1、四川省绵阳市四川省绵阳市 2021 届高三理数第三次诊断考试试卷届高三理数第三次诊断考试试卷 一、单选题（共一、单选题（共 12 题；共题；共 60 分）分） 1.已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2.若复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.若 ， 满足约束条件 则 的最小值为（ ） A. -10 B. -8 C. 16 D. 20 4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和上一时期相比较的 增长率.根据下图，2020 年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说
2、法错误的是（ ） A. 2020 年全国居民每月消费价格与 2019 年同期相比有涨有跌 B. 2020 年 1 月至 2020 年 12 月全国居民消费价格环比有涨有跌 C. 2020 年 1 月全国居民消费价格同比涨幅最大 D. 2020 年我国居民消费价格中 3 月消费价格最低 5.已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， .则不等式 的解 集为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中 的系数为（ ） A. 48 B. 54 C. 60 D. 72 7.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8.在平行四边形 中， ， ， 点 为边 的中点， 若
3、， 则 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球 面上， 圆锥的侧面展开图的圆心角为 ， 面积为 ， 则球 的 表面积等于（ ） A. B. C. D. 10.若函数 在区间 上仅有一条对称轴及一个对称中心， 则 的取 值范围为（ ） A. B. C. D. 11.已知数列 的前 项和为 ， ， ， ， 则 （ ） A. B. C. D. 12.已知点 为抛物线 的焦点， ， 过点 且斜率为 的直线交抛物线于 ， 两 点，点 为抛物线上任意一点，若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共二、填空题（共 4 题；共题；共 20 分
4、）分） 13.记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 _. 14.若函数 在点 处的切线过点 ，则实数 _. 15.已知双曲线 与抛物线 有共同的一焦点，过 的左焦 点且与曲线 相切的直线恰与 的一渐近线平行，则 的离心率为_. 16.如图，正方体 中，点 ， 是 上的两个三等分点，点 ， 是 上 的两个三等分点，点 ， ， 分别为 ， 和 的中点，点 是 上的一个动点， 下面结论中正确的是_. 与 异面且垂直； 与 相交且垂直； 平面 ； ， ， ， 四点共面. 三、解答题（共三、解答题（共 7 题；共题；共 70 分）分） 17.在斜三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . （
5、1）若 的面积为 ，且满足 ，求角 的大小； （2）证明： . 18.2020 年 5 月 28 日，十三届全国人大三次会议表决通过了中华人民共和国民法典，自 2021 年 1 月 1 日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性 地位，也是市场经济的基本法.某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习中华人民共和国民法典并 组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取 名学生的成绩(单位：分)，绘 制成如图所示的茎叶图： （1）通过茎叶图分析哪个年级的学生学习效果更好；(不要求计算，分析并给出结论) （2）根据学生的竞赛成
6、绩，将其分为四个等级： 测试成绩(单位：分) 等级 合格 中等 良好 优秀 从样本中任取 2 名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这 2 名同学来自同一个年级的概率. 现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取 3 人座谈，记 为抽到高二年级的人数，求 的分布列和数学期 望. 19.如图，在四棱锥 中，四边形 为梯形， ， ， 平面 . （1）求证：平面 平面 ； （2）若 ， ，求二面角 所成角的余弦值. 20.已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，上顶点为 ，左顶点为 ，且 . （1）求椭圆的方程； （2）已知 ， ，点 在椭圆上，直线 ， 分别与椭圆交于另一点 ， ，若 ， ，求证： 为定
7、值. 21.已知函数 . （1）当 时，求函数 的极值点的个数； （2）若 ，求实数 的取值范围. 22.在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的参 数方程为 ( 为参数， ).以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）分别写出曲线 和直线 的极坐标方程； （2）直线 与曲线 交于 ， 两点，若 ，求直线 的斜率. 23.已知函数 ， . （1）求不等式 的解集； （2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 答案解析 四川省绵阳市四川省绵阳市 2021 届高三理数第三次诊断考试试卷届高三理数第三次诊断考试试卷 一、单选题（共一、单选题（共 1
8、2 题；共题；共 60 分）分） 1.已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【考点】补集及其运算，一元二次不等式的解法 【解析】【解答】 或 ， . 故答案为：B. 【分析】根据题意由一元二次不等式的解法求解出集合 A 再由补集的定义求解出答案即可。 2.若复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 D 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】 , 复数 在复平面内对应的点（2，-1）在第四象限， 故答案为：D 【分析】根据题意首先由复数代数形式的运算性
9、质整理再结合复数代数形式的几何意义即可得出答案。 3.若 ， 满足约束条件 则 的最小值为（ ） A. -10 B. -8 C. 16 D. 20 【答案】 B 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】作出可行域如下图所示： 当直线 经过点 时，此时纵截距最小，即 有最小值， 又 ，解得 ，所以 ， 所以 ， 故答案为：B. 【分析】根据题意作出可行域再由已知条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法 即可得出当直线经过点 A 时， z 取得最小值并由直线的方程求出点 A 的坐标， 然后把坐标代入到目标函数计 算出 z 的值即可。 4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比
10、较的增长率，环比增长率一般是指和上一时期相比较的 增长率.根据下图，2020 年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法错误的是（ ） A. 2020 年全国居民每月消费价格与 2019 年同期相比有涨有跌 B. 2020 年 1 月至 2020 年 12 月全国居民消费价格环比有涨有跌 C. 2020 年 1 月全国居民消费价格同比涨幅最大 D. 2020 年我国居民消费价格中 3 月消费价格最低 【答案】 D 【考点】频率分布折线图、密度曲线 【解析】【解答】对于 A，观察图中同比曲线，除 11 月份同比为-0.5，其余均是正值，所以 2020 年全国居 民每月消费价格与 2019 年
11、同期相比有涨有跌，A 正确，不符合题意. 对于 B，观察图中环比曲线，有正有负，如 2 月份 0.8，3 月份-1.2，环比有涨有跌，B 正确，不符合题意. 对于 C，观察图中同比曲线，1 月份同比增加 5.4，大于其他月份同比值，故 2020 年 1 月全国居民消费价格 同比涨幅最大，C 正确，不符合题意. 对于 D，观察图中环比曲线，3 月份环比值-1.2，4 月份-0.9，易知 4 月份消费价格比 3 月份低，D 错误，符 合题意. 故答案为：D. 【分析】由已知条件结合折线图中的数据对选项逐一判断即可得出答案。 5.已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， .则不等式 的解 集为（ ）
12、 A. B. C. D. 【答案】 C 【考点】偶函数，不等式 【解析】【解答】当 时， ，由 可得 ，即 ， 解得 ； 当 时， ，则 ，又 是偶函数， ，由 可得 ，即 ，解得 ， 综上， 的解集为 . 故答案为：C. 【分析】根据题意由偶函数的性质整理即可得出当 x 位于不同区间时的不等式 的解集，从而得 出答案。 6. 的展开式中 的系数为（ ） A. 48 B. 54 C. 60 D. 72 【答案】 D 【考点】二项式定理，二项式系数的性质 【解析】【解答】设 的展开式的通项公式为 ， 令 ， ；令 ， ， 所以 的展开式中 项的系数为： ， 故答案为：D. 【分析】根据题意首先求
13、出二项展开式的通项公式再结合题意令 以及 计算出展开式中 项 的系数即可。 7.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】 由于函数 在 上单调递增，所以 ， 由于函数 在 上单调递减，所以 ， 所以 . 故答案为：A. 【分析】 根据题意由对数函数的单调性即可得出 a 与 b 的大小关系， 再由指数函数的性质即可比较出大小。 8.在平行四边形 中， ， ， 点 为边 的中点， 若 ， 则 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】 C 【考点】数量积的坐标表达
14、式 【解析】【解答】 ， ，如图建立平面直角坐标系， ， ， ， 故答案为：C 【分析】首先建立直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即 可。 9.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球 面上， 圆锥的侧面展开图的圆心角为 ， 面积为 ， 则球 的 表面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【考点】球的体积和表面积 【解析】【解答】设圆锥母线为 ，底面半径为 ， 则 ，解得 ， 如图， 是圆锥轴截面，外接圆 是球的大圆，设球半径为 ， ， ， ， ， 所以球表面积为 故答案为：A 【分析】 利用已知条件求出圆锥的母线以及底面半径，然后求解球的半径，即可
15、求解球的表面积. 10.若函数 在区间 上仅有一条对称轴及一个对称中心， 则 的取 值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【考点】正弦函数的图象，由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】由题意，函数 ， 因为 ，可得 ， 要使得函数 在区间 上仅有一条对称轴及一个对称中心， 则满足 ，解得 ， 所以 的取值范围为 . 故答案为：B. 【分析】根据题意首先由两角和的正弦公式整理再结合正弦函数的图象即可得出 由此求 出 的取值范围。 11.已知数列 的前 项和为 ， ， ， ， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【考点】等比数列的通项公式，等
16、比数列的前 n 项和 【解析】 【解答】 因为 ， 所以 ， 又 ， 所以 ，所以 是等比数列，公比为 4，首项为 3， 则数列 也是等比数列，公比为 ，首项为 3 所以 故答案为：A 【分析】根据题意首先由数列的通项公式整理得出 从而判断出数列为等比数列再由等 比数列的前 n 项和公式代入数值计算出结果即可。 12.已知点 为抛物线 的焦点， ， 过点 且斜率为 的直线交抛物线于 ， 两 点，点 为抛物线上任意一点，若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【解答】由题可得 ，则直线 的方程为 ，设 ， 设
17、，则 ， ， ， 由 可得 ， 则 ，两式相减得 则可得 ，则当 时， 取得最小值为 . 故答案为：A. 【分析】首先由已知条件求出直线的方程再设出点的坐标由此得到向量的坐标，结合向量的线性运算公式 整理得出 ， 由特殊值法结合二次函数的性质即可求出最小值。 二、填空题（共二、填空题（共 4 题；共题；共 20 分）分） 13.记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 _. 【答案】 0 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前 n 项和 【解析】【解答】设等差数列 的公差 ， 由 ，可得： ， ， 即 ， 故答案为：0 【分析】首先由等差数列的前 n 项和公式整理再由整体思想结合等差数列的通项公
18、式计算出结果即可。 14.若函数 在点 处的切线过点 ，则实数 _. 【答案】 2e 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】解：函数 ，求导得 ， 所以 ， 所以函数 在点 处的切线方程为： ， 又因为切线过点 ，所以 ，解得： . 故答案为：2e 【分析】根据题意首先求出函数的导函数再把数值代入到导函数的解析式计算出切线的斜率值，在意点斜 式求出直线的方程并把点的坐标代入非常求出 m 的值即可。 15.已知双曲线 与抛物线 有共同的一焦点，过 的左焦 点且与曲线 相切的直线恰与 的一渐近线平行，则 的离心率为_. 【答案】 【考点】抛物线的简单性质，双曲线的简单性质 【解析
19、】【解答】因为抛物线与双曲线共焦点，所以 ， ，抛物线方程为 ， 双曲线的左焦点为 ，过 与一条渐近线 平行的直线方程为 ， 由 得 ， 所以 ，所以 ， 从而 ，离心率为 故答案为： 【分析】 由抛物线与双曲线的焦点相同可得 p 与 c 的关系，设过左焦点的直线方程为 与抛物 线方程联立，化为关于 y 的一元二次方程，利用判别式等于零以及直线平行可得进一步求得 a=b，再由双曲 线的离心率.的公式结合整体思想求出答案即可。 16.如图，正方体 中，点 ， 是 上的两个三等分点，点 ， 是 上 的两个三等分点，点 ， ， 分别为 ， 和 的中点，点 是 上的一个动点， 下面结论中正确的是_.
20、与 异面且垂直； 与 相交且垂直； 平面 ； ， ， ， 四点共面. 【答案】 【考点】向量的共线定理，异面直线及其所成的角，平面与平面平行的性质 【解析】【解答】建立如图所示空间直角坐标系： 设正方体棱长为 3， 因为 , ，所以 ，又 矩形 EFHG 与矩形 的中心重合， 且 过矩形 的中心， 所以 与 异面且垂直， 故正确； 因为 , ， 所以 ， 所以 与 不垂直，故错误； 由 ，设平面 的一个法向量 ，则 ，即 ，令 ，则 ,同理求得平面 EFN 的一 个法向量 ，因为 ，所以平面 平面 ，又因为 平面 ， 所以 平面 ，故正确； 因为 ，则 ，所以 ，则 ，所以 ， ， ， 四点共
21、面，故正确， 故答案为： 【分析】首先根据题意建立空间直角坐标系，利用向量共线的性质结合面面平行的判定定理对选项逐一判 断即可得出答案。 三、解答题（共三、解答题（共 7 题；共题；共 70 分）分） 17.在斜三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . （1）若 的面积为 ，且满足 ，求角 的大小； （2）证明： . 【答案】 （1）解：由 ， ，得 ， 又 ， ， . ， . （2）证明：由 及正弦定理得： ， . ， ， ， . 【考点】同角三角函数间的基本关系，正弦定理 【解析】 【分析】(1)根据题意由三角形的面积公式整理得到 再由正弦定理即可得出 从 而求出角 C 的大
22、小。 (2)首先由正弦定理整理得出 再结合诱导公式以及两角和的正弦公式整理得出 ， 然后由同角三角函数的基本关系式得证出结论即可。 18.2020 年 5 月 28 日，十三届全国人大三次会议表决通过了中华人民共和国民法典，自 2021 年 1 月 1 日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性 地位，也是市场经济的基本法.某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习中华人民共和国民法典并 组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取 名学生的成绩(单位：分)，绘 制成如图所示的茎叶图： （1）通过茎叶图分析哪个年级的学生
23、学习效果更好；(不要求计算，分析并给出结论) （2）根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级： 测试成绩(单位：分) 等级 合格 中等 良好 优秀 从样本中任取 2 名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这 2 名同学来自同一个年级的概率. 现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取 3 人座谈，记 为抽到高二年级的人数，求 的分布列和数学期 望. 【答案】（1）解：由图知：高二年级的学生成绩的平均分高于高一年级考核成绩的平均分， 高二年级的学生成绩比较集中，而高一年级的同学成绩比较分散. 所以高二年级的学生学习效果更好. （2）解：记事件 为“从样本中任取 2 名同学的竞赛成绩为优秀”， 事件 为
24、“这两个同学来自同一个年级”，则 ， . 所以在成绩为优秀的情况下，这 2 个同学来自同一个年级的概率为 . （3）由题意 的可能取值为 ， ， ， . ， ， ， . 所以 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为： . 【考点】茎叶图，列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变 量的期望与方差 【解析】【分析】(1)根据题意由茎叶图中的数据分析即可得出结论。 (2)由古典概率的公式代入数值计算出结果即可。 (3)根据题意即可得出 X 的取值，再由概率的公式求出对应的 X 的概率由此得到 X 的分布列，结合数学期望 公式计算出答案即可。 19.如图，在四棱锥
25、 中，四边形 为梯形， ， ， 平面 . （1）求证：平面 平面 ； （2）若 ， ，求二面角 所成角的余弦值. 【答案】 （1）证明：由 平面 ，且 平面 ，所以 . 又由 ，且 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以平面 平面 . （2）解：建立如图所示空间直角坐标系 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 . 由 ， ，可得 ， ， ， 则 , 设平面 的法向量为 ， 则 ，即得 ，取 ，得 ， ， 所以平面 的一个法向量为 . 取平面 的一个法向量 ， 可得 . 因为二面角 所成角为锐角，所以二面角 的余弦值为 . 【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】 (1
26、)利用线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再结合线面垂直的判定定理即可得证出 结论。 (2)建立合适的空间直角坐标系， 求出所需点的坐标和向量的坐标， 然后利用待定系数法求出平面的法向量， 由向量的夹角公式求解即可. 20.已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，上顶点为 ，左顶点为 ，且 . （1）求椭圆的方程； （2）已知 ， ，点 在椭圆上，直线 ， 分别与椭圆交于另一点 ， ，若 ， ，求证： 为定值. 【答案】 （1）解：设 .由题意得 ， ， ， ， . 解得 ， . 椭圆的方程为 . （2）解：设 ， ， . 由 ， ， 得 ， ， ， ， 又点 ， ， 均在椭圆上， 由 且 得 ，
27、 . 同理，由 且 得 . 联立得 . 联立得 ， 为定值 . 【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】(1) 根据题意由椭圆的定义以及已知条件 ， 结合椭圆里 a、b、 c 的关系即可求出 a 与 b 的值由此得出椭圆的方程。 (2) 设出点 的坐标 ，由已知向量关系建立等式关系，再利用点在椭圆上代入椭圆方程建立关系式，联立 即可证明. 21.已知函数 . （1）当 时，求函数 的极值点的个数； （2）若 ，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）解：当 时， ， 即 ， 易知 在 单调递增. 又 ， ， 存在唯一 ，使得 . 当 时， ， 当 时， ， 函数 在 单
28、调递减，在 单调递增， 函数 有唯一极值点 . （2）解： ，由题意得 ， 易知 在 单调递增. 且 时， ， 时， ， 存在唯一 ，使 ， 当 时， ，当 时， ， 函数 在 单调递减，在 单调递增， 且 ， . ， 即 ， 即 ， 令 ，则 . 设 ， ， 在 递减，又 ， ， ， ， . 【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】(1)首先由 a 的值求出函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数 f(x)的单 调性，然后由函数的单调性结合极值的定义即可得出答案。 (2)根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数 f(x)的
29、单调性， 再由函数的单调性即可求出函数 f(x) 的最小值，令 得到 ， 构造函数 结合导函数的性质即 可得出函数 在 递减，从而得到 即 ， 由此得出 a 的取 值范围。 22.在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的参 数方程为 ( 为参数， ).以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）分别写出曲线 和直线 的极坐标方程； （2）直线 与曲线 交于 ， 两点，若 ，求直线 的斜率. 【答案】 （1）解：由 得 . 由 得曲线 的极坐标方程为 . 直线 的极坐标方程为 . （2）解：将直线 ， 代入曲线 的方程得 . 由 ，解得 . 设 ， ， 由
30、韦达定理得 ， . ， ， 所以 ， 所以 ，满足 . ， 或 ， ， 直线 的斜率为 . 【考点】直线的斜率，点的极坐标和直角坐标的互化 【解析】 【分析】 (1)根据题意直接利用转换关系， 在参数方程、 极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数关系式和三角函数的值的应用求出结果. 23.已知函数 ， . （1）求不等式 的解集； （2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）解：不等式 即 当 时， ，解得 ； 当 时， 不成立； 当 时， ，解得 . 综上，不等式 的解集为 . （2）解：由题意得 ， 当 时， ，显然成立. 要使 成立， 即 ， 令 ， 即 (当且仅当 时取得等号) (当且仅当 时取得等号). 当 时函数 取得最小值 . . 即实数 的取值范围为 . 【考点】基本不等式在最值问题中的应用，绝对值三角不等式 【解析】【分析】(1)由绝对值的几何意义整理得出不等式 的解集即可。 (2)根据题意由已知条件整理得出 分离参数得到 构 造函数 整理结合基本不等式即可求出最小值，从而求出 a 的取值范围即可。
