1、几何最值之费马点巩固练习几何最值之费马点巩固练习(提优提优) 1. 如图，P 是锐角ABC 所在平面上一点，如果APBBPCCPA120，则点 P 就叫做ABC 费马点。 (1)当ABC 是边长为 4 的等边三角形时，费马点 P 到 BC 边的距离为 ； (2)若点 P 是ABC 的费马点，ABC60，PA2，PC3，则 PB 的值为 ； (3)如图 2，在锐角BC 外侧作等边ACB，连接 BB.求证：BB过ABC 的费马点 P. 【解答】(1)；(2)；(3)见解析 【解析】(1)延长 AP，交 BC 于 D，如图所示： ABACBC，APBBPCCPA120， P 为三角形的内心， ADB
2、C，BDCD2，PBD30， ， ，； (2)PABPBA180APB60， PBCPBAABC60， PABPBC， 又APBBPC120， ABPBCP， ，即； (3)证明：在 BB上取点 P，使BPC120，连接 AP，再在 PB上截取 PEPC，连接 CE，如图所示： BPC120，EPC60， PCE 为正三角形 PCCE，PCE60，CEB120 ACB为正三角形， ACBC，ACB60， PCAACEACEECB60，PCAECB， ACPBCE， APCBEC120，PAEB， APBAPCBPC120， P 为ABC 的费马点， BB过ABC 的费马点 P. 2. 如图 1
3、，P 为ABC 所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点 P 叫做ABC 的费马 点： (1)若点 P 是等边三角形三条中线的交点，点 P (填是或不是)该三角形的费马点； (2)如果点 P 为锐角ABC 的费马点，且ABC60，求证：ABPBCP； (3)已知锐角ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正ABE 和正ACD，CE 和 BD 相交于 P 点，如图 2， 求CPD 的度数； 求证：P 点为ABC 的费马点. 【解答】(1)是；(2)见解析；(3)CPD60 ，见解析 【解析】(1)延长 AP 与 BC 交于点 N，延长 BP 交 AC 于点 M，如图所示： ABBC，BM
4、是 AC 的中线， MB 平分ABC， 同理：AN 平分BAC，PC 平分BCA， ABC 为等边三角形， ABP30，BAP30 APB120 同理：APC120，BPC120， P 是ABC 的费马点； (2)PABPBA180APB60，PBCPBAABC60， PABPBC， 又APBBPC120， ABPBCP； (3)如图所示， ABE 与ACD 都为等边三角形， BAECAD60，AEAB，ACAD， BAEBACCADBAC，即EACBAD， 在ACE 与ABD 中， ACEABD(SAS)， 12， 34， CPD6560； 证明：ADFCFP， AFPFDFCF， AFPC
5、FD， AFPCDF APFACD60， APCCPDAPF120， BPC120， APB360BPCAPC120， P 点为ABC 的费马点. 3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC 三个顶点的坐标分别为，延 长 AC 到点 D， 使 CD 1 2 AC，过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于点 E. (1)求 D 点的坐标； (2)作 C 点关于直线 DE 的对称点 F，分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线ykxb将四边形 CDFE 分成周 长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； (3)设 G 为 y 轴上一点， 点 P 从直线ykxb与 y 轴的交点出发， 先沿 y
6、轴到达 G 点， 再沿 GA 到达 A 点， 若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求 到达 A 点所用的时间最短 【解答】(1)；(2)；(3) 【解析】(1)， 设 DE 与 轴交于点 M，由 DEAB 可得DMCAOC， 又， ，同理可得 EM3， ； (2)由(1)可得，由 DEAB，EMMD 可得 y 轴所在直线是线段 ED 的垂直平分线， 点 C 关于直线 DE 的对称点 F 在 y 轴上，ED 与 CF 互相垂直平分， CDDFFEEC， 四边形 CDFE 是菱形，且点 M 为对称中心， 作直线 BM，设
7、 BM 与 CD、EF 分别交于点 S、T，如图所示： 易证FTMCSM，FTCS， FECD，TESD， ECDF，TEECCSSTSDDFFTTS， 直线 BM 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形， 由点 B(6，0)，点在直线上，直线 BM 的解析式为； (3)设点 P 在直线 AG 上的运动速度为 ，点 P 在 y 轴上的运动速度为 2 ， 则点 P 到达点 A 的时间为， 过点 G 作 GHBM 于点 H，如图所示： 易证MGHMBO，则， ，. 要使 t 最小，则 GHGA 最小，即当点 G、A、H 三点一线时，t 有最小值， 确定 G 点位置的方法：过 A 点作 AHB
8、M 于点 H，则 AH 与 y 轴的交点为所求的 G 点， 由 OB6，可得OBM60，BAH30， 在 RtOAG 中， G 点的坐标为(或 G 点的位置为线段 OM 的靠近 O 点的三等分点). 4. 如图，点 M 为锐角三角形 ABC 内任意一点，连接 AM、BM、CM.以 AB 为一边向外作等边三角形 ABE，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到，连接 EN. (1)求证：AMBENB； (2)若 AMBMCM 的值最小，则称点 M 为ABC 的费马点。若点 M 为ABC 的费马点，试求此时 AMB、BMC、CMA 的度数. 【解答】(1)见解析；(2)AMB、BMC、CMA 都等
9、于 120 【解析】(1)证明：ABE 为等边三角形， ABBE，ABE60， 而MBN60， ABMEBN， 在AMB 与ENB 中，MBENB(SAS) (2)连接 MN，如图所示： 由(1)知，AMEN， MBN60，BMBN，BMN 为等边三角形， BMMN，AMBMCMENMNCM， 当 E、N、M、C 四点共线时，AMBMCM 的值最小， 此时，BMC180NMB120， AMBENB180BNM120， AMC360BMCAMB120. 5. 已知锐角ABC，ACB60，分别以三边为边向形外作等边三角形 ABD，BCE，ACF，请找出 ABC 的费马点，并探究 SABC与 SAB
10、D的和，SBCE与 SACF的和是否相等. 【解答】SABCSABDSBCESACF 【解析】证明：过点 A 作 AMFC 交 BC 于点 M，连接 DM、EM，如图所示： ACB60，CAF60， ACBCAF， AFMC， 四边形 AMCF 是平行四边形， 又FAFC， 四边形 AMCF 是菱形， ACCMAM，且MAC60， 在BAC 与EMC 中， CACM，ACBMCE，CBCE， BACEMC， DAMDABBAM60BAM， BACMACBAM60BAM， BACDAM， 在ABC 和ADM 中， ABAD，BACDAM，ACAM， ABCADM(SAS)， 故ABCMECADM， 在 B 上截取 CM，使 CMCA， 再连接 AM、DM、EM(辅助线这样做AMC 就是等边三角形了，后边证明更简便)， 易证AMC 为等边三角形， 在ABC 与MEC 中， CACM，ACBMCE，CBCE， ABCMEC(SAS)， ABME，BCMEC， 又DBAB， DBME， DBCDBAABC60ABC， BMEBCEMEC60MEC， DBCBME， DBME， 即得到 DB 与 ME 平行且相等，故四边形 DBEM 是平行四边形， 四边形 DBEM 是平行四边形， SBDMSDAMSMACSBEMSEMCSACF， 即 SABCSABDSBCESACF.
