1、 高三数学试卷 第 页(共 6 页) 1 盐城市 2021 届高三年级第三次模拟考试 数 学 2021.05 注意事项： 1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡 上 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1设集合 Ax|yx2，By|yx2，C(x，y)|yx2，则下列集合不为 空集的是 AAB BAC CBC DABC 2若复数 z 满足|
2、zi|2，则 zz的最大值为 A1 B2 C4 D9 3同学们都知道平面内直线方程的一般式为 AxByC0，我们可以这样理解：若直线 l 过定点 P0(x0， y0)， 向量n(A， B)为直线 l 的法向量， 设直线 l 上任意一点 P(x， y)， 则n P0P 0，得直线 l 的方程为A(xx0)B(yy0)0，即可转化为直线方程的一般式类似地，在 空间中，若平面 过定点 Q0(1，0，2)，向量m(2，3，1)为平面 的法向量，则平面 的方程为 A2x3yz40 B2x3yz40 C2x3yz0 D2x3yz40 4将函数f(x)sin1 2x的图象向左平移 3个单位，得到函数 g(x
3、)的图象，若 x(0，m)时，函数 g(x)的图象在 f(x)的上方，则实数 m 的最大值为 A 3 B 2 3 C5 6 D 6 5已知数列an的通项公式为an n (n1)!，则其前 n 项和为 A1 1 (n1)! B1 1 n! C2 1 n! D2 1 (n1)! 6韦达是法国杰出的数学家，其贡献之是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一 高三数学试卷 第 页(共 6 页) 2 元三次方程ax3bx2cxd0(a0)的 3 个实数根为 x1，x2，x3，则x1x2x3b a， x1x2x2x3x3x1c a，x1x2x3 d a已知函数f(x)2x 3x1，直线 l 与 f(x)的
4、图象相切于点 P(x1，f(x1)，且交 f(x)的图象于另一点Q(x2，f(x2)，则 A2x1x20 B2x1x210 C2x1x210 D2x1x20 7设双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a，b0)的焦距为 2，若以点 P(m，n)(ma)为圆心的圆 P 过 C 的右顶点且与 C 的两条渐近线相切，则 OP 长的取值范围是 A(0，1 2) B(0，1) C( 1 2，1) D( 1 4， 1 2) 8已知正数 x，y，z 满足 xlnyyezzx，则 x，y，z 的大小关系为 Axyz Byxz Cxzy D以上均不对 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 2
5、0 分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9已知 X N(1，12)，Y N(2，22)，12，10，20，则下列结论中一定成立的有 A若 12，则 P(|X1|1)P(|Y2|1) B若 12，则 P(|X1|1)P(|Y2|1) C若 12，则 P(X2)P(Y1)1 D若 12，则 P(X2)P(Y1)1 10设数列an的前 n 项和为Sn，若anSnAn2BnC，则下列说法中正确的有 A存在 A，B，C 使得an是等差数列 B存在 A，B，C 使得an是等比数列 C对任意 A，B，C 都有an一定是等差数列或等
6、比数列 D存在 A，B，C 使得an既不是等差数列也不是等比数列 11已知矩形 ABCD 满足 AB1，AD2，点 E 为 BC 的中点，将ABE 沿 AE 折起，点 B 折至 B，得到四棱锥 BAECD，若点 P 为 BD 的中点，则 ACP/平面 BAE B存在点 B，使得 CP平面 ABD C四棱锥 BAECD 体积的最大值为 2 4 D存在点 B，使得三棱锥 BADE 外接球的球心在平面 AECD 内 高三数学试卷 第 页(共 6 页) 3 12将平面向量a(x1，x2)称为二维向量，由此可推广至 n 维向量a(x1，x2，xn)对 于 n 维向量a，b，其运算与平面向量类似，如数量积
7、ab|a|b|cos 1 n ii i x y ( 为向量 a，b的夹角)，其向量a的模|a| 2 1 n i i x ，则下列说法正确的有 A不等式( 2 1 n i i x )( 2 1 n i i y )( 1 n ii i x y )2可能成立 B不等式( 2 1 n i i x )( 2 1 n i i y )( 1 n ii i x y )2一定成立 C不等式 n 2 1 n i i x ( 1 n i i x )2可能成立 D若xi0(i1，2，n)，则不等式 11 1 nn i ii i x x n2一定成立 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13
8、文旅部在 2021 年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力 量” “体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品 线路”这些精品线路中包含上海大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等 5 个传统 红色旅游景区， 还有港珠澳大桥、 北京大兴国际机场、 “中国天眼”、 “两弹一星”纪念馆、 湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等 7 个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强 国和脱贫攻坚成果的景区为安排旅游路线，从上述 12 个景区中选 3 个景区，则至少含有 1 个传统红色旅游景区的选法有 种 14 满足等式(1tan)(1tan)2 的数组(
9、， )有无穷多个， 试写出一个这样的数组 15若向量a，b满足|ab| 3，则ab的最小值为 16对于函数f(x)lnxmx2nx1，有下列 4 个论断： 甲：函数 f(x)有两个减区间； 乙：函数 f(x)的图象过点(1，1)； 丙：函数 f(x)在 x1 处取极大值；丁：函数 f(x)单调 若其中有且只有两个论断正确，则 m 的取值为 高三数学试卷 第 页(共 6 页) 4 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10 分) 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，点 D 满足 3BDBC与AD AC0. (1)若 bc
10、，求 A 的值； (2)求 B 的最大值 18(12 分) 请在a1 2；a12；a13这 3 个条件中选择 1 个条件，补全下面的命题使其成为真 命题，并证明这个命题(选择多个条件并分别证明的按前 1 个评分) 命题：已知数列an满足 an1an2，若 ，则当 n2 时，an2n恒成立 高三数学试卷 第 页(共 6 页) 5 19(12 分) 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBB12BC2，CBB12CAB 3，且平面 ABC 平面B1C1CB. (1)求证：平面 ABC平面ACB1； (2)设点 P 为直线 BC 的中点，求直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值 20(12 分)
11、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点 P 是抛物线C1：x22py(p0)上的一个点，其横坐 标为 x0，过点 P 作抛物线C1的切线 l (1)求直线 l 的斜率(用 x0与 p 表示)； (2)若椭圆C2：y 2 2x 21过点 P， l 与C 2的另一个交点为 A， OP 与C2的另一个交点为 B， 求证： ABPB B1 P C B A A1 C1 O y x P B A 高三数学试卷 第 页(共 6 页) 6 21(12 分) 运用计算机编程，设计一个将输入的正整数 k“归零”的程序如下：按下回车键，等可能的 将0，k)中的任意一个整数替换 k 的值并输出 k 的值，反复按回车键执
12、行以上操作直到输出 k0 后终止操作 (1)若输入的初始值 k 为 3，记按回车键的次数为 ，求 的概率分布与数学期望； (2)设输入的初始值为 k(kN*)，求运行“归零”程序中输出 n(0nk1)的概率 22(12 分) 设f(x)lnx xn (nN*) (1)求证：函数 f(x)一定不单调； (2)试给出一个正整数 a，使得exx2lnxasinx对x(0，)恒成立 (参考数据：e2.72，e27.39，e320.10) 高三数学试卷 第 页(共 6 页) 7 盐城市 2021 届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每
13、小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1A 2D 3C 4C 5A 6D 7B 8A 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9AC 10ABD 11ACD 12ABD 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13185 14(0，3 4 ) 153 4 162 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解：(1)因为ADAC0，所以(AB1 3 BC)AC0， 即(2 3 A
14、B1 3 AC)AC0， 2 分 所以2 3bccosA 1 3b 20， 因为 bc，所以 cosA1 2， 4 分 因为 0A，所以 A2 3 5 分 (2)因为ADAC(2 3 AB1 3 AC)AC2 3bccosA 1 3b 20， 所以 b2c2a2b20，即 2b2c2a20， 6 分 cosBa 2c2b2 2ac a2c2a 2c2 2 2ac a2 2 3c 2 2 2ac 3 2 ， 8 分 因为 0B，所以 B 的最大值为 6 10 分 18解： 选 证明：由 an1an2，且a12，所以 an0， 所以 lgan1lgan，lgan2n1lg2，an22 n1 ， 5
15、 分 当 n2 时，只需证明2n1n， 高三数学试卷 第 页(共 6 页) 8 令 bn n 2n1，则 b n1bnn1 2n n 2n1 1n 2n 0， 10 分 所以 bnb21，所以2n1n 成立 综上所述，当 a12 且 n2 时，an2n成立 12 分 注：选为假命题，不得分，选参照给分 19 第 19 题图 解：(1)证明：因为 AC2BC2，所以 BC1 因为 2ACB 3，所以ACB 6 在ABC 中， BC sinA AC sinB，即 1 sin 6 2 sinB， 所以 sinB1，即 ABBC 2 分 又因为平面 ABC平面B1C1CB，平面 ABC平面B1C1CB
16、BC，AB平面 ABC， 所以 AB平面B1C1CB 又 B1C平面B1C1CB，所以 ABB1C， 在B1BC 中，B1B2，BC1，CBB1 3， 所以 B1C2B1B2BC22B1BBCcos 33，即 B1C 3， 所以 B1CBC 4 分 而 ABB1C，AB平面 ABC，BC平面 ABC，ABBCB， 所以 B1C平面 ABC 又 B1C平面ACB1，所以平面 ABC平面ACB1 6 分 (2)在平面 ABC 中过点 C 作 AC 的垂线 CE，分别以 CE，CA，CB1所在直线为 x，y，z 轴建 A1 z C1 B1 C A B P x y E 高三数学试卷 第 页(共 6 页
17、) 9 立如图所示的空间直角坐标系： 则 B( 3 2 ，1 2，0)，A(0，2，0)，B1(0，0， 3)， 所以 P( 3 4 ，1 4，0)， B1A1BA( 3 2 ，3 2，0)， 8 分 所以 A1( 3 2 ，3 2， 3)，所以 A1P(3 3 4 ，5 4， 3)， 平面 ACB1的一个法向量为n(1，0，0)， 10 分 设直线 A1P 与平面 ACB1所成的角为 ， 则 sin|cos| A1P n| | A1P|n| 3 3 4 27 16 25 163 3 3 10 12 分 20解： (1)由 x22py，得 y 1 2px 2，所以 y1 px， 所以直线 l
18、的斜率为1 px0 3 分 (2)设 P(x0，y0)，则 B(x0，y0)，kPBy 0 x0， 由(1)知 kPA1 px0 y0 2x0， 5 分 设 A(x1，y1)，所以y 02 2 x021，y 12 2 x121， 作差得( ) y0y1()y0y1 2 (x0 x1)(x0 x1)0， 即y 0y1 x0 x1 y0y1 x0 x1 1 2，所以 kPAkAB 1 2， 10 分 所以 y0 2x0kAB 1 2，即 kAB x0 y0， 所以 kPBkAB1，所以 ABPB 12 分 注：其他解法参照评分 21解：(1)P(3)1 3 1 2 1 6，P(2) 1 3 1 2
19、 1 3 1 2，P(1) 1 3， 3 分 则 的概率分布如下表： 1 2 3 P 1 3 1 2 1 6 所以 E()11 32 1 23 1 6 11 6 5 分 高三数学试卷 第 页(共 6 页) 10 (2)设运行“归零”程序中输出 n(0nk1)的概率为 Pn，得出 Pn 1 n1，7 分 法一：则 PnPn1 1 n1Pn 2 1 n2Pn 3 1 n3Pk 1 1 k1 1 k， 故 0nk2 时，Pn1Pn2 1 n2Pn 3 1 n3Pk 1 1 k1 1 k， 以上两式作差得，PnPn1Pn1 1 n1，则 PnPn 1n2 n1， 10 分 则 Pn1Pn2n3 n2，
20、Pn 2Pn3n4 n3，Pk 2Pk1 k k1， 则 PnPn1Pn2Pk1Pn1Pn2Pn3Pk1n2 n1 n3 n2 n4 n3 k k1， 化简得 PnPk1 k n1，而 Pk 11 k，故 Pn 1 n1， 又 nk1 时，Pn 1 n1也成立，故 Pn 1 n1(0nk1) 12 分 法二：同法一得 PnPn1n2 n1， 9 分 则 P0P12 1，P1P2 3 2，P2P3 4 3，Pn1Pn n1 n ， 则 P0P1P2Pn1P0P1P2Pn2 1 3 2 4 3 n1 n ， 化简得 P0Pn(n1)，而 P01，故 Pn 1 n1(0nk1)， 又 n0 时，Pn
21、 1 n1也成立，故 Pn 1 n1(0nk1) 12 分 法三：记 Pm(n)表示在出现 m 的条件下出现 n 的概率， 则 Pn1(n) 1 n1，Pn 2(n) 1 n2Pn 1(n) 1 n2 1 n1， Pn3(n) 1 n3Pn 2(n) 1 n3Pn 1(n) 1 n3 1 n1， 9 分 依此类推，Pk(n)1 kPk1(n) 1 kPk2(n) 1 kPn1(n) 1 k， 所以 Pk(n)1 k( 1 n1(kn1)1) 1 n1 12 分 法四：记 Pk(n)表示在出现 k 的条件下出现 n 的概率， 则 Pk(n)1 kPk1(n) 1 kPk2(n) 1 kPn1(n
22、) 1 k， 则 kPk(n)Pk1(n)Pk2(n)Pn1(n)1， 则(k1)Pk1(n)Pk2(n)Pn1(n)1， 得 kPk(n)(k1)Pk1(n)Pk1(n)， 9 分 则 Pk(n)Pk1(n)(kn2)， 高三数学试卷 第 页(共 6 页) 11 则 Pk(n)Pn1(n) 1 n1 12 分 22解：(1)由f(x)lnx xn 得 f(x) 1 x x nnxn1lnx x2n 1nlnx xn1 ， 因 nN*，由 f(x)0，得 xe 1 n， 1 分 当 xe 1 n时，f(x)0；当时 0 xe 1 n，f(x)0； 故函数 f(x)在(0，e 1 n)上单调递增
23、，在(e 1 n，)上单调递减， 所以函数 f(x)不单调 3 分 (2)当 a1 时，可证明 exx2lnxsinx 对x(0，)恒成立， 当 x(0，1)时，x2lnx0，sinx1，ex1，不等式成立； 4 分 当 x(1，e)时，x2lnxsinxx21，令 g(x)x 21 ex ， 所以 g(x)2x(x 21) ex 0，则函数 g(x)单调递减，所以 g(x)g(1)2 e1， 所以 exx21，原不等式成立； 7 分 当 x(e，)时，因 x2lnxsinxx2lnx1，故只需证 exx2lnx1， 即证e x x3 lnx x 1 x3，只需证 ex x3 lnx x 1 e3， 在(1)中令 n1，可得 f(x)f(e)1 e，故 lnx x 1 e3 1 e 1 e3， 令 h(x)e x x3，所以 h(x) ex(x3) x4 0，解得 x3， 当 x(e，3)时，h(x)0；当 x(3，)时，h(x)0， 所以 h(x)h(3)e 3 27 1 2，而 lnx x 1 e3 1 e 1 e3 1 2， 所以原不等式也成立 综上所述，当 a1 时，exx2lnxsinx 对x(0，)恒成立 12 分 注：当 a2 或 a3 时结论也成立，请参照评分；当 a4 时结论不成立
