1、2021 年沈阳市高中三年教学质量监测年沈阳市高中三年教学质量监测数学数学试卷试卷(三三) 一一 单项选择题单项选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符项是符合题目要求的合题目要求的. 1.已知集合 2 1,0,1 ,ABx x ，若A BB，则实数x（ ） A.1 B.1 C.1 D.0或1 2.盒子中有 4 个球，其中 3 个白球，1 个红球，现在从盒中随机无放回地取球，每次取出一个，直到取出红 球为止.则取出 3 个球停止的概率为（ ） A. 1 3 B. 1 4 C. 1
2、 6 D. 1 8 3.2021 年 2 月 13 日，中国诗词大会第六季比赛如约而至.在某场比赛中，有甲乙丙丁戊五位选手，有机 会争夺该场擂主.观看比赛的三名诗词爱好者，对本场比赛的擂主进行了如下猜测.小张：冠军是甲或丙；小 陈：冠军一定不是乙和丙：小亮：冠军是丁或戊.比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么 擂主是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.已知圆锥曲线 22 :1,0,1 1 xy CtR tt tt 上满足1OM 的点M共有 4 个，则此圆锥曲线C 的离心率在下面的四个选项中不可能取的值为（ ） A. 3 B.2 C. 3 2 D. 2 2 5.在三角形ABC
3、中，2,2,ADDE AEEC P 为线段DE上的动点，若AP lABmAC ， ,R ，则lm（ ） A.1 B. 2 3 C. 3 2 D.2 6.虚数单位i的平方根是（ ） A.1 B.- 22 22 i C. 22 22 i 22 22 Di或 22 22 i 7.一条倾斜角为60的直线与执物线 2 4yx交于不同的 ,A B两点，设弦AB的中点为 .C过C作平行于x 轴的直线交抛物线于点D，则以D为切点的抛物线的切线的斜率为（ ） 1 3 A B.2 3 C. 3 D. 3 3 8.已知 22 2 1,2 ,2 ,2,2 x xx xabc，则 , ,a b c的大小关系为（ ） A
4、.abc B.bca C.bac D.cab 二二 多项选择题多项选择题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9.已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且当0 x 时， 2 3,02 2 ,2 xxx f x m x x x ，mR，那么函数 2g xf x在定义域内的零点个数可能是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 10.如图， 圆心在坐标原点O半径为
5、1 的半圆上有一动点 , ,P A B是半圆与x轴的两个交点， 过P作直线l垂 直于直线,AB M为垂足.设AOP，则下列结论正确的有（ ） A.若 0, 2 ，则sincos1 B.若 0, 2 ，则sin C.若0, ，则2BMAMPM D.若0, ，则PAPB的最大值为 2 11.如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为a，点,M N P分别是平面 11 ADD A平面 11 CDDC平面 ABCD的中心，点Q是线段 11 AC上的动点，则下列结论正确的是（ ） A.PN与 11 AC所成角为 3 B.D点到平面MNP的距离为 3 3 a C.三棱锥M NPQ 的体积为定值 3
6、 1 24 a D.直线DQ与平面 11 A ACC所成角的正切值的最大值为 1 2 12.已知无穷等差数列 n a的公差 *, n dNS为其前n项和，且5,23,29是数列 n a中的三项，则下列关于 数列 n a的选项中，正确的有（ ） A. max 6d B. 34 2Sa C.数列sin n a为单调递增数列 D.143一定是数列 n a中的项 三三 填空题填空题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.在四面体 ABCD 中，BCD是边长为 2 的等边三角形， BCD 是以BD为斜边的等腰直角三角形，平面 ABD 平面 SBC，则四面体
7、ABCD 的外接球的表面积为_. 14.安排高二年级一二两个班一天的数语外物体，一班的化学及二班的政治各六节课.要求体育课两个 班一起上，但不能排在第一节；由于选课之故，一班的化学和二班的政治要安排在同一节；其他语数外 物四科由同一任课教师分班上课，则不同的排课表方法共有种_. 15.在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若 222 2abc，则角C的最大值为_. 16.设某组数据均落在区间10,60内，共分为10,20 , 20,30 , 30,40 , 40,50 , 50,60五组，对应频率 分别为 12345 ,.p pp pp已知依据该组数据所绘制的频率分布
8、直方图为轴对称图形，给出下列四个条件： 13 0.1,0.4pp； 25 2pp； 1425 0.3pppp； 12345 242ppppp剟剟. 其中能确定该组数据频率分布的条件有_. 四四 解答题解答题：本题共：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知等差数列 n a和等比数列 n b满足， 112334 2,1,2.abab ab （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 n a中去掉数列 n b的项后，余下的项按原来的顺序组成数列 n c，求 123100 cccc 的值.
9、 18.(12 分)在ABC中，设cos , sin ,cos ,sinmBBnCC，已知 1 2 m n. （1）求角 A； （2）设BC的中点为D，若_，求cos .C 从以下两组条件中任选其一，补充在上面的问题中并作答. 1 sinsin 2 BADCAD； 21 , 14 BC ADBC . 注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分. 19.(12 分)2021 年某省开始的“3+1+2”模式新高考方案中，对化学生物地理和政治等四门选考科目，制定 了计算转换分T(即记入高考总分的分数)的“等级转换赋分规则(详见附 1 和附 2)，具体的转换步骤为： 原始分Y等级转换；原始分等级内
10、等比例转换赋分. 某校的一次年级模拟考试中，政治化学两选考科目的原始分分布如下表： 等级 A B C D E 比例 约15% 约35% 约35% 约13% 约2% 政治学科各等级对应的原始分区间 81,98 72,80 66,71 63,65 60,62 化学学科各等级对应的原始分区间 90,100 80,89 69,79 66,68 63,65 现从政治化学两学科中分别随机抽取了 20 个原始分成绩数据如下： 政治 化学 个位数 十位数 个位数 98766540 6 479 98654210 7 012345799 862 8 13469 4 9 358 （1）该校的甲同学选考政治学科，其原
11、始分为 86 分，乙同学选考化学学科，其原始分为 93 分.基于高考实 测的转换赋分模拟，试分别计算甲乙同学的转换分，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分 法的看法. （2）若从该校化学学科等级为AB的学生中，随机抽取 3 人，设这 3 人转换分不低于 90 分的有人，求 的分布列和数学期望. 附 1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间. 等级 A B C D E 原始分从高到低排序的等级人数占比 约15% 约35% 约35% 约13% 约2% 转换分T的赋分区间 86,100 71,85 56,70 41,55 30,40 附2:计算转换分T的等比例转换赋分公式： 2
12、2 11 YYTT YYTT (其中： 12 ,Y Y，分别表示原始分Y对应等级的 原始分区间下限和上限；1 2 ,T T分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.T的计算结果按四舍 五入取整) 20.(12 分)将长(AB)宽(BC)高( 1 AA)分别为 4，3，1 的长方体点心盒用彩绳做一个捆扎，有如下两种方 案： 方案一：如图（1）传统的十字捆扎； 方案二：如图（2）折线法捆扎，其中 1111 1AEFBBGHCC IJDDKLA. （1）哪种方案更省彩绳？说明理由： （2）求平面EFK与平面GIJ所成角的余弦值. 21.(12 分)已知椭圆 22 22 1(0) xy ab
13、ab 的右焦点和上顶点分别为点 ,0 (0)F cbc和点A，直线 65140 xy 交椭圆于,B C两点，且F恰好为ABC的重心. （1）求椭圆离心率； （2） 抛物线 2 2ypx的焦点是 ,F P为抛物线准线上任一点， 过点P作抛物线的切线别为,D E， 直线 0 x 与直线,PD PE分别交于,M N两点，点,M N的纵坐标分别为 ,m n，求mn的值. 22.(12 分)已知函数 1 e ax f xx ，其中0a. （1）若 f x的极值为 1，求实数a的值； （2）若对任意0 x，有 1 1 2 f xx恒成立，求实数a的取值范围. 2021 年沈阳市高中三年教学质量监测年沈阳市
14、高中三年教学质量监测(三三) 数学参考答案数学参考答案 一一 单项选择题单项选择题 1-8ABCDBDCB 二二 多项选择题多项选择题 9.【解析】BD 函数 f x是R上的奇函数， 00,0fx 是函数 f x的零点， 0 x时， 2 4,04 4 ,4 xxx f x m x x x ， 当04x时， 2 42xx可得22x 或22x ， 当4x时，令 4 2 m x x ，即 24mxm， 若2m时，显然无解， 若2m时， 4 4 2 m x m ，即2m时， 2g xf x在4,上有一个零点 当2m时， 2g xf x在4,上没有零点， 综上，由函数 f x是奇函数知，2m时，函数 2
15、g xf x有 5 个零点， 当2m时，函数 2g xf x有 7 个零点. 10.AC 11.ABC 12.AD 三三 填空填空题题 13.【解析】因为ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，所以DAAB ， 又因为平面ABD 平面ABC，平面ABD平面ABCAB， 所以DA平面ABC，所以DAAC，可得,DA AB AC两两垂直， 且 2 22 2 DABACA，构造正方体 可得四面体ABCD的外接球半径 222 16 ( 2)( 2)( 2) 22 R ， 所以表面积为 2 46 .R 14.【解析】5400种 15.【解析】 222222 222 21 cos 222 abcccc C
16、ababc ，当且仅当abc时等号成立. 所以角C的最大值为 3 16.【解析】答案： 四四 解答题解答题 17.【解析】（1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q， 由 2 3 2 222 qd qd ，得 2 2 d q 1 2 ,2n nn an b （2）由 1 2 ,2n nn an b 得 121324458 1,2,4,8,16bba ba ba ba， 6167328649128 32,64,128,256babababa 1231001231072345678 ccccaaaabbbbbbb 1072214 25411302 2 18.【解析】（1） 1
17、cos cossin sincos 2 BCBCBCm n 即 1 cos 2 A，进而 1 cos 2 A ，由于0,A，则 2 3 A （2）选，设角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c 在BAD中，由正弦定理， sinsin BDAB BADADB 在CAD中，由正弦定理， sinsin CDAC CADADC 而ADBADC，则sinsinADBADC， 又有 1 ,sinsin 2 BDCDBADCAD，则2ABAC，即2cb (注：利用BAD与CAD的面积相等得此结论，亦得 4 分) 由余弦定理， 22222 1 2cos447 2 abcbcAbbbb 222222 2
18、 742 7 cos 272 7 abcbbb C abb 选，设角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c 22 2222 11 |2cos 444 bcbc ADABACcbbcA 由于 21 14 ADBC，则 22 28 3 BCAD，即 222 7 3 abcbc 由余弦定理， 22222 2cosabcbcAbcbc 因此 2222 7 3 bcbcbcbc，整理得 22 2520,220bbccbcbc 则2bc或 1 2 bc，由于BC，则 1 2 bc，因此 2222 77 , 42 abcbccac 222 222 71 2 7 44 cos 2771 2 22 cc
19、c abc C ab cc 19.【解析】（1）甲同学选考政治学科原始分为86分， 根据等比例转换赋分公式： 9886100 868186 T T 得90T .乙同学选考化学学科原始分为 93 分，根据等比例 转换赋分公式： 10093100 939086 T T 得90T ， 故甲乙两位同学的转换分都为 90 分. 从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法： 从已知可得甲乙同学原始分都排第三，转换后都是90分，因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平 性与合理性. 甲同学与乙同学原始分差7分，但转换后都是90分，高考这种“等级转换赋分法”对尖子生不利. （2）该校化学学科原始分
20、为 93 分时，根据等比例转换赋分公式： 10093100 939086 T T ， 得90T ，即原始分低于 93 分的转换分低于 90 分， 所以转换分不低于 90 分的有 3 人，低于 90 分的有 5 人，的所有取值有0,1,2,3， 312 535 33 88 515 0,1 2828 CC C PP CC 213 353 33 88 151 2,3 5656 C CC PP CC 的分布列为： 0 1 2 3 P 5 28 15 28 15 56 1 56 2151519 0123 282856568 E 20.【解析】（1）方案更省彩绳. 原因如下： 方案中彩绳总长度为24 34
21、18l . 方案中彩绳总长度为25622 2.56 1.514.m 即lm，所以方案（2）更省彩绳.【注：只要求出两种方案的长度进行比较即可】 （2）法一：以点D为原点， 1 ,DA DC DD分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系，如图： 则点3,1,1 ,3,3,0 ,1,0,0 ,2,4,0 ,0,3,1 ,0,1,0EFKGIJ， 2,1,1 ,2,3,0 ,2,3,0 ,0,2,1KEKFJGJI 设平面EFK的法向量为 1111 ,nx y z，平面GIJ的法向量为 2222 ,nxy z， 则有 1 1 0 0 n KE n KF ，即 111 11 11 20 2 230
22、 xyz zy xy .不妨取 1 3 ,1,2 2 n 同理取 2 3 ,1, 2 2 n . 12 12 12 9 1 4 3 4 cos , 2999 1414 44 n n n n nn 所以两个平面所成二面角的余弦值为 3 29 . 法二：如图，作 11 / /,/ /GGBB JJBB，连结 GJ ，由点I向 GJ 作垂线，垂足为M， 再由M作MNGJ于N. 记INM，可求得 4 13 IM ，则 138 13 tan,tan2 43 . 由于对称性，所求两个平面所成的角等于2，故其余弦值的绝对值为 3 cos2 29 . 21.【解析】解： （1）由题设 1122 ,0 ,0,F
23、 cAbB x yC x y，线段BC的中点为 00 ,G x y， 由三角形重心的性质知 2AFFG ，即 00 ,2,cbxc y，解得 00 3 , 22 cb xy ， 即 3 , 22 cb G 代入直线65140 xy，得 5 9140 2 cb. 又G为线段BC的中点，则 1212 3 ,xxc yyb ， 又,B C为椭圆上两点， 2222 1122 2222 1,1 xyxy abab ， 以上两式相减得 12121212 22 1 xxxxyyyy ab ， 所以 22 1212 22 1212 36 5 BC yyxxbbc k xxayyab ，化简得 2 25abc
24、由及 222 abc，解得： 5 5 2, 5 1 a be c . （2）抛物线 2 2ypx的焦点是1,0 ,1,2 2 p Fp ， 抛物线方程为 2 4 .yx 设点P的坐标为 0 1,y，直线PD的方程为 10 1ykxy，直线PE的方程为 20 1.ykxy 由 2 10 4 1 yx ykxy ，得 2 110 4440k yyky. 所以 110 164440kky，得 2 10 1 10ky k . 同理，得 2 202 10ky k ， 所以 120 1 2 1 kky k k ， 分别令0 x，得 1020 ,mky nky， 所以 2 102001201 2 1mnky
25、kyykkyk k. 22.【解析】（1） e1 ax fxaxa ，令 0fx ，解得 1 1.x a 当0a时， f x的单调递增区间为 1 1, a ，单调递减区间为 1 ,1 a ， f x的极小值为 1 1e 10 a f aa ，因此极值不为 1，不符题意 当0a时， f x的单调递增区间为 1 ,1 a ，单调递减区间为 1 1, a f x的极大值为 1 1e 1 a f aa . 令 1 e 1 a a ，则a是方程 1 0 a ea 的根.由 11 ,0,1 aa g aea ag ae ， 令 0g a ，则 1,ag a在0,1上单调递减，在1,上单调递增， min (
26、 )11g ag， 因此，方程 1 0 a ea 仅有一根.当且仅当1a 时， f x的极值为 1. 综上，1a （2）原命题即：对任意0 x，有 1 1 e1 2 ax xx 恒成立， 等价于：对任意0 x，有 11 e 22 ax x x 恒成立， 令 1 e 2 x x h x x 2 e11 112e (2)212 ax ax x h xa xxa xxxx ， 当 1 2 a时，对任意0 x，有 11 0 122 aa xx 剟 ， 则 0,h xh x 在0,上单调递减， 1 0 2 h xh，符合题意 当 1 0 2 a时，对任意 113 0, 42 x a ， 有 11 0 12 111111 4242 aa xx aa 因此 113 0, 42 x a 时 0,h xh x 在 113 0, 42a 单调递增， 故当 113 0, 42 x a 时， 1 0 2 h xh，不符题意. 当0a时，对任意 0 x，有 1 0 12 a xx ，则 0g x ， h x在0,上单调递增，当0 x时， 1 0 2 h xh，不符题意； 综上，a的取值范围是 1 , 2 .
