1、2021 年吉林省松原市前郭县城区学校名校调研中考数学三模试卷年吉林省松原市前郭县城区学校名校调研中考数学三模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 2 分，共分，共 12 分）分） 1的绝对值是（ ） A B C D 2银河系中大约有恒星 160 000 000 000 颗，数据 160 000 000 000 用科学记数法表示为（ ） A0.161012 B1.61011 C161010 D160109 3由 6 个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，则它的俯视图为（ ） A B C D 4下列计算中，正确的是（ ） Ax3+x3x6 B （x3）3x6 Cx3x3x6 Dx3x3
2、x 5如图，直线 l1l2，ABCD，122，那么2 的度数是（ ） A68 B58 C22 D28 6如图，四边形 ABDE 是O 的内接四边形，CE 是O 的直径，连接 BC，DC若BDC20，则A 的度数为（ ） A90 B100 C110 D120 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 7 （3 分）不等式 5x+13x1 的解集是 8 （3 分）分解因式：3xy27y 9 （3 分） 10 （3 分）如图，A 是线段 BC 外一点，连接 AB、AC，过点 A 作线段 BC 的垂线 AH在 AB、AC、AH 这 三条线段中，AH 是最短的线段，依据是
3、11 （3 分）关于 x 的一元二次方程 mx28x+160 有两个不相等的实数根，则 m 的范围 12 （3 分）如图，DEBC，AEDE1，BC3，则线段 CE 的长为 13 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两 弧分别交于点 D 和点 E，作直线 DE，交 AC 于点 F，若A15，AF4，则 BC 的长为 14 （3 分）如图，在扇形 AOB 中，AC 为弦，AOB140，CAO60，OA4，则的长 为 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 15 （5 分）先化简，再求值：m（2n+m
4、）（1+m）2+2m，其中 m，n6 16 （5 分）嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国航天的“四大天王” 2020 年“北斗”组网、 “天问”问天、 “嫦五”探月，一个个好消息从太空传来，照亮了中国航天界的未来！小玲对航空航天非常感兴趣，她 收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制成编号为 A、B、C、D 的四张 卡片（背面完全相同） ，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好 （1）小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为 ； （2）小玲先从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回） ，再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或 画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为 A（嫦
5、娥五号）和 D（天问一号）的概率 17 （5 分）某学校为了改进全校师生的饮水质量，需要安装 A 型净水器与 B 型净水器，已知每台 A 型净水 器比 B 型净水器售价贵 2000 元，且安装 A 型净水器的数量是 B 型净水器数量的，学校分别购买 A 型 与 B 型净水器的费用都是 20 万元求每台 A 型净水器和每台 B 型净水器的售价分别为多少元？ 18 （5 分）如图，已知：ABBC 于 B，EFAC 于 G，DFBC 于 D，BCDF，求证：ACEF 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 7 分，共分，共 28 分）分） 19 （7 分）如图 1，是某人拿自拍杆用手机进行自拍的实物图
6、，图 2 是由其抽象出来的几何图形，AC 是可 以伸缩的自拍杆，其端点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 1.4m，当自拍杆 AC 的长度为 0.9m，张角HAC 为 118时， 求自拍杆的另一端点 C 离地面的高度 （结果保留小数点后一位： 参考数据： sin280.47， cos28 0.88，tan280.53） 20 （7 分）如图，在小正方形的边长均为 1 的正方形网格中，点 A、B、C 都是格点，仅用无刻度的直尺按 下列要求作图 （1）在图中，作线段 AB 的垂直平分线； （2）在图中，作ABC 的平分线 21 （7 分）如图，等边ABC 的顶点 A、B 分别在双曲线 y （k0
7、）的两个分支上，且 AB 经过原点 O， BDx 轴于点 D，SBOD2 （1）求双曲线的解析式； （2）若 OD2，则点 C 的坐标为 22 （7 分）劳动教育是新时代对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展教 育体系的重要内容，是大、中、小学必须开展的教育活动某中学为落实劳动教育，组织八年级学生进 行了劳动知识技能竞赛，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制） ，制成不完整的统计图表： 表一 成绩 x x60 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 人数 1 2 a 8 4 表二 统计量 平均数 中位数 众数 成绩 79.7 b 72 根据以上信息回答
8、下列问题 （1） 若抽取的学生成绩处在 80 x90 这一组的数据如下： 88 87 81 80 82 88 84 86 根据以上数据填空： a ；b （2）在扇形统计图中，表示问卷成绩在 90 x100 这一组的扇形圆心角度数为 （3）已知该校八年级共有学生 500 名若将成绩不少于 80 分的学生称为“劳动达人” ，请你估计该校八 年级一共有多少名学生是“劳动达人” 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 23 （8 分）已知甲、乙两车分别以各自的速度匀速从 A 地驶向 B 地，甲车比乙车早出发 2h，并且甲车途中 休息了 0.5h，如图是甲、乙两车行驶的路
9、程 y（km）与时间 x（h）的函数图象 （1）m ，A、B 两地的路程为 km； （2）求乙车行驶的路程 y（km）与时间 x（h）的函数关系式，并写出相应的 x 的取值范围； （3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距 50km？ 24 （8 分）在菱形 ABCD 中，ABC60，点 P 是射线 BD 上一动点，以 AP 为边向右侧作等边APE， 点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化 （1）探索发现：如图 1，当点 E 在菱形 ABCD 内部时，连接 CE，BP 与 CE 的数量关系是 ， CE 与 AD 的位置关系是 （2） 归纳证明： 证明 2， 当点 E 在菱形 ABCD 外部时
10、， （1） 中的结论是否还成立？若成立， 请予以证明； 若不成立，请说明理由 （3）拓展应用：如图 3，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，连接 BE，若 AB5，BE13，请直接写出 线段 DP 的长 六、解答题（每小题六、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 25 （10 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） 、B（6，0） （1）求抛物线的解析式； （2）若点 C 是抛物线在第四象限内图象上的一点，过点 C 作 CPy 轴于点 P，求 CP+OP 的最大值； （3）设抛物线的顶点为点 D，点 N 的坐标为（2，16） ，问在抛物线的对称轴上是
11、否存在点 M，使 线段 MN 绕点 M 顺时针旋转 90？得到线段 MN，且点 N恰好落在抛物线上？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 26 （10 分）如图，在 RtABC 中，B90，AB6，BC8，D、E 分别为边 AB、AC 的中点，连接 DE，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿折线 ADDEEA 向终点 A 运动，过点 P 作 PQBC 于点 Q，以 PQ 为边作正方形 PQMN，使点 M 落在线段 QC 上，设点 P 的运动时间为 t 秒（0t12） （1）当点 P 在线段 EA 上运动时，求线段 PE 的长（用含 t 的代数式表示） （2）当点
12、N 落在 AC 边上时，求 t 的值 （3） 当正方形 PQMN 与ABC 重叠部分图形为四边形时， 设四边形的面积为 S， 求 S 与 t 的函数关系式 （4） 当点 N 与点 E 不重合时， 作直线 NE， 直接写出直线 NE 将ABC 分成的两部分图形的面积比为 1： 2 时 t 的值 2021 年吉林省松原市前郭县城区学校名校调研中考数学三模试卷年吉林省松原市前郭县城区学校名校调研中考数学三模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 2 分，共分，共 12 分）分） 1的绝对值是（ ） A B C D 【分析】根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它
13、的相反数即可求解 【解答】解：负数的绝对值等于它的相反数， | 故选：B 2银河系中大约有恒星 160 000 000 000 颗，数据 160 000 000 000 用科学记数法表示为（ ） A0.161012 B1.61011 C161010 D160109 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是 正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：160 000 000 0001.61011， 故选：B 3由 6 个相同的小
14、正方体搭成的一个几何体如图所示，则它的俯视图为（ ） A B C D 【分析】找出简单几何体的俯视图，对照四个选项即可得出结论 【解答】解：从上面向下看，从左到右有两列，且其正方形的个数分别为 3、2， 故选：D 4下列计算中，正确的是（ ） Ax3+x3x6 B （x3）3x6 Cx3x3x6 Dx3x3x 【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则 逐一判断即可 【解答】解：A、x3+x32x3，故本选项不合题意； B、 （x3）3x9，故本选项不合题意； C、x3x3x6，故本选项符合题意； D、x3x31，故本选项不合题意； 故选：C 5
15、如图，直线 l1l2，ABCD，122，那么2 的度数是（ ） A68 B58 C22 D28 【分析】由两直线平行同位角相等得到23，再由 AB 与 CD 垂直，利用垂直的定义得到BMC 为 直角，得到1 与3 互余，由1 的度数求出3 的度数，即为2 的度数 【解答】解：直线 l1l2， 23， ABCD， CMB90， 1+390，又122， 368， 则268 故选：A 6如图，四边形 ABDE 是O 的内接四边形，CE 是O 的直径，连接 BC，DC若BDC20，则A 的度数为（ ） A90 B100 C110 D120 【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论 【解答
16、】解：CE 是O 的直径， CDE90， BDC20， BDECDEBDC70， 四边形 ABDE 是O 的内接四边形， A180BDE110， 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 7 （3 分）不等式 5x+13x1 的解集是 x1 【分析】先对不等式进行移项，合并同类项，再系数化 1 即可求得不等式的解集 【解答】解：5x+13x1， 移项得，5x3x11， 合并得，2x2， 即 x1， 故答案为 x1 8 （3 分）分解因式：3xy27y 3y（x9） 【分析】直接提取公因式 3y，进而分解因式即可 【解答】解：原式3y（x9） 故答案为：3
17、y（x9） 9 （3 分） 4 【分析】原式利用二次根式乘法法则计算即可得到结果 【解答】解：原式4 故答案为：4 10 （3 分）如图，A 是线段 BC 外一点，连接 AB、AC，过点 A 作线段 BC 的垂线 AH在 AB、AC、AH 这 三条线段中，AH 是最短的线段，依据是 垂线段最短 【分析】根据垂线段最短解答即可 【解答】解：在 AB、AC、AH 这三条线段中，AH 是最短的线段依据是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短 11（3 分） 关于 x 的一元二次方程 mx28x+160 有两个不相等的实数根， 则 m 的范围 m1 且 m0 【分析】 根据二次项系数非零及根的判别式0，
18、可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 mx28x+160 有两个不相等的实数根， ， 解得：m1 且 m0 故答案为：m1 且 m0 12 （3 分）如图，DEBC，AEDE1，BC3，则线段 CE 的长为 2 【分析】由平行线的性质可得ADEB，由 AEDE1，可得ADEDAE，易得DAEB， 可得 ACBC，易得结果 【解答】解：DEBC， ADEB， AEDE1， ADEDAE， DAEB，BC3， ACBC3， CEACAE312， 故答案为：2 13 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，分别以点 A 和点 B
19、为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两 弧分别交于点 D 和点 E，作直线 DE，交 AC 于点 F，若A15，AF4，则 BC 的长为 2 【分析】连接 BF，如图，利用基本作图得 DE 垂直平分 AB，根据线段垂直平分线的性质得到 FAFB 4，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到BFC30，然后根据含 30 度的直角三角形三边 的关系求解 【解答】解：连接 BF，如图， 由作法得 DE 垂直平分 AB， FAFB4， AFBA， BFCA+FBA2A30， 在 RtBFC 中，BCFB42 故答案为 2 14（3 分） 如图， 在扇形 AOB 中， AC 为弦， AOB140， CA
20、O60， OA4， 则的长为 【分析】 连接 OC， 根据等边三角形的判定得出AOC 是等边三角形， 根据等边三角形的性质得出AOC 60，求出BOC 的度数，再根据弧长公式求出答案即可 【解答】解：连接 OC， OAOC，OAC60， AOC 是等边三角形， AOC60， AOB140， BOCAOBAOC80， OCOA4， 的长是， 故答案为： 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 15 （5 分）先化简，再求值：m（2n+m）（1+m）2+2m，其中 m，n6 【分析】原式利用单项式乘以多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把 m
21、与 n 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式2mn+m212mm2+2m 2mn1， 当 m，n6 时，原式617 16 （5 分）嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国航天的“四大天王” 2020 年“北斗”组网、 “天问”问天、 “嫦五”探月，一个个好消息从太空传来，照亮了中国航天界的未来！小玲对航空航天非常感兴趣，她 收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制成编号为 A、B、C、D 的四张 卡片（背面完全相同） ，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好 （1）小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为 ； （2）小玲先从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回） ，再从余下的
22、卡片中随机抽取一张，请用列表或 画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为 A（嫦娥五号）和 D（天问一号）的概率 【分析】 （1）根据概率公式直接得出答案； （2）先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是编号为 A（嫦娥五号）和 D（天问一号）的 结果数为 2 种，再根据概率公式求解可得 【解答】解： （1）小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有 12 种等可能的情况，其中抽到的两张卡片恰好是编号为 A（嫦娥五号）和 D（天问一号）的有 2 种 情况， 抽到的两张卡片恰好是编号为 A（嫦娥五号）和 D（天问一号）的概率为 17 （5
23、 分）某学校为了改进全校师生的饮水质量，需要安装 A 型净水器与 B 型净水器，已知每台 A 型净水 器比 B 型净水器售价贵 2000 元，且安装 A 型净水器的数量是 B 型净水器数量的，学校分别购买 A 型 与 B 型净水器的费用都是 20 万元求每台 A 型净水器和每台 B 型净水器的售价分别为多少元？ 【分析】设每台 B 型净水器的售价为 x 元，则每台 A 型净水器的售价为（x+2000）元，由题意：安装 A 型净水器的数量是 B 型净水器数量的，学校分别购买 A 型与 B 型净水器的费用都是 20 万元，列出分 式方程，解方程即可 【解答】解：设每台 B 型净水器的售价为 x 元
24、，则每台 A 型净水器的售价为（x+2000）元， 依题意，得：， 解得：x8000， 经检验，x8000 是原方程的解，且符合题意， x+200010000， 答：每台 A 型净水器的售价是 10000 元，每台 B 型净水器的售价是 8000 元 18 （5 分）如图，已知：ABBC 于 B，EFAC 于 G，DFBC 于 D，BCDF，求证：ACEF 【分析】欲证明 ACEF，根据 ASA 证明ABCEDF 即可； 【解答】证明：ABBC 于 B，EFAC 于 G，DFBC 于 D， BEDFEGC90， C+GEC90，F+GEC90， FC， 在ABC 和EDF 中， ， ABCED
25、F（ASA） ， ACEF 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 7 分，共分，共 28 分）分） 19 （7 分）如图 1，是某人拿自拍杆用手机进行自拍的实物图，图 2 是由其抽象出来的几何图形，AC 是可 以伸缩的自拍杆，其端点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 1.4m，当自拍杆 AC 的长度为 0.9m，张角HAC 为 118时， 求自拍杆的另一端点 C 离地面的高度 （结果保留小数点后一位： 参考数据： sin280.47， cos28 0.88，tan280.53） 【分析】作 CEBD 于 E，AFCE 于 F，在 RtACF 中，sinCAF，求出 CF，EF 即可求解； 【
26、解答】解：作 CEBD 于 E，AFCE 于 F， 四边形 AHEF 为矩形， EFAH1.4m，HAF90， CAFCAHHAF1189028， 在 RtACF 中，sinCAF， CF0.9sin280.90.470.423m， CECF+EF0.423+1.41.8m， 答：点 C 离地面的高度为 1.8m； 20 （7 分）如图，在小正方形的边长均为 1 的正方形网格中，点 A、B、C 都是格点，仅用无刻度的直尺按 下列要求作图 （1）在图中，作线段 AB 的垂直平分线； （2）在图中，作ABC 的平分线 【分析】 （1）取格点 E，F，作直线 EF 即可 （2）连接 AC，取 AC
27、的中点 P，作射线 AP 即可 【解答】解： （1）如图，直线 EF 即为所求作 （2）如图，思想 BP 即为所求作 21 （7 分）如图，等边ABC 的顶点 A、B 分别在双曲线 y （k0）的两个分支上，且 AB 经过原点 O， BDx 轴于点 D，SBOD2 （1）求双曲线的解析式； （2）若 OD2，则点 C 的坐标为 （2，2） 【分析】 （1）利用反比例函数 k 的几何意义得到|k|2，求出 k 得到反比例函数解析式； （2）连接 OC，过 C 点 CEx 轴于 E，如图，利用三角形面积公式计算出 BD2，则可判断ODB 为 等腰直角三角形，所以BOD45，OB2，利用反比例函数的
28、性质和等边三角形的性质得到 OC AB，OBC60，OC2，则COE45，然后计算出 OE 和 CE 得到 C 点坐标 【解答】解： （1）BDx 轴，SBOD2， |k|2， 而 k0， k4， 反比例函数的解析式为 y； （2）连接 OC，过 C 点 CEx 轴于 E，如图， SBOD2， BD22，解得 BD2， ODB 为等腰直角三角形， BOD45，OBOD2， AB 经过原点 O， OAOB， ABC 为等边三角形， OCAB，OBC60， OCOB2，COE45 在 RtOCE 中，OECEOC22， C 点坐标为（2，2） 故答案为（2，2） 22 （7 分）劳动教育是新时代对
29、教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展教 育体系的重要内容，是大、中、小学必须开展的教育活动某中学为落实劳动教育，组织八年级学生进 行了劳动知识技能竞赛，现随机抽取了部分同学的成绩（百分制） ，制成不完整的统计图表： 表一 成绩 x x60 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 人数 1 2 a 8 4 表二 统计量 平均数 中位数 众数 成绩 79.7 b 72 根据以上信息回答下列问题 （1） 若抽取的学生成绩处在 80 x90 这一组的数据如下： 88 87 81 80 82 88 84 86 根据以上数据填空： a 5 ；b 81.5 （2）
30、在扇形统计图中，表示问卷成绩在 90 x100 这一组的扇形圆心角度数为 72 （3）已知该校八年级共有学生 500 名若将成绩不少于 80 分的学生称为“劳动达人” ，请你估计该校八 年级一共有多少名学生是“劳动达人” 【分析】 （1）根据 80 x90 这一组的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即 可计算出 a 和 b 的值； （2）根据统计图中的数据，可以计算出问卷成绩在 90 x100 这一组的扇形圆心角度数； （3）根据统计图中的数据，可以计算出该校八年级一共有多少名学生是“劳动达人” 【解答】解： （1）本次抽取的学生有：840%20（人） ， a2012845
31、， 80 x90 这一组的数据按照从小到大排列是：80，81，82，84，86，87，88，88， b（81+82）281.5， 故答案为：5，81.5； （2）问卷成绩在 90 x100 这一组的扇形圆心角度数为：36072， 故答案为：72； （3）500300（名） ， 即估计该校八年级一共有 300 名学生是“劳动达人” 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 23 （8 分）已知甲、乙两车分别以各自的速度匀速从 A 地驶向 B 地，甲车比乙车早出发 2h，并且甲车途中 休息了 0.5h，如图是甲、乙两车行驶的路程 y（km）与时间 x（h）的函数图象
32、（1）m 1h ，A、B 两地的路程为 260 km； （2）求乙车行驶的路程 y（km）与时间 x（h）的函数关系式，并写出相应的 x 的取值范围； （3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距 50km？ 【分析】 （1）由图象得 m1.50.51，A、B 两地的路程为 260km； （2）由图象得当 x2 时，y0，x3.5 时，y120，由待定系数法就可以求出结论； （3）当 1.5x7 时，由待定系数法就可以求出甲车行驶的路程 y 与时间 x 之间的解析式，由解析式之 间的关系建立方程求出其解即可 【解答】解： （1）由题意得：m1.50.51（h） ，A、B 两地的距离为 260km；
33、 故答案为：1h，260； （2）设乙车行驶的路程 y 与时间 x 之间的解析式为 ykx+b， 由图象得当 x2 时，y0，x3.5 时，y120， ， 解得：， y80 x160， 80 x160260，解得：x5.25， y80 x160（2x5.25） ； （3）当 1.5x7 时， 设 y 与 x 之间的函数关系式为 yk2x+b2，由题意，得 ， 解得：， y40 x20（1.5x7） ， 当 40 x205080 x160 时， 解得：x， 2（h） ， 当 40 x20+5080 x160 时， 解得：x， 2（h） ， 答：当乙车行驶或h 时，两车恰好相距 50km 24 （
34、8 分）在菱形 ABCD 中，ABC60，点 P 是射线 BD 上一动点，以 AP 为边向右侧作等边APE， 点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化 （1）探索发现：如图 1，当点 E 在菱形 ABCD 内部时，连接 CE，BP 与 CE 的数量关系是 BPCE ， CE 与 AD 的位置关系是 CEAD （2） 归纳证明： 证明 2， 当点 E 在菱形 ABCD 外部时， （1） 中的结论是否还成立？若成立， 请予以证明； 若不成立，请说明理由 （3）拓展应用：如图 3，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，连接 BE，若 AB5，BE13，请直接写出 线段 DP 的长 【分析】 （1）
35、由菱形 ABCD 和ABC60可证ABC 与ACD 是等边三角形，由等边APE 可得 AP AE，PAEBAC60，减去公共角PAC 得BAPCAE，根据 SAS 可证得BAPCAE， 故有 BPCE，ABPACE由菱形对角线平分一组对角可证ABP30，故ACE30即 CE 平分ACD，由 ACCD 等腰三角形三线合一可得 CEAD （2）证明过程同（1） （3）由 AB5 即ABC 为等边三角形可求得 BD 的长连接 CE，由（2）可求BCE90，故在 Rt BCE 中，由勾股定理可求 CE 的长又由（2）可得 BPCE，由 DPBPBD 即求得 DP 的长 【解答】解： （1）菱形 ABC
36、D 中，ABC60 ABBCCDAD，ADCABC60 ABC、ACD 是等边三角形 ABAC，ACCD，BACACD60 APE 是等边三角形 APAE，PAE60 BACPACPAEPAC 即BAPCAE 在BAP 与CAE 中 BAPCAE（SAS） BPCE，ABPACE BD 平分ABC ACEABPABC30 CE 平分ACD CEAD 故答案为：BPCE；CEAD （2）BPCE，CEAD 仍成立，证明如下： 菱形 ABCD 中，ABC60 ABBCCDAD，ADCABC60 ABC、ACD 是等边三角形 ABAC，ACCD，BACACD60 APE 是等边三角形 APAE，PA
37、E60 BAC+PACPAE+PAC 即BAPCAE 在BAP 与CAE 中 BAPCAE（SAS） BPCE，ABPACE BD 平分ABC ACEABPABC30 CE 平分ACD CEAD （3）连接 CE，设 AC 与 BD 相交于点 O AB5 BCACAB5 AOAC BO BD2BO5 BCEBCA+ACE90，BE13 CE12 由（2）可知，BPCE12 DPBPBD125 六、解答题（每小题六、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 25 （10 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） 、B（6，0） （1）求抛物线的解析式； （2）
38、若点 C 是抛物线在第四象限内图象上的一点，过点 C 作 CPy 轴于点 P，求 CP+OP 的最大值； （3）设抛物线的顶点为点 D，点 N 的坐标为（2，16） ，问在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使 线段 MN 绕点 M 顺时针旋转 90？得到线段 MN，且点 N恰好落在抛物线上？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） 、B（6，0） ，列出方程组，解得 b 和 c 的 值，则可求得抛物线的解析式； （2）设点 C 坐标为（a，a24a12） ，由点 C 是抛物线在第四象限内图象上的一点，a0，a
39、24a12 0，由 CP 轴于点 P 可得点 P 的坐标，用含 a 的式子表示出 CP+OP，根据二次函数的性质可得答案； （3）由抛物线的解析式求得顶点 D 的坐标为（2，16） ，分两种情况：当点 M 在点 D 的下方时，过点 M 作 x 轴的平行线 l，分别过点 N、N作直线 l 的垂线，垂足分别为 E、F；当点 M 在点 D 的上方时，连 接 DN， 过点 N作 NG 垂直于对称轴于点 G， 分别判定ENMFMN （AAS） 、 NDMMNG （AAS） ， 设点 M（2，m） ，用含 m 的式子表示出点 N的坐标，再将其代入抛物线的解析式，解方程即可 【解答】解： （1）抛物线 yx
40、2+bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） 、B（6，0） ， ， 解得， 抛物线的解析式为 yx24x12； （2）依题意作出图形，如图 1： 设点 C 坐标为（a，a24a12） ， 点 C 是抛物线在第四象限内图象上的一点，a0，a24a120， P（0，a24a12） ， CP+OPa2+5a+12 （a）2+， 10， 当 a时，CP+OP 有最大值，最大值为； （3）在抛物线的对称轴上存在符合题意的点 M，理由如下： 抛物线的解析式为 yx24x12， 顶点 D 的坐标为（2，16） ， 当点 M 在点 D 的下方时， 过点 M 作 x 轴的平行线 l， 分别过点 N、 N作直线
41、 l 的垂线， 垂足分别为 E、 F， 如图 2： NEMMFN90，NMN90， N+NME90，NME+NMF90， NNMF， NMNM， ENMFMN（AAS） ， 设点 M（2，m） ，EMFN4，ENDMMF16m， N（14m，4+m） ，代入 yx24x12， 得 4+m（14m）24（14m）12， m2+31m+2360， 312423617， 解得 m1（舍去） ，m2， 当点 M 在点 D 的上方时， 连接 DN， 过点 N作 NG 垂直于对称轴于点 G， 同理NDMMNG （AAS） ， 如图 3： 设点 M（2，m） ，NDMG4，GNDMm+16， N（14m，4
42、+m） ，代入 yx24x12， 得 4+m（14m）24（14m）12， m2+31m+2360， 312423617， 解得 m1，m2（舍去） ， 综上所述，点 M 的坐标为（2，） ，或（2，） 26 （10 分）如图，在 RtABC 中，B90，AB6，BC8，D、E 分别为边 AB、AC 的中点，连接 DE，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿折线 ADDEEA 向终点 A 运动，过点 P 作 PQBC 于点 Q，以 PQ 为边作正方形 PQMN，使点 M 落在线段 QC 上，设点 P 的运动时间为 t 秒（0t12） （1）当点 P 在线段 EA 上运动时，求线段
43、PE 的长（用含 t 的代数式表示） （2）当点 N 落在 AC 边上时，求 t 的值 （3） 当正方形 PQMN 与ABC 重叠部分图形为四边形时， 设四边形的面积为 S， 求 S 与 t 的函数关系式 （4） 当点 N 与点 E 不重合时， 作直线 NE， 直接写出直线 NE 将ABC 分成的两部分图形的面积比为 1： 2 时 t 的值 【分析】 （1）根据 P 点的运动路径和速度可得：当点 P 在线段 EA 上运动时，PEtADDE，可得 PE 的长； （2）分两种情况：当 0t3 时，如图 2，根据 AP+PBAB，列方程可得 t 的值； 当 3t7 时，如图 3，根据 DP+PEDE
44、，列方程可得 t 的值； （3）分三种情况： 当t3 时，如图 4，S 就是正方形的面积；当 3t4 时，如图 5，S 就是正方形的面积；当 7t12 时，如图 1，可利用面积差得 S 的值即可； （4）分两种情况： 当 SEFC：S四边形ABFE1：2 时，即 SEFC：SABC1：3，先求得 FC4，由 KNFC，得， 列方程可得 t 的值； 如图 7， 当 SAEK： S四边形BKEC1： 2 时， 即 SAEK： SABC1： 3， 同理得 AK4， 由 FNAK， 得， 列方程可得 t 的值 【解答】解： （1）如图 1，在 RtABC 中，AB6，BC8，D、E 分别为边 AB、A
45、C 的中点， ADAB3，DEBC4， 当点 P 在线段 EA 上运动时，PEtADDEt7（7t12） ； （2）分两种情况： 当 0t3 时，如图 2， PNBC， APNABC， ， ， PN， 四边形 PNQM 是正方形， PNPB， AP+PBAB， t+6， t， （3 分） 当 3t7 时，如图 3， PEPQBD3， DP+PEDE， t3+34， t4， （4 分） 综上所述，当点 N 落在 AC 边上时，t 的值是秒或 4 秒； （3）分三种情况： 当t3 时，如图 4，SPB2（6t）2t212t+36； （5 分） 当 3t4 时，如图 5，SPQ2329； （6 分）
46、 当 7t12 时，如图 1， 由题意得：PEt7， AP5（t7）12t， PQAB， CPQCAB， ， ， PQ， PNFCBA， ， ， FN， SPQ2PNNF（t2）2（t2）2； （8 分） （4）分两种情况： 当 SEFC：S四边形ABFE1：2 时，即 SEFC：SABC1：3， SABC3SEFC， 如图 6，过 E 作 EGBC 于 G， 6833FC， FC， 由（2）得：PKt，同理得：AK， KNPNPK6tt6，KE5， KNFC， ， KNECKEFC， 5（6）， t； 如图 7，当 SAEK：S四边形BKEC1：2 时，即 SAEK：SABC1：3， SABC3SAEK， 6834AK， AK4， 由（3）知：FN， FMMNFN， sinC， FC， EF5FC， FNAK， ， FNAEEFAK， 54， t； （10 分） 综上所述，t 的值为或
