1、2021 年山西省中考数学考前适应性试卷年山西省中考数学考前适应性试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题个小题.每小题每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1的绝对值是（ ） A20 B20 C D 2 山西民居砖雕， 历史悠久， 具有丰富的山西文化内涵， 表达了人们对生活的美好祝愿 下列砖雕图案中， 既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3下列运算正确的是（ ） Aa2aa B（a2）3a6
2、Ca6a2a3 D（x+y）2x2+y2 42020 年 12 月 4 日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟、陆朝阳等人组成的研究团队成功构建了一台 76 个光子的量子计算原型机“九章”，问鼎全球最快计算机它求解数学算法“高斯玻色取样”时，每小 时可以处理 10 亿个样本，则 24 小时可以处理的样本数用科学记数法表示为（ ） A2.41011个 B241011个 C241010个 D2.41010个 5从|6|，3，0，2 这六个数中随机抽取一个数，恰好为负数的概率为（ ） A B C D 6将一副三角板按如图方式放置，使 EFAB，则 的度数是（ ） A95 B100 C120 D105 7
3、第十六届中国国际文化产业博览交易会以“云上文博会”形式举办，各省通过搭建 VR 虚拟展馆的形式 进行展览在展会期间，很多有山西地方特色的文化产业发展成果精彩亮相借此机会，某手工艺术品 展台通过网络平台销售了 90 件上党堆锦圆形摆件，销售情况统计如表： 直径（cm） 25 38 48 55 60 销量/件 22 18 30 13 7 则圆形摆件直径的众数为（ ） A25cm B30cm C48cm D55cm 8如图是由六个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体的左视图不可能是（ ） A B C D 9如图，一次函数 yx6 的图象经过点 P（a，b）和 Q（c，d），则 a（c+
4、d）+b（c+d）的值为（ ） A12 B36 C36 D12 10如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 AC，BE，BD，AC 与 BE，BD 分别交于点 F，G，若 AB2，则 FG 的长为（ ） A3 B 1 C D23 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11计算 12若举反例说明命题“若 ab，则 acbc”是假命题时，令 a 的值为5，b 的值为2，则可给 c 取一 个具体的值为 13如图，四边形 OABC 是正方形，OA 在 y 轴正半轴上，OC 在 x 轴负半轴上反比例函数 y在 第二象限的图象与 BC
5、，AB 分别交于点 E，F若EOF30，则线段 OE 的长度为 14“闪送”是 1 小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者客户下单后，订单全 程只由唯一的 “闪送员” 专门派送， 平均送达时间在 60 分钟以内， 同时避免传统快递服务的中转、 分拣， 配送过程中存在的诸多安全性问题某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪 1700 元，超过 300 单后另 加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过 300 单且不超过 500 单的部分 5 每月超过 500 单的部分 7 设该月某闪送员送了 x 单（x500），所得工资为 y
6、 元，则 y 与 x 的函数关系式为 15如图，在矩形 ABCD 中，AB14，E 是 BC 边上一点，且 BE6，连接 AE若CAE45，则 CE 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16（1）解方程：2x25x0； （2）先化简，再求值：（x+2），其中 x3 17已知：如图，ABC （1）请用直尺和圆规，按以下要求作图（保留作图痕迹） 作法：作 AD 平分BAC 交 BC 于点 D； 作线段 AD 的垂直平分线分别交 AB 于点 E，交 AC 于点 F；
7、 连接 DE，DF； （2）在（1）所作的图中，试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由 18走进山西，就如同走进中国历史博物馆近年来，山西省推出文旅品牌“游山西读历史”，推动山西 文旅走向全国、走向世界山西文旅集团推出五条旅游研学线路： A 游山西，读中华文明演进史； B 游山西，读民族融合发展史； C 游山西，读古代建筑艺术史； D 游山西，读汇通天下晋商史； E 游山西，读中国红色革命史 某校为了了解八年级学生对哪条研学线路最感兴趣， 从该校八年级学生中随机抽取若干名学生进行调查， 绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完 整） 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学
8、生共有 名，在扇形统计图中，E 所在的圆心角的度数是 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校八年级共有 560 名学生，请估计选择“D 游山西，读汇通天下晋商史”的有多少人； （4）小文和小尹作为本校八年级的优秀代表将参加这次研学活动（每人仅选一条线路），请你用列表或 画树状图的方法求他们选择同一条线路的概率 19请阅读材料，并完成相应的任务 在数学探究课上，同学们在探索与圆有关的角的过程中发现这些角的两边都与圆相交，不断 改变顶点的位置，可形成无数个角，而根据点和圆的位置关系可将这些角分为三类，分别是 顶点在圆上、圆外和圆内的角结合数学课上学习的圆周角的概念，对顶点在圆外和圆内的 角
9、进行定义：顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角顶点在圆内，两边都与圆相交的 角叫做圆内角如图 1，AP1B 和AP2B 分别是所对的圆外角和圆内角 如图 2， 点 A， B 在O 上， APB 为所对的一个圆外角 AP， BP 分别交O 于点 C， D 若 AOB120，所对的圆心角为 50，求APB勤奋小组的解题过程（部分）如下： 解：如图 2，连接 AD，OC，OD ADB 是所对的圆周角，且AOB120， ADBAOB60 任务： （1）如图 1，在探究与圆有关的角时，运用的数学思想方法是： ； A公理化思想 B分类讨论 C数形结合 （2）将勤奋小组的解题过程补充完整； （3）如图 3
10、，当点 P 在O 内时，APB 是所对的一个圆内角，延长 AP 交O 于点 C，延长 BP 交 O 于点 D，若设AOBm，所对的圆心角为 n，则APB 20手机测距 APP 可以测量物体高度、宽度等，这些测距软件是基于几何学原理设计的测量时只需要输 入身高，再用手机拍摄功能将准星对准物体顶端和底部拍摄图片，程序就会计算出物体的高度某款测 距 APP 提供的测高模式如下： 点 A，B，C，D 都在同一平面 内，手机位置为 A 点，待测物 体为 CD，且 AB 和 CD 均与地 面 BD 垂直从点 A 处测得顶 端 C 的仰角为 ，底部 D 的俯 角为 奋进小组的同学想用上述方式手动计算某景区宣
11、传广告牌的高度如图 2，经过测量得到 AB1.65m， 仰角 35， 俯角 28， 求出广告牌 CD 的高度 （参考数据： sin350.57， cos350.82， tan35 0.70，sin280.47，cos280.88，tan280.53，结果精确到 0.1） 21“居家嗨购，网上过年”，为做好疫情防控并促进春节线上消费，我省组织开展了 2021“全晋乐购” 网上年货节活动， 某企业采购了具有山西特色的年货慰问响应国家号召就地过年的员工 该企业选购甲， 乙两种物品，已知乙种物品单价是甲种物品单价的，购买 9000 元甲种物品的数量比购买 4800 元乙种 物品的数量多 10 件 （1
12、）甲，乙两种物品的单价各为多少元？ （2） 如果该企业购买甲， 乙两种物品共 150 件， 总费用不超过 3.9 万元， 则购买甲种物品最多为多少件？ 22综合与实践 问题情境： 如图 1，M 是线段 AB 上任意一点（不与点 A，B 重合），分别以 AM 和 BM 为斜边在 AB 同侧构造等腰 直角三角形 AMC 和等腰直角三角形 BMD，连接 CD取 AB 中点 E，CD 中点 F，连接 EF 猜想验证： （1）如图 2，当点 M 与点 E 重合时，试判断 EF 与 CD 之间的数量关系，并说明理由； 延伸探究： （2）如图 3，当点 M 与点 E 不重合时，问题（1）中的结论是否仍然成立
13、？若成立，请写出证明过程； 若不成立，请说明理由； （3）如图 3，若 AB2cm，线段 EF 是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明 理由 23综合与探究 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 W1：yax2+bx+3（a0）的顶点为 A，与 y 轴交于点 D，与 x 轴 交于点 B（3，0），C（1，0）P 是 W1上的动点，设点 P 的横坐标为 m（0m3），过点 P 作直 线x 轴 （1）求抛物线 W1的函数表达式及点 A，D 的坐标； （2）如图 2，连接 BD，直线 l 交直线 BD 于点 M，连接 OP 交 BD 于点 N，求 PM 的长（用含 m 的代数 式
14、表示）及的最大值； （3）在点 P 运动过程中，将抛物线 W1沿直线 l 对称得到拋物线 W2，W2与 y 轴交于点 E，F 为 W2上一 点，试探究是否存在点 P，使DEF 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题个小题.每小题每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1的绝对值是（ ） A20 B20 C D
15、【分析】根据绝对值的意义求解 解：根据题意，| 故选：D 2 山西民居砖雕， 历史悠久， 具有丰富的山西文化内涵， 表达了人们对生活的美好祝愿 下列砖雕图案中， 既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：C 3下列运算正确的是（ ） Aa2aa B（a2）3a6 Ca6a2a3 D（x+y
16、）2x2+y2 【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同 底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解 解：A、a2aa，故错误； B、正确； C、a6a2a4，故错误； D、（x+y）2x2+2xy+y2，故错误； 故选：B 42020 年 12 月 4 日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟、陆朝阳等人组成的研究团队成功构建了一台 76 个光子的量子计算原型机“九章”，问鼎全球最快计算机它求解数学算法“高斯玻色取样”时，每小 时可以处理 10 亿个样本，则 24 小时可以处理的样本数用科学记数法表示为
17、（ ） A2.41011个 B241011个 C241010个 D2.41010个 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 解：10 亿24（个）24000000000（个）2.41010（个） 故选：D 5从|6|，3，0，2 这六个数中随机抽取一个数，恰好为负数的概率为（ ） A B C D 【分析】六个数中有四个负数，根据概率公式求解可得 解：在|6|，3，0，2 这六个数中，负数有
18、|6|，3，这 4 个， 抽取一个数，恰好为负数的概率为， 故选：A 6将一副三角板按如图方式放置，使 EFAB，则 的度数是（ ） A95 B100 C120 D105 【分析】根根据平行线的性质得到1E60，根据三角形的外角性质得到1+B，代入即 可求出答案 解：如图， EFAB， 1E， E903060，BC45， 1+B60+45105 故选：D 7第十六届中国国际文化产业博览交易会以“云上文博会”形式举办，各省通过搭建 VR 虚拟展馆的形式 进行展览在展会期间，很多有山西地方特色的文化产业发展成果精彩亮相借此机会，某手工艺术品 展台通过网络平台销售了 90 件上党堆锦圆形摆件，销售情
19、况统计如表： 直径（cm） 25 38 48 55 60 销量/件 22 18 30 13 7 则圆形摆件直径的众数为（ ） A25cm B30cm C48cm D55cm 【分析】根据众数的意义求解即可 解：销售的 90 件上党堆锦圆形摆件直径最多的是 48cm，共销售 30 件， 因此圆形摆件直径的众数是 48cm， 故选：C 8如图是由六个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则该几何体的左视图不可能是（ ） A B C D 【分析】在“俯视打地基”的前提下，结合俯视图解答即可 解：根据俯视图可得，左视图有三列，第 2 层只能有一个， 故选：B 9如图，一次函数 yx6 的图象经过点
20、P（a，b）和 Q（c，d），则 a（c+d）+b（c+d）的值为（ ） A12 B36 C36 D12 【分析】将 P（a，b）和 Q（c，d）代入 yx6，求出 a+b 和 c+d 即可得到答案 解：一次函数 yx6 的图象经过点 P（a，b）和 Q（c，d）， ba6，dc6， a+b6，c+d6， 而 a（c+d）+b（c+d）（c+d）（a+b）， a（c+d）+b（c+d）（6）（6）36 故选：C 10如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 AC，BE，BD，AC 与 BE，BD 分别交于点 F，G，若 AB2，则 FG 的长为（ ） A3 B 1 C D23 【分析】证明 BG
21、BFAF，设 BGBFAFx，利用相似三角形的性质，构建方程求解即可 解：五边形 ABCDE 是正五边形， BAFABFDBE36， FAFB， ABGAGBBFG72， ABAG2，BGBF， 设 AFBFBGx， BGFAGB，GBFGAB， BGFAGB， BG2GFGA， x2（2x）2， x2+2x40， x1+或1（舍弃）， FGAGAF2（1+）3， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11计算 【分析】根据乘方与乘法的定义即可得到答案 解：根据运算性质，9 个 m 相乘是 m 的 9 次方，12
22、 个 n 相加是 12n， 原式 故答案为： 12若举反例说明命题“若 ab，则 acbc”是假命题时，令 a 的值为5，b 的值为2，则可给 c 取一 个具体的值为 c1（答案不唯一） 【分析】举出一个能使得 acbc 或 acbc 的一个 c 的值即可 解：若 ab，令 a 的值为5，b 的值为2，当 c1 时，acbc， 故答案为：c1（答案不唯一） 13如图，四边形 OABC 是正方形，OA 在 y 轴正半轴上，OC 在 x 轴负半轴上反比例函数 y在 第二象限的图象与 BC，AB 分别交于点 E，F若EOF30，则线段 OE 的长度为 4 【分析】先根据反比例函数图像的得到OCEOA
23、F，再根据EOF30，得到COEAOF 30，进而求得 CE 的长度，即可得到最后答案 解：四边形 OABC 是正方形， OAOC，OAFOCE90， 反比例函数 y在第二象限的图象与 BC，AB 分别交于点 E，F， CEOCAFOA4， CEAF， 在OCE 与 OAF 中， ， OCEOAF（SAS）， EOF30， COEAOF30， OCCE， CEOC4， CE2， OE2CE4， 故答案为：4 14“闪送”是 1 小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者客户下单后，订单全 程只由唯一的 “闪送员” 专门派送， 平均送达时间在 60 分钟以内， 同时避免传统快递服务
24、的中转、 分拣， 配送过程中存在的诸多安全性问题某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪 1700 元，超过 300 单后另 加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过 300 单且不超过 500 单的部分 5 每月超过 500 单的部分 7 设该月某闪送员送了 x 单（x500），所得工资为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为 y7x800 【分析】根据题意和表格中的数据可以写出 x500 时 y 与 x 的函数解析式 解：当 x500 时，y1700+（500300）5+（x500）77x800， 故答案为：y7x800 15如图，在矩
25、形 ABCD 中，AB14，E 是 BC 边上一点，且 BE6，连接 AE若CAE45，则 CE 的长为 29 【分析】过点 E 作 EFAC 于点 F，根据勾股定理可得 AE 的长，设 CEx，利用锐角三角函数定义列 出方程求出 x，即可得 CE 的长 解：如图，过点 E 作 EFAC 于点 F， 在 RtABE 中，AB14，BE6， 根据勾股定理，得 AE 2， 在 RtAEF 中，CAE45， AFEFAE22， 设 CEx， tanACB， ， CF， 在 RtEFC 中，根据勾股定理，得 CF2+EF2EC2， 2+（2）2x2， 解得 x29 或 x11.6（舍去）， CE 的长
26、 29 故答案为：29 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16（1）解方程：2x25x0； （2）先化简，再求值：（x+2），其中 x3 【分析】（1）直接利用因式分解法解方程得出答案； （2）直接利用分式的混合运算法则化简，再代入 x 的值求出答案 解：（1）2x25x0， x（2x5）0， 解得：x10，x2； （2）原式 ， 当 x3 时，原式 17已知：如图，ABC （1）请用直尺和圆规，按以下要求作图（保留作图痕迹） 作法：作 AD 平分BAC 交 BC
27、于点 D； 作线段 AD 的垂直平分线分别交 AB 于点 E，交 AC 于点 F； 连接 DE，DF； （2）在（1）所作的图中，试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由 【分析】（1）根据要求作出图形 （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，证明即可 解：（1）如图所示，即为所求作的图形 （2）结论：四边形 AEDF 是菱形 理由：EF 垂直平分线段 AD， AEDE，AFDF， EADEDA， AD 平分BAC， EADDAC， EDADAC， DEAC， 同理可得，DFAE， 四边形 AEDF 是平行四边形， AEDF， 四边形 AEDF 是菱形 18走进山西，就如同走进中国历史博物馆近
28、年来，山西省推出文旅品牌“游山西读历史”，推动山西 文旅走向全国、走向世界山西文旅集团推出五条旅游研学线路： A 游山西，读中华文明演进史； B 游山西，读民族融合发展史； C 游山西，读古代建筑艺术史； D 游山西，读汇通天下晋商史； E 游山西，读中国红色革命史 某校为了了解八年级学生对哪条研学线路最感兴趣， 从该校八年级学生中随机抽取若干名学生进行调查， 绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完 整） 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 80 名，在扇形统计图中，E 所在的圆心角的度数是 90 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校八年级共有 560
29、名学生，请估计选择“D 游山西，读汇通天下晋商史”的有多少人； （4）小文和小尹作为本校八年级的优秀代表将参加这次研学活动（每人仅选一条线路），请你用列表或 画树状图的方法求他们选择同一条线路的概率 【分析】（1）由 A 的人数和所占百分比求出调查的学生人数，由 360乘以 E 所占的比例即可； （2）求出 D 的人数，将条形统计图补充完整即可； （3）由该校八年级共有的学生人数乘以 D 所占的比例即可； （4）画树状图，再由概率公式求解即可 解：（1）本次调查的学生共有：1620%80（名）， 在扇形统计图中，E 所在的圆心角的度数是 36090， 故答案为：80，90； （2）D 的人数为
30、：801613142017（名）， 将条形统计图补充完整如图： （3）560119（人）， 即估计选择“D 游山西，读汇通天下晋商史”的有 119 人； （4）画树状图如图： 共有 25 个等可能的结果，其中小文和小尹选择同一条线路的结果有 5 个， 小文和小尹选择同一条线路的概率为 19请阅读材料，并完成相应的任务 在数学探究课上，同学们在探索与圆有关的角的过程中发现这些角的两边都与圆相交，不断 改变顶点的位置，可形成无数个角，而根据点和圆的位置关系可将这些角分为三类，分别是 顶点在圆上、圆外和圆内的角结合数学课上学习的圆周角的概念，对顶点在圆外和圆内的 角进行定义：顶点在圆外，两边与圆相交
31、的角叫做圆外角顶点在圆内，两边都与圆相交的 角叫做圆内角如图 1，AP1B 和AP2B 分别是所对的圆外角和圆内角 如图 2， 点 A， B 在O 上， APB 为所对的一个圆外角 AP， BP 分别交O 于点 C， D 若 AOB120，所对的圆心角为 50，求APB勤奋小组的解题过程（部分）如下： 解：如图 2，连接 AD，OC，OD ADB 是所对的圆周角，且AOB120， ADBAOB60 任务： （1）如图 1，在探究与圆有关的角时，运用的数学思想方法是： ； A公理化思想 B分类讨论 C数形结合 （2）将勤奋小组的解题过程补充完整； （3）如图 3，当点 P 在O 内时，APB 是
32、所对的一个圆内角，延长 AP 交O 于点 C，延长 BP 交 O 于点 D，若设AOBm，所对的圆心角为 n，则APB （m+n） 【分析】（1）在探究与圆有关的角时，是按照点 P 在圆的位置探究的，故运用的数学思想方法是分类 讨论； （2）ADBAOB60，由PADCOD5025，ADB 为ADP 的外角，即 可求解； （3）和（2）相同的思路即可求解 解： （1）在探究与圆有关的角时，是按照点 P 在圆的位置探究的，故运用的数学思想方法是分类讨论， 故答案为 B； （2）如图 2，连接 AD，OC，OD ADB 是所对的圆周角，且AOB120， ADBAOB60 COD50， PADCOD
33、5025， ADB 为ADP 的外角， APBADBPAD602535； （3）如图 3，连接 AD，OC，OD ADB 是所对的圆周角，且AOBm， ADBAOBm CODn， PADCODnn， APB 为ADP 的外角， APBADB+PAD（m+n） 故答案为（m+n） 20手机测距 APP 可以测量物体高度、宽度等，这些测距软件是基于几何学原理设计的测量时只需要输 入身高，再用手机拍摄功能将准星对准物体顶端和底部拍摄图片，程序就会计算出物体的高度某款测 距 APP 提供的测高模式如下： 点 A，B，C，D 都在同一平面 内，手机位置为 A 点，待测物 体为 CD，且 AB 和 CD
34、均与地 面 BD 垂直从点 A 处测得顶 端 C 的仰角为 ，底部 D 的俯 角为 奋进小组的同学想用上述方式手动计算某景区宣传广告牌的高度如图 2，经过测量得到 AB1.65m， 仰角 35， 俯角 28， 求出广告牌 CD 的高度 （参考数据： sin350.57， cos350.82， tan35 0.70，sin280.47，cos280.88，tan280.53，结果精确到 0.1） 【分析】 过点 A 作 AGCD 于点 G， 则CAG35， DAG28， 根据题意可得四边形 ABDG 是矩形，所以 DGAB1.65 m，再根据锐角三角函数即可求出结果 解：如图，过点 A 作 AG
35、CD 于点 G， 则CAG35，DAG28， ABBD，CDBD， ABDAGDBDG90， 四边形 ABDG 是矩形， DGAB1.65 m， 在 RtAGD 中，tan， AG， 在 RtAGC 中，tan， CGAGtantan350.702.18（m）， CDCG+DG2.18+1.653.8（m） 答：广告牌 CD 的高度为 3.8m 21“居家嗨购，网上过年”，为做好疫情防控并促进春节线上消费，我省组织开展了 2021“全晋乐购” 网上年货节活动， 某企业采购了具有山西特色的年货慰问响应国家号召就地过年的员工 该企业选购甲， 乙两种物品，已知乙种物品单价是甲种物品单价的，购买 90
36、00 元甲种物品的数量比购买 4800 元乙种 物品的数量多 10 件 （1）甲，乙两种物品的单价各为多少元？ （2） 如果该企业购买甲， 乙两种物品共 150 件， 总费用不超过 3.9 万元， 则购买甲种物品最多为多少件？ 【分析】（1）设甲种物品的单价为 x 元，则乙种物品的单价为x 元，根据购买 9000 元甲种物品的数量 比购买 4800 元，乙种物品的数量多 10 件，列分式方程求解即可； （2）设购买甲种物品 m 件，则购买乙种物品（150m）件，根据总费用不超过 3 9 万元列不等式， 求出 m 的范围，从而确定 m 的最大值 解：（1）设甲种物品的单价为 x 元，则乙种物品的
37、单价为x 元， 根据题意，得10， 解得，x300， 经检验，x300 是原分式方程的解，且符合题意， 乙种物品的单价为：300240（元）， 答：甲种物品的单价为 300 元，乙种物品的单价为 240 元； （2）设购买甲种物品 m 件，则购买乙种物品（150m）件， 根据题意得，300m+240（150m）39000， 解得，m50， m 为非负整数，且 m 的最大值， m50， 答：购买甲种物品最多为 50 件 22综合与实践 问题情境： 如图 1，M 是线段 AB 上任意一点（不与点 A，B 重合），分别以 AM 和 BM 为斜边在 AB 同侧构造等腰 直角三角形 AMC 和等腰直角三
38、角形 BMD，连接 CD取 AB 中点 E，CD 中点 F，连接 EF 猜想验证： （1）如图 2，当点 M 与点 E 重合时，试判断 EF 与 CD 之间的数量关系，并说明理由； 延伸探究： （2）如图 3，当点 M 与点 E 不重合时，问题（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程； 若不成立，请说明理由； （3）如图 3，若 AB2cm，线段 EF 是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明 理由 【分析】（1）结论：CD2EF利用直角三角形斜边中线的性质证明即可 （2）结论成立延长 AC 交 BD 的延长线于 G，连接 MG，EG利用矩形的性质，直角三角形斜边中
39、线 的性质解决问题即可 （3）求出 CD 的最小值，可得结论 解：（1）结论：CD2EF 理由：如图 2 中， AMC，BMD 都是等腰直角三角形， ACMMDB90，ACMC，MDBD， AAMC（180ACM）45，DMBB（180MDB）45， CMD180DMB90， CFDF， MFCD，即 CD2EF （2）结论成立 理由：如图 3 中，延长 AC 交 BD 的延长线于 G，连接 MG，EG AMC，BMD 都是等腰直角三角形， ACMMDB90，ACMC，MDBD， AAMC（180ACM）45，DMBB（180MDB）45， MCGAGBGDM90，AGBG， 四边形 MCGD
40、 是矩形，AGB 是等腰直角三角形， GMCD， E 是 AB 的中点， GEAB， AEG90， F 是 CD 的中点， F 是 GM 的中点， 在 RtMEG 中，F 是 GM 的中点， EFGM， EFCD，即 CD2EF （3）由（2）可知，CDGMEG， CDAB， CD1， CD 的最小值为 1， EF 的最小值为 23综合与探究 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 W1：yax2+bx+3（a0）的顶点为 A，与 y 轴交于点 D，与 x 轴 交于点 B（3，0），C（1，0）P 是 W1上的动点，设点 P 的横坐标为 m（0m3），过点 P 作直 线x 轴 （1）求抛物线 W
41、1的函数表达式及点 A，D 的坐标； （2）如图 2，连接 BD，直线 l 交直线 BD 于点 M，连接 OP 交 BD 于点 N，求 PM 的长（用含 m 的代数 式表示）及的最大值； （3）在点 P 运动过程中，将抛物线 W1沿直线 l 对称得到拋物线 W2，W2与 y 轴交于点 E，F 为 W2上一 点，试探究是否存在点 P，使DEF 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1） 运用待定系数法求出抛物线 W1的函数表达式 yx2+2x+3， 利用顶点公式求得顶点坐标， 令 x0，即可求得抛物线与 y 轴交点 D 的坐标
42、； （2）由（1）得 D（0，3），运用待定系数法可求得直线 BD 的解析式，根据题意点 P 的坐标为 P（m， m2+2m+3），根据 lx 轴，可得m2+2m+3x+3，从而得出点 M 的坐标，再由 PMOB，得出 MNPBNO，即可得到关于 m 的函数关系式，再利用二次函数最值求解即可； （3）由于 W1与 W2关于直线 l 对称，可得 W1与 W2开口大小不变，方向相反，根据 D 和 E 关于直线 l 对称，即可得出 W2x2+2x+（2m2+4m+3），由于DEF 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，即 可建立方程求出 m，进而得出点 P 的坐标 解：（1）将 B（3，0），C（1
43、，0）代入 W1的函数表达式得， 解之得 a1，b2， 抛物线 W1的表达式为 yx2+2x+3 x1， y4， 顶点 A（1，4）， D（0，3）， （2）点 P 的横坐标为 m， P（m，m2+2m+3）， 经过 B（3，0）、D（0，3）的函数表达式为 yx+3， P，M 的纵坐标相同， m2+2m+3x+3， xm22m， M（m22m，m2+2m+3）， PMm2+3m， lx 轴， MPOPOB， 又MNPBNO， MNPBNO， ， 点 B 的坐标为（3，0）， OB3， 设q， q， ， 当 m时，q 有最大值， 当 m时，的最大值为； （3）存在，如图 3，W1与 W2关于直
44、线 l 对称， W1与 W2开口大小不变，方向相反， W1中的 a11， W2中的 a21， D 和 E 关于直线 l 对称， yD+yE2（m2+2m+3）， yE2m2+4m+3， 点 E（0，2m2+4m+3）， A 与 G 关于直线 l 对称， yA+yG2（m2+2m+3）， yE2m2+4m+2， 点 G（1，2m2+4m+2）， 把点 E 和点 G 的坐标代入 W2x2+b2x+c， 得：， 解得：， W2x2+2x+（2m2+4m+3）， DEF 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形， DEDF，DEDF， DFx 轴， yFyD3， 即 x22x+（2m2+4m+3）3， x22x2m2+4m0， xF1 ， DF|xF|1|， DE|yDyE|3（2m2+4m+3）|2m24m， |1|2m24m， 两边同时平方并整理得（2m24m）23（2m24m）0， 令 2m24mt，则 t23t0， 解得：t10，t23， 即 2m24m0，解得：m10，m22， 2m24m3，解得：m3，m4， 0m3， m2 或， 点 P 的坐标为（2，3）或（，）
