1、广东省部分学校广东省部分学校 2021 届高三下学期届高三下学期 5 月联考数学试题月联考数学试题 注意事项：注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本 试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一
2、项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1. 已知1izi，复数z的共轭复数z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合 2 2Ax xx，集合 2 log11Bxx，则AB （ ） A. 23xx B. 12xx C. 03xx D. 02xx 3. 若圆C： 22 160 xxym被直线3440 xy截得的弦长为 6，则m（ ） A. 26 B. 31 C. 39 D. 43 4. 函数( ) x e f xx x 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 三星堆古遗址是迄今在西南地区
3、发现的范围最大，延续时间最长，文化内涵最丰富的古城、古国、古蜀 文化遗址.三星堆遗址被称为 20 世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中 华文明的母体，被誉为“长江文明之源”.考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内的碳 14 含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳 14 的含量y随时间x（年）变化的数学模型： 5730 0 1 2 x yy （ 0 y表示碳 14 的初始量）.2020 年考古学家对三星堆古遗址某文物样本进行碳 14 年代学 检测，检测出碳 14 的含量约为初始量的68%，据此推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是（ ） （参 考
4、数据： 2 log 52.32， 2 log 174.09） A. 2796 年 B. 3152 年 C. 3952 年 D. 4480 年 6. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 8710 2SSS，则 21 S（ ） A. 21 B. 11 C. -21 D. 0 7. 5 2 31xx展开式中x的系数为（ ） A. -3 B. 3 C. -15 D. 15 8. 在三棱锥PABC中， 底面ABC是面积为3 3的正三角形， 若三棱锥PABC的每个顶点都在球O的 球面上，且点O恰好在平面ABC内，则三棱锥PABC体积的最大值为（ ） A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 6
5、3 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9. 已知平面向量2,2a ，1,bm，且2abab，则（ ） A. 4a b B. 0a b C. 1m D. 2b 10. 若关于x的方程 2 2 3cossin23xxm在区间, 4 6 上有且只有一个解，则m的值可能为 （ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 11. 已知0a，0b，且 22 1ab，则（ ） A. 2ab B. 55 11 1ab ab C. 22 loglog1ab D. 1abab
6、 12. 设 1 F， 2 F同时为椭圆 1 C： 22 22 10 xy ab ab 与双曲线 2 C： 22 11 22 11 10,0 xy ab ab 的左、右 焦点，设椭圆 1 C与双曲线 2 C在第一象限内交于点M，椭圆 1 C与双曲线 2 C的离心率分别为 1 e， 2 e，O为 坐标原点，若（ ） A. 12 2FFMO，则 22 12 11 2 ee B. 12 2FFMO，则 22 12 11 2 ee C. 122 4FFMF，则 1 2 e e的取值范围是 2 3 , 3 2 D. 122 4FFMF，则 1 2 e e的取值范围是 2 ,2 3 三、填空题：本题共 4
7、 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 若 1 cos 123 ，则 2 sin 2 3 _. 14. 沙漏是一种古代的计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全 部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏 由上、 下两个圆锥组成， 该圆锥的高为 1， 若上面的圆锥中装有高度为 2 3 的液体， 且液体能流入下面的圆锥， 则液体流下去后的液面高度为_. 15. 规定记号“”表示一种运算，即 22 12a babb ，, a bR，若0k ，函数( )f xkxx 的图象关于直
8、线 1 2 x 对称，则k _. 16. 三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法.三分损益包含“三分损一” “三分益一”两层含义. 三分损一是指将原有长度作 3 等分而减去其 1 份，即原有长度 3 1 3 生得长度；而三分益一则是指将原 有长度作 3 等分而增添其 1 份，即原有长度 3 1 3 生得长度.两种方法可以交替运用、连续运用，各音律 就得以辗转相生.假设能发出第一个基准音的乐器的长度为 243，每次损益的概率为 1 2 ，则经过 5 次三分损 益得到的乐器的长度为 128 的概率为_. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9、17. 在sinA，sinC，sinB成等差数列；: :4:3:2a b c；cos1bA这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题： 是否存在ABC， 它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且(sinsin)sinsinaABbBcC， 1c，_？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 在公比大于 0 的等比数列 n a中，已知 2 a， 3 a， 1 6a依次组成公差为 4 的等差数列. （1）求 n a的通项公式； （2）设 22 log5 n n n a c a ，求数列 n c
10、的前n项和 n T. 19. 如图，在四棱锥A BCDE中，/BCDE，BEBC，22ABBCACDEBE. （1）证明：ADBC. （2）若平面BCDE 平面ABC，经过A，D的平面将四棱锥A BCDE分成左、右两部分的体积之 比为1:2，求平面与平面ADC所成锐二面角的余弦值. 20. 已知抛物线C： 2 20 xpy p的焦点为F，点 0 1,Py在抛物线C上， 0 5 4 y PF . （1）求抛物线C的标准方程. （2）已知直线l交抛物线C于点A，B，且PAPB，证明：直线l过定点. 21. 某企业有甲、 乙两条生产同种产品的生产线.据调查统计， 100 次生产该产品所用时间的频数分
11、布表如下： 所用的时间（单位：天） 10 11 12 13 甲生产线的频数 10 20 10 10 乙生产线的频数 5 20 20 5 假设订单A约定交货时间为 11 天，订单B约定交货时间为 12 天.（将频率视为概率，当天完成即可交货） （1）为尽最大可能在约定时间交货，判断订单A和订单B应如何选择各自的生产线（订单A，B互不影 响） ； （2）已知甲、乙生产线的生产成本分别为 3 万元、2 万元，订单A，B互不影响，若规定实际交货时间每 超过一天就要付 5000 元的违约金，现订单A，B用（1）中所选的生产线生产产品，记订单A，B的总成 本为（万元） ，求随机变量的期望值. 22. 已知
12、函数 2 ( )142 x f xmexxx. （1）讨论( )f x的单调性； （2）当2x时，( )0f x 恒成立，求m的取值范围. 高三数学试卷参考答案高三数学试卷参考答案 1. A 【解析】本题考查复数的除法运算和共轭复数，考查运算求解能力. (1)11 1222 iii zi i ， 11 22 zi， 复数z的共轭复数z在复平面内对应的点是 1 1 , 2 2 ，在第一象限. 2. C 【解析】本题考查集合的运算，考查运算求解能力. 集合02Axx，13Bxx，03ABxx. 3. C 【解析】本题考查圆的方程，直线和圆的位置关系，考查运算求解能力. 22 160 xxym可化为
13、 2 2 86464xym m，所以圆心到直线3440 xy的距离 244 4 5 d ，所以 22 4364m，解得39m. 4. B 【解析】本题考查函数的图象，考查数形结合的数学思想. 0 x，()( ) x fxxf x x e ，( )f x为奇函数，排除 A. 110fe ，排除 D. 当0 x时， 2 2 (1) ( ) x x fx ex x ，当2x时，( )0fx ，排除 C 故选 B. 5. B 【解析】本题考查对数的运算，考查逻辑推理能力. 设三星堆古遗址存在的时期距今大约是x年，则 5730 00 1 68% 2 x yy ，即 5730 1 0.68 2 x ， 所
14、以 12222 2 log 0.68log 25log 172log 5log 170.55 5730 x ，解得5730 0.553152x. 6. D 【解析】本题考查等差数列，考查运算求解能力. 由 8710 2SSS， 得 87108 SSSS， 所以 8910 aaa， 则 109811 0aaaa， 所以 2111 210Sa. 7. D 【解析】本题考查二项式定理，考查运算求解能力. 55 225142 5 31(31)(31)(31)xxxxxCxx ， x的系数为 44 5( 1) 315C. 8. B 【解析】本题考查三棱锥的外接球，考查空间想象能力. 由题可知底面ABC的
15、边长为2 3， 因为三棱锥PABC外接球的球心O恰好在平面ABC内， 所以球O的 半径为 2，则三棱锥PABC体积的最大值为 1 3 322 3 3 . 9. AD 【解析】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力. 由2abab，得 2 2a ba，所以224m，则1m，2b ，4a b ，故选 AD. 10. AC 【解析】本题考查三角函数的性质，考查数形结合的数学思想. 2 2 3cossin23xxm化简可得cos 2 62 m x ，即cos 2 62 m x 在区间, 4 6 上 有且只有一个解，即cos 2 6 yx 的图象和直线 2 m y 只有 1 个交点. 又, 4 6
16、x ，则2, 63 2 x . 当2 63 x ，即 4 x 时，可得 1 cos 32 y ； 当20 6 x ，即 12 x 时，可得1y ； 当2 62 x ，即 6 x 时，可得0y . 要使得cos 2 6 yx 的图象和直线 2 m y 只有 1 个交点， 结合cos 2 6 yx 的图象（图略） ，可得1 2 m 或 1 0 22 m ， 解得2m或10m ，故选 AC. 11. BCD 【解析】本题考查基本不等式，考查逻辑推理能力. 对于 A，令 10 10 a ， 3 10 10 b ，则 2 108 2 55 ab，故 A 不正确； 对于 B， 2 33 55 2 5522
17、22 11 20 ab ab ababa b abbaab ，故 B 正确； 对于 C， 22 2222 loglogloglog1 2 ab abab ，当且仅当 2 2 ab时，等号成立，故 C 正确； 对于 D，由 22 1ab，所以01a，01b，则1110ababab ，故 D 正确. 故选 BCD. 12. BD 【解析】本题考查椭圆与双曲线的性质，考查数形结合的数学思想. 如图，设 1 MFm， 2 MFn，焦距为2c，由椭圆定义可得2mna， 由双曲线定义可得 1 2mna，解得 1 maa， 1 naa. 当 12 2FFMO时，则 12 90FMF，所以 222 4mnc，
18、 即 222 1 2aac，由离心率的公式可得 22 12 11 2 ee ，故 B 正确. 当 122 4FFMF时，可得 1 2 nc，即 1 1 2 aac，可得 12 111 2ee ， 由 1 01e，可得 1 1 1 e ，可得 2 11 2e ，即 2 12e，则 2 2 1 2 2 2 2 e ee e ， 可设 2 2(34)ett ，则 22 2 2 22(2)4 24 2 et t ett ， 由 4 ( )4f tt t 在3,4上单调递增，可得 1 ,1 3 f t ，则 1 2 2 ,2 3 ee ，故 D 正确.故选 BD. 13. 7 9 【解析】本题主要考查二
19、倍角公式，考查运算求解能力. 因为 2 22 3122 ，则 2 27 sin 2cos22cos1 312129 . 14. 3 19 1 3 【解析】本题考查圆锥的体积，考查空间想象能力. 3 28 327 V V 液 圆锥 ， 当液体流下去后， 819 1 2727 VV V 圆锥液 圆锥 ， 所以液体流下去后的液面高度为 3 19 1 3 . 15. 1 【解析】本题考查新定义与函数的性质，考查数形结合的数学思想. 222 ( )()12(1)(1) (2)f xkxxk xxxkxkxx x .因为函数( )f x的图象关于直线 1 2 x 对称， 所以 1 01 1 21 k k
20、，解得1k . 16. 5 16 【解析】本题考查概率，考查逻辑推理能力. 设 5 次三分损益中有k次三分损一，所以 5 24 243128 33 kk ，解得3k . 故所求概率为 5 3 5 1105 23216 C . 17. 解：因为(sinsin)sinsinaABbBcC，由正弦定理得 22 ()a abbc，即 222 abcab， 所以 222 1 cos 22 abc C ab ，又0,C，所以 3 C . 选择 因为sinA，sinC，sinB成等差数列，所以sinsin2sinABC，即22abc，解得1c. 由 22222 1abcabab ， 2 ()31abab，所
21、以1ab ，故存在满足题意的ABC. 113 sin1 sin 2234 ABC SabC . 选择 因为: :4:3:2a b c，所以 3 ABC ， 这与AB C矛盾，所以ABC不存在. 选择 因为cos1bA， 所以 22 1 1 2 ba b b ，得 2222 1baca ， 所以 2 B ，此时ABC存在.又 3 C ，所以 6 A ， 所以 3 1 tan 63 a ， 所以 13 26 ABC Sac . 18. 解： （1）设 n a的公比为q，因为 2 a， 3 a， 1 6a成等差数列，所以 213 62aaa，则 2 260qq， 又0q ，所以2q . 又因为 32
22、 4aa，所以 1 2a ， 所以 1 2 22 nn n a . （2）由题可知 22 log525 2 n n n n an c a ， 则 23 31125 2222 n n n T ， 2341 13112725 222222 n nn nn T ， -得 2311 1311125112 2 22222222 n nnn nn T . 故 21 1 2 n n n T . 19.（1）证明：取BC的中点O，连接AO，DO. 因为BODE，/BODE，所以BODE为平行四边形， 又EBBC，所以DOBC. 因为ABBCAC，所以AOBC， 又AODOO，所以BC 平面ADO. 因为AD
23、平面ADO，所以ADBC. （2）解：因为平面BCDE 平面ABC，平面BCDE平面ABCBC， 所以DO 平面ABC. 因为:1:2 CDODOBE SS ，所以平面ADO即为平面. 以O为坐标原点，以OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 令2AB ，则0,0,0O， 3,0,0A，0,1,0B，0, 1,0C，0,0,1D， 所以 3, 1,0AC ，0,1,1CD . 设平面ADC的法向量为, ,nx y z， 则 0 0 n AC n CD ，即 30 0 xy yz ，令1x ，则3y ，3z ， 所以 1,3, 3n . 又平面的一
24、个法向量为0,1,0m . 设平面与平面ADC所成的角（锐角）为， 则 32 coscos, 1 717 m n m n m n ， 所以平面与平面ADC所成锐二面角的余弦值为 21 7 . 20.（1）解：过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q（图略） ，则 0 0 5 24 yp PQy，故 0 2yp. 又 0 1,Py在抛物线上，所以 0 1 2 y p ， 则 1 2 2 p p ，解得 1 2 p ， 0 1y . 故抛物线C的标准方程为 2 xy. （2）证明：设 2 11 ,A x x， 2 22 ,B x x，直线l的方程为ykxm， 则 2 1 1 1 1 1 1 PA x k
25、x x ， 2 2 2 2 1 1 1 PB x kx x . 因为PAPB，所以 12 111xx，即 1212 20 xxx x， 将直线l的方程与抛物线方程联立可得， 2 0 xkxm， 则 12 xxk， 12 x xm ， 所以20km， 直线l的方程为212ykxkk x，则直线l过定点1,2. 21. 解： （1）频率分布表如下： 所用的时间（单位：天） 10 11 12 13 甲生产线的频率 0.2 0.4 0.2 0.2 乙生产线的频率 0.1 0.4 0.4 0.1 设事件 1 A， 2 A分别表示订单A选择甲、乙生产线在约定时间交货；事件 1 B， 2 B分别表示订单B选
26、择甲、 乙生产线在约定时间交货. 1 0.20.40.6P A ， 2 0.1 0.40.5P A， 1 0.20.40.20.8P B ， 2 0.1 0.40.40.9P B， 所以订单A选择甲生产线，订单B选择乙生产线. （2）设 1 x表示订单A实际交货时间超过约定时间的天数， 2 x表示订单B实际交货时间超过约定时间的天 数， 1 x， 2 x的分布列分别如下： 1 x 0 1 2 2 x 0 1 P 0.6 0.2 0.2 P 0.9 0.1 设 12 Xxx，则X的分布列如下： 12 Xxx 0 1 2 3 P 0.54 0.24 0.2 0.02 0 0.54 1 0.24 2
27、 0.2 3 0.020.7EX ， 所以320.55.35EEX（万元） ， 所以订单A，B的总成本的期望值为 5.35 万元. 22. 解： （1） ( )(2)24(2)2 xx fxmexxxme. 若0m，则20 x me .当, 2x 时，( )0fx ；当2,x 时，( )0fx . 所以( )f x在, 2 上单调递增，在2,上单调递减. 若0m，令( )0fx ，解得 1 2x ， 2 2 lnx m . 当 2 02me时， 21 xx，则( )f x在, 2 和 2 ln, m 上单调递增，在 2 2,ln m 上单调递减. 当 2 2me时， 21 xx，则( )f x在R上单调递增. 当 2 2me时， 21 xx，则( )f x在 2 ,ln m 和2,上单调递增，在 2 ln, 2 m 上单调递减. （2）由题可得 00f，即2m. 若 2 22me，( )f x在2,的最小值为 2 f x， 而 2 222222 224220f xxxxxx . 所以当2x时，( )0f x 恒成立. 若 2 2me，( )f x在2,单调递增， 而20f ，所以当2x时，( )0f x 恒成立. 若 2 2me，则 222 ( 2)220fmeeme ， 所以当2x时，( )0f x 不可能恒成立. 综上所述，m的取值范围为 2 2,2e .
