1、2020 年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分）分） 1 （2 分） （） 2 的相反数为（ ） A4 B C D4 2 （2 分）计算 a8（a3）2a5的结果是（ ） Aa8 Ba7 Ca7 Da8 3 （2 分）任意摆放如图所示的正三棱柱，其主视图不可能是（ ） A B C D 4 （2 分）下列整数中，与+3 最接近的是（ ） A5 B6 C7 D8 5 （2 分）如图，AB 是半圆 O 的弦，DE 是直径，过点 B 的切线 BC 与O 相切于点 B，
2、与 DE 的延长线交 于点 C，连接 BD，若四边形 OABC 为平行四边形，则BDC 的度数为（ ） A20.5 B22.5 C24 D30 6 （2 分）已知函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表： x 4 2 2 4 y 2 m n 2 对于下列命题：若 y 是 x 的反比例函数，则 mn；若 y 是 x 的一次函数，则 nm2；若 y 是 x 的二次函数，则 mn其中正确的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 7 （2 分）9 的平方根是 ，8 的立方根是 8
3、（2 分）要使式子 1+有意义，则实数 x 的取值范围是 9 （2 分）分解因式 a（x1）2a（x1）的结果是 10 （2 分）计算（）的结果是 11 （2 分）设 x1、x2是方程 x2x10 的两个根，则 x12x2+x1x22 12 （2 分）如图，过原点 O 的直线与反比例函数 y1（x0）和 y2（x0）的图象分别交于点 A1，A2，若，则 13 （2 分）一种药品经过两次降价，药价从每盒 60 元下调至 48 元，设平均每次降价的百分率为 x，根据 题意列出的方程是 14 （2 分）如图，O 的半径为 2，将O 沿弦 AB 折叠得到，且恰好经过圆心 O，则 新月形阴影部分的面积为
4、 15 （ 2 分 ） 如 图 ， 点 O 为 正 五 边 形 的 中 心 ， O 与 正 五 边 形 的 每 条 边 都 相 交 ， 则 1 16 （2 分）已知等边ABC 的边长为，直线 l 经过点 A，点 B 关于直线 l 的对称点为 B，若 BB2， 则 CB 三、解答题（共三、解答题（共 11 题，共题，共 88 分）分）2x+3x+5， 17 （8 分）解关于 x 的不等式组并把解集表示在所给数轴上 18 （7 分）先化简，再求值： （1+）（m） ，其中 m1 19 （8 分）某班有甲、乙两名同学报名参加 100 米跑步比赛，他们在赛前进行了 10 次训练将两人的 10 次训练成
5、绩分别绘制成如图统计图 （1）根据统计图把下列表格补充完整： 平均数（s） 方差（s2） 跑进 15s 以内（不包括 15s）的占比 甲 15 50% 乙 15 0.038 （2）从两个不同角度评价甲、乙两名同学的训练成绩 20 （7 分）某校对高一新生随机摇号分班，一共分 4 个班，班号分别为 1 班、2 班、3 班、4 班，甲、乙两 人是该校的高一新生 （1）甲恰好被分在 1 班的概率为 ； （2）求甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率 21 （7 分）甲、乙两人分别从距目的地 8km 和 14km 的两地同时出发，甲、乙的速度比是 2：3，结果甲比 乙提前 20min 到达目的地，求甲、
6、乙的速度 22 （8 分）如图，在ABCD 中，E、G 分别是 AB、CD 的中点，且 AHCF，AHCF （1）求证：AEHCGF； （2）连接 FH，若 FHAD，求证：四边形 EFGH 是矩形 23 （8 分）已知一次函数 y12x+m（m 为常数）和 y2x+1 （1）当 m2 时，若 y1y2，求 x 的取值范围； （2）当 x11 时，y1y2；当 x11 时，y1y2，则 m 的值是 （3）判断函数 yy1y2的图象与 x 轴的交点个数情况，并说明理由 24 （7 分）如图，某工地有一辆底座为 AB 的吊车，吊车从水平地面 C 处吊起货物，此时测得吊臂 AC 与 水平线的夹角为
7、18，将货物吊至 D 处时，测得吊臂 AD 与水平线的夹角为 53，且吊臂转动过程中长 度始终保持不变，此时 D 处离水平地面的高度 DE11m，求吊臂的长 （参考数据：sin180.30，cos180.95，tan180.32，sin530.80，cos530.60，tan53 1.33 ） 25 （9 分）商家销售某种商品，每件成本 50 元经市场调研，当售价为 60 元时，可销售 300 件；售价每 增加 1 元，销售量将减少 10 件为了提高销售量，当售价为 80 元时，网络主播直播带货，此时售价每 增加 1 元，需支付给主播 300 元物价局对该商家聘请问此商品规定：售价最高不超过
8、110 元如图中 的折线 ABC 表示该商品的销售量 y（单位：件）与售价 x（单位：元）之间的函数关系 （1）求线段 BC 对应的函数表达式； （2）当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）直播带货后，售价至少为 元，该商家获得的利润不低于直播带货前的最大利润 26 （9 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 边上的点，过点 D 作 DEAB，交 AC 于点 E，过点 E 作 EFBC，交 AB 于点 F，经过点 D、E、F 的O 与 AB、BC 的另一个公共点分别为 G、H，连接 EG、 EH、GH （1）求证：EGHABC； （2）若 AB15，BC10
9、， 当 BG2 时，求 DH 的长； 若 ED 恰为O 的直径，则 BD 的长为 27 （10 分） 【数学问题】 如图，O 是ABC 的外接圆，P 是ABC 的内心，连接 CP 并延长交O 于点 D，连接 DA （1）求证：DADP； （2）若 AB8，tanACB，当点 C 在上运动时，O、P 两点之间距离的最小值 为 【问题解决】如图，有一个半径为 25m 的圆形广场，点 O 为圆心，点 P 处有一座雕像，且 O、P 两点 之间的距离为 5m现要在圆形广场上修建一个三角形水池，使O 是三角形的外接圆，点 P 是三角形的 内心 （3）请用直尺和圆规在图中作出一个满足修建要求的三角形； （保
10、留作图痕迹，不写作法） （4）对于满足修建要求的三角形水池，若三角形水池其中一条边的长度为 xm，发现能作出的三角形的 个数随着 x 的值变化而变化请你探索，直接写出能作出的三角形的个数及对应的 x 的取值范围 2020 年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分）分） 1 （2 分） （） 2 的相反数为（ ） A4 B C D4 【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简，再利用相反数的定义得出答案 【解答】解： （） 2224
11、， 4 的相反数是：4 故选：A 2 （2 分）计算 a8（a3）2a5的结果是（ ） Aa8 Ba7 Ca7 Da8 【分析】根据积的乘方运算法则把（a3）2化简后，再根据同底数幂的乘除法法则计算即可 【解答】解：a8（a3）2a5 a8a6a5 a8 6+5 a7 故选：C 3 （2 分）任意摆放如图所示的正三棱柱，其主视图不可能是（ ） A B C D 【分析】找到从正面看所得到的图形即可 【解答】解：任意摆放如图所示的正三棱柱，其主视图可能是三角形，矩形（中间只有一条线段） ， 所以不可能是矩形（中间由两条线段） ， 故选：D 4 （2 分）下列整数中，与+3 最接近的是（ ） A5
12、B6 C7 D8 【分析】先估算出的取值范围，再根据不等式的基本性质估算出的取值范围即可 【解答】解：3.62133.72， 3.63.7， 3.6+3+33.7+3， 即 6.6+36.7， 与+3 最接近的是 7 故选：C 5 （2 分）如图，AB 是半圆 O 的弦，DE 是直径，过点 B 的切线 BC 与O 相切于点 B，与 DE 的延长线交 于点 C，连接 BD，若四边形 OABC 为平行四边形，则BDC 的度数为（ ） A20.5 B22.5 C24 D30 【分析】根据切线的性质得到OBC90，根据平行四边形的性质得到 OABC，推出OBC 是等腰 直角三角形，得到BOC45，根据
13、圆周角定理即可得到结论 【解答】解：BC 是O 的切线， OBC90， 四边形 OABC 为平行四边形， OABC， OAOB， OBBC， OBC 是等腰直角三角形， BOC45， BDCBOC22.5， 故选：B 6 （2 分）已知函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表： x 4 2 2 4 y 2 m n 2 对于下列命题：若 y 是 x 的反比例函数，则 mn；若 y 是 x 的一次函数，则 nm2；若 y 是 x 的二次函数，则 mn其中正确的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】根据反比例函数系数 k 的几何意义即可判断；求得一次函数的解析式，分别求得 m
14、、n 的 值即可判断；根据二次函数的性质即可判断 【解答】解：若 y 是 x 的反比例函数，则2m2n42， 解得 m4，n4，则 mn，故正确； 若 y 是 x 的一次函数，设为 ykx+b， 把 x4，y2；x4，y2 代入求得 yx， 当 x2 时 y1；x2 时 y1， m1，n1， nm2，故正确； 若 y 是 x 的二次函数，由函数经过点（4，2）和（4，2） ， 当开口向上时，对称轴在 y 轴的左侧，则点（2，m）到对称轴的距离小于点（2，n）到对称轴的距离， 所以 mn； 当开口向下时，对称轴在 y 轴的右侧，则点（2，m）到对称轴的距离大于点（2，n）到对称轴的距离， 所以
15、mn； 故正确； 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 7 （2 分）9 的平方根是 3 ，8 的立方根是 2 【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的立方根是正数 【解答】解：（3）29， 3； 238， 8 的立方根是 2 故答案为：3；2 8 （2 分）要使式子 1+有意义，则实数 x 的取值范围是 x1 【分析】根据分式有意义的条件、零指数幂列出不等式 x10，解不等式得到答案 【解答】解：由题意得，x10， 解得，x1， 故答案为：x1 9 （2 分）分解因式 a（x1）2a（x1）的结
16、果是 a（x1） （x2） 【分析】直接找出公因式进而提取分解因式即可 【解答】解：a（x1）2a（x1） a（x1） （x11） a（x1） （x2） 故答案为：a（x1） （x2） 10 （2 分）计算（）的结果是 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案 【解答】解： （） 2 故答案为： 11 （2 分）设 x1、x2是方程 x2x10 的两个根，则 x12x2+x1x22 【分析】根据根与系数的关系可得出 x1+x2，x1x21，将其代入 x12x2+x1x22x1x2（x1+x2）中即 可求出结论 【解答】解：x1、x2是方程 x2x10 的两个根， x1+x2，x1x2
17、1， x12x2+x1x22x1x2（x1+x2）1 故答案为： 12 （2 分）如图，过原点 O 的直线与反比例函数 y1（x0）和 y2（x0）的图象分别交于点 A1，A2，若，则 【分析】OA1NOA2M，根据三角形相似比的平方等于面积比，即可求解 【解答】解：分别过点 A1、A2作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N， 则OA1NOA2M， ，即两个三角形的相似比为 3：2， 则OA2M 和OA1N 的面积比为：9：4， 而， 故答案为： 13 （2 分）一种药品经过两次降价，药价从每盒 60 元下调至 48 元，设平均每次降价的百分率为 x，根据 题意列出的方程是 60（1x）248
18、【分析】先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格（1降价的百分率）48，把相应 数值代入即可求解 【解答】解：设平均每次降价的百分率为 x，则第一次降价后的价格为 60（1x）元，第二次降价后 的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为 60（1x）（1x）元，所以可列方程为 60（1 x）248 故答案为 60（1x）248 14 （2 分）如图，O 的半径为 2，将O 沿弦 AB 折叠得到，且恰好经过圆心 O，则 新月形阴影部分的面积为 +2 【分析】根据题意和图形，可以求得弓形 ACB 的面积，然后即可用圆的面积减去两个弓形的面积，即可 得到新月形阴影部分的面积 【解答】解：
19、作 OCAB 于点 D，交O 于点 C，连接 OA，OB， 由折叠的性质可知，ODCD， ODA90， cosAOD， AOD60， AOB120，AD， AB2， 弓形 ACB 的面积是：， 新月形阴影部分的面积为：22（）2+2， 故答案为：+2 15 （ 2 分）如 图，点 O 为正五边形 的中心， O 与正 五边形的每 条边都相交， 则 1 108 【分析】设 AB 与 CD 交于点 P，连接 OA、OB、OC、OD、OE、BC，由正五边形的中心与O 的圆心 重合，得出图形是轴对称图形，则AOCCOBBOEEODAOD72，由圆周角定理得 出ABCAOC，BCDBOD，即可得出结果 【
20、解答】解：设 AB 与 CD 交于点 P，连接 OA、OB、OC、OD、OE、BC，如图所示： 正五边形的中心与O 的圆心重合， 图形是轴对称图形， AOCCOBBOEEODAOD72， ABCAOC7236，BODBOE+EOD72+72144，BCD BOD14472， APCPBC+BCP36+72108，即1108， 故答案为：108 16 （2 分）已知等边ABC 的边长为，直线 l 经过点 A，点 B 关于直线 l 的对称点为 B，若 BB2， 则 CB +1 或1 【分析】如图，过点 B作 BJCB 交 CB 的延长线于 J，交直线 l 于 K，连接 BK，设直线 l 交 BB
21、于 H首先证明ABH45，推出JBB180456075，JBB15，推出JKB KBB+KBB30，设 BJa，则 BKKB2a，KJa，根据 BJ2+JB2BB2，构建 方程求出 a 即可解决问题，当点 B在点 B 的右侧时，同法可求 【解答】 解： 如图， 过点 B作 BJCB 交 CB 的延长线于 J， 交直线 l 于 K， 连接 BK， 设直线 l 交 BB 于 H B，B关于直线 l 对称， 直线 l 垂直平分线段 BB， BKKB，AHB90，BHHB1， AH1， AHBH1， ABH45， ABC 是等边三角形， ABC60， JBB180456075， J90， JBB15，
22、 KBBKBB15， JKBKBB+KBB30，设 BJa，则 BKKB2a，KJa， BJ2+JB2BB2， a2+（2a+a）24， a， CJ+，JB（2+）， CJJB， CBCJ+1 当点 B在点 B 的右侧时，同法可得 CB1 故答案为+1 或1 三、解答题（共三、解答题（共 11 题，共题，共 88 分）分）2x+3x+5， 17 （8 分）解关于 x 的不等式组并把解集表示在所给数轴上 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 2x+3x+5，得：x2， 解不等式2+x，得：x1，
23、 则不等式组的解集为1x2， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 18 （7 分）先化简，再求值： （1+）（m） ，其中 m1 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式 ， 当 m1时， 原式 19 （8 分）某班有甲、乙两名同学报名参加 100 米跑步比赛，他们在赛前进行了 10 次训练将两人的 10 次训练成绩分别绘制成如图统计图 （1）根据统计图把下列表格补充完整： 平均数（s） 方差（s2） 跑进 15s 以内（不包括 15s）的占比 甲 15 0.07 50% 乙 15 0.038 40% （2）从两个不同角度评价甲、乙两名同学的训练成绩 【分析】 （1）根据方差计
24、算公式求出甲的方差即可；根据扇形统计图可求乙跑进 15s 以内（不包括 15s） 的占比； （2）从平均数与方差，或从跑进 15s 以内（不包括 15s）的占比与最好成绩两个不同角度评价即可 【解答】解： （1）甲同学 10 次训练的成绩为：15.0，14.7，15.3，15.0，14.8，14.9，15.5，14.7，14.8， 15.3，平均数为 15， 所以方差为：2（14.715） 2+2（14.815）2+（14.915）2+2（15.015）2+2（15.315） 2+（15.515）20.07， 乙跑进 15s 以内（不包括 15s）的占比为：100%40% 故答案为：0.07，
25、40%； （2）两人训练成绩的平均数都是 15s，说明两人成绩整体实力相当； 甲的方差大于乙的方差，说明乙的成绩更加稳定 或：甲跑进 15s 以内的占比多于乙，且甲的最快速度比乙快，说明甲更加有可能创造出好成绩 20 （7 分）某校对高一新生随机摇号分班，一共分 4 个班，班号分别为 1 班、2 班、3 班、4 班，甲、乙两 人是该校的高一新生 （1）甲恰好被分在 1 班的概率为 ； （2）求甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率 【分析】 （1）根据概率公式即可求出甲恰好被分在 1 班的概率； （2）根据题意画出树状图即可求甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率 【解答】解： （1）根据题意可知
26、： 甲恰好被分在 1 班的概率为； 故答案为：； （2）根据题意画出树状图为： 所有可能的结果有 16 种， 甲、乙被分在班号连续的两个班级的结果有 6 种，分别为： 1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3 所以甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率为 21 （7 分）甲、乙两人分别从距目的地 8km 和 14km 的两地同时出发，甲、乙的速度比是 2：3，结果甲比 乙提前 20min 到达目的地，求甲、乙的速度 【分析】设甲的速度为 2x 千米/小时，乙的速度为 3x 千米/小时，根据题意可得：甲走 8km 比乙走 14km 少用 20min，列方程求解 【解答】解：设甲的速度为 2x
27、 千米/小时，乙的速度为 3x 千米/小时， 依题意得：+， 解得：x2， 经检验：x2 是分式方程的解， 则 2x4，3x6 答：甲的速度为 4 千米/小时，乙的速度为 6 千米/小时 22 （8 分）如图，在ABCD 中，E、G 分别是 AB、CD 的中点，且 AHCF，AHCF （1）求证：AEHCGF； （2）连接 FH，若 FHAD，求证：四边形 EFGH 是矩形 【分析】 （1）延长 AH 交 CD 于点 P，延长 CF 交 AB 于 Q， 证明四边形 APCQ 是平行四边形，得出HAE FCG，由 SAS 即可证得AHECFG； （2）连接 FH、EG，易证四边形 EFGH 和四
28、边形 ADGE 都是平行四边形，得出 EGFH，即可得出结 论 【解答】证明： （1）延长 AH 交 CD 于点 P，延长 CF 交 AB 于 Q，如图所示： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， AQCP， AHCF， 四边形 APCQ 是平行四边形， HAEFCG， E、G 分别是 AB、CD 的中点， AEAB，CGCD， AECG， 在AHE 和CFG 中， AHECFG（SAS） ； （2）连接 FH、EG， AHCF， AHFHFC， 由（1）得：AHECFG，HEFG， AHFAHEHFCCFG，即EHFGFH， HEFG， 四边形 EFGH 是平行四边形， 由
29、（1）得：AEDG，ABCD， 四边形 ADGE 是平行四边形， ADEG， 又FHAD， EGFH， 四边形 EFGH 是矩形 23 （8 分）已知一次函数 y12x+m（m 为常数）和 y2x+1 （1）当 m2 时，若 y1y2，求 x 的取值范围； （2）当 x11 时，y1y2；当 x11 时，y1y2，则 m 的值是 2 （3）判断函数 yy1y2的图象与 x 轴的交点个数情况，并说明理由 【分析】 （1）把 m2 代入 y12x+m，可得 y12x+2，根据 y1y2，得出不等式 2x+2x+1，解不等 式即可； （2）根据条件得出1，即可求出 m 的值； （3）把 y12x+m
30、（m 为常数）和 y2x+1 代入 yy1y2，令 y0，求出 x1，x21，再分 1 与1 两种情况讨论即可 【解答】解： （1）当 m2 时，y12x+2， y1y2，y2x+1， 2x+2x+1， 解得 x； （2）如果 y1y2，那么 2x+mx+1，解得 x， 如果 y1y2，那么 2x+mx+1，解得 x， 当 x11 时，y1y2；当 x11 时，y1y2， 1， 解得 m2 故答案为：2； （3）yy1y2（2x+m） （x+1） ， 令 y0，则（2x+m） （x+1）0，解得 x1，x21， 当1，即 m2 时，该方程有两个相等的实数根，则函数图象与 x 轴只有一个交点；
31、当1，即 m2 时，该方程有两个不相等的实数根，则函数图象与 x 轴有两个交点 24 （7 分）如图，某工地有一辆底座为 AB 的吊车，吊车从水平地面 C 处吊起货物，此时测得吊臂 AC 与 水平线的夹角为 18，将货物吊至 D 处时，测得吊臂 AD 与水平线的夹角为 53，且吊臂转动过程中长 度始终保持不变，此时 D 处离水平地面的高度 DE11m，求吊臂的长 （参考数据：sin180.30，cos180.95，tan180.32，sin530.80，cos530.60，tan53 1.33 ） 【分析】过点 A 做 AFDE，垂足为 F，设 ADACx，根据锐角三角函数的定义以及图形中的等
32、量关 系列出方程即可求出答案 【解答】解：过点 A 做 AFDE，垂足为 F， 设 ADACx， 在 RtAFD 中， DAF53， sinDAF， DFADsinDAFxsin53， 在 RtABC 中， C18， sinC， ABACsinCxsin18， 在矩形 AEFB 中， ABEFxsin18， DEDF+EF， 11xsin53+xsin18， x10， 所以吊臂长为 10m 25 （9 分）商家销售某种商品，每件成本 50 元经市场调研，当售价为 60 元时，可销售 300 件；售价每 增加 1 元，销售量将减少 10 件为了提高销售量，当售价为 80 元时，网络主播直播带货，
33、此时售价每 增加 1 元，需支付给主播 300 元物价局对该商家聘请问此商品规定：售价最高不超过 110 元如图中 的折线 ABC 表示该商品的销售量 y（单位：件）与售价 x（单位：元）之间的函数关系 （1）求线段 BC 对应的函数表达式； （2）当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）直播带货后，售价至少为 100 元，该商家获得的利润不低于直播带货前的最大利润 【分析】 （1）当 x80 时，y30010（8060）100，即点 B（80，100） ，设线段 BC 的表达式为： ykx+b，将点（80，100） 、 （110，250）代入上式，即可求解； （2）当
34、 60 x80 时，w（x50） （10 x+900）10（x70）2+4000，当 80 x110 时，w（x 50） （5x300）5（x85）2+2875，分别求取最大值，即可求解； （3）由题意得：5（x85）2+28754000（80 x110） ，即可求解 【解答】解： （1）当 x80 时，y30010（8060）100，即点 B（80，100） ， 设线段 BC 的表达式为：ykx+b， 将点（80，100） 、 （110，250）代入上式得：，解得， 故函数的表达式为：y5x300； （2）同理可得：线段 AB 对应函数表达式为：y10 x+900， 设获得的利润为 w 元，
35、 当 60 x80 时，w（x50） （10 x+900）10（x70）2+4000，当 x70 时，w 的值最大，最大 值为 4000； 当 80 x110 时，w（x50） （5x300）300（x80）5（x85）2+2875，当 x110 时，w 取 得最大值为 6000， 故当 80 x85 时，w 随 x 的增大而减小，即 w3000， 当 85x110 时，w 随 x 的增大而增大，即 w6000 故当 x110 时，w 的值最大； 综上，当售价为 110 元时，该商家获得的利润最大，最大利润为 6000； （3）由题意得：5（x85）2+28754000（80 x110） ，
36、解得：x100 或 x70（舍去 x70） ， 故答案为：100 26 （9 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 边上的点，过点 D 作 DEAB，交 AC 于点 E，过点 E 作 EFBC，交 AB 于点 F，经过点 D、E、F 的O 与 AB、BC 的另一个公共点分别为 G、H，连接 EG、 EH、GH （1）求证：EGHABC； （2）若 AB15，BC10， 当 BG2 时，求 DH 的长； 若 ED 恰为O 的直径，则 BD 的长为 【分析】 （1）根据四边形 EFGH 是O 的内角四边形，可以证明EGHABC； （2）根据 AB15，BC10，和CEHBHG，当 BG2
37、 时，可得 CH3，再根据四边形 EFGH 是O 的内角四边形，证明EHGDBG，进而可求 DH 的长； 根据 ED 恰为O 的直径，设 BG2a，则 CH3a，BH6a，可得 BCCH+BH9a，根据锐角三角 函数即可得 BD 的长 【解答】 （1）证明：四边形 EFGH 是O 的内角四边形， EFAEHG， EGH 和EDH 是同弧所对圆周角， EGHEDH， DEAB，EFBC， EFAB，EDHB， EGHEHGB， ABAC， BC， CEHG，BEGH， EGHABC； （2）解：AB15，BC10， 如图，连接 DG， CHE+BHG+EHG180， CHE+CEH+C180，
38、CEHBHG， 在CEH 和BHG 中， CEHBNG，CB， CEHBHG， ， 由（1）知：， ， BG2， CH3， 四边形 EFGH 是O 的内角四边形， GDBGEH， EHGB， EHGDBG， ， ， BG2， BD3， DHBCBDCH10334 答：DH 的长为 4； 如图，设 ED 与 GH 交于点 M， EGEH，ED 恰为O 的直径， DEGH， MHMG，DHDG， ， ， 3， DEAB，DEHG， HGAB， sinGHDsinGED， ， ， 设 BG2a，则 CH3a，BH6a， BCCH+BH9a， BC10， a， BH， DGDH， DHGDGH， DH
39、G+B90， DGH+DGB90， BDGB， DGDB， DHDGBDBH BD 的长为 故答案为： 27 （10 分） 【数学问题】 如图，O 是ABC 的外接圆，P 是ABC 的内心，连接 CP 并延长交O 于点 D，连接 DA （1）求证：DADP； （2）若 AB8，tanACB，当点 C 在上运动时，O、P 两点之间距离的最小值为 52 【问题解决】如图，有一个半径为 25m 的圆形广场，点 O 为圆心，点 P 处有一座雕像，且 O、P 两点 之间的距离为 5m现要在圆形广场上修建一个三角形水池，使O 是三角形的外接圆，点 P 是三角形的 内心 （3）请用直尺和圆规在图中作出一个满
40、足修建要求的三角形； （保留作图痕迹，不写作法） （4）对于满足修建要求的三角形水池，若三角形水池其中一条边的长度为 xm，发现能作出的三角形的 个数随着 x 的值变化而变化请你探索，直接写出能作出的三角形的个数及对应的 x 的取值范围 【分析】 （1）连接 AP，根据三角形外角性质及三角形内心性质可得结论； （2）由作法知 AO 并延长交O 于 E，由圆周角定理及三角函数得 AE10，BE6，连接 OD 交 AB 于 F，然后根据三角形中位线定理可得答案； （3）过 P 作任意直线，交O 于 MN，用圆规得到 NP 长度，并以 N 为圆心，NP 长为半径作圆交O 于 R，S，连接 RS，RM
41、，SM，所得RSM 即为满足要求的三角形； （4） 由题意， 此三角形三边是可互相代替的， 故考察其中一边即可， 任取三角形一边命名为弦 AB， 取 中点 D，连接 DP 并延长交O 于点 C，得ABC，若此三角形满足条件，则有 DADPDB，AB 随 AD 增大而增长，随 DP 增大而增大，分当 DP 最大时，AB 取得最大值，当 DP 最小时，AB 取最大 值，8，则必有以 OP 所在直线为对称轴的两种作法，三种情况可得答案 【解答】 （1）证明：连接 AP， APDPCA+PAC，PADPAB+DAB， P 是ABC 的内心， PCAPCBBAD，PACPAB， APDPAD， DADP
42、 （2）解：如图： 由作法知 AO 并延长交O 于 E， AE 为直径， ABE90， AB8，tanAEBtanACB， AE10，BE6， 连接 OD 交 AB 于 F， AO5，OF 为ABE 的中位线， OF3，AF4，DF2， ， OP+PDOD， OP+PD5， 由（1）知，PDAD2， OP+2，OP， OP 最小值为 52 故最小值为：52 （3）解：过 P 作任意直线，交O 于 MN，用圆规得到 NP 长度，并以 N 为圆心，NP 长为半径作圆交 O 于 R，S，连接 RS，RM，SM，所得RSM 即为满足要求的三角形， 证明：由作法知：NRNPNS， NRPNPR， NRS
43、+SRPNMR+MRP， NRNS， ， RMNSMN， MN 平分RMS， NRSNMSRMN， SRPMRP， RP 平分SRM， P 为RMS 内心 （4） 由题意， 此三角形三边是可互相代替的， 故考查其中一边即可， 任取三角形一边命名为弦 AB， 取 中点 D，连接 DP 并延长交O 于点 C，得ABC，若此三角形满足条件，则有 DADPDB，AB 随 AD 增大而增长，随 DP 增大而增大， 当 DP 最大时，AB 取得最大值，设 AB、CD 交于点 E， D 是的中点， ， ACDBCDBAD， ADECDA， DAEDCA， AD2DEDC，ADDP30，DC50， DE18，AE，AB48 当 DP 最小时，AB 取最大值，同可得，AB8， 显然只有一种作法， 8，则必有以 OP 所在直线为对称轴的两种作法， 综上，三角形的个数为 0，x48 或 x； 三角形的个数为 1，x48 或 x8； 三角形的个数为 2，8
