1、2021 福建省厦门市湖里区福建省厦门市湖里区初三下数学第一次诊断卷初三下数学第一次诊断卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）的倒数为（ ） A B2 C2 D1 2 （4 分）二元一次方程组的解是（ ） A B C D 3 （4 分）下列各式计算正确的是（ ） A B （a3b）2a6b2 C Da9a3a3 4 （4 分）掷一枚质地均匀的硬币 5 次，其中 3 次正面朝上，2 次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝 下的概率是（ ） A1 B C D 5 （4 分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个
2、部分沿某个方向平移后能与另一个部分 重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形下列图形中，平移重合图形是（ ） A平行四边形 B等腰梯形 C正六边形 D圆 6 （4 分）如图，过直线 l1外一点 P 作它的平行线 l2，其作图依据是（ ） A两直线平行，同位角相等 B两直线平行，内错角相等 C同位角相等，两直线平行 D内错角相等，两直线平行 7 （4 分）已知 a，b，c 都是实数，则关于三个不等式：ab，ab+c，c0 的逻辑关系的表述，下列正确 的是（ ） A因为 ab+c，所以 ab，c0 B因为 ab+c，c0，所以 ab C因为 ab，ab+c，所以 c0 D因为 ab，c0，所以 a
3、b+c 8 （4 分）某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队 的投标书测算，共有三种施工方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；乙队单独完成此项工 程要比规定工期多用 5 天；，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工某同学设规定 的工期为 x 天，根据题意列出了方程：，则方案中被墨水污染的部分应该是（ ） A甲乙合作了 4 天 B甲先做了 4 天 C甲先做了工程的 D甲乙合作了工程的 9 （4 分）如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛 三角形，若 AB2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（
4、 ） A B C2 D2 10 （4 分）若点 A（a1，y1） ，B（a+1，y2）在反比例函数 y（k0）的图象上，且 y1y2，则 a 的取 值范围是（ ） Aa1 B1a1 Ca1 Da1 或 a1 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 20 分）分） 11 （4 分）如图，在ABC 中，C90，AB5，BC3，则 cosA 的值是 12 （4 分）如图，在ABC 中，B40，C30，延长 BA 至点 D，则CAD 的大小为 13 （4 分）已知，一次函数 yx+5 的图象经过点 P（a，b）和 Q（c，d） ，则 a（cd）b（cd）的值 为 14 （4 分）如图，BC
5、DE，且 BCDE，ADBC4，AB+DE10则的值为 15 （4 分）观察分析下列方程：x+3；x+5；x+7请利用它们所蕴含的规律，求关于 x 的方程 x+2n+5（n 为正整数）的根，你的答案是 16计算： （15y25y）5y 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 86 分）分） 17 （12 分） （1）计算： （2020）0+4sin45（） 1 （2）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在如图的数轴上 18 （8 分）先化简，再求值： （），其中 a2sin60+1 19 （8 分）如图，四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，BCEACD，BACD，BCCE
6、，求证： CADD 20 （8 分）如图，已知四边形 ABCD 是矩形 （1）请用直尺和圆规在边 AD 上作点 E，使得 EBEC （保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 AB4，AD6，求 EB 的长 21 （8 分） 已知在ABC 中， A， B， C 的对边分别是 a， b， c， 关于 x 的方程 a （1x2） +2bx+c （1+x2） 0 有两个相等实根，且 3ca+3b （1）试判断ABC 的形状； （2）求 sinA+sinB 的值 22 （8 分）对任意一个两位数 m，如果 m 等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数 m 为“平方和数” ， 若 ma2+b2（a、b
7、 为正整数） ，记 A（m）ab例如：2922+52，29 就是一个“平方和数” ，则 A（29） 2510 （1）判断 25 是否是“平方和数” ，若是，请计算 A（25）的值；若不是，请说明理由； （2）若 k 是一个“平方和数” ，且 A（k），求 k 的值 23 （11 分） “世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品 牌的山地自行车相继投放市场顺风车行经营的 A 型车去年 6 月份销售总额为 3.2 万元，今年经过改造 升级后 A 型车每辆销售价比去年增加 400 元，若今年 6 月份与去年 6 月份卖出的 A 型车数量相同，则今 年 6 月份
8、 A 型车销售总额将比去年 6 月份销售总额增加 25% （1）求今年 6 月份 A 型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答） ； （2）该车行计划 7 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两 倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ A、B 两种型号车的进货和销售价格如表： A 型车 B 型车 进货价格（元/辆） 1100 1400 销售价格（元/辆） 今年的销售价 格 2400 24 （11 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB4，点 E 在对角线 BD 上，ABE 的外接圆交 BC 于点 F连 接 AF 交 BD 于点 G （1）求
9、证：AFAE； （2）若 FH 是该圆的切线，交线段 CD 于点 H，且 FHFG，求 BF 的长 25 （12 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，顶点为 C，且ABC 为等 腰直角三角形 （1）当 A（1，0） ，B（3，0）时，求 a 的值； （2）当 b2a，a0 时 求该二次函数的解析式（用只含 a 的式子表示） ； 在1x3 范围内任取三个自变量 x1，x2，x3，所对应的三个函数值分别为 y1，y2，y3，若以为 y1， y2，y3为长度的三条线段能围成三角形，求 a 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择
10、题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）的倒数为（ ） A B2 C2 D1 【解答】解：（）（2）1， 的倒数是2 故选：C 2 （4 分）二元一次方程组的解是（ ） A B C D 【解答】解：， +得，3x3， 解得 x1， 把 x1 代入得，1+y2， 解得 y1， 所以，方程组的解是 故选：B 3 （4 分）下列各式计算正确的是（ ） A B （a3b）2a6b2 C Da9a3a3 【解答】解：A、，无法计算，故此选项错误； B、 （a3b）2a6b2，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、a9a3a6，故此选项错误 故选：B
11、 4 （4 分）掷一枚质地均匀的硬币 5 次，其中 3 次正面朝上，2 次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝 下的概率是（ ） A1 B C D 【解答】解：掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同， 再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是 故选：D 5 （4 分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分 重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形下列图形中，平移重合图形是（ ） A平行四边形 B等腰梯形 C正六边形 D圆 【解答】解：如图，平行四边形 ABCD 中，取 BC，AD 的中点 E，F，连接 EF 四边形 ABEF 向右平移可以与四
12、边形 EFDC 重合， 平行四边形 ABCD 是平移重合图形， 故选：A 6 （4 分）如图，过直线 l1外一点 P 作它的平行线 l2，其作图依据是（ ） A两直线平行，同位角相等 B两直线平行，内错角相等 C同位角相等，两直线平行 D内错角相等，两直线平行 【解答】解：由图可知， 直线 l1和直线 l2之间的内错角相等，则可以判定这两条直线平行， 故选：D 7 （4 分）已知 a，b，c 都是实数，则关于三个不等式：ab，ab+c，c0 的逻辑关系的表述，下列正确 的是（ ） A因为 ab+c，所以 ab，c0 B因为 ab+c，c0，所以 ab C因为 ab，ab+c，所以 c0 D因为
13、 ab，c0，所以 ab+c 【解答】解：A、例如 a5，b1，c2，满足条件 ab+c，但是不满足结论 c0，故本选项错误； B、例如 a5，b8，c6，满足条件 ab+c，c0，但是不满足结论 ab，故本选项错误； C、例如 a5，b1，c2，满足条件 ab，ab+c，但是不满足结论 c0，故本选项错误； D、c0，a+ca，即 aa+c， ab，a+cb+c， ab+c，故本选项正确 故选：D 8 （4 分）某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队 的投标书测算，共有三种施工方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；乙队单独完成此项工 程要比规
14、定工期多用 5 天；，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工某同学设规定 的工期为 x 天，根据题意列出了方程：，则方案中被墨水污染的部分应该是（ ） A甲乙合作了 4 天 B甲先做了 4 天 C甲先做了工程的 D甲乙合作了工程的 【解答】解：某同学设规定的工期为 x 天，根据题意列出了方程：， 甲工作了 4 天，乙工作了 x 天， 即甲乙合作了 4 天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工， 可知在应填入的内容为：甲乙合作了 4 天， 故选：A 9 （4 分）如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛 三角形，若 AB2，则莱洛三角形的面积（即
15、阴影部分面积）为（ ） A B C2 D2 【解答】解：过 A 作 ADBC 于 D， ABC 是等边三角形， ABACBC2，BACABCACB60， ADBC， BDCD1，ADBD， ABC 的面积为， S扇形BAC， 莱洛三角形的面积 S3222， 故选：D 10 （4 分）若点 A（a1，y1） ，B（a+1，y2）在反比例函数 y（k0）的图象上，且 y1y2，则 a 的取 值范围是（ ） Aa1 B1a1 Ca1 Da1 或 a1 【解答】解：k0， 在图象的每一支上，y 随 x 的增大而增大， 当点（a1，y1） 、 （a+1，y2）在图象的同一支上， y1y2， a1a+1，
16、 此不等式无解； 当点（a1，y1） 、 （a+1，y2）在图象的两支上， y1y2， a10，a+10， 解得：1a1， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 20 分）分） 11 （4 分）如图，在ABC 中，C90，AB5，BC3，则 cosA 的值是 【解答】解：在ABC 中，C90，AB5，BC3， AC4， cosA 故答案为 12 （4 分）如图，在ABC 中，B40，C30，延长 BA 至点 D，则CAD 的大小为 70 【解答】解：B40，C30， CADB+C70， 故答案为：70 13 （4 分）已知，一次函数 yx+5 的图象经过点 P（a，b）
17、和 Q（c，d） ，则 a（cd）b（cd）的值 为 25 【解答】解：一次函数 yx+5 的图象经过点 P（a，b）和 Q（c，d） ， 点 P（a，b）和 Q（c，d）满足一次函数解析式 yx+5， ba+5，dc+5， ab5，cd5， a（cd）b（cd）（ab） （cd）（5）（5）25 故答案是：25 14 （4 分）如图，BCDE，且 BCDE，ADBC4，AB+DE10则的值为 2 【解答】解：BCDE， ADEABC， ，即， ABDE16， AB+DE10， AB2，DE8， ， 故答案为：2 15 （4 分）观察分析下列方程：x+3；x+5；x+7请利用它们所蕴含的规律，
18、求关于 x 的方程 x+2n+5（n 为正整数）的根，你的答案是 xn+4 或 xn+5 【解答】解：x+3，解得：x2 或 x1； x+5，解得：x2 或 x3； x+7，解得：x3 或 x4， 得到规律 x+m+n 的解为：xm 或 xn， 所求方程整理得：x4+2n+1， 根据规律得：x4n 或 x4n+1， 解得：xn+4 或 xn+5 故答案为：xn+4 或 xn+5 16计算： （15y25y）5y 3y1 【解答】解：原式15y25y5y5y 3y1， 故答案为：3y1 三解答题（共三解答题（共 9 小题，满分小题，满分 86 分）分） 17 （12 分） （1）计算： （202
19、0）0+4sin45（） 1 （2）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在如图的数轴上 【解答】解： （1）原式12+42 12+22 1； （2）， 解不等式，得 x2 解不等式，得 x3 所以该不等式组的解集是3x2 表示在数轴上为： 18 （8 分）先化简，再求值： （），其中 a2sin60+1 【解答】解：原式， a2sin60+1， a+1， 原式 19 （8 分）如图，四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，BCEACD，BACD，BCCE，求证： CADD 【解答】证明：BCEACD， BCEACEACDACE， 即ACBDCE， 在ABC 和DEC 中， ， ABCDE
20、C（AAS） ， ACDC， CADD 20 （8 分）如图，已知四边形 ABCD 是矩形 （1）请用直尺和圆规在边 AD 上作点 E，使得 EBEC （保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 AB4，AD6，求 EB 的长 【解答】解： （1）如图所示，点 E 即为所求； （2）连接 EB，EC， 由（1）知 EBEC， 四边形 ABCD 是矩形， AD90，ABDC4， RtABERtDCE（HL） ， AEDEAD3， 在 RtABE 中，EB5 21 （8 分） 已知在ABC 中， A， B， C 的对边分别是 a， b， c， 关于 x 的方程 a （1x2） +2bx+c （1
21、+x2） 0 有两个相等实根，且 3ca+3b （1）试判断ABC 的形状； （2）求 sinA+sinB 的值 【解答】解： （1）方程整理为（ca）x2+2bx+a+c0， 根据题意得4b24（ca） （a+c）0， a2+b2c2， ABC 为直角三角形； （2）a2+b2c2，3ca+3b （3c3b）2+b2c2， （4c5b） （cb）0， 4c5b，即 bc， a3c3bc sinA，sinB， sinA+sinB 22 （8 分）对任意一个两位数 m，如果 m 等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数 m 为“平方和数” ， 若 ma2+b2（a、b 为正整数） ，记 A（m）
22、ab例如：2922+52，29 就是一个“平方和数” ，则 A（29） 2510 （1）判断 25 是否是“平方和数” ，若是，请计算 A（25）的值；若不是，请说明理由； （2）若 k 是一个“平方和数” ，且 A（k），求 k 的值 【解答】解： （1）25 是“平方和数” 2532+42， A（25）3412； （2）设 ka2+b2，则 A（k）ab， A（k）， ab， 2aba2+b24， a22ab+b24， （ab）24， ab2，即 ab+2 或 ba+2， a、b 为正整数，k 为两位数， 当 a1，b3 或 a3，b1 时，k10； 当 a2，b4 或 a4，b2 时，k
23、20； 当 a3，b5 或 a5，b3 时，k34； 当 a4，b6 或 a6，b4 时，k52； 当 a5，b7 或 a7，b5 时，k74； 综上，k 的值为：10 或 20 或 34 或 52 或 74 23 （11 分） “世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品 牌的山地自行车相继投放市场顺风车行经营的 A 型车去年 6 月份销售总额为 3.2 万元，今年经过改造 升级后 A 型车每辆销售价比去年增加 400 元，若今年 6 月份与去年 6 月份卖出的 A 型车数量相同，则今 年 6 月份 A 型车销售总额将比去年 6 月份销售总额增加 25%
24、 （1）求今年 6 月份 A 型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答） ； （2）该车行计划 7 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两 倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ A、B 两种型号车的进货和销售价格如表： A 型车 B 型车 进货价格（元/辆） 1100 1400 销售价格（元/辆） 今年的销售价 格 2400 【解答】解： （1）设去年 A 型车每辆 x 元，那么今年每辆（x+400）元， 根据题意得， 解之得 x1600， 经检验，x1600 是方程的解 答：今年 A 型车每辆 2000 元 （2）设今年 7 月份进 A
25、 型车 m 辆，则 B 型车（50m）辆，获得的总利润为 y 元， 根据题意得 50m2m 解之得 m， 50m0， m50， 16m50 y（20001100）m+（24001400） （50m）100m+50000， y 随 m 的增大而减小， 当 m17 时，可以获得最大利润 答：进货方案是 A 型车 17 辆，B 型车 33 辆 24 （11 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB4，点 E 在对角线 BD 上，ABE 的外接圆交 BC 于点 F连 接 AF 交 BD 于点 G （1）求证：AFAE； （2）若 FH 是该圆的切线，交线段 CD 于点 H，且 FHFG，求 BF 的长
26、【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 为正方形， 1245，ABC90， ，AF 为直径， AEFE，AEF90， AEF 为等腰直角三角形， AFAE； （2）解：FH 是该圆的切线， AFFH， 3+490， 3+590， 54， RtABFRtFCH， ， FHGF， ， ADBF， ADGFGB， ， 即+1， +1， 而 FC4BF， +1， 整理得 BF2+4BF160， 解得 BF2+2或 BF22（舍去） ， 即 BF 的长为 22 25 （12 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，顶点为 C，且ABC 为等 腰直角三角形 （1）当
27、 A（1，0） ，B（3，0）时，求 a 的值； （2）当 b2a，a0 时 求该二次函数的解析式（用只含 a 的式子表示） ； 在1x3 范围内任取三个自变量 x1，x2，x3，所对应的三个函数值分别为 y1，y2，y3，若以为 y1， y2，y3为长度的三条线段能围成三角形，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）A（1，0） ，B（3，0） ， 抛物线对称轴为直线 x1，AB4， 设对称轴交 AC 于点 H， ABC 为等腰直角三角形， CH2， 当抛物线开口向上时，点 C 坐标为（1，2） ， 设 ya（x1）22， 把 B（3，0）代入，可得 a， 当抛物线开口向下时，点 C 坐标为（1，2） ， 设 ya（x1）2+2， 把 B（3，0）代入，可得 a a 的值为或； （2）当 b2a 时，yax22ax+ca（x1）2+ca 点 C（1，ca） ， 点 B（1+ca，0） ， a（ca）2+ca0， （ca） （aca2+1）0， ca0， aca2+10， ca， ya（x1）2， 1x3，a0， 当 x1 或 3 时，y 有最小值为 4a， 当 x1 时，y 有最大值， 若以 y1，y2，y3为长度的三条线段能围成三角形， 则 2（4a）， 整理的 8a210， a0
