1、2021 年江苏省常州市溧阳市部分学校中考数学一模试卷年江苏省常州市溧阳市部分学校中考数学一模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，满分分，满分 16 分）分） 1 （2 分）3 的倒数是（ ） A B C3 D3 2 （2 分）下列运算正确的是（ ） A3a2a6a Ba8a4a2 C3（a1）33a D （a3）2a9 3 （2 分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了 10 棵，每棵产量的平均数 （单 位：千克）及方差 S2（单位：千克 2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 S2 2.1 1.9 2 1.9 今年准
2、备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 4 （2 分）均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度 h 与时间 t 的函数关系如图所示，则 该容器是下列四个中的（ ） A B C D 5 （2 分）如图，ABCD，ADCD，150，则2 的度数是（ ） A55 B60 C65 D70 6 （2 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，若O 的半径为，AC2，则 sinB 的值是 （ ） A B C D 7 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，D 分别在 x 轴、y 轴上，对角线 BDx
3、轴， 反比例函数 y（k0，x0）的图象经过矩形对角线的交点 E若点 A（2，0） ，D（0，4） ，则 k 的 值为（ ） A16 B20 C32 D40 8 （2 分）如图，A（1，1） ，B（1，4） ，C（5，4） ，点 P 是ABC 边上一动点，连接 OP，以 OP 为 斜边在 OP 的右上方作直角三角形，其中OQP90，POQ30，当点 P 在ABC 的三条边上运 动一周时，点 Q 运动的路径长为（ ） A4 B6 C4 D6 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分分.不需写出解答过程，请把答案直接填在题中横线不需写
4、出解答过程，请把答案直接填在题中横线 上）上） 9 （2 分）计算： 10 （2 分）若 2x3，2y5，则 2x+y 11 （2 分）分解因式：a2bb 12 （2 分）中国“神威太湖之光”计算机最高运行速度为 1250 000 000 亿次/秒，将数 1250 000 000 用科 学记数法可表示为 13 （2 分）在平面直角坐标系中，点 M（a，b）与点 N（3，1）关于 x 轴对称，则 a+b 的值是 14 （2 分）若 2a3b1，则代数式 4a26ab+3b 的值为 15（2分） 一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm， 圆心角为120的扇形， 则此圆锥底面圆的半径为 cm 16 （2
5、 分）二次函数 yax2+bx+c，自变量 x 与函数 y 的对应值如下表则当3x3 时，y 满足的范围 是 x 3 1 1 3 y 4 2 4 2 17 （2 分）如图，已知直线 l：yx，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的 垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2； 按此作法继续下去，则点 A2013的坐标为 18 （2 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，BC4，AC10，点 D 是 AC 上的一个动点，以 CD 为 直径作圆 O，连接 BD 交圆 O
6、于点 E，则 AE 的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）分，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （6 分）计算： 20 （8 分）解方程组和不等式组求整数解 （1）解方程组； （2）解不等式组，并求此不等式组的整数解 21 （8 分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，ABAD，ACAE，BAEDAC求证：EC 22 （8 分）为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别： A 表示“很喜欢” ，B 表示“喜欢” ，C 表示“一
7、般” ，D 表示“不喜欢” ，调查他们对汉剧的喜爱情况， 将结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1） 这次共抽取 名学生进行统计调查， 扇形统计图中， D 类所对应的扇形圆心角的大小为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有 1500 名学生，估计该校表示“喜欢”的 B 类的学生大约有多少人？ 23 （8 分）河西某滨江主题公园有 A、B 两个出口，进去游玩的甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离 开，求他们三人选择同一个出口离开的概率 24 （8 分） 卧龙大桥横跨汉江， 某校数学兴趣小组对竖立的索塔在桥面以上的部分 （上塔柱 BC 和塔冠 BE） 进
8、行了研究如图所示，最外端的拉索 AB 的底端 A 到塔柱底端 C 的距离为 121m，拉索 AB 与桥面 AC 的夹角为 37， 从点 A 出发沿 AC 方向前进 23.5m 到达点 D 处， 在 D 处测得塔冠顶端 E 的仰角为 45， 请你求出塔冠 BE 的高度（结果精确到 0.1m） 参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，1.4 25 （8 分）已知一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B（5，0） ， 若 OBAB，且 SOAB （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）直接写出当 x0 时，kx+b的解集；
9、 （3）若点 P 为 x 轴上一点，ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形，求 P 的坐标 26 （10 分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形” 例如图 1，图 2，图 3 中，AF、BE 是 ABC 的中线，AFBE，垂足为 P像ABC 这样的三角形均为“中垂三角形” 设 BCa，ACb， ABc （1）如图 1，当ABE45，c2时，a ，b （2）如图 2，当ABE30，c4 时，求 a 和 b 的值； （3）请你观察（1）和（2）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证明你 发现的关系式 27 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与
10、x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，经过点 C 的直线 l 与该抛物线交于另一点 D，并且直线 lx 轴，点 P（m， y1）为该抛物线上一个动点，点 Q（m，y2）为直线 l 上一个动点 （1）当 m0，且 y1y2时，连接 AQ，BD，说明：四边形 ABDQ 是平行四边形； （2）当 m0，连接 AQ，线段 AQ 与线段 OC 交于点 E，OEEC，且 OEEC2，连接 PQ，求线段 PQ 的长； （3）连接 AC，PC，试探究：是否存在点 P，使得PCQ 与BAC 互为余角？若存在，求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由 28 （10 分）如
11、图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 yx+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B， 点 C 从点 B 出发沿射线 BO 运动，点 D 在射线 BA 上，且 BDOC，以 CD 为直径作Q，设点 C（0， m） （1）求线段 AB 的长； （2）当点 Q 在 x 轴上方且Q 与 x 轴相切时，求 m 的值； （3）若直径 CD 将Q 分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在ABO 的内部时（含角的边上） ，直接写 出 m 的取值范围 2021 年江苏省常州市溧阳市部分学校中考数学一模试卷年江苏省常州市溧阳市部分学校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一
12、、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，满分分，满分 16 分）分） 1 （2 分）3 的倒数是（ ） A B C3 D3 【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数 【解答】解：3（）1， 3 的倒数是 故选：A 【点评】主要考查倒数的概念及性质倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数， 属于基础题 2 （2 分）下列运算正确的是（ ） A3a2a6a Ba8a4a2 C3（a1）33a D （a3）2a9 【分析】根据单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质，对各选项分析 判断后利用排除法求解 【解答】解：A
13、、3a2a6a2，故本选项错误； B、a8a4a4，故本选项错误； C、3（a1）33a，正确； D、 （a3）2a6，故本选项错误 故选：C 【点评】本题考查了单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质熟练掌 握法则是解题的关键 3 （2 分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了 10 棵，每棵产量的平均数 （单 位：千克）及方差 S2（单位：千克 2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 S2 2.1 1.9 2 1.9 今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】先
14、比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定 【解答】解：因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大， 而乙组的方差比甲组的小， 所以乙组的产量比较稳定， 所以乙组的产量既高又稳定， 故选：B 【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方 差方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小； 反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好也考查了平均数的意义 4 （2 分）均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度 h 与时间 t 的函数关系如图所示，则 该容器是下列四个中的（ ） A B C
15、 D 【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解 【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细由图可得 上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径 故选：D 【点评】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象 5 （2 分）如图，ABCD，ADCD，150，则2 的度数是（ ） A55 B60 C65 D70 【分析】直接利用等腰三角形的性质结合平行线的性质得出答案 【解答】解：ADCD，150， CADACD65， ABCD， 2ACD65 故选：C 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及平
16、行线的性质，正确得出ACD65是解题关键 6 （2 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，若O 的半径为，AC2，则 sinB 的值是 （ ） A B C D 【分析】求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接 DC根据同弧所对的圆周角相等， 就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题 【解答】解：连接 DC 根据直径所对的圆周角是直角，得ACD90 根据同弧所对的圆周角相等，得BD sinBsinD 故选：A 【点评】综合运用了圆周角定理及其推论注意求一个角的锐角三角函数时，能够根据条件把角转化到 一个直角三角形中 7 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，矩
17、形 ABCD 的顶点 A，D 分别在 x 轴、y 轴上，对角线 BDx 轴， 反比例函数 y（k0，x0）的图象经过矩形对角线的交点 E若点 A（2，0） ，D（0，4） ，则 k 的 值为（ ） A16 B20 C32 D40 【分析】根据平行于 x 轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设 B（x，4） 利用矩形的性质得出 E 为 BD 中点，DAB90根据线段中点坐标公式得出 E（x，4） 由勾股定理得出 AD2+AB2BD2， 列出方程 22+42+ （x2） 2+42x2， 求出 x， 得到 E 点坐标， 代入 y ， 利用待定系数法求出 k 【解答】解：BDx 轴，D（0，4） ， B、
18、D 两点纵坐标相同，都为 4， 可设 B（x，4） 矩形 ABCD 的对角线的交点为 E， E 为 BD 中点，DAB90 E（x，4） DAB90， AD2+AB2BD2， A（2，0） ，D（0，4） ，B（x，4） ， 22+42+（x2）2+42x2， 解得 x10， E（5，4） 反比例函数 y（k0，x0）的图象经过点 E， k5420 故选：B 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知 识，求出 E 点坐标是解题的关键 8 （2 分）如图，A（1，1） ，B（1，4） ，C（5，4） ，点 P 是ABC 边上一动点，连接 OP，以
19、 OP 为 斜边在 OP 的右上方作直角三角形，其中OQP90，POQ30，当点 P 在ABC 的三条边上运 动一周时，点 Q 运动的路径长为（ ） A4 B6 C4 D6 【分析】如图，由题意，点 P 在ABC 的三条边上运动一周时，点 Q 运动的轨迹是MGH利用相似 三角形的性质求出 MG，GH，MH 即可解决问题 【解答】解：如图，由题意，点 P 在ABC 的三条边上运动一周时，点 Q 运动的轨迹是MGH A（1，1） ，B（1，4） ，C（5，4） ， AB3，BC4，AC5， ，AOBMOG， AOBMOG， ， MG， 同法可得，GHBC2，MHAC， 点 Q 运动的路径长+2+6
20、， 故选：D 【点评】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点 Q 的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分分.不需写出解答过程，请把答案直接填在题中横线不需写出解答过程，请把答案直接填在题中横线 上）上） 9 （2 分）计算： 4 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则计算得出答案 【解答】解：原式3+1 4 故答案为：4 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简、二次根式乘法运算，正确掌握二次根式乘法运算法则 是解题关键 10 （
21、2 分）若 2x3，2y5，则 2x+y 15 【分析】由 2x3，2y5，根据同底数幂的乘法可得 2x+y2x2y，继而可求得答案 【解答】解：2x3，2y5， 2x+y2x2y3515 故答案为：15 【点评】此题考查了同底数幂的乘法此题比较简单，注意掌握公式的逆运算 11 （2 分）分解因式：a2bb b（a+1） （a1） 【分析】首先提取公因式 b，进而利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：a2bb b（a21） b（a+1） （a1） 故答案为：b（a+1） （a1） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键 12 （2 分）中国“神
22、威太湖之光”计算机最高运行速度为 1250 000 000 亿次/秒，将数 1250 000 000 用科 学记数法可表示为 1.25109 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于等于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数 【解答】解：将数 1250 000 000 用科学记数法可表示为 1.25109 故答案为：1.25109 【点评】 此题考查了科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为 a10n的形式， 其中
23、1|a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 13 （2 分）在平面直角坐标系中，点 M（a，b）与点 N（3，1）关于 x 轴对称，则 a+b 的值是 4 【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出 a，b 的值，进而得出答案 【解答】解：点 M（a，b）与点 N（3，1）关于 x 轴对称， a3，b1， 则 a+b 的值是：4 故答案为：4 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键 14 （2 分）若 2a3b1，则代数式 4a26ab+3b 的值为 1 【分析】由已知字母 a、b 的系数为 2、3，代数式中前二项的北系
24、娄秋 4、6，提取此二项的公因式 2a 后，代入求值变形得2a+3b，与已知条件互为相反数，可求出代数式的值为 1 【解答】解：2a3b1， 4a26ab+3b 2a（2a3b）+3b 2a（1）+3b 2a+3b （2a3b） （1） 1 故答案为 1 【点评】本题综合考查了因式分解中提取公因式法的应用，分组法和整体代入求值法和相反数等相关知 识点，重点掌握提取公因式法 15（2分） 一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm， 圆心角为120的扇形， 则此圆锥底面圆的半径为 3 cm 【分析】设该圆锥底面圆的半径为 rcm，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆 锥底面的周长，扇形
25、的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 2r，然后解方程即可 【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为 r， 根据题意得 2r，解得 r3， 即该圆锥底面圆的半径为 3 故答案为：3 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长 16 （2 分）二次函数 yax2+bx+c，自变量 x 与函数 y 的对应值如下表则当3x3 时，y 满足的范围 是 4y4 x 3 1 1 3 y 4 2 4 2 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可根据 x3 及 x3 时 y 的值，结合二次函数图象的顶点 坐标，即可找出3x3 时 y 的取值
26、范围 【解答】解：从表格看出，函数的对称轴为直线 x1，顶点为（1，4） ，函数有最大值 4， 抛物线开口向下，当 x3 时，取最小值4， 当3x3 时，4y4， 故答案为，4y4 【点评】 本题考查了二次函数的性质， 二次函数图象上点的坐标特征， 解题的关键是学会看懂表格信息， 灵活运用所学知识解决问题，属于基础题 17 （2 分）如图，已知直线 l：yx，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的 垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2； 按此作法继续下去，则点 A2
27、013的坐标为 （0，42013）或（0，24026） 【分析】根据所给直线解析式可得 l 与 x 轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点 A1，A2的坐标，通过 相应规律得到 A2013坐标即可 【解答】解：直线 l 的解析式为：yx， l 与 x 轴的夹角为 30， ABx 轴， ABO30， OA1， AB， A1Bl， ABA160， AA13， A1（0，4） ， 同理可得 A2（0，16） ， ， A2013纵坐标为：42013， A2013（0，42013） 故答案为： （0，42013）或（0，24026） 【点评】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与
28、x 轴夹角是解决本题的 突破点；根据含 30的直角三角形的特点依次得到 A、A1、A2、A3的点的坐标是解决本题的关键 18 （2 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，BC4，AC10，点 D 是 AC 上的一个动点，以 CD 为 直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为 22 【分析】连接 CE，取 BC 的中点 F，作直径为 BC 的F，连接 EF，AF，证明CEB90，说明 E 点 始终在F 上，再由在整个变化过程中，AEAFEF，当 A、E、F 三点共线时，AE 最最小值，求出此 时的值便可 【解答】解：连接 CE，取 BC 的中点 F，作直径为 BC
29、的F，连接 EF，AF， BC4， CF2， ACB90，AC10， AF， CD 是O 的直径， CEDCEB90， E 点在F 上， 在 D 的运动过程中，AEAFEF，且 A、E、F 三点共线时等号成立， 当 A、E、F 三点共线时，AE 取最小值为 AFEF22 故答案为：22 【点评】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的三边关系，关键是确定 AE 取最小值的位置 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）分，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （6
30、分）计算： 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别 化简得出答案 【解答】解：原式8+42+1+4 8+41+1+4 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20 （8 分）解方程组和不等式组求整数解 （1）解方程组； （2）解不等式组，并求此不等式组的整数解 【分析】 （1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可 【解答】解： （1）方程组整理得：， +得：6y6，即 y1， 将 y1 代入得：x3， 则方程组的解为； （2）， 由得：x； 由得：x4， 不等
31、式组的解集为x4， 则不等式组的整数解为 1，2，3 【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题 的关键 21 （8 分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，ABAD，ACAE，BAEDAC求证：EC 【分析】由“SAS”可证ABCADE，可得CE 【解答】证明：BAEDAC BAE+CAEDAC+CAE CABEAD，且 ABAD，ACAE ABCADE（SAS） CE 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明CABEAD 是本题的关键 22 （8 分）为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别： A
32、 表示“很喜欢” ，B 表示“喜欢” ，C 表示“一般” ，D 表示“不喜欢” ，调查他们对汉剧的喜爱情况， 将结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1） 这次共抽取 50 名学生进行统计调查， 扇形统计图中， D 类所对应的扇形圆心角的大小为 72 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有 1500 名学生，估计该校表示“喜欢”的 B 类的学生大约有多少人？ 【分析】 （1）这次共抽取：1224%50（人） ，D 类所对应的扇形圆心角的大小 36072； （2）A 类学生：502312105（人） ，据此补充条形统计图； （3）该校表示“喜欢”的 B 类
33、的学生大约有 1500690（人） 【解答】解： （1）这次共抽取：1224%50（人） ， D 类所对应的扇形圆心角的大小 36072， 故答案为 50，72； （2）A 类学生：502312105（人） ， 条形统计图补充如下 （3）该校表示“喜欢”的 B 类的学生大约有 1500690（人） ， 答：该校表示“喜欢”的 B 类的学生大约有 690 人； 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要 的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总 体的百分比大小 23 （8 分）河西某滨江主题公园有 A、
34、B 两个出口，进去游玩的甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离 开，求他们三人选择同一个出口离开的概率 【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解 【解答】解：根据题意画出树状图如下： 甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开的所有可能出现的结果有： （AAA） 、 （AAB） 、 （ABA） 、 （ABB） 、 （BAA） 、 （BAB） 、 （BBA） 、 （BBB） ，共有 8 种， 它们出现的可能性相同， 所有的结果中， 满足 “三人选择同一个出口离开” （记为事件 A） 的结果有 2 种， 所以 P（A） 【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情
35、况数之比 24 （8 分） 卧龙大桥横跨汉江， 某校数学兴趣小组对竖立的索塔在桥面以上的部分 （上塔柱 BC 和塔冠 BE） 进行了研究如图所示，最外端的拉索 AB 的底端 A 到塔柱底端 C 的距离为 121m，拉索 AB 与桥面 AC 的夹角为 37， 从点 A 出发沿 AC 方向前进 23.5m 到达点 D 处， 在 D 处测得塔冠顶端 E 的仰角为 45， 请你求出塔冠 BE 的高度（结果精确到 0.1m） 参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，1.4 【分析】根据锐角三角函数列式计算即可 【解答】解：在 RtACB 中，AC121m，A37， BCAC
36、tanA1210.7590.75（m） ， 由题意可知：AD23.5m， CDACAD97.5（m） ， 在 RtDCE 中，EDC45， ECCD97.5（m） ， BEECBC97.590.756.756.8（m） ， 答：塔冠 BE 的高度约为 6.8m 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数 的定义是解题的关键 25 （8 分）已知一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B（5，0） ， 若 OBAB，且 SOAB （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）直接写出当 x0 时，kx+b的解集
37、； （3）若点 P 为 x 轴上一点，ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形，求 P 的坐标 【分析】 （1）先利用AOB 的面积求出 AM，再用勾股定理求出 BM，进而得出 OM，求出点 A 的坐标， 最后用待定系数法，即可得出结论； （2）直接由图象，即可得出结论； （3）先判断出 APBP，设 APBP，进而表示出 PM 最后用勾股定理求出 n，即可得出结论 【解答】解： （1）如图 1，过点 A 作 AMx 轴于 M， B（5，0） ， OB5， SOAB， OBAM， AM3， OBAB， AB5， 在 RtAMB 中，根据勾股定理得，BM4， OMOB+BM9， A（9，3） ，
38、点 A 在反比例函数 y的图象上， m9327， 反比例函数的表达式为 y； 点 A（9，3） ，B（5，0）在一次函数 ykx+b 的图象上， ， ， 一次函数的表达式为 yx； （2）由图象知，kx+b的解集为 0 x9； （3）如图 2， 过点 A 作 AMx 轴于 M， ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形， BPAP， 设 BPAPn， 由（1）知，BM4， PMBMBP4n， 在 RtAMP 中，根据勾股定理得，AM2+PM2AP2， 32+（4n）2n2， n， OPOB+BP5+， P（，0） 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了三角形的面积公式，待定系数法，等腰三角形
39、的性质， 勾股定理，求出点 A 坐标是解本题的关键 26 （10 分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形” 例如图 1，图 2，图 3 中，AF、BE 是 ABC 的中线，AFBE，垂足为 P像ABC 这样的三角形均为“中垂三角形” 设 BCa，ACb， ABc （1）如图 1，当ABE45，c2时，a 2 ，b 2 （2）如图 2，当ABE30，c4 时，求 a 和 b 的值； （3）请你观察（1）和（2）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证明你 发现的关系式 【分析】 （1）先判断ABP 是等腰直角三角形，再得到EFP 也是等腰直角三角形，最后计算
40、即可； （2）连接 EF，则 EF 是ABC 的中位线根据三角形中位线定理可得 EF 的值，根据含 30角的直角 三角形的性质求出 AP、BP、PE、PF，最后利用勾股定理即可求解； （3）先设 APm，BPn，表示出线段 PE，PF，最后利用勾股定理即可 【解答】解： （1）如图 1，连接 EF，则 EF 是ABC 的中位线， EFAB， ABE45，AEEF ABP 是等腰直角三角形， EFAB， EFP 也是等腰直角三角形， APBP2，EPFP1， AEBF， aBC2BF2，bAC2AE2， 故答案为：2，2； （2）如图 2，连接 EF，则 EF 是ABC 的中位线 ABE30，A
41、EBF，AB4， AP2，BPAP2，FEP30， EFAB，EFAB2， PFEF1，PEPF， AE，BF， BCa2BF2，bAC2AE2； （3）a2+b25c2， 证明：如图 3，连接 EF， 设 APm，BPn， 则 c2AB2m2+n2， EFAB，EFAB， PEBPn，PFAPm， AE2AP2+PE2m2+n2，BF2PF2+BP2m2+n2， b2AC24AE24m2+n2，a2BC24BF24n2+m2 a2+b25（m2+n2）5c2 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线 定理、菱形的性质等知识，熟练掌握三角形中位
42、线定理和勾股定理是解本题的关键 27 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，经过点 C 的直线 l 与该抛物线交于另一点 D，并且直线 lx 轴，点 P（m， y1）为该抛物线上一个动点，点 Q（m，y2）为直线 l 上一个动点 （1）当 m0，且 y1y2时，连接 AQ，BD，说明：四边形 ABDQ 是平行四边形； （2）当 m0，连接 AQ，线段 AQ 与线段 OC 交于点 E，OEEC，且 OEEC2，连接 PQ，求线段 PQ 的长； （3）连接 AC，PC，试探究：是否存在点 P，使得PCQ 与
43、BAC 互为余角？若存在，求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）求出点 D（3，3） ，求出 CQ2，DQ5，则 ABDQ，由平行四边形的判定可得出答案； （2）证明AOEQCE，得出，求出 QC2，则可得出答案； （3）分两种不同的情况：当点 P 在直线 l 上方时，当点 P 在直线 l 下方时，由直角三角形的性质得 出 tanPCQtanACO，列出方程求出答案即可 【解答】解： （1）证明：当 y0 时，x30， 解得 x11，x24， A（1，0） ，B（4，0） ， AB5 当 x0 时，y3， C（0，3） 直线 lx 轴， 直线 l 的解析式为 y3 x33
44、， 解得 x30，x43， D（3，3） ， CD3 点 Q（m，y2）在直线 l 上， y23 y1， y1， m0，点 P（m，y1）在该抛物线上， ， 解得 m2 或 m5（舍去） 直线 lx 轴， CQ2， DQ5， ABDQ，ABDQ， 四边形 ABDQ 是平行四边形 （2）P，Q 两点的横坐标都是 m， 直线 lx 轴， PQ|y1y2|m|， 设 OEn，则 EC3n， n（3n）2， 解得 n1 或 n2 OEEC， OE1，EC2 直线 lx 轴， OAECQE，AOEQCE， AOEQCE， ， QC2， m0， m2， PQ； （3）假设存在点 P，使得PCQ 与BAC
45、互为余角，即PCQ+BAC90 BAC+ACO90， PCQACO OA1，OC3， tanPCQtanACO， 连接 PQ 直线 lx 轴，直线 PQy 轴， PCQ 是直角三角形，且CQP90 tanPCQ， 当点 P 在直线 l 上方时，PQy1y2m， （i）若点 P 在 y 轴左侧，则 m0， QCm m（m） ， 解得 m10（舍去） ，m2（舍去） （ii）若点 P 在 y 轴右侧，则 m0， QCm mm， 解得 m30（舍去） ，m4 y1y2， y1， ； 当点 P 在直线 l 下方时，m0， QCm，PQy2y1m， mm， 解得 m50（舍去） ，m6， y2y1， y
46、1， 综上，存在点，使得PCQ 与BAC 互为余角 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定，相似三角 形的判定与性质，二次函数的性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及坐标与 图形的性质 28 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 yx+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B， 点 C 从点 B 出发沿射线 BO 运动，点 D 在射线 BA 上，且 BDOC，以 CD 为直径作Q，设点 C（0， m） （1）求线段 AB 的长； （2）当点 Q 在 x 轴上方且Q 与 x 轴相切时，求 m 的值； （3）若
47、直径 CD 将Q 分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在ABO 的内部时（含角的边上） ，直接写 出 m 的取值范围 【分析】 （1）对于 yx+3，令 x0，则 y3，令 y0，则 x4，即点 A、B 的坐标分别为： （4，0） 、 （0，3） ，即可求解； （2） xDBDsinABO， 同理 yD3m， 故点 D （m， 3m） ， 由中点公式得点 Q 的坐标为 （m， ） ； 当点 Q 在 x 轴上方且Q 与 x 轴相切时，yQCD，即 CD3，即可求解； （3）由题意得：即只有 CD 下方的半圆可能在ABO 的内部，则 BEBD，BFBC；再分 m0、m0 两种情况分别求解即可 【解答】解： （1）对于 yx+3，令 x0，则 y3，令 y0，则 x4， 即点 A、B 的坐标分别为： （4，0） 、 （0，3） ， AB5； （2）由点 A、B 的坐标知，OA4，OB3， tanABO，则 sinABO，cosABO， BDOCm， xDBDsinABOmm，同理 yD3BDcosABO3m， 故点 D（m，3m） ； 点 Q 是 CD 的中点， 由中点公式得，点 Q 的坐标为（m，） ， 当点 Q 在 x 轴上方且Q 与 x 轴相切时，yQCD， CD3， 故
