1、2021 年广东省深圳市罗湖区中考数学三模试卷年广东省深圳市罗湖区中考数学三模试卷 一一.选择题（每小题选择题（每小题 3 分共分共 30 分）分） 1 （3 分）如图，数轴上点 A 所表示的数的绝对值是（ ） A2 B C D2 2 （3 分）下列图形中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）据统计，某城市去年接待旅游人数约为 89 000 000 人，89 000 000 这个数据用科学记数法表示为 （ ） A8.9106 B8.9105 C8.9107 D8.9108 4 （3 分）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，若从正面观察该几何体，得到
2、的形状图是（ ） A B C D 5 （3 分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击的平均成绩恰好是 9.4 环，方差分别是 S甲 2 0.90，S乙 21.22，S 丙 20.45，S 丁 21.9，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 6 （3 分）下列运算正确的是（ ） Ax3+x3x6 Ba12a4a3 C （a3）2a5 Da7a5a12 7（3 分） 如图， 已知 l1l2， 将一个含 45角的三角尺按图中方式放置， 124， 则2 的大小是 （ ） A21 B24 C30 D66 8 （3 分）如图，用尺规作角平分线，根据作图步骤，在说明射
3、线 AN 是BAC 的平分线过程中，以下说法 错误的是（ ） A由作弧可知 AEAF B由作弧可知 FPEP C由 SAS 证明AFPAEP D由 SSS 证明AFPAEP 9 （3 分）函数 yx2+bx+c 与 yx 的图象如图所示，有以下结论： b24c0；b+c+10；3b+c+60；当 1x3 时，x2+（b1）x+c0 其中正确的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，AFDE 于点 F，已知 DF5EF5，过 C、D、F 的O 与边 AD 交于点 G，则 DG（ ） A B C D 二二.填空题（每小题填空题（每小题
4、 3 分共分共 15 分）分） 11 （3 分）因式分解：2x2+xy 12 （3 分）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的球共 10 个，从中随机摸出一个球，若摸到红色球 的概率为，则袋子中红色球的个数是 13 （3 分）如图，在ACB 中，ACB90，点 D 为 AB 的中点，将ACB 绕点 C 按顺时针方向旋转， 当 CB 经过点 D 时得到A1CB1若 AC6，BC8，则 DB1的长为 14 （3 分）如图，已知等边三角形 ABC 的顶点 A，B 分别在反比例函数 y图象的两个分支上，点 C 在 反比例函数 y（k0）的图象上，当ABC 的面积最小时，k 的值为 15 （3 分）如
5、图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上的动点，以 DE 为边作正方形 DEFG，H 是 CD 的 中点连接 GH，若 GH 的最小值是 1，则正方形 ABCD 的边长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，其中第小题，其中第 16 题题 5 分，第分，第 17 题题 6 分，第分，第 18 题题 8 分，第分，第 19 题题 8 分分,第第 20 题题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22 题题 10 分，共分，共 55 分分) 16 （5 分）计算：2 1+sin30+ （tan60）0 17 （6 分）解方程： （1）； （2）x2+6x20
6、18 （8 分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“经典雅韵”诵读比赛活动，现随机抽取部分同学的成 绩进行统计，并绘制如下两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列各题： （1）直接写出 a 的值，a ，并把频数分布直方图补充完整 （2）求扇形 B 的圆心角度数 （3）如果全校有 2000 名学生参加这次活动，90 分以上（含 90 分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学 生有多少人？ 19 （8 分）如图，RtABC 中，ABC90，以 AB 为直径作O，点 D 为O 上一点，且 CDCB，连 接 DO 并延长交 CB 的延长线于点 E （1）判断直线 CD 与O 的位置关系，并说明理由
7、； （2）若 BE4，DE8，求 AC 的长 20 （8 分）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋兴趣小组使用，其中购买 象棋用了 210 元，购买围棋用了 378 元，已知每副围棋比每副象棋贵 8 元 （1）求每副围棋和象棋各是多少元？ （2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共 50 副，且再次购买的费用不超过 600 元，则该校最多可再 购买多少副围棋？ 21 （10 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）直接写出抛物线的解析式： ； （2）点 D 为第一象限内抛物线上的一动点，作 DEx
8、轴于点 E，交 BC 于点 F，过点 F 作 BC 的垂线与 抛物线的对称轴和 y 轴交于点 G、H，设点 D 的横坐标为 m 求 DF+HF 的最大值； 连接 EG，若GEH45时，求 m 的值 22 （10 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 ABCO 是矩形，点 A（0，2） ，C（2，0） ，点 D 是对角线 AC 上一点（不与 A、C 重合） ，连接 BD，作 DEBD，交 x 轴于点 E，以线段 DE、DB 为邻边 作矩形 BDEF （1）是否存在这样的点 D，使得DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的长；若不存在，请说明理 由； （2）求证：； （3）设 ADx，
9、矩形 BDEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并求出当 x 取何值时，y 有最小值？ 2021 年广东省深圳市罗湖区中考数学三模试卷年广东省深圳市罗湖区中考数学三模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（每小题选择题（每小题 3 分共分共 30 分）分） 1 （3 分）如图，数轴上点 A 所表示的数的绝对值是（ ） A2 B C D2 【分析】观察数轴易知点 A 表示的数为2，找到2 的绝对值即可 【解答】解：由题易知点 A 表示的数为2， |2|2， 故选：A 【点评】本题考查数轴和绝对值，会求数轴上点表示数的绝对值是解题关键 2 （3 分）下列图形中，既不
10、是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可 【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意 故选：D 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 3 （3 分）据统计，某城市去年接待旅游人数约为 89 000 000 人，89 000 000
11、 这个数据用科学记数法表示为 （ ） A8.9106 B8.9105 C8.9107 D8.9108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 【解答】解：89 000 000 这个数据用科学记数法表示为 8.9107 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，若从正面观察该几何体，得到
12、的形状图是（ ） A B C D 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可 【解答】解：从正面看有两层，底层是三个正方形，上层右边是一个正方形，右齐 故选：D 【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三视图中 5 （3 分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击的平均成绩恰好是 9.4 环，方差分别是 S甲 2 0.90，S乙 21.22，S 丙 20.45，S 丁 21.9，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】根据方差的意义求解即可 【解答】解：S甲 20.90，S 乙 21.22，S 丙 20
13、.45，S 丁 21.9， S丙 2S 甲 2S 乙 2S 丁 2， 在本次射击测试中，成绩最稳定的是丙， 故选：C 【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程 度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好 6 （3 分）下列运算正确的是（ ） Ax3+x3x6 Ba12a4a3 C （a3）2a5 Da7a5a12 【分析】分别计算各选项即可 【解答】解：Ax3+x32x3，该选项不正确，不符合题意； Ba12a4a8，该选项错误，不符合题意； C （a3）2a6，该选项错误，不符合题意； Da7a5a12，该选项正确，符
14、合题意 故选：D 【点评】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，考核学生的计算能力， 牢记这些法则是解题的关键 7（3 分） 如图， 已知 l1l2， 将一个含 45角的三角尺按图中方式放置， 124， 则2 的大小是 （ ） A21 B24 C30 D66 【分析】过 B 作 BDl1得到 BDl1l2，根据平行线的性质证得ABD1，2CBD，由含 45 角的三角尺锐角的度数求出CBD 的度数，即可得到2 的大小 【解答】解：过 B 作 BDl1， l1l2， BDl1l2， ABD1，2CBD， 124， ABD24， ABC45， ABD+CBD45， CBDAB
15、CABD21， 221， 故选：A 【点评】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 8 （3 分）如图，用尺规作角平分线，根据作图步骤，在说明射线 AN 是BAC 的平分线过程中，以下说法 错误的是（ ） A由作弧可知 AEAF B由作弧可知 FPEP C由 SAS 证明AFPAEP D由 SSS 证明AFPAEP 【分析】由作图可知，AFAE，PFPE 结合全等三角形的判定可得结论 【解答】解：连接 PF，PE 由作图可知，AFAE，PFPE， APAP， APFAPE（SSS） ， 故选项 A，B，D 正确， 故选：C 【点评】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定等知识，
16、解题的关键是读懂图象信息，属于中考 常考题型 9 （3 分）函数 yx2+bx+c 与 yx 的图象如图所示，有以下结论： b24c0；b+c+10；3b+c+60；当 1x3 时，x2+（b1）x+c0 其中正确的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由函数 yx2+bx+c 与 x 轴无交点，可得 b24c0；当 x1 时，y1+b+c1；当 x3 时，y 9+3b+c3；当 1x3 时，二次函数值小于一次函数值，可得 x2+bx+cx，继而可求得答案 【解答】解：函数 yx2+bx+c 与 x 轴无交点， b24c0； 故错误； 当 x1 时，y1+b+c1， 故错误； 当 x3
17、 时，y9+3b+c3， 3b+c+60； 正确； 当 1x3 时，二次函数值小于一次函数值， x2+bx+cx， x2+（b1）x+c0 故正确 故选：B 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，AFDE 于点 F，已知 DF5EF5，过 C、D、F 的O 与边 AD 交于点 G，则 DG（ ） A B C D 【分析】连接 CF、GF，由AFDEAD 可得正方形边长，再由AFGDFC 即可得到答案 【解答】解：连接 CF、GF，如图： 正方形 ABCDA 中，EADADC90，A
18、FDE， AFDEAD， ， 又DF5EF5， ADCD， 在 RtAFD 中，AF， CDF+ADF90，DAF+ADF90， DAFCDF， 四边形 GFCD 是OO 的内接四边形， FCD+DGF180， FGA+DGF180 FGAFCD， AFGDFC ， ， AG， DGADAG， 故选：D 【点评】本题考查圆的性质及应用，涉及正方形的性质、相似三角形的性质及判定等知识，解题的关键 是证明AFGDFC 二二.填空题（每小题填空题（每小题 3 分共分共 15 分）分） 11 （3 分）因式分解：2x2+xy x（2x+y） 【分析】直接提取公因式 y，进而分解因式即可 【解答】解：2
19、x2+xyx（2x+y） 故答案为：x（2x+y） 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键 12 （3 分）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的球共 10 个，从中随机摸出一个球，若摸到红色球 的概率为，则袋子中红色球的个数是 6 【分析】首先设袋子中红球有 x 个，利用概率公式求即可得方程，进而解答即可 【解答】解：设袋子中红球有 x 个，根据题意可得：， 解得：x6， 故答案为：6 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出 现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 13 （3 分）如图，在AC
20、B 中，ACB90，点 D 为 AB 的中点，将ACB 绕点 C 按顺时针方向旋转， 当 CB 经过点 D 时得到A1CB1若 AC6，BC8，则 DB1的长为 3 【分析】根据勾股定理得到 AB10，由直角三角形的性质的 CDAB5， 由旋转的性质得到 CB1BC8，于是得到结论 【解答】解：在ACB 中，ACB90，AC6，BC8， AB10， 点 D 为 AB 的中点， CDAB5， 将ACB 绕点 C 按顺时针方向旋转，当 CB 经过点 D 时得到A1CB1 CB1BC8， DB1853， 故答案为：3 【点评】此题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含 30角的直角三角形的性质
21、以及勾股定 理，此题综合性较强，难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用 14 （3 分）如图，已知等边三角形 ABC 的顶点 A，B 分别在反比例函数 y图象的两个分支上，点 C 在 反比例函数 y（k0）的图象上，当ABC 的面积最小时，k 的值为 3 【分析】当等边三角形 ABC 的边长最小时，ABC 的面积最小，点 A，B 分别在反比例函数 y图象 的两个分支上，则当 A、B 在直线 yx 上时最短，即此时ABC 的面积最小，根据反比例函数图象的对 称性可得 OAOB， 设 OAx， 则 AC2x， OCx， 根据等边三角形三线合一可证明AOEOCF， 根据相似
22、三角形面积比等于相似比的平方可得结论 【解答】解：根据题意当 A、B 在直线 yx 上时，ABC 的面积最小， 函数 y图象关于原点对称， OAOB， 连接 OC，过 A 作 AEy 轴于 E，过 C 作 CFy 轴于 F， ABC 是等边三角形， AOOC， AOC90，ACO30， AOE+COF90， 设 OAx，则 AC2x，OCx， AEy 轴，CFy 轴， AEOOFCAOE+OAE90， COFOAE， AOEOCF， （）2（）2， 顶点 A 在函数 y图象的分支上， SAOE， SOCF， 点 C 在反比例函数 y（k0）的图象上， k3， 故答案为3 【点评】本题考查了综合
23、运用反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象关于原点对称，相似三 角形的判定与性质及等边三角形等知识点，难度不大，属于中档题 15 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上的动点，以 DE 为边作正方形 DEFG，H 是 CD 的 中点连接 GH，若 GH 的最小值是 1，则正方形 ABCD 的边长为 2 【分析】连接 CG证明ADECDG（SAS） ，推出DCGDAE45，推出点 G 的运动轨迹是 射线 CG，根据垂线段最短可知，当 GHCG 时，GH 的值最小，再解直角三角形求得 CH，便可得正方 形 ABCD 的边长 【解答】解：连接 CG 四边形 ABCD 是
24、正方形，四边形 DECG 是正方形， DADC，DEDG，ADCEDG90，DAC45， ADECDG， ADECDG（SAS） ， DCGDAE45， 点 G 的运动轨迹是射线 CG， 根据垂线段最短可知，当 GHCG 时，GH 的值最小为 1， CH CD2CH2， 故答案为：2 【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形的应用，垂线段最短性质， 关键是根据垂线段最短性质确定 GH 最小值的位置 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，其中第小题，其中第 16 题题 5 分，第分，第 17 题题 6 分，第分，第 18 题题 8 分，第分，第 19 题题
25、 8 分分,第第 20 题题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22 题题 10 分，共分，共 55 分分) 16 （5 分）计算：2 1+sin30+ （tan60）0 【分析】利用零指数幂、负整数指数幂法则以及二次根式的性质计算即可得到结果 【解答】解：原式 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 17 （6 分）解方程： （1）； （2）x2+6x20 【分析】 （1）先把分式方程整理成整式方程，再按照解整式方程的步骤进行计算，最后再进行检验，即 可得出答案 （2）根据配方法的步骤先把2 移到等号的右边配方，再进行配方，求出 x 的值 【解答】解： （1）
26、， 5（x1）6x， 5x6x5， x5， x5， 经检验 x5 是原方程的根， 则原方程的解是 x5； （2）x2+6x20 x2+6x2， x2+6x+92+9， （x+3）211， x+3， x13，x23+； 【点评】此题考查了解分式方程和用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤和解分式 方程的步骤，注意解分式方程一定要验根 18 （8 分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“经典雅韵”诵读比赛活动，现随机抽取部分同学的成 绩进行统计，并绘制如下两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列各题： （1）直接写出 a 的值，a 30 ，并把频数分布直方图补充完整 （2）
27、求扇形 B 的圆心角度数 （3）如果全校有 2000 名学生参加这次活动，90 分以上（含 90 分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学 生有多少人？ 【分析】 （1）先根据 E 等级人数及其占总人数的比例可得总人数，再用 D 等级人数除以总人数可得 a 的 值，用总人数减去其他各等级人数求得 C 等级人数可补全图形； （2）用 360乘以 A 等级人数所占比例可得； （3）用总人数乘以样本中 E 等级人数所占比例 【解答】解： （1）被调查的总人数为 1050（人） ， D 等级人数所占百分比 a%100%30%，即 a30， C 等级人数为 50（5+7+15+10）13 人， 补全图形如下：
28、 故答案为：30； （2）扇形 B 的圆心角度数为 36050.4； （3）估计获得优秀奖的学生有 2000400 人 【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必 要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占 总体的百分比大小 19 （8 分）如图，RtABC 中，ABC90，以 AB 为直径作O，点 D 为O 上一点，且 CDCB，连 接 DO 并延长交 CB 的延长线于点 E （1）判断直线 CD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 BE4，DE8，求 AC 的长 【分析】 （1）欲证明 CD
29、 是切线，只要证明 ODCD，利用全等三角形的性质即可证明； （2）设O 的半径为 r在 RtOBE 中，根据 OE2EB2+OB2，可得（8r）2r2+42，推出 r3，由 tanE，推出，可得 CDBC6，再利用勾股定理即可解决问题； 【解答】 （1）证明：连接 OC CBCD，COCO，OBOD， OCBOCD， ODCOBC90， ODDC， DC 是O 的切线 （2）解：设O 的半径为 r 在 RtOBE 中，OE2EB2+OB2， （8r）2r2+42， r3， tanE， ， CDBC6， 在 RtABC 中，AC6 【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角
30、三角函数等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，属于中考常考题型 20 （8 分）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋兴趣小组使用，其中购买 象棋用了 210 元，购买围棋用了 378 元，已知每副围棋比每副象棋贵 8 元 （1）求每副围棋和象棋各是多少元？ （2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共 50 副，且再次购买的费用不超过 600 元，则该校最多可再 购买多少副围棋？ 【分析】 （1）设每副围棋 x 元，则每副象棋（x8）元，根据 210 元购买象棋数量378 元购买围棋数 量列出方程并解答； （2）设购买围棋 m 副，则购买象棋（50m）副，根据题意列出不
31、等式并解答 【解答】解： （1）设每副围棋 x 元，则每副象棋（x8）元， 根据题意，得 解得 x18 经检验 x18 是所列方程的根 所以 x810 答：每副围棋 18 元，每副象棋 10 元； （2）设再次购买围棋 m 副，则购买象棋（50m）副， 根据题意，得 18m+10（50m）600 解得 m12.5 因 m 只能取整数， 故 m 最大值是 12 答：该校最多可再购买 12 副围棋 【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适 的数量关系是解决问题的关键 21 （10 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，
32、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）直接写出抛物线的解析式： yx2+2x+3 ； （2）点 D 为第一象限内抛物线上的一动点，作 DEx 轴于点 E，交 BC 于点 F，过点 F 作 BC 的垂线与 抛物线的对称轴和 y 轴交于点 G、H，设点 D 的横坐标为 m 求 DF+HF 的最大值； 连接 EG，若GEH45时，求 m 的值 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）设 D（m，m2+2m+3） ，F（m，m+3） ，则（m2+2m+3）（ m+3）+2m，进而求解； 由 GEH EFH ， EHF是 公 共 角 得 到 EHG FHE ， 则， 得 到 ，进而求解 【
33、解答】解： （1）设抛物线的表达式为 ya（xx1） （xx2） ， 将点 A、B 的坐标代入上式得：y（x+1） （x3）x2+2x+3， 故答案为：yx2+2x+3； （2）当 x0 时，yx2+2x+33， 点 C（0，3） 设直线 BC 的解析式为 ymx+n， 把 B（3，0） ，C（0，3）代入，得，解得， BC 的解析式为：yx+3 OBOC3， OBCOCB45 作 FKy 轴于点 K， 又FHBC， KFHKHF45， 设 D（m，m2+2m+3） ，F（m，m+3） ， （m2+2m+3）（m+3）+2m， 整理得： 由题意有 0m3，且，10， 当时，取最大值，的最大值为
34、； 作 GMy 轴于点 M，记直线 FH 与 x 轴交于点 N FKy 轴，DEx 轴，KFH45， EFHENF45， EFEN KHFONH45， OHON yx2+2x+3 的对称轴为 x1， MG1， KHF45， GEH45， GEHEFH 又EHF 是公共角， EHGFHE， ， ， 在 RtONH 中，OHON|OEEN|OEEF|m（m+3）|2m3|，OEm， 在 RtOEH 中， HE2OE2+OH2m2+（2m3）25m212m+9， 5m212m+92m， 解得 m11， 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合 的思想把
35、代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 22 （10 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 ABCO 是矩形，点 A（0，2） ，C（2，0） ，点 D 是对角线 AC 上一点（不与 A、C 重合） ，连接 BD，作 DEBD，交 x 轴于点 E，以线段 DE、DB 为邻边 作矩形 BDEF （1）是否存在这样的点 D，使得DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的长；若不存在，请说明理 由； （2）求证：； （3）设 ADx，矩形 BDEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并求出当 x 取何值时，y 有最小值？ 【分析】 （1
36、）由锐角三角函数可求ACO30，ACB60，分两种情况讨论，由等腰三角形的性 质可求解； （2）通过证明BMDDNE，可得结论； （3）由勾股定理可求 BD2的值，由面积公式可求解析式，即可求解 【解答】解： （1）存在；理由如下： 点 A（0，2） ，C（2，0） ， OA2，OC2， tanACO， ACO30，ACB60， 分两种情况： 当 E 在线段 CO 上时，DEC 是等腰三角形，观察图像可知，只有 EDEC，如图 1 所示： DCEEDC30， DBCBCD60， DBC 是等边三角形， DCBC2， 在 RtAOC 中，ACO30，OA2， AC2AO4， ADACCD422，
37、 当 AD2 时，DEC 是等腰三角形； 当 E 在 OC 的延长线上时，DCE 是等腰三角形，只有 CDCE，DBCDECCDE15， 如图 2 所示： ABDADB75， ABAD2， 综上所述，满足条件的 AD 的值为 2 或 2； （2）证明：过点 D 作 MNAB 交 AB 于 M，交 OC 于 N，如图 3 所示： 设 DNa， ACO30， ， BDE90， BDM+NDE90，BDM+DBM90， DBMEDN， BMDDNE90， BMDDNE， ； （3）作 DHAB 于 H，如图 4 所示： 在 RtADH 中，ADx，DAHACO30， DHADx， BH2x， 在 RtBDH 中，BD2， 由（2）得， ， 矩形 BDEF 的面积为， ， 0， x3 时，y 有最小值为， 即当点 D 运动到距 A 点的距离为 3 时，y 有最小值 【点评】本题是四边形综合题，考查了锐角三角函数，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三 角形的性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键
