1、10 绳杆关联运动模型 1(2020 辉县市第二高级中学高一月考)如图所示，AB 杆以恒定角速度 绕 A点转动，并带动套在光滑水 平杆 OC 上的质量为 M的小环运动，运动开始时，AB 杆在竖直位置，则小环 M 的速度将( ) A逐渐增大 B先减小后增大 C先增大后减小 D逐渐减小 【答案】A 【详解】 设经过时间 t，OABt， 则 AM的长度为 cos h t ， 则 AB杆上 M点绕 A点的线速度 cos h v t 将 小环 M 的速度沿 AB 杆方向和垂直于 AB杆方向分解， 垂直于 AB 杆上分速度等于 M 点绕 A点的线速度 v，则小环 M 的速度 2 coscos vh v t
2、t ，随着时间的延长，则小环的速度的大小不断变大故 A正 确，BCD错误 故选 A 2(2020 浙江高一专题练习)如图所示，套在细杆上的小环沿杆匀速下滑，其在水平方向和竖直方向的分运 动分别是( ) A匀速运动，匀速运动 B匀加速运动，匀加速运动 C匀速运动，匀加速运动 D匀加速运动，匀速运动 【答案】A 【详解】 小环沿杆匀速下滑， 说明小环的合力为零， 所以小环在水平方向所受合力为零， 竖直方向的合力也为零， 即小环在水平方向和竖直方向都做匀速直线运动，故 A 正确 3(2020 四川眉山市 高一期中)如图所示，人用轻绳通过定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块 A，人以速度 v0 向左匀速拉绳
3、，某一时刻，绳与竖直杆的夹角为，与水平面的夹角为，此时物块 A的速度 v1为 A 10sin cosvv B 0 1 sin sin v v C 10cos cosvv D 0 1 cos cos v v 【答案】D 【解析】 对人进行速度分解，如图所示： 可知： 0cos vv 对物块 A 进行速度分解，如图所示，则可知： 0 1 cosvv v coscos ，故选项 D 正确，选项 ABC 错误 点睛：解决本题的关键会对速度进行分解，要正确找到合运动与分运动，注意两个物体沿着绳子方向的 分速度相等 4 (2020 湖南娄底市 娄底一中)两根光滑的杆互相垂直地固定竖直平面内 上面分别穿有一
4、个小球 小球 a、 b 间用一细直棒相连如图释放后两球都开始滑动当细直棒与竖直杆夹角为 时，两小球实际速度大 小之比 vavb等于 Asin1 Bcos1 Ctan1 Dcot1 【答案】C 【详解】 速度的合成与分解，可知，将两球的速度分解，如图所示， 则有： a v v cos 杆 ，而 b v v sin 杆 ，那么两小球实际速度之比 va：vb=sin：cos=tan：1 故 C 正确，ABD 错误 故选 C 5(2020 运城市景胜中学高一期末)如图所示，小球 a、b用一细直棒相连，a球置于水平地面，b 球靠在竖 直墙面上， 释放后b球沿竖直墙面下滑， 当滑至细直棒与水平面成角时，
5、两小球的速度大小之比为( ) A a b sin v v B a b cos v v C a b tan v v D a b cot v v 【答案】C 【详解】 如图所示，将 a 球速度分解成沿着杆与垂直于杆方向，同时 b 球速度也是分解成沿着杆与垂直于杆两方 向。 对于 a 球 acos vv 对于 b 球 bsin vv 由于同一杆，则有 ab cossinvv 所以 a b tan v v 故选 C。 【点睛】 根据运动的分合成与解，分别将两球速度进行分解，并借助于同一杆的速度相同，从而确定两球的速度 关系， 从而即可求解； 考查运动的分成与分解的规律， 学会对实际的分解， 同时掌握对
6、三角知识的应用， 注意夹角 的确定是解题的关键。 6 (2020 绵阳市 四川省绵阳江油中学高一月考)如图所示， 某人在沿直线匀速行驶的火车车厢中面对车窗观 察到雨滴下落时与竖直方向的夹角为，已知车窗外无风，火车速度为v1，雨滴对地速度为v2，则 Av1水平向他的右手方向，v2竖直向下，且v1= v2tan Bv1水平向他的左手方向，v2竖直向下，且 v1= v2tan Cv1水平向他的右手方向，v2与竖直方向成 角向左下，且v1= v2cos Dv1水平向他的左手方向，v2与竖直方向成 角向左下，且v1= v2cos 【答案】B 【详解】 雨滴对地竖直下落，相对火车向右下方运动，说明火车对地
7、向人的左手方向运动； 1 2 tan v v ，则v1= v2tan，B 正确、ACD 错误 故选 B 7 (2020 山西省长治市第二中学校高一期末)如图， 在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下， 当小车以速度v匀 速向右运动当小车运动到与水平面夹角为时，下列关于物体 A说法正确的是( ) A物体 A此时的速度大小为cosv，物体 A 做减速运动，绳子拉力小于物体重力 B物体 A此时的速度大小为cosv，物体 A 做加速运动，绳子拉力大于物体重力 C物体 A此时的速度大小为/cosv，物体 A 做减速运动，绳子拉力小于物体重力 D物体 A此时的速度大小为/cosv，物体 A 做加速运动，绳子拉力
8、大于物体重力 【答案】B 【详解】 小车沿绳子方向的速度等于 A 的速度，设绳子与水平方向的夹角为 ，根据平行四边形定则，物体 A的 速度 vA=vcos； 小车匀速向右运动时，减小，则 A 的速度增大，所以 A 加速上升，加速度方向向上，根据牛顿第二定 律有：T-GA=mAa知拉力大于重力故 B正确，ACD 错误 8(2020 沈阳市第一二中学高一月考)如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M， 长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处 拴一细绳，绕过两个滑轮后挂上重物M，C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力，使其逆时针匀 速
9、转动， 由竖直位置以角速度缓缓转至水平位置(转过了90角)， 此过程中下述说法中正确的是( ) A重物M做匀速直线运动 B重物M先超重后失重 C重物M的最大速度是L，此时杆水平 D重物M的速度先减小后增大 【答案】B 【详解】 ACD设 C点线速度方向与绳子沿线的夹角为 (锐角)，由题知 C 点的线速度为 c vL 该线速度在绳子方向上的分速度为 1 v 1 cosvL 的变化规律是从开始最大(90 )然后逐渐变小，所以 1 v逐渐变大，直至绳子和杆垂直， 变为零度，绳 子的速度变为最大，为 L；然后， 又逐渐增大， 1 v逐渐变小，绳子的速度变慢。所以知重物的速度先 增大后减小，且最大速度为
10、 L，此时杆是与绳垂直，而不是水平的，故 ACD错误； B 上面的分析得出， 重物的速度先增大后减小， 所以重物M先向上加速后向上减速， 即先超重后失重， 故 B 正确。 故选 B。 【点睛】 解决本题的关键在于掌握运动的合成与分解，把 C点的速度分解为沿绳方向和垂直于绳的方向，沿绳方 向的分速度等于重物的速度。 9(2020 仙游县度尾中学高一期末)如图,套在竖直杆上的物块 P与放在水平桌面上的物块 Q 用足够长的轻 绳跨过定滑轮相连，将 P由图示位置释放,当绳与水平方向夹角为 时物块 Q的速度大小为 v，此时物块 P 的速度大小为( ) Asinv Bcosv C sin v D cos
11、v 【答案】C 【分析】 将物块 P 的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子的方向，在沿绳子方向的分速度等于 Q的速度，依据运 动的合成法则，即可求解。 【详解】 将物块 P 的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子的方向，在沿绳子方向的分速度等于 Q的速度。已知 Q 的速度为 v，即在沿绳子方向的分速度为 v，可得 sin P vv 则 sin P v v C正确，ABD错误。 故选 C。 10 (2020 勃利县高级中学高一期末)一轻杆两端分别固定质量为 mA和mB的两个小球A和 B(可视为质点)， 将其放在一个光滑球形容器中从位置 1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置 2时球 A与球形容器球心 等
12、高，其速度大小为 v1，已知此时轻杆与水平方向成=30角，B球的速度大小为 v2，则( ) Av2= 1 2 v1 Bv2=2v1 Cv2=v1 Dv2= 3v1 【答案】C 【详解】 球 A 与球形容器球心等高，速度 v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有 v11=v1sin30= 1 2 v1 球 B 此时速度方向与杆成=60角，因此 v21=v2cos60= 1 2 v2 沿杆方向两球速度相等，即 v21=v11 解得 v2=v1 故选 C。 11(2020 衡水市第十四中学高一期中)如图所示，一轻杆两端分别固定两个可视为质点的小球 A 和 B。将 其放到一个光滑的球形容器中并在竖直面上
13、运动，当轻杆到达 A 球与球形容器球心等高时，其速度大小 为 v1，已知此时轻杆与水平方向成 30角，B 球的速度大小为 v2，则( ) A 21 vv B 21 2vv C 1 2 2 v v D 21 3vv 【答案】A 【详解】 两小球沿杆的速度相等，所以以杆方向建立直角坐标系，对两小球速度进行分析如图 则 12 sinsinvv 所以 21 vv A正确，BCD错误。 故选 A。 12(2020 四川资阳市 高一期末)如图所示，套在竖直细杆上的环 A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物 B 相连。由于 B 的质量较大，故在释放 B后，A 将沿杆上升，当 A环上升至与定滑轮的连线水平时，其
14、 上升速度 v10，若这时 B的速度为 v2，则( ) Av20 Bv2v1 Cv20 Dv2v1 【答案】A 【详解】 环上升过程中其速度 v1可分解为两个分速度 v和 v，如下图所示 其中 v为沿绳方向的速度，其大小等于重物 B的速度为 v2；v为绕定滑轮转动的线速度，则关系式为 v2=v1cos 为 v1与 v间的夹角，即有：v2v1，当 A 上升至与定滑轮的连线处于水平的位置时，=90 ，cos=0， 即此时有：v2=0，故 A正确 BCD错误。 故选 A。 13(2020 陕西西安市 长安一中高一月考)两根光滑的杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有两个小球 a 和 b，小球 a、b间
15、用一细直棒相连，如图所示。当细直棒与竖直杆夹角为 时，求小球 a、b实际速度大 小之比( ) Atan Bsin Ccos D 1 tan 【答案】A 【详解】 将两球的速度分解，如图所示 根据运动的合成与分解和两球沿着杆方向的分速度相等，则有 cossin ab vv 那么两小球实际速度之比 sin:cos:tan ab vv 故 A 正确，B、C、D 错误； 故选 A。 14(2020 上林县中学高一期末)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质 量为 m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为 d，现将小环从定滑轮等 高的 A处由静止释放，当
16、小环沿直杆下滑的距离也为 d时，(图中 B 处)，下列说法正确的是( ) A小环刚释放时轻绳中的张力一定小于2mg B小环到达 B处时，重物上升的高度也为 d C当小环在 B处时，小环与重物的速度大小之比等于 2 D当小环在 B处时，小环与重物的速度大小之比等于 2 2 【答案】C 【详解】 A环刚开始释放时，重物要向上加速运动，所以绳子的张力大于重物的重力，即 T大于 2mg，故 A错 误； B小环到达 B处时，重物上升的高度应为绳子缩短的长度，即 221hddd 故 B 错误； CD根据题意，小环与重物沿绳子方向的速度大小相等，将小环 A的速度沿绳子方向与垂直于绳子方向 正交分解应满足：
17、cos45vv 环物 即得，小环在 B处的速度与重物上升的速度大小之比 2 1 v v 环 物 故 C 正确，D错误。 故选 C。 15(2020 全国高一专题练习).如图所示，悬线一端固定在天花板上的 O 点，另一端穿过一个 CD 光盘的中 央小孔后系一个小球，当小球静止时，悬线恰好处于竖直方向并且刚好挨着水平桌面的边缘，现将光盘 按在水平桌面上，并且沿着水平桌面的边沿以速度 v 向右匀速移动，不计悬线与孔的摩擦，CD光盘始终 紧挨桌面边缘，当悬线与竖直方向的夹角为 时，小球移动的速度大小为( ) A 2 1sinv Bsinv Ctanv D tan v 【答案】A 【详解】 线与光盘的交
18、点参与两个运动，一是沿着线方向的运动，二是垂直线方向的运动，则合运动的速度大小 为v，由数学三角函数关系，则有 sinvv 线 而线的速度，即为小球上升的速度 小球同时还参与水平方向的匀速直线运动，速度大小为v，因此小球的合速度为 222 1 +1 sinvvvv 线 A. 2 1sinv ，与分析相符，故 A正确； B. sinv，与分析不相符，故 B错误； C. tanv，与分析不符，故 C 错误； D. tan v ，与分析不符，故 C错误 16(2020 安徽黄山市 屯溪一中)如图所示，有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块 A、B分别套在水 平杆与竖直杆上，A、B 用一不可伸长的轻
19、细绳相连，A、B质量相等，且可看作质点，开始时细绳水平 伸直，A、B 静止由静止释放 B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为 60时，滑块 B 沿着竖直杆下滑 的速度大小为 v，则 A的速度大小为( ) Av B 3 3 v C 3 2 v D 1 2 v 【答案】B 【详解】 将A、B的速度分解为沿绳的方向和垂直于绳子的方向，两物体沿绳子方向的速度相等，有： 6030 BA v cosv cos，所以A的速度大小为： 3 3 A vv，故选项 B 正确，A、C、D错误 17(2020 大庆市第十中学高一期末)某人用绳子通过定滑轮拉物体 A，A 穿在光滑的竖直杆上，人以速度 v0 匀速向下拉绳，
20、当物体 A到达如图所示位置时， 绳与竖直杆的夹角为 ， 则物体 A实际运动的速度是( ) A 0 v cos B 0 v sin Cv0cos Dv0sin 【答案】A 【详解】 将 A 的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图所示， 拉绳子的速度等于 A沿绳子方向的分速度，根据平行四边形定则得，实际速度 0 v v cos 故 A 正确， BCD错误 18(2020 霍邱县第二中学高一月考)如图所示,做匀速直线运动的小车 A 通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一 重物 B,设重物和小车速度的大小分别为 vB、vA,则( ) A AB vv B AB vv C绳的拉力等于B的重力 D绳的拉力大于
21、B的重力 【答案】AD 【分析】 将小车的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的速度等于重物的速度大小，从而判断 出重物的运动规律，从而判断绳的拉力与 B 的重力关系 【详解】 小车的运动可分解为沿绳方向和垂直于绳的方向的两个运动， 设斜拉绳子与水平面的夹角为 ，由几何关系可得：vB=vAcos，所以 vAvB；故 A 正确，B 错误；因小 车匀速直线运动，而 逐渐变小，故 vB逐渐变大，物体有向上的加速度，绳的拉力大于 B 的重力，故 C 错误，D正确；故选 AD 【点睛】 解决本题的关键将汽车的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，知道沿绳子方向的速度等于重物的 速度大小，注意
22、三角知识与几何知识的运用 19(2020 山东高一期末)如图所示，在灭火抢救过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进 行救人或灭火作业。为了节省救援时间，消防队员沿梯子匀速向上运动的同时消防车匀减速后退，整个 运动过程中梯子与水平方向的夹角保持不变。关于消防队员的运动，下列说法正确的是( ) A消防队员做匀减速直线运动 B消防队员做匀变速曲线运动 C消防队员做变加速曲线运动 D消防队员竖直方向的速度保持不变 【答案】BD 【详解】 ABC根据运动的合成可知，合初速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线，并且加速度的大小方 向不变，所以消防员做匀变速曲线运动，故 A、C错误，B正确；
23、D将消防员的运动分解为水平方向和竖直方向，可知竖直方向上的速度为沿梯子方向速度在竖直方向 上的分速度，由于消防队员沿梯子匀速向上运动，所以消防队员竖直方向的速度保持不变，D正确。 故选 BD。 20(2020 黑龙江大庆市 铁人中学高一期中)如图，轻杆长为 L，一端铰接在地面上可自由转动，一端固定 一质量为 m的小球(半径可忽略)， 一表面光滑的立方体物块(边长为 a， 且 a远小于杆长 L)在水平外力 F 作用下由杆的小球一端沿光滑地面以速度 v0向左做匀速直线运动，并将杆顶起。下列说法正确的是 ( ) A在杆与地面夹角转到 90 之前，F所做的功等于小球动能的改变量 B在杆与地面夹角转到
24、90 之前，小球的速度一直增大 C当杆与地面的夹角为 时，杆的角速度 2 0sin v a D当杆与地面的夹角为 时，小球克服重力做功的瞬时功率为 2 0 sincosmgv L P a 【答案】BCD 【分析】 【详解】 A由能量守恒定律可得，在杆与地面夹角转到 90 之前，F 所做的功等于小球机械能(动能和重力势能) 的改变量，故 A错误； B木块速度为 v0，杆上和木块接触点的速度为 v0，触点绕固定点转动的分速度 v，由运动的分解可得 v=v0sin 因触点和小球在同一杆上以相同角速度转动，故在杆与地面夹角转到 90 之前，小球的速度一直增大， 故 B 正确； C当杆与地面的夹角为 时
25、，木块与棒的触点绕固定点转动的分速度 v=v0sin 而触点与固定点的距离为 sin a r 可得杆的角速度 2 0sin v a 故 C 正确； D当杆与地面的夹角为 时，故棒的角速度 2 0sin v a 故小球的竖直方向分速度为 v=Lcos 小球克服重力做功的瞬时功率 2 0 sincosmgv L Pmgv a 故 D 正确。 故选 BCD。 21(2020 宝鸡中学高一期中)如图所示，水平光滑长杆上套有小物块 A，细线跨过位于 O点的轻质光滑定 滑轮，一端连接 A，另一端悬挂小物块 B，物块 A、B 质量相等C为 O点正下方杆上的点，滑轮到杆的 距离 OCh， 重力加速度为 g.开
26、始时 A 位于 P 点， PO与水平方向的夹角为30， 现将 A、 B 由静止释放， 下列说法正确的是( ) A物块 A由 P 点出发第一次到达 C点过程中，速度先增大后减小 B物块 A经过 C点时的速度大小为2gh C物块 A在杆上长为2 3h的范围内做往复运动 D在物块 A 由 P点出发第一次到达 C 点过程中，物块 B克服细线拉力做的功小于 B 重力势能的减少量 【答案】BC 【详解】 A物块 A由 P 点出发第一次到达 C点过程中，绳子拉力对 A做正功，其余的力不做功，所以物体 A的 动能不断增大，速度不断增大，故 A错误 B 物体到 C点时物块 B的速度为零 设物块 A经过 C点时的
27、速度大小为 v 根据系统的机械能守恒得： 2 1 302 h mghmv sin （），得2vgh，故 B正确 C由几何知识可得3 30 h ACh tan ，由于 A、B 组成的系统机械能守恒，由对称性可得物块 A在 杆上长为 2 3h的范围内做往复运动故 C 正确 D 物体到 C 点时物块 B 的速度为零 根据功能关系可知， 在物块 A由 P 点出发第一次到达 C 点过程中， 物块 B克服细线拉力做的功等于 B 重力势能的减少量，故 D 错误 22(2020 河北唐山市 唐山一中高一期中)如图所示，固定斜面倾角为 45，在其顶端装有定滑轮，细绳的 一端与水平面上的滑块连接，此绳跨过定滑轮后
28、于另一端系一物体 B，设滑块 A 和物体 B 的质量相等， 绳子两端点竖直高度差为 h，滑轮质量及半径与绳的质量均不计，一切摩擦不计。先用手使 A静止于图 示位置，此时绳与水平面夹角为 30，然后放手。求滑块 A 到达斜面底端时的速率。 【答案】 22 2 3 gh 【详解】 A 未动时，A 与轮间绳长为 s1，有 1 2 sin30 h sh A 到斜面底端时，A与轮间绳长为 s2，有 2 2 sin45 h sh B 下落的高度为 12 (22)hssh A 的速度为 vA，B 的速度为 vB，有 vB=vAcos45 对 A、B 由动能定理有 22 11 22 AB mghmvmv 解得
29、 22 2 3 A vgh 23(2020 全国高一课时练习)如图，足够长光滑斜面的倾角为 =30 ，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为 a=6m，斜面上的物体 M和穿过细杆的 m 通过跨过定滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接 m 的 轻绳处于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，已知 M=3kg，m=5.2kg，g=10m/s2 (1)求 m下降 b=8m时两物体的速度大小各是多大？ (2)若 m下降 b=8m时恰绳子断了，从此时算起 M最多还可以上升的高度是多大？ 【答案】(1)10m/s；8m/s；(2)3.2m 【详解】 (1)设 m下降 b时两物体的速度大小为 v1，此时 M 的速度大小为 v2； 根据整体在下落过程中，只有重力做功，机械能守恒，则有： 2222 12 11 22 mgbMgabasinmvMv（）； 由运动的合成与分解，结合几何知识，则有： 21 22 b vv ab ； 联立以上两式解得：v1=10m/s；v2=8m/s； (2)若 m下降 b=8m时恰绳子断了，此时 M 的速度为 8m/s； 根据机械能守恒定律可知：Mgh= 1 2 Mv22 解得：h=3.2m；
