1、云南、贵州、四川、广西四省云南、贵州、四川、广西四省 20212021 届高三届高三 5 5 月模拟考试数学（理）试题月模拟考试数学（理）试题 一一 选择题选择题：本大题共：本大题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1.已知集合3 5,2 ,AxxBy yx xA Z ，则AB的元素个数为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 2.在ABC中，若 3 1,5,sin 5 ABACA，则AB AC （ ） A.3 B. 3C.4 D.4 3.函数 32 71f xxx的图象
2、在点 4,4f处的切线斜率为（ ） A.8 B.7 C.6 D.5 4.跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养 成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天 多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（ ） A.16天 B.17天 C.18天 D.19天 5.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一 个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴 长与短轴长的比值分别为 13 9 ，
3、56 45 ，10 7 ，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则 （ ） A. 132 eee B. 231 eee C. 123 eee D. 213 eee 6.已知函数 1 1g 2 x f xx ，f(m)=1，且0pmn，则（ ） A.f(n)1 B.f(n)1 且 f(p)1 C.f(n)1 且 f(p)1 D.f(n)l 且 f(p)0，b0)的左右焦点分别为 F1，F2，M 为 C 左支上一点，N 为线段 MF2 上一点，且|MN|=|MF1|，P 为线段 NF1的中点.若|F1F2|=4|OP|(O 为坐标原点)，则 C 的渐近线方程为（ ） A.
4、yx B.2yx C.3yx D.2yx 12.如图，函数 f(x)的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，f(x)的零点为 1 2 ，若不等式 f(x+a2)f(x)(a0) 对 xR 恒成立，则 的取值范围是（ ） A. 5 35 3 66 ， B. 33 ， C. 4 34 3 55 ， D. 2 32 3 33 ， 二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置. 13.复数1 2 1 5zii的实部为_. 14.若 x，y 满足约束条件 2 3 326 x xy xy 则x y 的
5、最大值为_， 22 xy的最小值为_. 15.在数列 n a中，a1=2， 22 11222 nn nanna ，则 n a _. 16.如图，正四棱锥 P-ABCD 的每个顶点都在球 M 的球面上，侧面 PAB 是等边三角形.若半球 的球心为四 棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球 的体积与球 M 的体积的比值为_. 三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题
6、，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. (一一)必考题：共必考题：共 60 分分. 17.(12 分) ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知3,2ab （1）若 6 A ，求cos2B； （2）当 A 取得最大值时，求ABC的面积. 18.(12 分) 某社区为丰富居民的业余文化生活， 打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”， 每晚举行一场， 但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天 出现风雨天气的概率均为 1 p，后两天每天出现风雨天气的概率均为 2 p，每天晚上是否出现风雨天气相互独 立.已知
7、前两天的晚上均出现风雨天气的概率为 1 4 ，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为 199 200 . （1）求该社区能举行 4 场音乐会的概率； （2）求该社区举行音乐会场数X的数学期望. 19.(12 分) 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，以 BC 为直径的圆 O(O 为圆心)过点 A，且 2AOACAP，PA底面 ABCD，M 为 PC 的中点. （1）证明：平面 OAM平面 PCD. （2）求二面角OMD C的余弦值. 20.(12 分) 已知 F 为抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点，直线: 21l yx与 C 交于 A，B 两点，且|
8、AF|+|BF|=20. （1）求 C 的方程. （2）若直线:2(1)m yxt t与 C 交于 M，N 两点，且 AM 与 BN 相交于点 T，证明：点 T 在定直线上. 21.(12 分) 已知函数 2 ( )(1)1 2lnf xm xx . （1）讨论( )f x的单调性； （2）当1,2x时，( )0f x ，求 m 的取值范围. (二二)选考题：共选考题：共 10 分分.请考生从第请考生从第 22， ，23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个如果多做，则按所做的第一个 题目计分题目计分. 22.选修 44；坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系
9、xOy 中，曲线 C 的方程为 2 23xyy . （1）写出曲线 C 的一个参数方程； （2）若(1,0),( 1,0)AB ，点 P 为曲线 C 上的动点，求 2PA PBOA OP 的取值范围. 23.选修 45：不等式选讲(10 分) 已知函数( ) |f xxaxb. （1）若 2 32abb，证明： ,( ) 1xR bR f x . （2）若关于 x 的不等式( )7f x 的解集为 6,1，求 a，b 的一组值，并说明你的理由. 高三数学试卷参考答案高三数学试卷参考答案(理科理科) 1.B【解析】【解析】本题考查集合的交集本题考查集合的交集.考查运算求解能力考查运算求解能力.
10、因为 2, 1,0,1,2,3,4, 4, 2,0,2,4,6.8AB ，所以 2,0,2,4AB 2.D【解析】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力【解析】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力. 在ABC因为 3 sin 5 A ，所以 4 cos 5 A ，所以| |cos4AB ACABACA 3.A【解析】本题考查导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义.考查运算求解能力考查运算求解能力. 因为 2 ( )314fxxx，所以所求切线的斜率为 (4)3 16 14 48f 4.B【解析】本题考查等差数列的应用，考查数学建模与逻辑推理的核心素养【解析】本题考查等差数列的应
11、用，考查数学建模与逻辑推理的核心素养. 依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程(单位：千米)依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5.设经过 n天后他完成健身计划，则 11 8200 22 n n n ，整理得n2+3ln-8000. 因为函数f(x)=x2+3lx-800在1，)上为增函数，且f(16)0，所以n17. 5.A【解析】本题考查椭圆的离心率与中国古代数学文化，考查数据处理能力与推理论证能力【解析】本题考查椭圆的离心率与中国古代数学文化，考查数据处理能力与推理论证能力. 因为椭圆的离心率 2 2 2 2 11 2 bb e aa ，所以长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.因为
12、 13 1.44 9 ， 56 1.24 45 ，101.43 7 ，所以 132 eee. 6.C【解析】本题考查基本初等函数的单调性，考查推理论证能力【解析】本题考查基本初等函数的单调性，考查推理论证能力. 因为y=1gx在(0，)上单调递增， 1 2 x y 在(，)上单调递减，所以f(x)在(0，)上单调递增.又 f(m)=1，且0pm1且f(p)100，i=20.故输出的i=20. 9.D【解析】本题考查三角函数的对称性与周期，考查逻辑推理的核心素养【解析】本题考查三角函数的对称性与周期，考查逻辑推理的核心素养. 因为()( )f xf x，所以f(x)的最小正周期不是2. 因为()
13、( )( )fxf xf x ，所以 f(x)是奇函数，其图象不关于y轴对称. 因为f(-x)=tanx+sinxcosx=f(x)，所以f(x)的图象关于( 2 ，0)对称. 因为f(2-x)=tanx+sinxcosx=-f(x)，所以f(x)的图象关于(，0)对称. 10.B【解析】本题考查异面直线的判定【解析】本题考查异面直线的判定 排列组合的应用排列组合的应用 古典概型古典概型，考查直观想象，考查直观想象 推理论证的核心素养推理论证的核心素养. 如图，这九条棱中，与BD共面的是BC，BB1，CC1，B1C1，AB，共五条，故所求概率 2 5 2 9 C13 1 C18 P . 11.
14、C【解析】本题考查双曲线的性质与定义的应用，考查数形结合的数学思想【解析】本题考查双曲线的性质与定义的应用，考查数形结合的数学思想. 因为|F1F2|=4|OP|，所以 2 c OP ，所以|NF2|=2|OP|=c，又|MF2|-|MF1|=|NF2|=2a，所以c=2a，所以a2+b2=4a2， 则3 b a .故C的渐近线方程为.3yx 12.A【解析】本题考查函数与不等式的综合应用，考查化归与转化的数学思想【解析】本题考查函数与不等式的综合应用，考查化归与转化的数学思想. 由题可知射线经过点( 1 2 ，0)，(1，2)，则射线的方程为. 42 1 33 yxx. 当x1时，设f(x)
15、=m(x-2)2+1(m0)，因为f（1）=m+1=2，所以m=1. 令f(x)=t(1t2)，则该方程的解为 1 32 4 t x ， 2 21xt， 3 21xt， 31 32 21 4 t xxt ，令101tll 则 2 2 31 312 322525 2 4431212 l xxll . 依题意可得 2 25 12 a ，解得 5 35 3 + 66 a ， 13.9【解析】本题考查复数的四则运算与实部，考查运算求解能力【解析】本题考查复数的四则运算与实部，考查运算求解能力. 因为9 7zi ，所以z的实部为9 14.2； 36 13 【解析】本题考查线性规划，考查推理论证能力与运算
16、求解能力【解析】本题考查线性规划，考查推理论证能力与运算求解能力. 作出约束条件表示的可行域(图略)，由图可知当直线z=x-y经过(2，0)时，z有最大值2.x2+y2表示可行域中的点 P(x，y)到原点距离的平方.因为原点到直线3x+2y=6的距离为 6 13 ，所以x2+y2的最小值为 2 636 = 1313 . 15. 2 2 22 n nn (或 2 2 11 n n )【解析】本题考查等比数列的定义与通项公式，考查抽象概括能力【解析】本题考查等比数列的定义与通项公式，考查抽象概括能力. 因为(n2+1)an+1=2(n-1)2+1an，a1=2，所以数列(n-1)2+1an是首项为
17、2，公比为2的等比数列，则 2 112n n na ，所以 22 22 22 11 nn n a nn n . 16. 3 18 【解析】本题考查四棱锥的外接球与内切球，考查空间想象能力与运算求解能力【解析】本题考查四棱锥的外接球与内切球，考查空间想象能力与运算求解能力. 如图，连接PO，BD，取CD的中点E，连接PE，OE，过O作OHPE于H.易知PO底面ABCD，设AB=4，则 22 4 2BDBABC ， 1 2 2 2 BOBD， 22 2 2POBPBO .设球M的半径为R，半球O 的半径为R0 .则2 2 R .易知R0=OH.则 0 1 3 ROHOE RPOPE ，故 3 0
18、3 0 3 41 13 23 = 4218 3 O M R VR RVR 半球 球 . 17.解：（1）由正弦定理 sinsin ab AB ，得 32 = 1 sin 2 B， 解得 3 sin 3 B ， 所以 2 1 cos21 2sin 3 BB （2）由余弦定理得 2222 1 cos 24 bcac A bcc . 因为 2 121 = 442 cc cc 当且仅当 c=1 时，等号成立， 所以 1 cos 2 A，则0 3 A ，即 A 的最大值为 3 . 此时，ABC 的面积 113 sin2 1 sin 2232 SbcA . 评分细则： 【1】第（1）问解析第一行未写 si
19、nsin ab AB 不扣分，得出 3 sin 3 B ，直接写 1 cos2 3 B ，没有写倍 角公式扣 1 分. 【2】第（2）问中，得到0 3 A ，但未写 A 的最大值为 3 不扣分. 18.解：（1）因为前两天的晚上均为风雨天气的概率为 1 4 ，所以 2 1 1 4 p ，则 1 1 2 p . 因为这五天至少有一天出现风雨天气的概率为 199 200 . 所以 32 12 199 111 200 pp， 又 1 1 2 p ，所以 2 4 5 p . 设“该社区能举行 4 场音乐会”为事件 A， 则 223 11 32 11414411 C111C1 225255200 P A
20、 . （2）X 的可能取值为 0，1，2，3，4，5. 32 142 0 2525 P X ， 223 11 32 1141417 1 22525525 P XCC ， 22232 211 332 11411411473 2111 225225525200 P XCCC ， 32222 211 323 14114111443 31111 252255225200 P XCCC ， 11 4 200 P X ， 1991 51 200200 P X . 所以 7734311119 12345 2520020020020010 E X . 评分细则： 【1】第（1）问中，只要得到 1 1 2 p
21、即得 1 分，得到 2 4 5 p 即得 2 分. 【2】第（2）问中，E(X)的最后结果写为 1.9 不扣分. 19.（1）证明：由题意点 A 为圆 O 上一点，则 ABAC. 由 PA底面 ABCD，知 PAAB.又 PAAC=A，因此 AB平面 PAC， 则 ABAM，又 AB/CD，则 AMCD. 因为 AC=AP，M 为 PC 的中点，所以 AMPC. 又 CDPC=C，所以 AM平面 PCD. 因为 AM平面 OAM，所以平面 OAM平面 PCD. （2）解：如图，以 A 为原点，AB的方向为 x 轴的正方向建立空间直角坐标系 Axyz 则 C(0，2，0)，D( 2 3 ，2，0
22、)，M(0，1，1)，O( 3，1，0)， 301OM ， ， 3 310OD ， ， 设 n=(x，y，z)为平面 OMD 的法向量， 则 0 0 n OM n OD ， ， 即 30, 3 30 xz xy ， 令 x=1，得1,3 3, 3n . 由（1）可知，AM平面 PCD，则平面 CDM 的一个法向量 m=(0，1，1)， 所以 2 186 cos,= 31 m n m n m n . 由图可知二面角 OMDC 为锐角，故二面角 OMDC 的余弦值为 2 186 31 . 评分细则： 【1】第（1）问严格按步骤给分. 【2】第（2）问中，平面 OMD 的一个法向量只要与 n=(1，
23、3 3，3)共线即可得分. 20.（1）解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 2 21, 2, yx xpy 得 2 8210ypy ， 则 y1+y2=8p+2， 从而 12 9220 22 pp AFBFyyp， 解得 p=2，故 C 的方程为 2 4xy. （2）证明：设 33 ,M x y， 44 ,N x y， 00 ,T x y，1TMTA. 因为 AB/ /MN，所以TN TB ， 根据 2 11 2 22 4, 4, xy xy 得 121212 4xxxxyy，则 12 12 12 4 8 yy xx xx ， 同理得 34 8xx. 又 3010 4020 , ,
24、 xxxx xxxx 两式相加得 340120 22xxxxxx， 即 0 410 x，由于1，所以 0 4x . 故点 T 在定直线4x 上. 评分细则： 【1】第（1）问还可以通过联立消去y，其步骤及给分如下： 由 2 21, 2, yx xpy 得 2 420 xpxp， 则 12 4xxp， 1212 2282yyxxp， 从而 12 9220 22 pp AFBFyyp， 解得2p ，故 C 的方程为 2 4xy. 【2】第（】第（2）问若用其他方法解答，请按照步骤给分）问若用其他方法解答，请按照步骤给分. 21.解：（1） 2 21 2 21 mxmx fxm x xx ，0 x.
25、 当0m时，显然 0fx，此时 f x在(0，)上单调递减. 当0m时，令 0fx，得 2 41 0 22 mm x m ；令 0fx ，得 2 41 22 mm x m . 所以 f x在 2 41 0, 22 mm m 上单调递减，在 2 41 + 22 mm m ，上单调递增. （2）由于对一切1,2x， 0f x 恒成立，所以1,2x ， 2 12ln 1 x m x ， 构造函数 2 12ln 1 x F x x ，1,2x，所以 3 2 4ln 1 x x fx x ， 再令 2 4lng xx x ，1,2x，所以 2 24 0gx xx ， g x在1，2上单调递减. 因为 1
26、20g， 21 4ln20g ，所以存在唯一的 0 1,2x ，使 0 0g x， 且当 0 1,xx时， 0g x；当 0,2 xx时， 0g x ，所以 F x在 0 1 x，上单调递增，在 0 2x ， 上单调递减. 因为 558 5=lnln3ln28ln2e ， 所以 8ln25 210 36 FF ，则 1 min1 = 4 F xF， 从而 1 4 m，即 m 的取值范围是 1 4 ，. 评分细则： 【1】第（1）问中，未写定义域或未说明x0，但求导正确，不扣分. 【2】第（2）问中，解法二如下： 由于对一切1,2x， 0f x 恒成立，所以 1410fm ，得 1 4 m， 下
27、面证明当 1 4 m时， 0f x 对一切1,2x恒成立， 要证此结论成立，只需证明当 1 4 m 时， 0f x 一切1,2x恒成立， 此时 21 11 2ln 4 f xxx ， 0fx，得 17 1 1,2 2 x ，且 f x在 171 1 2 ，上单调递 减，在 171 2 2 ，上单调递增. 因为 558 5=lnln3ln28ln2e ， 所以 5 22ln20 4 f. 又 10f，所以当 1 4 m 时，结论成立. 综上，m 的取值范围是 1 , 4 . 22.解：（1）由 2 23xyy，得 22 23xyy ， 整理得 2 2 14xy. 又 2 230 xyy， 所以曲
28、线 C 的一个参数方程为 2cos , 1 2sin x y (为参数，且 22 ). （2）由（1）可设点 P 的坐标为2cos 1 2sin， 22 . 因为= 1 2cos1 2sinPA ，1 2cos1 2sinPB ， 所以 2 12cos12cos12sin44sinPA PB . 又 2cosOA OP ， 所以244 sincos44 2sin 4 PA PBOA OP . 因为 22 ，所以 2 sin1 24 ， 故 2PA PBOA OP 的取值范围是0 44 2 ，. 评分细则： 【1】 第 （1） 问中， 得到 2 2 14xy后直接得出曲线 C 的一个参数方程为
29、2cos , 1 2sin x y (为参数)， 扣 2 分. 【2】第（1）问的参数方程不唯一，只要参数方程对应的曲线为圆 2 2 14xy的右半部分均可得分. 【3】第（2）问中设点P的坐标为(2cos，1+2sin)，后面没有写明的取值范围，扣1分. 23.（1）证明：f(x)=|x+a|+|x+b|x+a-(x+b)|=|a-b|. 因为a=b2+3b+2，所以|a-b|=|b2+2b+2|=(b+1)2+11， 当b=l时，|a-b|取得最小值1，故xR ，bR， 1f x . （2）解：依题意可得f(6)=f（1）=7， 即|a-6|+|b-6|=|1+a|+|1+b|=7， 不妨取=0，则b=5. 下面证明|x|+|x+5|7的解集为6，1. 证明：当x5时，2x-57，则x6，又x5，所以6x5. 当-5x0时，57显然成立，所以5x0. 当x0时，2x+57，则x1，又x0，所以0 x1. 所以|x|+|x+5|7的解集为6，1，故a，b的一组值为0，5. 评分细则： 【1】第（1）问中，未写b=1不扣分. 【2】第（2）问中，a，b的一组值不唯一，但a+b=5，且a，b1，6.
