1、2021 年福建省莆田市中考数学二检试卷年福建省莆田市中考数学二检试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 1 （4 分）计算（1）2021的结果（ ） A2021 B1 C1 D2021 2 （4 分）如图是一个由 6 个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A B C D 3 （4 分）据统计，2020 年莆田市常住人口约为 2910000 人，将 2910000 用科学记数法表示为（ ） A2.91105 B2.
2、91106 C29.1105 D0.291107 4 （4 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 5 （4 分）下列运算中正确的是（ ） Aa5+a52a10 B3a32a26a6 Ca6a2a3 D （2ab）24a2b2 6 （4 分）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，连接 AC、AD、BD，若CAB35，则ADC 的 度数为（ ） A35 B55 C65 D70 7 （4 分） 九章算术记载了这样一道题： “以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳 多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那
3、么每等份井 外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺问绳长和井深各多少尺？假设井深为 x 尺，则符合题意的方程应为（ ） A B3x+44x+1 C D3（x+4）4（x+1） 8 （4 分）科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的程序行走，那么该机器 人所走的总路程为（ ） A6 米 B12 米 C16 米 D20 米 9 （4 分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC若ABC 的三边所围成的区域面积记为 S1，黑色部 分面积记为 S2，其余部分面
4、积记为 S3，则下列关系式正确的是（ ） AS1S2 BS2S3 CS2+S3S1 DS22+S32S12 10 （4 分）二次函数 yax2+bx+c 的最大值为 ab+c，且 M（4，c） ，N（3，m） ，P（1，m） ，Q（2， n） ，R（3，n+1）中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是（ ） A这两点一定是 M 和 N B这两点一定是 Q 和 R C这两点可能是 M 和 Q D这两点可能是 P 和 Q 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分）如果一个扇形的圆心角为 90，弧长为 ，
5、那么该扇形的半径为 12 （4 分）若 x，则 4x2+4x 13 （4 分）为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获 30 条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些 鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞 200 条鱼，如果在这 200 条中有 5 条鱼是有记号的，则鱼塘中的鱼估计大 约有 条 14 （4 分）某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标 A 的位置为（3，30） ，目标 B 的位置为 （2，180） ，目标 C 的位置为（4，240） ，则图中目标 D 的位置可记为 15 （4 分）莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四海在湄洲妈祖庙的正殿 前方上建造了一尊巨型
6、石雕妈祖像，面向台湾海峡，为海峡两岸同胞共同瞻仰小颖想测量雕像的高， 她先测得雕像的影长为 4.1m， 并在同一时刻测得一根长为 1.4m 的竹竿的影长是 0.4m 请你帮她算一下， 石雕妈祖像高是 m 16 （4 分）在平面直角坐标系中，若原点 O 关于直线 yx+k 的对称点 O在双曲线 y上，则 k 的值 为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 9 小题，共小题，共 86 分解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤 17 （8 分）计算：20210+|1|2cos45 18 （8 分）如图，点 C，E，F，B 在
7、同一直线上，ABCD，AEDF，下列 3 个条件：AD；BF CE；AEDF，选出能推出 ABCD 的一个条件已知：如图，ABCD，AEDF， （写 出一种情况即可） ；求证：ABCD 19 （8 分）先化简，再求值：，其中 x3 20 （8 分）如图，ABC 中，ABAC，BAC40，将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段 AD， 连接 BD （1）根据题意，补全图形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法） ； （2）求DBC 的度数 21 （8 分）2021 年 3 月 23 日，莆田市校园读书月活动暨第一届校园阅读论坛正式启动，开启了莆田市“书 香校园、智慧阅读”2.0 版的新篇
8、章某初中校组织全校 1000 名学生参加“数学文化知识竞赛” ，从全校 随机抽取 100 名学生调查学生的答题情况，得到成绩统计表： 分数段 50 x60 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 频数 6 10 30 50 4 （1）根据上表数据，下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号） ； 众数落在 80 x90 分数段 中位数落在 80 x90 分数段 平均数落在 80 x90 分数段 极差落在 30 x50 分数段 （2）学校从 90 x100 分数段的 4 名学生中随机抽取 2 名进行学习交流已知 4 名学生中，1 名来自 七年级，1 名来自八年级，2 名来自九年
9、级，求抽到的 2 名学生来自不同年级的概率 22 （10 分）如图，ABC 中，以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D，ABCD （1）求证：AC 为O 的切线； （2）在 BC 上取点 E，使 BEBD，过点 E 作 EFAB 交 AC 于点 F若 EFBD，求 sinA 的值 23 （10 分）鞋业是福建省莆田市的支柱产业、当家产业，历经 30 多年的发展，莆田已经成为世界知名运 动鞋制造基地某鞋厂准备生产 A，B 两种品牌运动鞋共 100 万双，已知生产每双 A 种品牌和 B 种品牌 运动鞋共需成本 185 元，且每双 B 种品牌运动鞋成本比 A 种高 15 元 （1）求 A，B 两种
10、品牌运动鞋每双的成本分别是多少元； （2） “闽宁对口扶贫协作援宁群体”遵循“优势互补、互惠互利、长期协作、共同发展”的方针，该鞋 厂主动扛起对口帮扶宁夏脱贫攻坚的历史使命，每售出 1 双 A 种品牌运动鞋就捐出 a 元根据市场供需 情况，计划生产 A 种品牌运动鞋至少 60 万双，B 种品牌运动鞋至少 20 万双已知 A，B 两种品牌运动 鞋每双售价分别为 115 元和 125 元，该鞋厂将如何安排生产才能获得最大利润？ 24 （12 分）如图 1，矩形 ABCD 中，AB4，BC8，点 E 为 BC 边上的动点，连接 DE过点 E 作 EF BD 于点 F，点 G 为 DE 的中点，连接
11、CF，CG，GF （1）求证：FGC2BDC； （2）设 BEx，GFC 的面积为 S， 求 S 与 x 的函数关系式； 如图 2，点 M，N 分别在 AD，CD 上，且 DM，DN1，连接 GM，GN，当 GM+GN 取最小值时， 求 S 的值 25 （14 分）已知函数 y1mx2+（1m）x 和 y2nx2+（1n）x（m0，n0）的图象在第一象限内的交 点为 A，且函数 y1，y2的图象分别与 x 轴正半轴交于点 B，C （1）求点 A 的坐标； （2）若BAC90， 求证：mn1； 函数 y1， y2图象的顶点分别为 M， N， 设ABC 的外心为点 P， OMN 的内心为点 Q 问
12、是否存在 m， n 的值，使得 O，P，Q 三点共线？若存在，求 m，n 的值；若不存在，说明理由 2021 年福建省莆田市中考数学二检试卷年福建省莆田市中考数学二检试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 1 （4 分）计算（1）2021的结果（ ） A2021 B1 C1 D2021 【解答】解：原式1 故选：B 2 （4 分）如图是一个由 6 个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是
13、（ ） A B C D 【解答】解：从正面看第一层是 3 个小正方形，第二层右边 2 个小正方形，第三层右边 2 个小正方形， 故选：D 3 （4 分）据统计，2020 年莆田市常住人口约为 2910000 人，将 2910000 用科学记数法表示为（ ） A2.91105 B2.91106 C29.1105 D0.291107 【解答】解：29100002.91106 故选：B 4 （4 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意； C、既是
14、中心对称图形，又是轴对称图形，本选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意 故选：C 5 （4 分）下列运算中正确的是（ ） Aa5+a52a10 B3a32a26a6 Ca6a2a3 D （2ab）24a2b2 【解答】解： （A）a5+a52a5，故 A 错误； （B）3a32a26a5，故 B 错误； （C）a6a2a4，故 C 错误； 故选：D 6 （4 分）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，连接 AC、AD、BD，若CAB35，则ADC 的 度数为（ ） A35 B55 C65 D70 【解答】解：AB 是O 的直径， ADB90， 又CDBCAB
15、35（圆周角定理） ， ADC903555 故选：B 7 （4 分） 九章算术记载了这样一道题： “以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳 多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井 外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺问绳长和井深各多少尺？假设井深为 x 尺，则符合题意的方程应为（ ） A B3x+44x+1 C D3（x+4）4（x+1） 【解答】解：设井深为 x 尺， 依题意，得：3（x+4）4（x+1） 故选：D 8 （4 分）科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的程序行走，那
16、么该机器 人所走的总路程为（ ） A6 米 B12 米 C16 米 D20 米 【解答】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形， 每一次都是左转 30， 多边形的边数3603012， 周长12112 米 故选：B 9 （4 分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC若ABC 的三边所围成的区域面积记为 S1，黑色部 分面积记为 S2，其余部分面积记为 S3，则下列关系式正确的是（ ） AS1S2 BS2S3 CS2+S3S1 DS22+S32S12 【解答】解：设 ABc，ACb，BC
17、a， S3 （a）2S1a2S1， S2 （c）2+ （b）2S3c2+b2S3（c2+b2）（a2S1） ， c2+b2a2， S2S1 故选：A 10 （4 分）二次函数 yax2+bx+c 的最大值为 ab+c，且 M（4，c） ，N（3，m） ，P（1，m） ，Q（2， n） ，R（3，n+1）中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是（ ） A这两点一定是 M 和 N B这两点一定是 Q 和 R C这两点可能是 M 和 Q D这两点可能是 P 和 Q 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c 的最大值为 ab+c， 抛物线开口向下，对称轴为 x1， A、若 M 和
18、N 不在该二次函数图象上，则由题意知 P（1，m） ，Q（2，n） ，R（3，n+1）一定在图象上， 而 x1 时 y 随 x 增大而减小，这与 Q（2，n） ，R（3，n+1）矛盾，故 A 不符合题意； B、若 Q 和 R 不在该二次函数图象上，则 M（4，c）一定在图象上，而抛物线与 y 轴交点（0，c）一 定在图象上， 这样抛物线对称轴为 x2， 这与抛物线对称轴为 x1 矛盾， 故 B 不符合题意； C、M 和 Q 可能不在该二次函数图象上，故 C 符合题意； D、若 P 和 Q 不在该二次函数图象上，则 M（4，c）一定在图象上，同 B 理由，故 D 不符合题意； 故选：C 二、填空
19、题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分 11 （4 分）如果一个扇形的圆心角为 90，弧长为 ，那么该扇形的半径为 2 【解答】解：设该扇形的半径为 R， 根据题意得，解得 R2 故答案为 2 12 （4 分）若 x，则 4x2+4x 1 【解答】解：x， 2x1， 即 2x+1， （2x+1）22， 即 4x2+4x+12， 4x2+4x1 故答案为 1 13 （4 分）为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获 30 条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些 鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞 200 条鱼，如果在这 200 条中有 5 条鱼是有
20、记号的，则鱼塘中的鱼估计大 约有 1200 条 【解答】解：100%2.5% 302.5%1200（条） 故答案为：1200 14 （4 分）某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标 A 的位置为（3，30） ，目标 B 的位置为 （2，180） ，目标 C 的位置为（4，240） ，则图中目标 D 的位置可记为 （5，120） 【解答】解：由图可知，图中目标 D 的位置可记为（5，120） 故答案为： （5，120） 15 （4 分）莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四海在湄洲妈祖庙的正殿 前方上建造了一尊巨型石雕妈祖像，面向台湾海峡，为海峡两岸同胞共同瞻仰小颖
21、想测量雕像的高， 她先测得雕像的影长为 4.1m， 并在同一时刻测得一根长为 1.4m 的竹竿的影长是 0.4m 请你帮她算一下， 石雕妈祖像高是 14.35 m 【解答】解：根据题意，作出如下图形：石雕妈祖像身高为 AB，影长为 BE，同一时刻竹竿为 CD，竹竿 的影子为 ED 设石雕妈祖像身高为 xm， ABCD， ABECDE， ， x14.35， 石雕妈祖像身高为 14.35m， 故答案为：14.35 16 （4 分）在平面直角坐标系中，若原点 O 关于直线 yx+k 的对称点 O在双曲线 y上，则 k 的值 为 【解答】解：如图， 设直线 OO关系式为 yax，O（m，n） ， a，
22、 设 OO中点为 N，则 N（，） ， 由对称性可得 N 在直线 yx+k 上，且 OO与直线 yx+k 垂直， ， 解得：k，m，n 故答案为： 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 9 小题，共小题，共 86 分解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤 17 （8 分）计算：20210+|1|2cos45 【解答】解：原式1+12 1+1 0 18 （8 分）如图，点 C，E，F，B 在同一直线上，ABCD，AEDF，下列 3 个条件：AD；BF CE；AEDF，选出能推出 ABCD 的一个条件已知：如图，ABCD，
23、AEDF， 或 （写 出一种情况即可） ；求证：ABCD 【解答】解：若选，证明如下： ABCD， BC， 在ABE 与DCF 中， ， ABEDCF（AAS） ， ABCD； 若选， ABCD， BC， AEDF， AEBDFC， 在ABE 与DCF 中， ， ABEDCF（AAS） ， ABCD 故答案为：或 19 （8 分）先化简，再求值：，其中 x3 【解答】解：原式 ， 当 x3 时，原式 20 （8 分）如图，ABC 中，ABAC，BAC40，将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段 AD， 连接 BD （1）根据题意，补全图形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法） ； （
24、2）求DBC 的度数 【解答】解： （1）如图，线段 AD，BD 即为所求作； （2）ABAC，BAC40， ABC70， 由旋转可知：BAD60，ABAD， ABD 为等边三角形， ABD60， DBCABCABD706010 21 （8 分）2021 年 3 月 23 日，莆田市校园读书月活动暨第一届校园阅读论坛正式启动，开启了莆田市“书 香校园、智慧阅读”2.0 版的新篇章某初中校组织全校 1000 名学生参加“数学文化知识竞赛” ，从全校 随机抽取 100 名学生调查学生的答题情况，得到成绩统计表： 分数段 50 x60 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 频数
25、6 10 30 50 4 （1）根据上表数据，下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号） ； 众数落在 80 x90 分数段 中位数落在 80 x90 分数段 平均数落在 80 x90 分数段 极差落在 30 x50 分数段 （2）学校从 90 x100 分数段的 4 名学生中随机抽取 2 名进行学习交流已知 4 名学生中，1 名来自 七年级，1 名来自八年级，2 名来自九年级，求抽到的 2 名学生来自不同年级的概率 【解答】解： （1）由众数的定义得：众数不一定落在 80 x90 分数段，故不正确； 由中位数的定义得：中位数落在 80 x90 分数段，故正确； 平均数不一定落在 80 x9
26、0 分数段，故不正确； 由极差的定义得：极差落在 30 x50 分数段，故正确； 故答案为：； （2）分别记七，八年级的学生为 A 和 B，记九年级同学为 C、D， 则根据题意，画如下的树状图： 共有 12 种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中抽到的 2 名学生来自不同年级的结果有 10 种， P（不同年级） 22 （10 分）如图，ABC 中，以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D，ABCD （1）求证：AC 为O 的切线； （2）在 BC 上取点 E，使 BEBD，过点 E 作 EFAB 交 AC 于点 F若 EFBD，求 sinA 的值 【解答】 （1）证明：BC 为直径， BDC
27、90， A+ACD90 ABCD， BCD+ACD90 ACB90， AC 为O 的切线； （2）解：EFAB， AEFC ABCD， BCDEFC 设 CEx，BEy，则 BCx+y，EFBDy ， ， ， x2+xyy20， （）2+10， 23 （10 分）鞋业是福建省莆田市的支柱产业、当家产业，历经 30 多年的发展，莆田已经成为世界知名运 动鞋制造基地某鞋厂准备生产 A，B 两种品牌运动鞋共 100 万双，已知生产每双 A 种品牌和 B 种品牌 运动鞋共需成本 185 元，且每双 B 种品牌运动鞋成本比 A 种高 15 元 （1）求 A，B 两种品牌运动鞋每双的成本分别是多少元； （
28、2） “闽宁对口扶贫协作援宁群体”遵循“优势互补、互惠互利、长期协作、共同发展”的方针，该鞋 厂主动扛起对口帮扶宁夏脱贫攻坚的历史使命，每售出 1 双 A 种品牌运动鞋就捐出 a 元根据市场供需 情况，计划生产 A 种品牌运动鞋至少 60 万双，B 种品牌运动鞋至少 20 万双已知 A，B 两种品牌运动 鞋每双售价分别为 115 元和 125 元，该鞋厂将如何安排生产才能获得最大利润？ 【解答】解： （1）设生产 A 种品牌运动鞋成本 m 元，B 种运动鞋成本 n 元， 依题意，得， 解得， 答：生产 A 种运动鞋成本 85 元，B 种运动鞋成本 100 元 （2）设生产 A 种品牌运动鞋 x
29、 万双，则生产 B 种品牌运动鞋（100 x）万双，设总利润为 w 元， 则 w（11585）x+（125100） （100 x）ax（5a）x+2500 又， 解得 60 x80 当 5a0 时，w 随 x 的增大而增大， 当 a5，x80 时，wmax290080a； 当 5a0，即 a5 时，w2500； 当 5a0 时，w 随 x 的增大而减小， 当 a5，x60 时，wmax280060a 综上所述，当 a5 时，鞋厂将选择生产 A 种运动鞋 80 万双，B 种运动鞋 20 万双能获得最大利润；当 a 5 时，利润均为 2500 万元；当 a5 时，鞋厂将选择生产 A 种运动鞋 60
30、 万双，B 种运动鞋 40 万双能 获得最大利润 24 （12 分）如图 1，矩形 ABCD 中，AB4，BC8，点 E 为 BC 边上的动点，连接 DE过点 E 作 EF BD 于点 F，点 G 为 DE 的中点，连接 CF，CG，GF （1）求证：FGC2BDC； （2）设 BEx，GFC 的面积为 S， 求 S 与 x 的函数关系式； 如图 2，点 M，N 分别在 AD，CD 上，且 DM，DN1，连接 GM，GN，当 GM+GN 取最小值时， 求 S 的值 【解答】 （1）证明：如图 1， 四边形 ABCD 是矩形， DCE90， 在 RtDCE 中，G 为 DE 中点， CGDE E
31、FBD， EFD90， FGDE， FGCG， 法一：FGDGCG， GFDGDF，GCDGDC， FGE2GDF，CGE2GDC， FGCFGE+CGE2BDC； 法二：FGGEGCGD， E，F，D，C 四点共圆， FGC2BDC； （2）法一：如图 2，过 G 作 GHCF 于点 H， FGCG， FGC2FGH， FGC2BDC， BDCFGH， GHFDCB90， FGHBDC， ， 令 GHa，则 FH2a，FC4a，FG，DE， S2a2， CE8x，CD4， DE2CE2+CD2（8x）2+42， ， 法二：如图 3，连接 AC 交 BD 于点 O，则 OBOCOD， BOC2
32、BDCFGC ， FGCBOC， ， BC8，CD4， BD，BO， ， 法三：如图 4，过点 F 作 FKBC 于点 K， EFBD，CDBC， 同理得BFKFEKBDC， 2， KEBEx， FKx， ， 点 G 为 DE 中点， SDEF2SDFG，SDCE2SDCG， ， SFEC（8x）x+x， ； 如图 5，分别取 BD，CD 中点 O，P， 点 E 在线段 CB 上运动，G 为 DE 中点， 点 G 在线段 OP 上运动， 作点 N 关于 OP 的对称点 N，连接 MN交 OP 于点 G， 此时 GM+GN 的最小值为 MN DNNPNP1， DN3， ， ， PGBC，DPCP
33、， EC2PG3， BEBCEC5，即 x5， ， S25+8 25 （14 分）已知函数 y1mx2+（1m）x 和 y2nx2+（1n）x（m0，n0）的图象在第一象限内的交 点为 A，且函数 y1，y2的图象分别与 x 轴正半轴交于点 B，C （1）求点 A 的坐标； （2）若BAC90， 求证：mn1； 函数 y1， y2图象的顶点分别为 M， N， 设ABC 的外心为点 P， OMN 的内心为点 Q 问是否存在 m， n 的值，使得 O，P，Q 三点共线？若存在，求 m，n 的值；若不存在，说明理由 【解答】 （1）解：联立， 得（mn）x2+（nm）x0， （mn） （x2x）0，
34、 m0，n0， mn， x2x0， 解得 x10，x21， 当 x1 时，y1y21， A（1，1） ； （2）证明：令 y10，得 mx2+（1m）x0， 解得 x10，x2， B（，0） ， 同理得 C（，0） ， 过点 A 作 ADBC 于点 D， ADBADC90， ABD+BAD90， BACBAD+DAC90， ABDDAC， ABDCAD， ， AD2BDCD， ， 1， mn1； 解：y1mx2+（1m）xm（x）2， y2nx2+（1n）xn（x）2， 函数 y1，y2图象的顶点分别为 M，N， 如图 2，过点 M 作 MEx 轴于点 E，过点 N 作 NFx 轴于点 F， 则， BAC90， RtABC 外心 P 在 x 轴上， 当 O，P，Q 三点共线时，Q 也在 x 轴上， 此时，NOFMOE， ， m+n2， 联立， 解得：，（舍去） ， 存在 m，n，使 O，P，Q 三点共线
