2021年中考数学分类专题突破专题26 四边形中的线段长度问题(解析版)

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1、专题专题 26 26 四边形中的线段长度问题四边形中的线段长度问题 1、如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,BAC90 ,AC6,BD8,则 CD 的长 为( ) A B5 C D10 解: ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O, BODO,AOCO,ABCD, BAC90 ,AC6,BD8, BO4,OA3, , 故选:A 2、如图,E、F 分别是正方形 ABCD 边 AD、BC 上的两定点,M 是线段 EF 上的一点,过 M 的直线与正方 形 ABCD 的边交于点 P 和点 H,且 PHEF,则满足条件的直线 PH 最多有( )条 A1 B2 C

2、3 D4 证明:如图 1,过 B 作 BGEF,过 C 作 CQPH, 四边形 ABCD 是正方形, ADBC,ABCD,ACBQ90 , 四边形 BFEG 和四边形 CQPH 是平行四边形, EFBG,PHCQ, PHEF, BGCQ, ABBC, Rt ABGRt BCQ(HL), ABGBCQ, ABG+CBGCBG+BCQ90 , CQBG, PHEF, 所以图 1 中过 M 与 EF 垂直满足条件有一条, 如图 2,还有两条:P1H1,P2H2, 故选:C 3、如图,在矩形 ABCD 中对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CEBD,垂足为点 E,CE5,且 EO2DE,则 AD 的

3、长为 解:四边形 ABCD 是矩形, ADC90 ,BDAC,ODBD,OCAC, OCOD, EO2DE, 设 DEx,OE2x, ODOC3x,AC6x, CEBD, DECOEC90 , 在 Rt OCE 中, OE2+CE2OC2, (2x)2+52(3x)2 , x0, DE,AC6 , CD , AD 5, 故答案为:5 4、如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 D 作 DEAC,且 DE:AC1:2,连接 CE、 OE,连接 AE 交 OD 于点 F (1)求证:OECD; (2)若菱形 ABCD 的边长为 2,ABC60 ,求 AE 的长 (1)证明:

4、在菱形 ABCD 中,OCAC DE:AC1:2, DEOC, DEAC, 四边形 OCED 是平行四边形 ACBD, 平行四边形 OCED 是矩形 OECD (2)解:在菱形 ABCD 中,ABC60 , ACAB2 在矩形 OCED 中, CEOD 在 Rt ACE 中, AE 5、四边形 ABCD 是平行四边形,AB (1)求证: ABCD 是矩形; (2)若 BCAB,求ACB 的度数; (3)在(2)的条件下,点 E,F 分别在 AB,AD 上,且 CECF,ECF30 ,AC4,求 2AEFD 的值 (1)证明:如图 1 中, 四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC, A+B1

5、80 , AB, AB90 , 四边形 ABCD 是矩形; (2)解:如图 2 中, 在 Rt ACB 中,tanACB, ACB30 ; (3)解:如图 3 中,作 FHAC 于 H ACBECF30 , BCEFCH, CECF,BFHC90 , BCEHCF, BEFH, 在 Rt AFH 中,FAH30 , FHAF, AE+AFAE+FHAE+BEAB, 在 Rt ACB 中,ACB30 , ABAC2, AE+AF2, 2AE+AF4, AF42AE, DFADAF2(42AE), 2AEFD42 6、如图所示,四边形 ABCD 为平行四边形,AD13,AB25,DAB,且 cos

6、,点 E 为直线 CD 上一动点,将线段 EA 绕点 E 逆时针旋转 得到线段 EF,连接 CF (1)求平行四边形 ABCD 的面积; (2)当点 C、B、F 三点共线时,设 EF 与 AB 相交于点 G,求线段 BG 的长; (3)求线段 CF 的长度的最小值 解(1)如图 1,作 DKAB 于点 K, 将线段 EA 绕点 E 逆时针旋转 得到线段 EF, AEF,AEEF, 在 Rt DAK 中, cosDAKcos,且 AD13, AK5, DK 12, S平行四边形ABCDAB DK25 12300; (2)如图 2,延长 CD 至 H,作AHD, AHDADH, AHAD13, 过

7、点 A 作 AMDH 于点 M, 由(1)知 AM12, DM5, DH10, FEHDEA+F+, DEAF, 在 AEH 和 EFC 中, , AEHEFC(AAS), EHCF,CEAH13, DECDCE12,BFCFBC22139, BGCE, FBGFCE, , 即, BG ; (3)如图 3,延长 CD 至 P,使PADP,过点 F 作 FMBC,交 CD 于点 M,过点 FNCD, 交 CD 于点 N, 由(2)可知AEPEFM, 在 EAP 和 FEM 中 , EAPFEM(AAS), EMAP13,FMEP, 设 DEx,则 FMEP10+x,CM25(13+x)12x,

8、FNFMsin(10+x),MNFMcos(10+x), CNCM+MN12x+(10+x), 在 Rt CFN 中,CF2CN2+NF2(208x2416x+56836), 对称轴 x1, 当 x1 时,CF 的值最小,CF 的最小值为 7、如图,已知 ABCD,E 是 CA 延长线上一点,且EAB90 ,ABAE,点 F 是 BC 下方一点,且 FE FD,EFD90 , (1)求证:FEAFDC; (2)若 AF3,求 AC 的长 (1)证明:设 AC 与 DF 交于点 O,如图 1 所示: EAB90 , BAC90 , 四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD,ABCD, ACDB

9、AC90 , FDC+COD90 , EFD90 , FEA+FOE90 , 又FOECOD, FEAFDC; (2)解:连接 CF,如图 2 所示: ABAE,ABCD, AECD, 在 AEF 和 CDF 中, AEFCDF(SAS), AFCF,AFECFD, AFCEFD90 , ACF 是等腰直角三角形, ACAF3 8、已知在四边形 ABCD 中,ADBC,ABBC,AD2,AB4,BC6 (1)如图 1,P 为 AB 边上一点,以 PD,PC 为边作平行四边形 PCQD,过点 Q 作 QHBC,交 BC 的 延长线于 H求证: ADPHCQ; (2)若 P 为 AB 边上任意一点

10、,延长 PD 到 E,使 DEPD,再以 PE,PC 为边作平行四边形 PCQE请 问对角线 PQ 的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值;如果不存在,请说明理由 (3)如图 2,若 P 为 DC 边上任意一点,延长 PA 到 E,使 AEnPA(n 为常数),以 PE,PB 为边作 平行四边形 PBQE请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值;如果不存在, 请说明理由 解:(1)ADBC, ADCDCH, ADP+PDCDCQ+QCH, 四边形 PCQD 是平行四边形, PDCQ,PDCQ, PDCDCQ, ADPQCH, 在 ADP 和 HCQ 中, , ADP

11、HCQ(AAS); (2)存在最小值,最小值为 10, 如图 1,作 QHBC,交 BC 的延长线于 H,设 PQ 与 DC 相交于点 G, PECQ, DPGCQG, , 由(1)可知,ADPQCH, Rt ADPRt QCH, , CH2AD4, BHBC+CH6+410, 当 PQAB 时,PQ 的长最小,即为 10; (3)存在最小值,最小值为( n+4 ), 如图 2,作 QHDC,交 CB 的延长线于 H,作 CKCD,交 QH 的延长线于 K, PEBQ,AEnPA, , ADBC, ADP+DCH90, CDQK, QHC+DCH180 , QHCADQ, PAD+PAGQBH

12、+QBG90 ,PAGQBG, PADQBH, ADPBHQ, , BH2n+2, CHBC+BH6+2n+22n+8, 过点 D 作 DMBC 于 M,又DABABM90 , 四边形 ABMD 是矩形, BMAD2,DMAB4, MCBCBM624DM, DCM45 , HCK45 , CKCHcos45 ( 2n+8 )( n+4 ), 当 PQCD 时,PQ 的长最小,最小值为( n+4 ) 9、如图,正方形 ABCD 的边长为 2,点 P 是正方形 ABCD 内一点,连结 PA,PB,PD, PAB 为等边三 角形 (1)求点 P 到边 AD,AB 的距离之和; (2)如图,连结 BD

13、 交 PA 于点 E,求 PBD 的面积以及的值 解:(1)如图,过 P 作 PMAD 于 M,PNAB 于 N, 四边形 ABCD 是正方形, DAB90 , PMADABPNB90 , 四边形 ANPM 是矩形, PMAN,AMPN, ABP 是等边三角形, ANAB1,PN , PMAN1, PM+PN+1, 即点 P 到边 AD,AB 的距离之和为+1; (2)S PBDS四边形ABPDS ABD AD(PM+PN)ADAB 2 (1+) 2 21; 如图,过 P 作 PGBD 于 G,过 A 作 AHBD 于 H, PGEAHE90 , PEGAEH, PGEAHE, , +1, +

14、1 10、已知:如图,在 Rt ABC 中,ACB90 ,BC8,AB10,点 P,E,F 分别是 AB,AC,BC 上 的动点,且 AP2CE2BF,连结 PE,PF,以 PE,PF 为邻边作平行四边形 PFQE (1)当点 P 是 AB 的中点时,试求线段 PF 的长 (2)在运动过程中,设 CEm,若平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 BC 或射线 AC 分成 1:3 的两 部分,试求 m 的值 (3)如图,设直找 FQ 与直线 AC 交于点 N,在运动过程中,以点 Q,N,E 为顶点的三角形能否构成 直角三角形?若能,请直接写出符合要求的 CE 的长;若不能,请说明理由 解:(1)

15、如图,作 PHBC 于点 H, ACB90 ,BC8,AB10, AC6 AP2CE2BF, 点 P 是 AB 的中点, PAPB5 CEBF,PH3,BHCH4, FH PF (2)如图,平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 BC 分成 1:3 的两部分时,则 EMPF PHBC, PHF90 ACB, PHAC, CEMHPF, PBHABC, PH2CE2m, , m 如图,平行四边形 PFQE 的面积恰好被线段 AC 分成 1:3 的两部分时,则 FDQD,QNPG, CFPG APGABC, , m m 的值为或 (3)如图,当QNE90 时,则点 N 与点 C 重合,设 CEx,

16、 PBHABC, , , x 如图,当QNE90 时,则点 P 与点 B 重合, 则 2x10, x5 如图,当QNE90 时, FPRPES, , , x 经检验,x 值符合题意 综上,CE 的长为或 5 或 11、已知菱形 ABCD 中,AB4,BAD120 ,点 P 是直线 AB 上任意一点,连接 PC,在PCD 内部作 射线 CQ 与对角线 BD 交于点 Q(与 B、D 不重合),且PCQ30 (1)如图,当点 P 在边 AB 上,且 BP3 时,求 PC 的长; (2)当点 P 在射线 BA 上,且 BPn(0n8)时,求 QC 的长;(用含 n 的式子表示) (3)连接 PQ,直线

17、 PQ 与直线 BC 相交于点 E,如果 QCE 与 BCP 相似,请直接写出线段 BP 的长 解:(1)如图 1 中,作 PHBC 于 H 四边形 ABCD 是菱形, ABBC4,ADBC, A+ABC180 , A120 , PBH60 , PB3,PHB90 , BHPBcos60,PHPBsin60, CHBCBH4, PC (2)如图 1 中,作 PHBC 于 H,连接 PQ,设 PC 交 BD 于 O 四边形 ABCD 是菱形, ABDCBD30 , PCQ30 , PBOQCO, POBQOC, POBQOC, , , POQBOC, POQBOC, OPQOBC30 PCQ,

18、PQQC, PCQC, 在 Rt PHB 中,BPn, BHn,PH n, PC2PH2+CH2, 3QC2(n)2+(4n)2, QC(0n8) (3)如图 2 中,若直线 QP 交直线 BC 于 B 点左侧的点 E 此时CQE120 , PBC60 , PBC 中,不存在角与CQE 相等, 此时 QCE 与 BCP 不可能相似 如图 3 中,若直线 QP 交直线 BC 于点 C 右侧的点 E 则CQEBQBC+QCP60 CBP, PCBE, 只可能BCPQCE75 , 作 CFAB 于 F,则 BF2,CF2,PCF45 , PFCF2, 此时 BP2+2, 如图 4 中,当点 P 在

19、AB 的延长线上时, CBE 与 CBP 相似, CQECBP120 , QCECBP15 , 作 CFAB 于 F FCB30 , FCB45 , BFBC2,CFPF2 , BP22 综上所述,满足条件的 BP 的值为 2+2或 22 12、如图,在 AOC 中,OAOC,OD 是 AC 边中线延长 AO 至点 B,作COB 的角平分线 OH,过点 C 作 CFOH 于点 F (1)求证:四边形 CDOF 是矩形; (2)连接 DF,若 cosA,CF8,求 DF 的长 (1)证明:在 AOC 中,OAOC,OD 是 AC 边中线, ODAC,OD 平分AOC, ODC90 ,CODAOC

20、, OH 平分COB, COFCOB, AOC+COB180 , COD+COF90 ,即DOF90 , CFOH, CFO90 , 四边形 CDOF 是矩形; (2)解:如图所示: OAOC, AACO, 四边形 CDOF 是矩形, CDOF, ACOCOF, cosCOFcosA , 设 OF3x,OC5x, 则 CF4x, CF84x, x2, OC10, 在矩形 CDOF 中,DFOC10 13、如图,在四边形 ABCD 中,A90 ,ADBC,BCBD,CEBD,垂足为 E (1)求证: ABDECB; (2)若 AD4,CE3,求 CD 的长 证明:(1)ADBC, ADBEBC, CEBD,A90 , ABEC90 , 在 ABD 和 ECB 中, , ABDECB(AAS); (2)ABDECB, ABCE3, AD4, 在 Rt ABD 中,由勾股定理可得:BD5, BDECB, DBE4, DEBDBE1, 在 Rt CDE 中,由勾股定理得:CD

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