1、2021 年广东省广州市花都区中考数学一模试卷年广东省广州市花都区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 题，每小题题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 ）目要求的 ） 1 （3 分）5 的绝对值是（ ） A5 B5 C D5 2 （3 分）下列正多边形中，对称轴最多的是（ ） A B C D 3 （3 分）广州启动集团化办学，三年耕耘硕果累累，有五个区成立的区属教育集团个数分别为 2，5，8， 3，2，这组数据的中位数是（ ） A2 B3 C5 D8 4 （3
2、分）下列运算正确的是（ ） A2a+5b10ab Bx2x3x6 C （m2n）3m5n4 D12m2n3mn4m 5 （3 分）平面直角坐标系中，O 的圆心在原点，半径为 5，则点 P（0，4）与O 的位置关系是（ ） A点 P 在O 内 B点 P 在O 上 C点 P 在O 外 D无法确定 6 （3 分）如图，某地修建一座高 BC5m 的天桥，已知天桥斜面 AB 的坡度为 1：，则斜坡 AB 的长度 为（ ） A10m B10m C5m D5m 7 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC8，AD 是角平分线，BE 是中线，则 DE 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 8 （3 分）如图，抛
3、物线 yx24x+3 与 x 轴交于 A，B 两点，将抛物线向上平移 m 个单位长度后，点 A，B 在新抛物线上的对应点分别为点 C， D， 若图中阴影部分的面积为 8， 则平移后新抛物线的解析式为 （ ） Ayx24x+3 Byx24x+5 Cyx24x+7 Dyx24x+11 9 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x210 x+m0 的两个实数根分别是 x1，x2，且以 x1，x2，6 为三边的三角 形恰好是等腰三角形，则 m 的值为（ ） A24 B25 C24 或 25 D无法确定 10 （3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 B，C 分别在 x 轴，y 轴上，OB4，OC3，AB1
4、0，将矩形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 2021 次旋转结束时，点 A 的坐标为（ ） A （10，8） B （8，10） C （10，8） D （8，10） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分 ）分 ） 11 （3 分）在ABC 中，A45，B60，则C 的度数是 12 （3 分）分解因式：x21 13 （3 分）如图，圆锥的母线长 SA3，底面圆的周长是 2，则圆锥的侧面积是 14 （3 分）一次函数 ykx+2k 的图象如图所示，当 y0 时，则 x 的取值范围是 15 （3 分）已知 1，a，
5、2 分别是三角形的三边长，则+|a3| 16 （3 分）如图，平行四边形 OABC 的顶点 A（3，0）在 x 轴的正半轴上，点 D 是对角线 OB，AC 的交点， 反比例函数 y（k0，x0）的图象经过 C，D 两点已知 cosBOA，则 AB 的长 为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17 （4 分）解方程组： 18 （4 分）如图，菱形 ABCD 中，DMAB 于点 M，DNBC 于点 N求证：AMCN 19 （6 分）已知：T （1）化简 T； （2）
6、当 2a+60 时，求 T 的值 20 （6 分）2021 年广州市中考体育考试实行新方案，甲、乙两位考生都在二类考试项目“跳类”中自选一 个项目参加考试，已知“跳类”项目有：A立定跳远，B三级蛙跳，C一分钟跳绳请用列举法求 出这两个考生选择的“跳类”项目恰好相同的概率 21 （8 分）广州某公交线路日均运送乘客总量为 15600 人次，实施 5G 快速公交智能调度后，每趟车平均 运送乘客量比智能调度前增加了 20%若日均运送乘客总量保持不变，则每日发车数量比智能调度前减 少 26 趟求实施智能调度前每趟车平均运送乘客量为多少人次 22 （10 分）如图，过点 P（2，2）分别作 x 轴，y
7、轴的垂线，交双曲线 y（k0）于 E，F 两点 （1）若 k2，求点 E，F 的坐标； （2）若 EF5，求此双曲线的解析式 23 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC8cm，BC16cm （1）尺规作图：作 AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E（保留作图痕迹，不要求写作法） ； （2）连接 AE，动点 M，N 分别从点 A，C 同时出发，均以每秒 1cm 的速度分别沿 AE、CB 向终点 E，B 运动，是否存在某一时刻 t 秒（0t10） ，使MNC 的面积 S 有最大值？若存在，求 S 的最大值；若不 存在，请说明理由 24 （12 分）已知抛物线
8、 yx2+6mx+9m26m8 的顶点为 P （1）当 m1 时，求点 P 的坐标； （2）经过探究发现，随着 m 的变化，顶点 P 在某直线 l 上运动，直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两 点，求AOB 的面积； （3）若抛物线与直线 l 的另一交点为 Q，以 PQ 为直径的圆与坐标轴相切，求 m 的值 25 （12 分）已知，AB 是O 的直径，AB，ACBC （1）求弦 BC 的长； （2） 若点 D 是 AB 下方O 上的动点 （不与点 A， B 重合） ， 以 CD 为边， 作正方形 CDEF， 如图 1 所示， 若 M 是 DF 的中点，N 是 BC 的中点，求证：线
9、段 MN 的长为定值； （3）如图 2，点 P 是动点，且 AP2，连接 CP，PB，一动点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位的速度沿 线段 CP 匀速运动到点 P，再以每秒 1 个单位的速度沿线段 PB 匀速运动到点 B，到达点 B 后停止运动， 求点 Q 的运动时间 t 的最小值 2021 年广东省广州市花都区中考数学一模试卷年广东省广州市花都区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 题，每小题题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
10、合题 目要求的 ）目要求的 ） 1 （3 分）5 的绝对值是（ ） A5 B5 C D5 【分析】根据绝对值的含义和求法，可得5 的绝对值是：|5|5，据此解答即可 【解答】解：5 的绝对值是：|5|5 故选：A 【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：互为 相反数的两个数绝对值相等；绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于 0 的数有一个，没有绝对 值等于负数的数有理数的绝对值都是非负数 2 （3 分）下列正多边形中，对称轴最多的是（ ） A B C D 【分析】根据正多边形的性质对各选项进行逐一分析即可 【解答】解：A、正三角形有三条对称轴，故本
11、选项不符合题意； B、正方形有 4 条对称轴，故本选项不符合题意； C、正五边形有 5 条对称轴，故本选项不符合题意； D、正六边形有 6 条对称轴，故本选项符合题意 故选：D 【点评】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键 3 （3 分）广州启动集团化办学，三年耕耘硕果累累，有五个区成立的区属教育集团个数分别为 2，5，8， 3，2，这组数据的中位数是（ ） A2 B3 C5 D8 【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数 【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列 2，2，3，5，8，处于中间位置的那个数是 3， 则这组
12、数据的中位数是 3 故选：B 【点评】此题考查中位数的意义中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的 那个数（或最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） A2a+5b10ab Bx2x3x6 C （m2n）3m5n4 D12m2n3mn4m 【分析】A 选项不是同类项，不能合并；B 选项应该指数相加；C 选项积的乘方，等于每一个因式分别 乘方的积；D 选项是单项式与单项式相除，正确 【解答】解：A不是同类项，不能合并，不符合题意； B同底数幂相乘，底数不变，指数相加，不符合题意； C积的乘方，等于每一个因式分别乘方的积， （m2n）
13、3（m2）3n3m6n3，不符合题意； D单项式与单项式相除，12m2n3mn（123） （m2m） （nn）4m，符合题意 故选：D 【点评】本题考查了整式的运算，解题的关键是牢记计算的公式 5 （3 分）平面直角坐标系中，O 的圆心在原点，半径为 5，则点 P（0，4）与O 的位置关系是（ ） A点 P 在O 内 B点 P 在O 上 C点 P 在O 外 D无法确定 【分析】本题根据题意可作图可知 dr，即可判定点 P 与O 的位置关系 【解答】解：由题意可作图，如下图所示： d45， 点 P 在O 内 故 A 正确，B、C、D 错误， 故选：A 【点评】本题考查点与圆的位置关系，根据 d
14、与 r 的关系判断是解题关键 6 （3 分）如图，某地修建一座高 BC5m 的天桥，已知天桥斜面 AB 的坡度为 1：，则斜坡 AB 的长度 为（ ） A10m B10m C5m D5m 【分析】直接利用坡度的定义得出 AC 的长，再利用勾股定理得出 AB 的长 【解答】解：如图所示： i1：，BC5m， ， 解得：AC5（m） ， 则 AB10（m） ， 故选：A 【点评】此题主要考查了解直角三角的应用，由坡度的定义正确得出 AC 的长是解题关键 7 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC8，AD 是角平分线，BE 是中线，则 DE 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】由等腰三角形
15、的性质推出 ADBC，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求得 DE 【解答】解：ABAC8，AD 是角平分线， ADBC， ADC90， BE 是中线， AECE， DEAC84， 故选：B 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟记这两个性质是解决问题 的关键 8 （3 分）如图，抛物线 yx24x+3 与 x 轴交于 A，B 两点，将抛物线向上平移 m 个单位长度后，点 A，B 在新抛物线上的对应点分别为点 C， D， 若图中阴影部分的面积为 8， 则平移后新抛物线的解析式为 （ ） Ayx24x+3 Byx24x+5 Cyx24x+7 Dyx24x+11 【分
16、析】利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与 x 轴交点的横坐标，由阴影部分的面积等于矩 形 ABCD 的面积可求出 AC 的长度，再利用平移的性质“左加右减，上加下减” ，即可求出平移后新抛物 线的解析式 【解答】解：当 y0 时，有 x24x+30， 解得：x11，x23， AB2 S阴影ACAB8， AC4， 平移后新抛物线的解析式为 yx24x+3+4x24x+7 故选：C 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、矩形的面积以及二次函数图形与几何变换，观察图形，找出 阴影部分的面积等于矩形 ABCD 的面积是解题的关键 9 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x210 x+m0 的
17、两个实数根分别是 x1，x2，且以 x1，x2，6 为三边的三角 形恰好是等腰三角形，则 m 的值为（ ） A24 B25 C24 或 25 D无法确定 【分析】分 6 为底边和 6 为腰两种情况分类讨论即可确定 m 的值 【解答】解：当 6 为底边时，则 x1x2， 1004m0， m25， 方程为 x210 x+250， x1x25， 5+56， 5，5，6 能构成等腰三角形； 当 6 为腰时，则设 x16， 3660+m0， m24， 方程为 x210 x+240， x16，x24， 6+46， 4，6，6 能构成等腰三角形； 综上所述：m24 或 25， 故选：C 【点评】本题考查了根
18、的判别式，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题 是解题的关键 10 （3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 B，C 分别在 x 轴，y 轴上，OB4，OC3，AB10，将矩形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 2021 次旋转结束时，点 A 的坐标为（ ） A （10，8） B （8，10） C （10，8） D （8，10） 【分析】过点 A 作 AEx 轴于点 E，连接 OA，根据已知条件求出点 A 的坐标，探究规律，利用规律解 决问题即可 【解答】解：过点 A 作 AEx 轴于点 E，连接 OA OB4，OC3， BC5， AEBABCBOC9
19、0， ABE+CBO90，CBO+BCO90， ABEBCO， AEBBOC， ， ， AE8，BE6， OE10， A（10，8） ， 则第 1 次旋转结束时，点 A 的坐标为（8，10） ， 则第 2 次旋转结束时，点 A 的坐标为（10，8） ， 则第 3 次旋转结束时，点 A 的坐标为（8，10） ， 则第 4 次旋转结束时，点 A 的坐标为（10，8） ， 观察可知，4 次一个循环， 20214505.1， 第 2021 次旋转结束时，点 A 的坐标为（8，10） ， 故选：D 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型点的坐标，解决本题 的关键是根据旋转的性质发 现规律，总结规律
20、 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分 ）分 ） 11 （3 分）在ABC 中，A45，B60，则C 的度数是 75 【分析】根据三角形的内角和是 180直接计算即可 【解答】解：C180AB75 【点评】此题考查了三角形的内角和定理 12 （3 分）分解因式：x21 （x+1） （x1） 【分析】利用平方差公式分解即可求得答案 【解答】解：x21（x+1） （x1） 故答案为： （x+1） （x1） 【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识题目比较简单，解题需细心 13 （3 分）如图，圆锥的母线长 SA3，底面圆的周长是
21、2，则圆锥的侧面积是 3 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥 的母线长和扇形的面积公式求解 【解答】解：根据题意得该圆锥的侧面积233 故答案为：3 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长 14 （3 分）一次函数 ykx+2k 的图象如图所示，当 y0 时，则 x 的取值范围是 x2 【分析】根据一次函数 ykx+2k，可以求得 y0 时 x 的值，然后根据函数图象和一次函数的性质，可以 写出当 y0 时，x 的取值范围 【解答】解：ykx+2kk（x+2）
22、 ， 当 y0 时，x2， 由图象可知，y 随 x 的增大而增大， 当 y0 时，则 x 的取值范围是 x2， 故答案为：x2 【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思 想解答 15 （3 分）已知 1，a，2 分别是三角形的三边长，则+|a3| 2 【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案 【解答】解：1，a，2 分别是三角形的三边长， 1a3， 原式a1+3a 2 故答案为：2 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键 16 （3 分）如图，平行四边形 OABC 的顶点 A（3，0）
23、在 x 轴的正半轴上，点 D 是对角线 OB，AC 的交点， 反比例函数 y （k0，x0）的图象经过 C， D 两点已知 cosBOA，则 AB 的长为 【分析】过点 D 作 DEx 轴，由 cosBOA，可得 ODOE，设 OEa，则 ODa， DE2a，由平行四边形的特点可知，点 D 是 AC 的中点，则 C（2a3，4a） ，利用反比例函数 y（k 0，x0）的图象经过 C，D 两点，列出等式，可求出 a 的值，代入求出点 C 的坐标，进而求出 OC 的 长度，ABOC，则可求出 AB 的长度 【解答】解：如图，过点 D 作 DEx 轴，过点 C 作 CFx 轴于点 F， OED90，
24、 cosBOA， ODOE， 设 OEa，则 ODa，DE2a， D（a，2a） ， 点 D 是对角线 OB，AC 的交点，A（3，0） ， C（2a3，4a） ， 反比例函数 y（k0，x0）的图象经过 C，D 两点， ka2a（2a3） 4a， 解得，a2， C（1，4） ， OF1，CF4， OC， AB 故答案为： 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，设出关键点坐标，再结合背景图形表达其他点 坐标是常见思路 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）
25、 17 （4 分）解方程组： 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解：， +得：3x6， 解得：x2， 把 x2 代入得：y1， 则方程组的解为 【点评】 此题考查了解二元一次方程组， 利用了消元的思想， 消元的方法有： 代入消元法与加减消元法 18 （4 分）如图，菱形 ABCD 中，DMAB 于点 M，DNBC 于点 N求证：AMCN 【分析】由菱形的性质可得 ADCD，AC，由“AAS”可证DAMDCN，可得 AMCN 【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形， ADCD，AC， DMAB，DNBC， DMADNC90， 在DAM 和DCN 中， ， DAMDCN（AAS） ，
26、 AMCN 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键 19 （6 分）已知：T （1）化简 T； （2）当 2a+60 时，求 T 的值 【分析】 （1）根据分式的减法可以化简题目中的式子； （2）根据 2a+60，可以得到 a 的值，然后将 a 的值代入（1）中化简后的式子即可解答本题 【解答】解： （1）T ； （2）当 2a+60 时，a3， 当 a3 时，T1， 即 T 的值是1 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法 20 （6 分）2021 年广州市中考体育考试实行新方案，甲、乙两位考生都在二类考试项目“跳类”
27、中自选一 个项目参加考试，已知“跳类”项目有：A立定跳远，B三级蛙跳，C一分钟跳绳请用列举法求 出这两个考生选择的“跳类”项目恰好相同的概率 【分析】画树状图，共有 9 个等可能的结果，甲、乙这两个考生选择的“跳类”项目恰好相同的结果有 3 个，再由概率公式求解即可 【解答】解：画树状图如图： 共有 9 个等可能的结果，甲、乙这两个考生选择的“跳类”项目恰好相同的结果有 3 个， 甲、乙这两个考生选择的“跳类”项目恰好相同的概率为 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与一次函数的性质注意树状图法与列表法可以不重 复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步
28、或两步以上完成的 事件；注意概率所求情况数与总情况数之比 21 （8 分）广州某公交线路日均运送乘客总量为 15600 人次，实施 5G 快速公交智能调度后，每趟车平均 运送乘客量比智能调度前增加了 20%若日均运送乘客总量保持不变，则每日发车数量比智能调度前减 少 26 趟求实施智能调度前每趟车平均运送乘客量为多少人次 【分析】设实施智能调度前每趟车平均运送乘客量为 x 人次，根据“每日发车数量比智能调度前减少 26 趟”列方程求解可得 【解答】解：设限行期间这路公交车每天运行 x 车次， +26， 解得：x100， 经检验 x100 是原分式方程的根， 答：实施智能调度前每趟车平均运送乘客
29、量为 100 人次 【点评】本题考查分式方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式 方程要检验 22 （10 分）如图，过点 P（2，2）分别作 x 轴，y 轴的垂线，交双曲线 y（k0）于 E，F 两点 （1）若 k2，求点 E，F 的坐标； （2）若 EF5，求此双曲线的解析式 【分析】 （1）根据 P（2，2） ，可推出 E 点横坐标为2，F 点纵坐标 2，再代入解析式中即可求出 E、 F 坐标； （2）表示出 E、F 坐标，应用勾股定理以及题干 EF5即可求出 k 的值 【解答】解： （1）若 k2，则 y， P（2，2） ， E 点横坐标为2，F 点纵坐标
30、 2， 当 x2 时，y1；当 y2 时，x1， 故 E（2，1） ；F（1，2） （2）因为 E、F 都在 y上，设 E（2，） ，F（，2） ， 所以 EF5， 解得：k6 或 k14， k0， k6， 故此双曲线的解析式为：y 【点评】本题考查反比例函数的性质，以及待定系数法求解析式，求出点的坐标根据反比例函数解析式 的特点找到 k 值是解题关键 23 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC8cm，BC16cm （1）尺规作图：作 AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E（保留作图痕迹，不要求写作法） ； （2）连接 AE，动点 M，N 分别从点 A，
31、C 同时出发，均以每秒 1cm 的速度分别沿 AE、CB 向终点 E，B 运动，是否存在某一时刻 t 秒（0t10） ，使MNC 的面积 S 有最大值？若存在，求 S 的最大值；若不 存在，请说明理由 【分析】 （1）作图见解析部分 （2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可 【解答】解： （1）如图，直线 DE 即为所求作 （2）过点 M 作 MHEC 于 H DE 垂直平分线段 AB， EAEB， 设 EAEBxcm，则 EC（16x）cm， 在 RtACE 中，AE2AC2+EC2， x282+（16x）2， 解得 x10， MHAC， ， ， MH（10t） ， SMNCt（1
32、0t）t2+2t（t）2+10， 0， t时，MNC 的面积最大，最大值为 10 【点评】本题考查作图复杂作图，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构 建二次函数解决最值问题 24 （12 分）已知抛物线 yx2+6mx+9m26m8 的顶点为 P （1）当 m1 时，求点 P 的坐标； （2）经过探究发现，随着 m 的变化，顶点 P 在某直线 l 上运动，直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两 点，求AOB 的面积； （3）若抛物线与直线 l 的另一交点为 Q，以 PQ 为直径的圆与坐标轴相切，求 m 的值 【分析】 （1）m1 代入得解析式，配成顶点式即可求顶
33、点坐标； （2）用 m 的代数式表示顶点横、纵坐标，消去 m 得到直线 l 解析式，求出 A、B 坐标，即可求AOB 的面积； （3）求出 P、Q 坐标和以 PQ 为直径的圆的圆心和直径，根据以 PQ 为直径的圆与坐标轴相切列方程， 即可得到 m 的值 【解答】解： （1）当 m1 时，yx2+6mx+9m26m8x2+6x+914（x+3）214， 顶点为 P 坐标为（3，14） ； （2）yx2+6mx+9m26m8（x+3m）26m8， 顶点坐标为（3m，6m8） ， 即顶点 P（x，y）满足 x3m，y6m8， 顶点所在直线 l 的解析式为：y2x8， 令 x0 得 y8，令 y0 得
34、 x4， A（4，0） ，B（0，8） ， AOB 的面积 SOAOB16； （3）解得： 或， P（3m，6m8） Q（3m+2，6m4） ， PQ2， 以 PQ 为直径的圆的圆心坐标为（3m+1，6m6） ， 以 PQ 为直径的圆与坐标轴相切，分两种情况： 以 PQ 为直径的圆与 x 轴相切， 则|6m6|PQ，即|6m6|， 解得 m1+或 m1， 以 PQ 为直径的圆与 y 轴相切， 则|3m+1|， 解得 m或 m， 综上所述， 以 PQ 为直径的圆与坐标轴相切， m1+或 m1或 m或 m， 【点评】本题考查二次函数、圆的综合知识，解题的关键是求出 PQ 为直径的圆的圆心坐标和半径
35、 25 （12 分）已知，AB 是O 的直径，AB，ACBC （1）求弦 BC 的长； （2） 若点 D 是 AB 下方O 上的动点 （不与点 A， B 重合） ， 以 CD 为边， 作正方形 CDEF， 如图 1 所示， 若 M 是 DF 的中点，N 是 BC 的中点，求证：线段 MN 的长为定值； （3）如图 2，点 P 是动点，且 AP2，连接 CP，PB，一动点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位的速度沿 线段 CP 匀速运动到点 P，再以每秒 1 个单位的速度沿线段 PB 匀速运动到点 B，到达点 B 后停止运动， 求点 Q 的运动时间 t 的最小值 【分析】 （1）AB 是O
36、的直径，ACBC 可得到ABC 是等腰直角三角形，从而得道答案； （2）连接 AD、CM、DB、FB，首先利用ACDBCF，CBFCAD，证明 D、B、F 共线，再证 明CMB 是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证； （3） “阿氏圆”的应用问题，以 A 为圆心，AP 为半径作圆，在 AC 上取点 M，使 AM1，连接 PM，过 M 作 MHAB 于 H， 连接 BM 交A 于 P， 先证明 PM，+BP 最小， 即是 PM+BP 最小， 此时 P、 B、M 共线，再计算 BM 的长度即可 【解答】解： （1）AB 是O 的直径， ABC90， ACBC， ABC
37、是等腰直角三角形，CAB45， AB4， BCABsin454； （2）连接 AD、CM、DB、FB，如图： ABC 是等腰直角三角形，四边形 CDEF 是正方形， CDCF，DCFACB90， ACD90DCBBCF， 又 ACBC， ACDBCF（SAS） ， CBFCAD， CBF+ABC+ABDCAD+ABC+ABD DAB+CAB+ABC+ABD DAB+45+45+ABD， 而 AB 是O 的直径， ADB90， DAB+ABD90， CBF+ABC+ABD180， D、B、F 共线， 四边形 CDEF 是正方形， DCF 是等腰直角三角形， M 是 DF 的中点， CMDF，即C
38、MB 是直角三角形， N 是 BC 的中点， MNBC2，即 BC 为定值； （3）以 A 为圆心，AP 为半径作圆，在 AC 上取点 M，使 AM1，连接 PM，过 M 作 MHAB 于 H，连 接 BM 交A 于 P，如图： 一动点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位的速度沿线段 CP 匀速运动到点 P，再以每秒 1 个单位的速度沿 线段 PB 匀速运动到点 B， Q 运动时间 t+BP， AM1，AP2，ACBC4， ， 又MAPPAC， MAPPAC， ， PM， +BP 最小，即是 PM+BP 最小， 此时 P、B、M 共线，即 P 与 P重合，t+BP 最小值即是 BM 的长度， 在 RtAMH 中，MAH45，AM1， AHMH， AB4， BHABAH， RtBMH 中，BM5， 点 Q 的运动时间 t 的最小值为 5 【点评】 本题考查圆、 等腰直角三角形、 正方形等综合知识， 解题的关键是构造MAPPAC， 把求 +BP 最小的问题转化为求 BM 的长度
