1、2021 年福建省漳州市高考数学第二次质检试卷年福建省漳州市高考数学第二次质检试卷 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 5 分）分） 1设全集 UR，若集合 Ax|0 x2，Bx|y，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A（，0） B1，2 C1，+） D（2，+） 2若（3+i）（2+xi）y，其中 x，yR，则复数 x+yi 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，有着广大宽阔的直线，看起来就像机场跑道一样，描绘的大多是动 植物，于南美洲西部的秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了 2000 年的谜局：究竟是谁
2、创造了它们并且为 了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大谜团”在这些图案中，最清晰的图案之一是一只 身长 50 米的大蜘蛛（如图），据说这是一种学名为“节腹目”的蜘蛛的形状这种蜘蛛十分罕见，只有 亚马逊河雨林中最偏远隐秘的地区才能找到现用视角为 30的摄像头（注：当摄像头和所拍摄的圆形 区域构成一圆锥时，该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角）在该蜘蛛的上方拍摄，使得整个蜘蛛 图案落在边长为 50 米的正方形区域内，则该摄像头距地面的高度的最小值是（ ） A50 米 B25（2）米 C50（2+）米 D50（2）米 4函数 f（x）xln|x|+sinx 的部分图象大致为（ ） A B
3、 C D 5已知实数 x，y 满足 x2+3y23，则 x+y 的最大值为（ ） A1 B C2 D4 6某校甲、乙、丙三位同学报名参加 A，B，C，D 四所高校的强基计划考试，每所高校报名人数不限，因 为四所高校的考试时间相同，所以甲、乙、丙只能随机各自报考其中一所高校，则恰有两人报考同一所 高校的概率为（ ） A B C D 7已知直角梯形 ABCD 中，ABDC，ABC90，P 是边 BC 上一点（不包括 B、C 两点）若 2，|4，且|+|，则的最小值为（ ） A0 B2 C3 D4 8已知函数 f（x），则下列结论错误的是（ ） A函数 f（x）的值域为（0，4） B函数 f（x）的
4、图象关于点（0，2）对称 C函数 g（x）f（x）|x|有且只有 2 个零点 D曲线 yf（x）的切线斜率的最大值为1 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题 目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2，b，则角 B 可以是（ ） A15 B30 C45 D75 10在第一次全市高三年级统考
5、后，某数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况，将全班 50 名学生的 数学成绩绘制成频率分布直方图已知该班级学生的数学成绩全部介于 65 分到 145 分之间（满分 150 分），将数学成绩按如下方式分成八组：第一组65，75），第二组75，85），第八组135，145， 按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，如图所示，则下列结论正确的是（ ） A第七组的频率为 0.008 B该班级数学成绩的中位数的估计值为 101 分 C该班级数学成绩的平均分的估计值大于 95 分 D该班级数学成绩的方差的估计值大于 26 11已知正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB2，AA11，M 为 AB 的中
6、点，点 P 在线段 BC1上，则下列结论 正确的是（ ） A直线 BC1平面 A1MC BA 和 P 到平面 A1MC 的距离相等 C存在点 P，使得 AP平面 A1MC D存在点 P，使得 APA1C 12已知 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，K 为 C 的准线与 x 轴的交点，点 P 在抛物线 C 上，设 KPF，PKF，PFK，则下列结论正确的是（ ） A抛物线 C 在点（，p）处的切线过点 K B 的最大值为 Ctansin D存在点 P，使得 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13写出一个离心率为 2 的双
7、曲线方程： 14已知（x+1）6a0+a1（x1）+a2（x1）2+a6（x1） 6，则 a 4 15已知 0，0，函数 f（x）2cos（3x+）+1 的图象向右平移 个单位得到 g（x）的图象，若 函数 g（x）与函数 h（x）4sin（x）的极值点完全相同，则 ， 的最小值为 16已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4，点 P 在平面 A1BCD1内，且 PA3PB，则点 P 的轨迹的长度 为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知数列an的前 n 项和
8、为 Sn，且满足 a11，Sn+13Sn1 （1）求an的通项公式； （2）若 bnlog3an+1，求数列 的前 n 项和 Tn 18已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 2sin2A2sin2Bsin2C2sinBsinCcos2C cos2C （1）求角 A； （2）设点 D 在边 BC 上，且 AD2，证明：若 _，则 b+c 存在最大值或最小值 请在下面的两个条件中选择一个条件填到上面的横线上，并证明 AD 是ABC 的中线； AD 是ABC 的角平分线 19如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAB底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，ADBC
9、，ABBC， PAB120，PAADAB1，BC2 （1）证明：平面 PBC平面 PAB； （2）在线段 PB 上是否存在点 M，使得直线 AM 与平面 PBD 所成角的正弦值为？若存在，求出线 段 PM 的长度；若不存在，请说明理由 20已知左、右焦点分别为 F1、F2的椭圆 C：1（ab0）过点（），以 F1F2为直径 的圆过 C 的下顶点 A （1）求椭圆 C 的方程； （2）若过点 P（0，1）的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，且直线 AM、AN 的斜率分别为 k1、k2，证 明：k1k2为定值 21 某种玩具启动后， 该玩具上的 LED 灯会亮起红灯或绿灯 （红灯和绿灯不
10、会同时亮起）， 第 1 次亮灯时， 亮起红灯的概率为 P1，亮起绿灯的概率为 1P1若第 n 次亮起的是红灯，则第 n+1 次亮起红灯的概率 为，亮起绿灯的概率为；若第 n 次亮起的是绿灯，则第 n+1 次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概 率为，记第 n 次亮灯时，亮起红灯的概率为 Pn，nN*该玩具启动前可输入 P1，玩具启动后，当 且第 n 次亮起红灯时，该玩具会唱一首歌曲，否则不唱歌 （1）若输入 P1，记该玩具启动后，前 3 次亮灯中亮起红灯的次数为 X，求 X 的分布列和期望； （2）若输入 P1， （）求数列Pn的通项公式； （）该玩具启动后，在前 20 次亮灯中，该玩具最多唱几次歌
11、？ 22已知函数 f（x）+blnxa，g（x）aex 1+lnxa，h（x）f（x）g（x） （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 b1，且 f（x）有两个不同的零点 x1，x2，证明：h（x）有唯一零点（记为 x0），且 x1+x22x0 参考答案参考答案 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 5 分）分） 1设全集 UR，若集合 Ax|0 x2，Bx|y，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A（，0） B1，2 C1，+） D（2，+） 解：设全集 UR，集合 Ax|0 x2， Bx|yx|x1， UAx|x0 或 x2， 如图所示的阴影部分表示的集合为： B（UA）x|
12、x2（2，+） 故选：D 2若（3+i）（2+xi）y，其中 x，yR，则复数 x+yi 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解：因为（3+i）（2+xi）y， 所以 6x+（3x+2）iy， 故，解得， 所以复数 x+yi 在复平面内对应的点为，位于第二象限 故选：B 3纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，有着广大宽阔的直线，看起来就像机场跑道一样，描绘的大多是动 植物，于南美洲西部的秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了 2000 年的谜局：究竟是谁创造了它们并且为 了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大谜团”在这些图案中，最清晰的图案之一是一只 身
13、长 50 米的大蜘蛛（如图），据说这是一种学名为“节腹目”的蜘蛛的形状这种蜘蛛十分罕见，只有 亚马逊河雨林中最偏远隐秘的地区才能找到现用视角为 30的摄像头（注：当摄像头和所拍摄的圆形 区域构成一圆锥时，该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角）在该蜘蛛的上方拍摄，使得整个蜘蛛 图案落在边长为 50 米的正方形区域内，则该摄像头距地面的高度的最小值是（ ） A50 米 B25（2）米 C50（2+）米 D50（2）米 解：由题意可知当正方形为圆锥地面圆的内接正方形时，摄像头距离地面的高度最小， 因正方形的边长为 50 米，所以圆锥底面圆的半径为 25米， 圆锥的截面图如图： O 为底面圆的圆心，
14、POB901575， 在POB 中， PO25（2+）米， 故选：B 4函数 f（x）xln|x|+sinx 的部分图象大致为（ ） A B C D 解：f（x）（x）ln|x|+sin（x）xlnxsinx（xlnx+sinx）f（x）， 函数 f（x）为奇函数，排除选项 C 和 D， 若 x0，则 f（x）xlnx+sinx， f（x）lnx+x+cosxlnx+（1+cosx）， 当 x（1，+）时，lnx0，1+cosx0，f（x）0， f（x）在（1，+）上单调递增，排除选项 B， 故选：A 5已知实数 x，y 满足 x2+3y23，则 x+y 的最大值为（ ） A1 B C2 D4
15、 解：设 tx+y，则 ytx， x2+3y23， x2+3（tx）23，整理得 4x26tx+（3t23）0， x 为实数， （6t）244（3t23）0， 2t2， x+y 的最大值为 2 故选：C 6某校甲、乙、丙三位同学报名参加 A，B，C，D 四所高校的强基计划考试，每所高校报名人数不限，因 为四所高校的考试时间相同，所以甲、乙、丙只能随机各自报考其中一所高校，则恰有两人报考同一所 高校的概率为（ ） A B C D 解：某校甲、乙、丙三位同学报名参加 A，B，C，D 四所高校的强基计划考试， 甲、乙、丙只能随机各自报考其中一所高校， 基本事件总数 n4364， 恰有两人报考同一所高
16、校包含的基本事件个数 m36， 则恰有两人报考同一所高校的概率为 P 故选：D 7已知直角梯形 ABCD 中，ABDC，ABC90，P 是边 BC 上一点（不包括 B、C 两点）若 2，|4，且|+|，则的最小值为（ ） A0 B2 C3 D4 解：根据题意，以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴建立直角坐标系，如图所示： 因为2，|4，所以 C（0，0），B（0，4），A（2，4）， 设 P（0，m）（0m4）， |+|，所以 CD2+（4m）6m， 所以 D（6m，0）， 所以（2，4m），（6m，m）， 所以2（6m）m（4m）m26m+12， 因为 0m4，所以当 m3 时
17、，有最小值为 3 故选：C 8已知函数 f（x），则下列结论错误的是（ ） A函数 f（x）的值域为（0，4） B函数 f（x）的图象关于点（0，2）对称 C函数 g（x）f（x）|x|有且只有 2 个零点 D曲线 yf（x）的切线斜率的最大值为1 解：A：ex（0，+），ex+1（1，+）， （0，1）， f（x）（0，4），A 正确， B：f（x）+f（x）+4， f（x）的图象关于点 （0，2）对称B 正确， C：当 x0 时，g（x）x，g（x）10， 当 x0 时，g（x）+x，g（x）10， g（x）在（0，+）上递减，在（，0）上递增， 又g（0）2，g（2）20，g（4）40，
18、 g（0）g（2）0，g（0）g（4）0， g（x）有两个零点，C 正确， D：y 1， 当且仅当 ex即 x0 时取等号， yf（x）的切线斜率的最小值为1，D 错误 故选：D 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题 目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2，b，则角 B 可以是（ ）
19、A15 B30 C45 D75 解：若 a2，b， 则由正弦定理，可得 sinBsinA， 因为 A（0，180），sinA（0，1， 所以可得 sinBsinA（0， 又 ab，B 为锐角， 所以 B（0，30，对比各个选项可得角 B 可以是 15，或 30 故选：AB 10在第一次全市高三年级统考后，某数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况，将全班 50 名学生的 数学成绩绘制成频率分布直方图已知该班级学生的数学成绩全部介于 65 分到 145 分之间（满分 150 分），将数学成绩按如下方式分成八组：第一组65，75），第二组75，85），第八组135，145， 按上述分组方法得到的频
20、率分布直方图的一部分，如图所示，则下列结论正确的是（ ） A第七组的频率为 0.008 B该班级数学成绩的中位数的估计值为 101 分 C该班级数学成绩的平均分的估计值大于 95 分 D该班级数学成绩的方差的估计值大于 26 解：对于 A，利用频率之和为 1， 可得第七组的频率为 1（0.004+0.012+0.016+0.03+0.02+0.006+0.004）100.08，故选项 A 错误； 对于 B，成绩在第一组到第八组的人数分别为 2，6，8，15，10，3，4，2， 所以中位数在第四组95，105）内，设中位数为 x， 则有（0.004+0.012+0.016）100.320.5，
21、所以 0.32+0.03（x95）0.5，解得 x101， 所以该班级数学成绩的中位数的估计值为 101 分，故选项 B 正确； 对于 C，该班级数学成绩的平均分的估计值为： （700.04+800.12+900.16+1000.3+1100.2+1200.06+1300.08+1400.04）102，故选项 C 正确； 对于 D，该班级数学成绩的方差的估计值为： （70102）2+（80102）2+（90102）2+（100102） 2+（110102）2 +（120102）2+（130102）2+（140102）285.44，故选项 D 正确 故选：BCD 11已知正三棱柱 ABCA1B1
22、C1中，AB2，AA11，M 为 AB 的中点，点 P 在线段 BC1上，则下列结论 正确的是（ ） A直线 BC1平面 A1MC BA 和 P 到平面 A1MC 的距离相等 C存在点 P，使得 AP平面 A1MC D存在点 P，使得 APA1C 解：对于 A，如图，连接 A1C、AC1，交于 O，连接 OM， 因为 ABCA1B1C1为正三棱柱，所以其侧面都是矩形， 所以 O 是 AC1中点，又因为 M 是 AB 中点，所以 OMBC1， OM平面 A1MC，所以 BC1平面 A1MC，所以 A 对； 对于 B，因为 AP 交 OM 于 N，OMBC1，AMMB，所以 ANNP， 因为 AN
23、 与 PN 与平面 A1MC 成角又相等，所以 A 和 P 到平面 A1MC 的距离相等，所以 B 对； 对于 C，假设存在点 P，使得 AP平面 A1MC，因为 A1C平面 A1MC，所以 APA1C， 令，（0，1），因为+（1）， 因为与成角为锐角，与成角是锐角，所以0，0， 所以+（1）0，所以 APA1C 不成立，所以 C 错； 对于 D，由 C 知，不存在点 P，使得 APA1C，所以 D 错 故选：AB 12已知 F 为抛物线 C：y22px（p0）的焦点，K 为 C 的准线与 x 轴的交点，点 P 在抛物线 C 上，设 KPF，PKF，PFK，则下列结论正确的是（ ） A抛物线
24、 C 在点（，p）处的切线过点 K B 的最大值为 Ctansin D存在点 P，使得 解：对于 A：， 故抛物线在点（，p）处的切线斜率为， 故切线方程为，即，过点，故选项 A 正确； 对于 B，当直线 PK 与抛物线相切时， 最大，由选项 A 可知，此时，故选项 B 错误； 对于 C，设点 P（m，n），过点 P 作 PQx 轴于点 Q，在 RtPQK 中， 在 RtPQF 中， tansin，故选项 C 正确； 对于 D，在PKF 中，由正弦定理知， 若存在点 P，使得，则，化简可得， 故只需验证 m0， 即成立， 亦即在 成立即可， 设，则， 又，故，故 f（）0 在恒成立， f（）在
25、上单调递增，故 f（）f（0）0，即 m0， 存在点 P，使得，选项 D 正确 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13写出一个离心率为 2 的双曲线方程： x21（答案不唯一） 解：根据题意，要求双曲线的离心率 e2，则 c2a， 若双曲线的焦点在 x 轴，a1，则 c2，b， 则要求双曲线的方程为 x21， 故答案为：x21（答案不唯一） 14已知（x+1）6a0+a1（x1）+a2（x1）2+a6（x1） 6，则 a 4 60 解：由已知可得（x+1）62+（x1）6a， 所以展开式中含（x1）4的项为 C60
26、（x1）4， 所以 a460， 故答案为：60 15已知 0，0，函数 f（x）2cos（3x+）+1 的图象向右平移 个单位得到 g（x）的图象，若 函数 g（x）与函数 h（x）4sin（x）的极值点完全相同，则 3 ， 的最小值为 解：0，0，函数 f（x）2cos（3x+）+1 的图象向右平移 个单位得到 g（x）2cos（3x 3+）+1 的图象， 若函数 g（x）与函数 h（x）4sin（x）的极值点完全相同， 则 3x3+k，xn+ ，k、nZ +，3 即 + +， 最小时，即 ， 故答案为：3； 16已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4，点 P 在平面 A1BCD1
27、内，且 PA3PB，则点 P 的轨迹的长度 为 解：如图 1，设 E 为 AB1，A1B 的交点，所以 AEA1B， 又因为 BC平面 AA1B1B，又 AE平面 AA1B1B， 所以 BCAE，又 A1BBCC，A1B，BC平面 A1BCD1， 故 AE平面 A1BCD1， 因为点 P 在平面 A1BCD1内，所以 PA2PE2+AE2， 正方体的棱长为 4，则 A1BAB1，AE，故 PA2PE2+8， 在平面 A1BCD1内建立平面直角坐标系，如图 2 所示， 所以，D1（0，4）， 设 P（x，y），则， ， 所以 PA2PE2+8 ， 又 PA3PB， 所以 PA29PB2， 整理可
28、得， 故点 P 的轨迹是半径为的圆， 所以轨迹长度为 故答案为： 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a11，Sn+13Sn1 （1）求an的通项公式； （2）若 bnlog3an+1，求数列 的前 n 项和 Tn 解：（1）依题意，当 n2 时，由 Sn+13Sn1， 可得 Sn3Sn11， 两式相减，可得 an+13an0， 即 an+13an， 数列an是以 1 为首项，3 为公比的等比数列， an13n13n1，nN*
29、（2）由（1）知，bnlog3an+1log33n1+1n， 则， Tn+ + 1+ 1 18已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 2sin2A2sin2Bsin2C2sinBsinCcos2C cos2C （1）求角 A； （2）设点 D 在边 BC 上，且 AD2，证明：若 _，则 b+c 存在最大值或最小值 请在下面的两个条件中选择一个条件填到上面的横线上，并证明 AD 是ABC 的中线； AD 是ABC 的角平分线 【解答】 （1） 解： 2sin2A2sin2Bsin2C2sinBsinCcos2Ccos2Ccos2C （cos2Csin2C） sin2
30、C， sin2Asin2Bsin2CsinBsinC， 由正弦定理知， a2b2c2bc， 由余弦定理知，cosA， A（0，）， A （2）证明：选择条件， AD 是ABC 的中线，（）， ， 4（c2+2cbcos+b2）， 16c2bc+b2（b+c）23bc（b+c）23 （b+c）2，当且仅当 bc4 时，等号成 立， b+c8， 故 b+c 存在最大值，为 8 选择条件， AD 是ABC 的角平分线， BADCADBAC， SABD+SACDSABC， ABADsinBAD+ACADsinCADABACsinBAC， 即 c2sin+b2sincbsin ， 2c+2bbc，即，
31、b+c2（b+c）（）2（2+）2（2+2）8，当且仅当 bc4 时，等号成立， 故 b+c 存在最小值，为 8 19如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAB底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，ADBC，ABBC， PAB120，PAADAB1，BC2 （1）证明：平面 PBC平面 PAB； （2）在线段 PB 上是否存在点 M，使得直线 AM 与平面 PBD 所成角的正弦值为？若存在，求出线 段 PM 的长度；若不存在，请说明理由 【解答】（1）证明：因为平面 PAB平面 ABCD，且平面 PAB平面 ABCDAB， 因为 BCAB，BC平面 ABCD， 所以 BC平面 ABP，
32、 又因为 BC平面 PBC， 所以平面 PBC平面 PAB； （2）解：在平面 PAB 内，过点 A 作 AEAB 交 PB 于点 E，则可知 AE平面 ABCD， 以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 由PAB120，PAADAB1，BC2， 故点， 所以， 设为平面 PBD 的法向量， 则有，即， 取 x1，则 y1， 故， 设， 则， 因为直线 AM 与平面 PBD 所成角的正弦值为， 则， 解得或， 故存在点 M 满足题意，此时或 20已知左、右焦点分别为 F1、F2的椭圆 C：1（ab0）过点（），以 F1F2为直径 的圆过 C 的下顶点 A （1）求椭圆 C 的方程；
33、（2）若过点 P（0，1）的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，且直线 AM、AN 的斜率分别为 k1、k2，证 明：k1k2为定值 解：（1）因为 F1F2为直径的圆经过点 A（0，b）， 所以 bc， 所以 ab， 所以椭圆 C 的方程为+1， 又因为椭圆 C 经过点（，）， 所以+1， 解得 b2，a2， 所以椭圆 C 的方程为+1 （2）证明：由题意，若直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x0， 直线 l 与圆相交于（0，2）和（0，2）， 所以 k1，k2的斜率不存在， 所以设直线 l 的方程为 ykx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，得（1+2k2
34、）x2+4kx60， 所以 x1+x2 ，x1x2 ， 因为 A（0，2）， 所以 k1，k2 ， 所以 k1k2 k2+2k2， 所以 k1k2为定值 21 某种玩具启动后， 该玩具上的 LED 灯会亮起红灯或绿灯 （红灯和绿灯不会同时亮起）， 第 1 次亮灯时， 亮起红灯的概率为 P1，亮起绿灯的概率为 1P1若第 n 次亮起的是红灯，则第 n+1 次亮起红灯的概率 为，亮起绿灯的概率为；若第 n 次亮起的是绿灯，则第 n+1 次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概 率为，记第 n 次亮灯时，亮起红灯的概率为 Pn，nN*该玩具启动前可输入 P1，玩具启动后，当 且第 n 次亮起红灯时，该玩具会
35、唱一首歌曲，否则不唱歌 （1）若输入 P1，记该玩具启动后，前 3 次亮灯中亮起红灯的次数为 X，求 X 的分布列和期望； （2）若输入 P1， （）求数列Pn的通项公式； （）该玩具启动后，在前 20 次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？ 解：（1）根据题意，X 表示 3 次亮灯中亮起红灯的次数， 故 X 的所有可能取值为 0，1，2，3， X0 表示前 3 次亮灯的颜色为“绿绿绿”， 故 P（X0）， X1 表示前 3 次亮灯的颜色为“红绿绿”，“绿红绿”，“绿绿红”， 故 P（X1）， X2 表示前 3 次亮灯的颜色为“红红绿”，“红绿红”，“绿红红”， 故 P（X2）， X3 表示前 3 次
36、亮灯的颜色为“红红红”， 故 P（X3）， 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 故 X 的数学期望为 E（X）0+1+2+3； （2）（）根据题意， 所以 Pn+1 （Pn）， 因为，所以， 所以数列Pn是首项为，公比为 的等比数列， 所以 Pn ， 故 Pn+ （nN*）； （）由 Pn+ ，可得， 又 nN*，所以 n 为正奇数， 由 Pn+ ，可得， 当 n 为正奇数时，所以 3n2021，解得 n7， 所以该玩具启动后，在前 20 次亮灯中， 当 n7，9，11，13，15，17，19 时，该玩具可能唱歌， 所以该玩具启动后，在前 20 次亮灯中，最多唱 7 次歌 22已知
37、函数 f（x）+blnxa，g（x）aex 1+lnxa，h（x）f（x）g（x） （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 b1，且 f（x）有两个不同的零点 x1，x2，证明：h（x）有唯一零点（记为 x0），且 x1+x22x0 【解答】（1）解：函数 f（x）+blnxa，x0， f（x）+， 当 b0 时，f（x）0 恒成立，所以 f（x）单调递减； 当 b0 时，令 f（x）0，可得 0 x，令 f（x）0，可得 f（x）0， 所以 f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增， 综上，当 b0 时，f（x）在（0，+）上单调递减； 当 b0 时，f（x）在（0，）上单调递减
38、，在（，+）上单调递增 （2）证明：若 b1，则 f（x）+lnxa，h（x）f（x）g（x）aex 1， 由（1）可知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， 所以 f（x）f（1）1a， 又因为 f（x）有两个不同的零点 x1，x2，所以 1a0，可得 a1， 所以 x1（0，1），x2（1，+）， h（x）aex 1，x0， 0，aex10，所以 h（x）0 恒成立， 所以 h（x）单调递减，因为 h（1）1a0，h（）aaa（1）0， 所以x0（，1），使 h（x0）0， 所以 h（x）有唯一零点， 由可得lnx2lnx1，即 ln，所以 x2， 同理由lnx1lnx2，可得 x1， 设t，x1x2，所以 t（0，1）， 所以 x2，x1 ，t（0，1）， x1+x2，t（0，1）， 记 m（t）lnt（t），m（t）0， 所以 m（t）单调递减，所以 m（t）m（1）0， 则 lnt（t），所以2，即 x1+x22， 因为 2x0（，2），所以 x1+x22x0，得证
