD 上，且 CF3DF，AE，BF 相 交于点 G，则AGF 的面积是 三、本大题共三、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分. 17 （6 分）计算： （）0+（） 1（4）+2 cos30 18 （6 分）如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，ABAC，BC，求证：BDCE 19 （6 分）化简： （a+） 四、本大题共四、本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 7 分，共分，共 14 分分. 20
6、 （7 分）某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品为了解该农副产品在 一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了 20 天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下： 16 14 13 17 15 14 16 17 14 14 15 14 15 15 14 16 12 13 13 16 （1）根据上述样本数据，补全条形统计图； （2）上述样本数据的众数是 ，中位数是 ； （3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额 21 （7 分）某运输公司有 A、B 两种货车，3 辆 A 货车与 2 辆 B 货车一次可以运货 90 吨，5 辆 A 货车与 4 辆 B 货车
7、一次可以运货 160 吨 （1）请问 1 辆 A 货车和 1 辆 B 货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有 190 吨货物需要运输，该运输公司计划安排 A、B 两种货车将全部货物一次运完（A、B 两 种货车均满载） ，其中每辆 A 货车一次运货花费 500 元，每辆 B 货车一次运货花费 400 元请你列出所 有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少 五、本大题共五、本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 8 分，共分，共 16 分分. 22 （8 分）一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数 y的图象相交于 A（2，3） ，B（6，n）两点 （1）求一次函数的解析式； （2）
8、将直线 AB 沿 y 轴向下平移 8 个单位后得到直线 l，l 与两坐标轴分别相交于 M，N，与反比例函数 的图象相交于点 P，Q，求的值 23 （8 分）如图，A，B 是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在 C 点处遇险发出求救信号，此 时测得 C 点位于观测点 A 的北偏东 45方向上，同时位于观测点 B 的北偏西 60方向上，且测得 C 点 与观测点 A 的距离为 25海里 （1）求观测点 B 与 C 点之间的距离； （2）有一艘救援船位于观测点 B 的正南方向且与观测点 B 相距 30 海里的 D 点处，在接到海轮的求救信 号后立即前往营救，其航行速度为 42 海里/小时，求救
9、援船到达 C 点需要的最少时间 六、本大题共六、本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 12 分，共分，共 24 分分. 24 （12 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，过点 C 作O 的切线交 BA 的延长线于点 F，AE 是O 的直径，连接 EC （1）求证：ACFB； （2）若 ABBC，ADBC 于点 D，FC4，FA2，求 ADAE 的值 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+x+4 与两坐标轴分别相交于 A，B，C 三点 （1）求证：ACB90； （2）点 D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点 D 作 x 轴的垂线交 BC 于点 E，交 x
10、 轴于点 F 求 DE+BF 的最大值； 点 G 是 AC 的中点，若以点 C，D，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点 D 的坐标 2021 年四川省泸州市中考数学试卷年四川省泸州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的）. 12021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数 【解答】
11、解：2021 的相反数是：2021 故选：A 2第七次全国人口普查统计，泸州市常住人口约为 4254000 人，将 4254000 用科学记数法表示为（ ） A4.254105 B42.54105 C4.254106 D0.4254107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：42540004.254106 故选：C 3下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A B C D 【
12、分析】分别得出三棱柱，圆柱，圆锥，球的主视图即可 【解答】解：三棱柱、圆柱的主视图都是长方形， 圆锥的主视图是三角形， 球的主视图是圆， 故选：D 4函数 y的自变量 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【分析】根据二次根式的意义和分式的意义可知：x10，可求 x 的范围 【解答】解：要使函数有意义， 则 x10， 解得：x1， 故选：B 5如图，在ABCD 中，AE 平分BAD 且交 BC 于点 E，D58，则AEC 的大小是（ ） A61 B109 C119 D122 【分析】由平行四边形的性质可得BAD122，BD58，由角平分线的性质和外角性质可 求解 【解答】解：
13、四边形 ABCD 是平行四边形，D58， BAD122，BD58， AE 平分BAD， BAE61， AECB+BAE119， 故选：C 6在平面直角坐标系中，将点 A（3，2）向右平移 5 个单位长度得到点 B，则点 B 关于 y 轴对称点 B 的坐标为（ ） A （2，2） B （2，2） C （2，2） D （2，2） 【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得 B 点坐标，然后再关于 y 轴对称点的坐标特点：横坐标互 为相反数，纵坐标不变可得答案 【解答】解：点 A（3，2）向右平移 4 个单位长度得到的 B 的坐标为（3+5，2） ，即（2，2） ， 则点 B 关于 y 轴的对称点 B
14、的坐标是： （2，2） 故选：C 7下列命题是真命题的是（ ） A对角线相等的四边形是平行四边形 B对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C对角线互相垂直的四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的判定，逐个判断即可 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四 边形，故 A 不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故 B 符合题意； C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故 C 不符合题意； D、对角线互相垂直平分的四边形是
15、菱形，不能判断它的内角有直角，故 D 不符合题意； 故选：B 8在锐角ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，有以下结论：2R （其中 R 为ABC 的外接圆半径）成立在ABC 中，若A75，B45，c4，则ABC 的 外接圆面积为（ ） A B C16 D64 【分析】已知 c，所以求出C 的度数即可使用题中的结论，得到关于 R 的方程，再求圆的面积即可 【解答】解：A+B+C180， C180AB180754560， 2R， 2R， R， SR2（）2， 故选：A 9关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+m2m0 的两实数根 x1，x2，满足 x1x22，则（x12+2） （
16、x22+2）的值 是（ ） A8 B32 C8 或 32 D16 或 40 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x22m，x1x2m2m2，进而求得 m2 或 m 1，从而求得 x1+x24 或 2，把原式变形，代入计算即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+m2m0 的两实数根 x1，x2，满足 x1x22， 则 x1+x22m，x1x2m2m2， m2m20，解得 m2 或 m1， x1+x24 或 2， （x12+2） （x22+2） （x1x2）2+2（x1+x2）24x1x2+4， 当 x1+x24 时，原式22+2（4）242+432； 当 x1+x
17、22 时，原式22+22242+48； 故选：C 10已知 10a20，100b50，则a+b+的值是（ ） A2 B C3 D 【分析】把 100 变形为 102，两个条件相乘得 a+2b3，整体代入求值即可 【解答】解：10a100b10a102b10a+2b20501000103， a+2b3， 原式（a+2b+3）（3+3）3， 故选：C 11如图，O 的直径 AB8，AM，BN 是它的两条切线，DE 与O 相切于点 E，并与 AM，BN 分别相交 于 D，C 两点，BD，OC 相交于点 F，若 CD10，则 BF 的长是（ ） A B C D 【分析】如图，构建如图平面直角坐标系，过
18、点 D 作 DHBC 于 H想办法求出 C，D 两点坐标，构建 一次函数，利用方程组确定交点坐标即可 【解答】解：如图，构建如图平面直角坐标系，过点 D 作 DHBC 于 H AB 是直径，AB8， OAOB4， AD，BC，CD 是O 的切线， DABABHDHB90，DADE，CECB， 四边形 ABHD 是矩形， ADBH，ABDH8， CH6， 设 ADDEBHx，则 ECCBx+6， x+x+610， x2， D（2，4） ，C（8，4） ，B（0，4） ， 直线 OC 的解析式为 yx，直线 AD 的解析式为 y4x4， 由，解得， F（，） ， BF， 故选：A 12直线 l 过
19、点（0，4）且与 y 轴垂直，若二次函数 y（xa）2+（x2a）2+（x3a）22a2+a（其中 x 是自变量）的图象与直线 l 有两个不同的交点，且其对称轴在 y 轴右侧，则 a 的取值范围是（ ） Aa4 Ba0 C0a4 D0a4 【分析】先写出直线 l 的解析式，根据直线和抛物线有两个不同的交点，由直线和抛物线解析式得出关 于 x 的一元二次方程，通过判别式0，求出 a 的取值，再根据对称轴在 y 轴右侧，得出 a 的取值，故 可以判断 D 正确 【解答】解：直线 l 过点（0，4）且与 y 轴垂直， 直线 l 为：y4， 二次函数 y（xa）2+（x2a）2+（x3a）22a2+a
20、 的图象与直线 l 有两个不同的交点， （xa）2+（x2a）2+（x3a）22a2+a4， 整理得：3x212ax+12a2+a40， （12a）243（12a2+a4）144a2144a212a+4812a+480， a4， 又二次函数 y（xa）2+（x2a）2+（x3a）22a2+a3x212ax+12a2+a 对称轴在 y 轴右侧， 2a0， a0， 0a4， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分）. 13分解因式：44m2 4（1+m） （1m） 【分析】先提取公因式 4，再用平方差公式因式分解 【解答
21、】解：原式4（1m2） 4（1+m） （1m） 故答案为：4（1+m） （1m） 14不透明袋子中装有 3 个红球，5 个黑球，4 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一 个球，则摸出红球的概率是 【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可 【解答】解：袋子中共有 3+5+412 个除颜色外无其他差别的球，其中红球的个数为 3， 从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是， 故答案为： 15关于 x 的不等式组恰好有 2 个整数解，则实数 a 的取值范围是 0a0.5 【分析】先解不等式组得出 1.5x2a+3，根据不等式组恰有 2 个整数解得出 32a+34，解之即可得 出答案 【
22、解答】解：解不等式 2x30，得：x1.5， 解不等式 x2a3，得：x2a+3， 不等式组恰好有 2 个整数解， 32a+34， 解得：0a0.5， 故答案为：0a0.5 16如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，点 F 在 CD 上，且 CF3DF，AE，BF 相 交于点 G，则AGF 的面积是 【分析】根据正方形的性质和相似三角形的性质，可以得到 GN 的长，然后通过图形可知，AGF 的面 积ABF 的面积ABG 的面积，代入数据计算即可 【解答】解：作 FMAB 于点 M，作 GNAB 于点 N，如右图所示， 正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是
23、BC 的中点，点 F 在 CD 上，且 CF3DF， BE2，MF4，BMCF3， GNAB，FMAB， GNFM， BNGBMF， ， 设 BN3x，则 NG4x，AN43x， GNAB，EBAB， ANGABE， ， 即， 解得 x， GN4x， AGF 的面积是：， 故答案为： 三、本大题共三、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分. 17 （6 分）计算： （）0+（） 1（4）+2 cos30 【分析】利用 0 指数幂、负指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果； 【解答】解： （）0+（） 1（4）+2 cos30 1+4+4+3 12
24、18 （6 分）如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，ABAC，BC，求证：BDCE 【分析】要证 BDCE 只要证明 ADAE 即可，而证明ABEACD，则可得 ADAE 【解答】证明：在ABE 与ACD 中 ， ABEACD（ASA） ADAE BDCE 19 （6 分）化简： （a+） 【分析】先计算括号内分式的加法，然后将分子因式分解，继而将除法转化为乘法，最后约分即可 【解答】解：原式（+） a1 四、本大题共四、本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 7 分，共分，共 14 分分. 20 （7 分）某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品为了解
25、该农副产品在 一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了 20 天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下： 16 14 13 17 15 14 16 17 14 14 15 14 15 15 14 16 12 13 13 16 （1）根据上述样本数据，补全条形统计图； （2）上述样本数据的众数是 14 万元 ，中位数是 14.5 万元 ； （3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额 【分析】 （1）根据题目中的数据，可以得到销售额 14 万元和 16 万元的天数，然后即可将条形统计图补 充完整； （2）根据条形统计图中的数据，可以直接写出样本数据的众数，计算出样本数据的中位数
26、； （3）根据条形统计图中的数据，可以计算出这种农副产品在该季度内平均每天的销售额 【解答】解： （1）由题目中的数据可得， 销售额为 14 万元的有 6 天，销售额为 16 万元的有 4 天， 补全的条形统计图如右图所示； （2）由条形统计图可得， 样本数据的众数是 14 万元，中位数是（14+15）214.5（万元） ， 故答案为：14 万元，14.5 万元； （3）14.65（万元） ， 答：估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额是 14.65 万元 21 （7 分）某运输公司有 A、B 两种货车，3 辆 A 货车与 2 辆 B 货车一次可以运货 90 吨，5 辆 A 货车与 4 辆
27、 B 货车一次可以运货 160 吨 （1）请问 1 辆 A 货车和 1 辆 B 货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有 190 吨货物需要运输，该运输公司计划安排 A、B 两种货车将全部货物一次运完（A、B 两 种货车均满载） ，其中每辆 A 货车一次运货花费 500 元，每辆 B 货车一次运货花费 400 元请你列出所 有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少 【分析】 （1）设 1 辆 A 货车一次可以运货 x 吨，1 辆 B 货车一次可以运货 y 吨，根据 3 辆 A 货车与 2 辆 B 货车一次可以运货 90 吨，5 辆 A 货车与 4 辆 B 货车一次可以运货 160 吨列出方程
28、组解答即可； （2）设 A 货车运输 m 吨，则 B 货车运输（190m）吨，设总费用为 w 元，列出 w 的一次函数表达式， 化简得 w 随 m 的增大而减小；根据 A、B 两种货车均满载，得，都是整数，分类列举得到符 合题意得方案，最后根据费用越少，m 越大得到费用最少的方案 【解答】解： （1）设 1 辆 A 货车一次可以运货 x 吨，1 辆 B 货车一次可以运货 y 吨， 根据题意得：， 解得：， 答：1 辆 A 货车一次可以运货 20 吨，1 辆 B 货车一次可以运货 15 吨； （2）设 A 货车运输 m 吨，则 B 货车运输（190m）吨，设总费用为 w 元， 则：w500+40
29、0 25m+ 25mm+ m+， 0， w 随 m 的增大而减小 A、B 两种货车均满载， ，都是整数， 当 m20 时，不是整数； 当 m40 时，10； 当 m60 时，不是整数； 当 m80 时，不是整数； 当 m100 时，6； 当 m120 时，不是整数； 当 m140 时，不是整数； 当 m160 时，2； 当 m180 时，不是整数； 故符合题意的运输方案有三种： A 货车 2 辆，B 货车 10 辆； A 货车 5 辆，B 货车 6 辆； A 货车 8 辆，B 货车 2 辆； w 随 m 的增大而减小， 费用越少，m 越大， 故方案费用最少 五、本大题共五、本大题共 2 个小题
30、，每小题个小题，每小题 8 分，共分，共 16 分分. 22 （8 分）一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数 y的图象相交于 A（2，3） ，B（6，n）两点 （1）求一次函数的解析式； （2）将直线 AB 沿 y 轴向下平移 8 个单位后得到直线 l，l 与两坐标轴分别相交于 M，N，与反比例函数 的图象相交于点 P，Q，求的值 【分析】 （1）根据待定系数法，先求出反比例函数的解析式，求出 B 点坐标，进而求出一次函数的解析 式； （2）根据直线 AB 沿 y 轴向下平移 8 个单位后得到直线 l 求得 l 的解析式，然后求出点 M，N 得坐标， 根据勾股定理求得 MN 的长度；
31、联立一次函数 l 和反比例函数得到点 P，Q 的坐标，过点 P 作 x 轴的平 行线，过点 Q 作 y 轴的平行线，两条平行线交于点 C，根据勾股定理求得 PQ 的长度，问题即可迎刃而 解 【解答】解： （1）反比例函数 y得图象过点 A（2，3） ，点 B（6，n） ， m236，m6n， y，n1， 一次函数 ykx+b（k0）的图象过点 A（2，3） ，点 B（6，1） ， ， 解得：， 一次函数的解析式为：yx+4； （2）直线 AB 沿 y 轴向下平移 8 个单位后得到直线 l， 直线 l 的解析式为：yx+48x4， 当 x0 时，y4， 当 y0 时，x8， M（8，0） ，N（
32、0，4） ， OM8，ON4， MN4， 联立， 得：x4， 解得：x12，x26， 将 x12，x26 代入 y得：y13，y21， 经检验：和都是原方程组的解， P（6，1） ，Q（2，3） ， 如图，过点 P 作 x 轴的平行线，过点 Q 作 y 轴的平行线，两条平行线交于点 C， 则C90，C（2，1） ， PC2（6）4，CQ1（3）2， PQ2， 23 （8 分）如图，A，B 是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在 C 点处遇险发出求救信号，此 时测得 C 点位于观测点 A 的北偏东 45方向上，同时位于观测点 B 的北偏西 60方向上，且测得 C 点 与观测点 A 的距离
33、为 25海里 （1）求观测点 B 与 C 点之间的距离； （2）有一艘救援船位于观测点 B 的正南方向且与观测点 B 相距 30 海里的 D 点处，在接到海轮的求救信 号后立即前往营救，其航行速度为 42 海里/小时，求救援船到达 C 点需要的最少时间 【分析】 （1）过点 C 作 CEAB 于点 E，根据题意可得ACECAE45，AC25海里，根据勾 股定理可得 AECE25（海里） ，由CBE30，即可得结论； （2）作 CFDB 于点 F，证明四边形 CEBF 是矩形，可得 FBCE25（海里） ，CFBE25（海 里） ，根据勾股定理求出 CD 的长，进而可得救援船到达 C 点需要的最
34、少时间 【解答】解： （1）如图，过点 C 作 CEAB 于点 E， 根据题意可知：ACECAE45，AC25海里， AECE25（海里） ， CBE30， BE25（海里） ， BC2CE50（海里） 答：观测点 B 与 C 点之间的距离为 50 海里； （2）如图，作 CFDB 于点 F， CFDB，FBEB，CEAB， 四边形 CEBF 是矩形， FBCE25（海里） ，CFBE25（海里） ， DFBD+BF30+2555（海里） ， 在 RtDCF 中，根据勾股定理，得 CD70（海里） ， 7042（小时） 答：救援船到达 C 点需要的最少时间是小时 六、本大题共六、本大题共 2
35、个小题，每小题个小题，每小题 12 分，共分，共 24 分分. 24 （12 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，过点 C 作O 的切线交 BA 的延长线于点 F，AE 是O 的直径，连接 EC （1）求证：ACFB； （2）若 ABBC，ADBC 于点 D，FC4，FA2，求 ADAE 的值 【分析】 （1）如图 1，连接 OC，先根据切线的性质和同圆的半径相等，及等边对等角可得：ACF OCEE，从而得结论； （2）证明ACFCBF，得 BF8，再证明ABDAEC，列比例式可得结论 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 OC， CF 是O 的切线， OCF90， OCA+ACF90， O
36、BOC， EOCE， AE 是O 的直径， ACE90， OCA+OCE90， ACFOCEE， BE， ACFB； （2）解：ACFB，FF， ACFCBF， ， AF2，CF4， ， BF8， ABBC826，AC3， ADBC， ADBACE90， BE， ABDAEC， ，即 AEADABAC6318 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+x+4 与两坐标轴分别相交于 A，B，C 三点 （1）求证：ACB90； （2）点 D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点 D 作 x 轴的垂线交 BC 于点 E，交 x 轴于点 F 求 DE+BF 的最大值； 点 G
37、 是 AC 的中点，若以点 C，D，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点 D 的坐标 【分析】 （1）由抛物线 yx2+x+4 与两坐标轴分别相交于 A，B，C 三点，求出 A，B，C 坐标和 ABC 三边长，用勾股定理逆定理判断ABC 是直角三角形即可 （2）由 B（8，0） ，C（0，4）可得直线 BC 解析式为 yx+4，设第一象限 D（m，+m+4） ， 则 E（m，m+4） ，可得 DE+BF（m2+2m）+（8m）（m2）2+9，即可得 DE+BF 的 最大值是 9； 由CAB+CBA90，FEB+CBA90，得CABFEBDEC，以点 C，D，E 为顶点的 三角形与AOG 相似
38、， 只需或，而 OA2，AG，用含 m 的代数式表示 DE m2+2m，CE，分情况列出方程即可得 m 的值，从而得到答案 【解答】解： （1）yx2+x+4 中，令 x0 得 y4，令 y0 得 x12，x28， A（2，0） ，B（8，0） ，C（0，4） ， OA2，OB8，OC4，AB10， AC2OA2+OC220，BC2OB2+OC280， AC2+BC2100， 而 AB2102100， AC2+BC2AB2， ACB90； （2）设直线 BC 解析式为 ykx+b，将 B（8，0） ，C（0，4）代入可得：， 解得， 直线 BC 解析式为 yx+4， 设第一象限 D（m，+m+
39、4） ，则 E（m，m+4） ， DE（+m+4）（m+4）m2+2m，BF8m， DE+BF（m2+2m）+（8m） m2+m+8 （m2）2+9， 当 m2 时，DE+BF 的最大值是 9； 由（1）知ACB90， CAB+CBA90， DFx 轴于 F， FEB+CBA90， CABFEBDEC， 以点 C，D，E 为顶点的三角形与AOG 相似，只需或， 而 G 为 AC 中点，A（2，0） ，C（0，4） ， G（1，2） ，OA2，AG， 由知：DEm2+2m，E（m，m+4） ， CE， 当时，解得 m4 或 m0（此时 D 与 C 重合，舍去） D（4，6） ， 当时，解得 m3 或 m0（舍去） ， D（3，） ， 综上所述，以点 C，D，E 为顶点的三角形与AOG 相似，则 D 的坐标为（4，6）或（3，）
