2021年陕西省榆林市高考数学第三次测试试卷（理科）含答案解析

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1、第 1 页（共 21 页） 2021 年陕西省榆林市高考数学第三次测试试卷（理科）年陕西省榆林市高考数学第三次测试试卷（理科）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 2 |6 0Mx xx ， 1 |1Nx x ，则( MN ) A 3，1 B0，2 C 3，01，2 D 2 （5 分）已知复数 4 12 (1) i z i ，则它的虚部与实部之积为( ) A 1 8 B 1 8 C 1 4 D 1

2、 4 3 （5 分）某班 60 名同学中选出 4 人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将 60 名同学按 01，02，60 进行编号，然后从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第 4 个同学的编号为( ) 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676 （注:表中的数据为随机数表的第一行和第二行） A24 B36 C46 D47 4 （5 分）函数 1| ( ) | ln x f x x 的图象大致为( ) A B 第 2 页

3、（共 21 页） C D 5（5 分）在ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知1a ，3b ， 6 A ，则(c ) A1 或 2 B1 或3 C1 D3 6 （5 分）已知函数 1 ( )sin2 1 x f xlnax x ，且( )5f m ，则()(fm ) A5 B3 C1 D3 7 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点为F，抛物线C的准线与y轴交于点A，点 ( 3M， 0) y在抛物线C上， 0 7 | 4 y MF ，则MAF的面积为( ) A 2 5 B 3 3 4 C 3 2 D 4 5 8 （5 分）已知函数( )2sin2 (si

4、n2cos2 )1f xxxx，则下列说法正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 B( )f x的最大值为 2 C( )f x在0， 6 上是增函数 D( )f x在0， 2 上有 4 个零点 9 （5 分）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，1ABAC， 1 4AA ，ABAC，M为 1 BB 的中点，点N在棱 1 CC上， 1 3CNNC，则异面直线 1 A N与CM所成角的正切值为( ) 第 3 页（共 21 页） A 1 2 B 3 2 C 1 3 D 3 3 10 （5 分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一每年新春佳节，我国许多地区的人们

5、都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为 4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为 2，若点 P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PM PN的取值范围是( ) A6，12 B6，16 C8，12 D8，16 11 （5 分）阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥已知在阳马PABCD中，PD 平面ABCD，3PD ，且阳马PABCD的体积为 9，则阳马PABCD外接球表面积的最小值是( ) A 9 3 2 B

6、9 3 C27 D27 3 12 （5 分）若关于x的不等式 2 ()20( ax ea xlnxee为自然对数的底数）恒成立，则实数a的取值范围为( ) A(0, ) e B( ,)e C 1 (0, ) e D 1 ( e ，) 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 4 页（共 21 页） 13 （5 分）设x，y满足约束条件 1 1 1 xy xy y ，则 1 y z x 的最大值是 14 （5 分）九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积 1 2 （弦

7、矢矢 2) 、公式中“弦”指圆弧所对弦长， “矢”等于圆弧的最高点到弦的距离，如图，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的孤AB长为 8 3 ，弧所在的圆的半径为 4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为 15 （5 分）有 8 名大学生到甲、乙、丙三所学校去支教，每名大学生只去一所学校，若甲学校需要 2 名，乙学校需要 2 名，丙学校需要 4 名，则不同安排方法的种数为 .（用数字作答） 16 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，以 1 OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点

8、M（异于坐标原点)O，若线段 1 MF交双曲线于点P，且 2/ / MFOP，则该双曲线的离心率为三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17 题第题第 21 题为题为必考题，每个考题考生必须作答。第必考题，每个考题考生必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题：共 60 分。分。 17 （12 分）在等差数列 n a和等比数列 n b中，已知 123 aaa， 25 31aa， 214 ba a， 25 36bb （1）求

9、 n a， n b的通项公式；（2）求数列 nn ab的前n项和 n T 18 （12 分）国际学生评估项目()PISA，是经济合作与发展组织()OECD举办的，该项目的内容是对 15 岁学生的阅读、数学、科学能力进行评价研究在 2018 年的 79 个参测国家（地区）的抽样测试中，中国四省市（北京、上海、江苏、浙江）为一个整体在所有参测国家（地区）取得全部 3 项科目中第一的好成绩，某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试第 5 页（共 21 页）的中国学生中随机抽取了 200 名参赛选手进行调研，得到如表统计数据：成绩优秀成绩一般总计家长高度重视学生教育

10、90 x y 家长重视学生教育一般 30 z w 总计 120 80 200 若从如表“家长高度重视学生教育”的参测选手中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般” 的选手的概率为 4 13 （1）判断是否有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关；（2）现从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取 20 人，进行“家长对学生情感支持” 的调查，再从这 20 人中抽取 3 人进行“学生家庭教育资源保障”的调查记进行“学生家庭教育资源保障”调查中抽取到“家长高度重视学生教育”的人数为X求X的分布列和数学期望附： 2 2 () ()()()() n adbc

11、 K ab cd ac bd ，nabcd 2 0 ()P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19 （12 分）如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点E是 1 BB的中点，点F在棱AB上，且2AFFB，设直线 1 BD、DE相交于点G （1）证明：/ /GF平面 111 A AD D （2）求二面角 1 DCED的余弦值第 6 页（共 21 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距为 8，且点 5 3

12、 ( 2 M， 1) 2 在C上（1）求C的方程；（2）若直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OM平分，求(AOB O为坐标原点）面积的最大值 21 （12 分）已知函数 2 ( )2f xxmlnxx （1）若( )f x在定义域内为增函数，求m的取值范围；（2）设0m，若( ) 12f xx恒成立，求m的值 (二二)选考题选考题:共共 10 分请考生在第分请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，题中任选一题作答，选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，直线l的倾斜角为a，且过点(0, 2)P，以直角坐标系的

13、坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos （1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同的两点M，N，求|PMPN的最大值五、五、选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |()f xxaaR （1）若( )|21|f xx 的解集为0，2，求a的值；（2）若对任意xR，不等式 2 ( ) |2 |4f xxaaa恒成立，求实数a的取值范围第 7 页（共 21 页） 2021 年陕西省榆林市高考数学第三次测试试卷（理科）年陕西省榆林市高考数学第三次测试试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本

14、题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 2 |6 0Mx xx ， 1 |1Nx x ，则( MN ) A 3，1 B0，2 C 3，01，2 D 【解答】解： 1 | 32, |0 |01 x MxxNxxx x 剟， 3 MN ，01，2 故选：C 2 （5 分）已知复数 4 12 (1) i z i ，则它的虚部与实部之积为( ) A 1 8 B 1 8 C 1 4 D 1 4 【解答】解： 42 22 121

15、2121211 (1)(1) ( 2 )442 iiii zi iii ，复数z的实部为 1 4 ，虚部为 1 2 ，虚部与实部之积为 111 248 故选：A 3 （5 分）某班 60 名同学中选出 4 人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将 60 名同学按 01，02，60 进行编号，然后从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第 4 个同学的编号为( ) 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676 （注:表中的数据为

16、随机数表的第一行和第二行） A24 B36 C46 D47 【解答】解：由题知从随机数表的第 1 行第 5 列和第 6 列数字开始，由表可知依次选取 43，36，47，46，24 故选：C 4 （5 分）函数 1| ( ) | ln x f x x 的图象大致为( ) 第 8 页（共 21 页） A B C D 【解答】解： 1|1| ()( ) | lnxln x fxf x xx ，函数( )f x为偶函数，排除选项B和C，当1x 时，|0ln xlnx，( )0f x，排除选项A，故选：D 5（5 分）在ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知1a ，3b ，

17、6 A ，则(c ) A1 或 2 B1 或3 C1 D3 【解答】解：由余弦定理知， 222 2cosabcbcA， 2 132 3cos 6 cc ，化简得， 2 320cc，解得1c 或 2 第 9 页（共 21 页）故选：A 6 （5 分）已知函数 1 ( )sin2 1 x f xlnax x ，且( )5f m ，则()(fm ) A5 B3 C1 D3 【解答】解：根据题意，函数 1 ( )sin2 1 x f xlnax x ，则 11 ()sin()2sin2 11 xx fxlnaxlnax xx ，则有( )()4f xfx，故( )()5f mfm，若(

18、)5f m ，则()1fm ，故选：C 7 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点为F，抛物线C的准线与y轴交于点A，点 ( 3M， 0) y在抛物线C上， 0 7 | 4 y MF ，则MAF的面积为( ) A 2 5 B 3 3 4 C 3 2 D 4 5 【解答】解：由抛物线的定义及其性质可知， 0 0 7 | 24 yp MFy， 0 2 3 p y， 2 2 ( 3)2 3 p p， 3 2 p，即 2 3xy， 3 (0,) 4 A，( 3M，1)， 3 (0, ) 4 F， 133 3 3 224 MFA s，故选：B 8 （5 分）已知函数( )2sin2

19、 (sin2cos2 )1f xxxx，则下列说法正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 B( )f x的最大值为 2 C( )f x在0， 6 上是增函数 D( )f x在0， 2 上有 4 个零点【解答】解：函数 2 ()2sin2(sin2cos2)12sin212sin2cos2sin4cos42sin(4) 4 fxxxxxxxxxx 第 10 页（共 21 页）所以函数的周期为： 2 42 T ，所以A不正确；函数的最大值为2，所以B不正确； 4 242 x 剟，解得 3 1616 x 剟，所以( )f x在0， 6 上是增函数，所以C正确； ( )f x在0， 2 上

20、有 2 个零点，所以D不正确故选：C 9 （5 分）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，1ABAC， 1 4AA ，ABAC，M为 1 BB 的中点，点N在棱 1 CC上， 1 3CNNC，则异面直线 1 A N与CM所成角的正切值为( ) A 1 2 B 3 2 C 1 3 D 3 3 【解答】解：在棱 1 AA上取一点D，使得1AD ，连结CD，DM，则2CDDM，6CM ， 1 / /CDA N，所以DCM即为 1 A N与CM所成的角，取CM的中点E，连结DE，所以 22 62 ( 2)() 22 DE ，故 2 3 2 tan 36 2 DE DCM CE ，所

21、以异面直线 1 A N与CM所成角的正切值为 3 3 故选：D 第 11 页（共 21 页） 10 （5 分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为 4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为 2，若点 P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PM PN的取值范围是( ) A6，12 B6，16 C8，12 D8，16 【解答】解：由正六边形ABCDEF的边长为

22、 4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为 2，故正六边形ABCDEF的内切圆半径为sin604sin602 3rOA ，外接圆半径4R 而 222 () ()| 4PM PNPOOMPOONPOOMPO 易知|rPOR剟，即| 2 3,4PO 所以PM PN的取值范围是8，12 故选：C 第 12 页（共 21 页） 11 （5 分）阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥已知在阳马PABCD中，PD 平面ABCD，3PD ，且阳马PABCD的体积为 9，则阳马PABCD外接球表面积的最小值是( ) A 9 3 2 B9 3 C27 D27 3 【

23、解答】解：由题意可知阳马的体积为：19 3 AB BC PDAB BC，设阳马的外接球的半径为R，则 222222 49 2927RABBCPDABBCAB BC，当且仅当ABBC时等号成立，所以阳马的外接球的表面积 2 427R 故选：C 12 （5 分）若关于x的不等式 2 ()20( ax ea xlnxee为自然对数的底数）恒成立，则实数a的取值范围为( ) A(0, ) e B( ,)e C 1 (0, ) e D 1 ( e ，) 【解答】解： 2 ()20 ax ea xlnxe， 2 2 ax e xlnxeax， 22 ()() axax e xln e xeln

24、e，令( )f xxlnx，则 1 ( )10fx x ， ( )f x在(0,)上单调递增，由 22 ()() axax e xln e xeln e，得 2 ()() ax f e xf e， 2ax e xe， 2 ()() ax ln e xln e， 2lnxax ， 2lnx a x ，第 13 页（共 21 页）令 2 ( ) lnx g x x ，则 2 1 ( ) ax g x x ， 1 ( )0g e ， 1 (0, )x e 时，( )0g x，( )g x单调递增， 1 (x e ，)时，( )0g x，( )g x单调递减， 1 ( )( ) max g x

25、ge e ， 2lnx a x 恒成立，( )maxag x， ae ，即( ,)ae，故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）设x，y满足约束条件 1 1 1 xy xy y ，则 1 y z x 的最大值是 1 【解答】解：作出x，y满足约束条件 1 1 1 xy xy y 对应的平面区域如图： 1 y z xx 的几何意义为平面区域内的点到定点( 1,0)D 的斜率，由图象知AE的斜率最大，其中(0,1)A，则 1 1 01 z ，故答案为：1 14 （5 分）九章算术是中国古代的数学名著，其

26、中方田一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积 1 2 （弦矢矢 2) 、公式中“弦”指圆弧所对弦长， “矢”等于圆弧的最高点到弦的距离，如图，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成第 14 页（共 21 页）的图形，若弧田的孤AB长为 8 3 ，弧所在的圆的半径为 4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为 16 8 32 3 【解答】解：如图所示，由题意可得： 8 2 3 43 AOB ，4OA ，在Rt AOD中，可得： 3 AOD ， 6 DAO ， 11 42 22 ODAO，可得：矢422，由 3 sin42 3 32 AD

27、AO ，可得：弦24 3AD，所以：弧田面积 1 2 （弦矢矢 22 1 )(4 322 )4 32 2 实际面积 18116 44 324 3 2323 所以 1616 4 324 38 32 33 故答案是： 16 8 32 3 15 （5 分）有 8 名大学生到甲、乙、丙三所学校去支教，每名大学生只去一所学校，若甲学校需要 2 名，乙学校需要 2 名，丙学校需要 4 名，则不同安排方法的种数为 420 .（用数字作答）【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析：在 8 名大学生中任选 2 人，安排到甲校，有 2 8 28C 种安排方法，在剩下的 6 人中任选 2 人，安排到乙

28、校，有 2 6 15C 种安排方法，将最后的 4 人安排到丙学校，有 1 种安排方法，第 15 页（共 21 页）则有28 15420种安排方法，故答案为：420 16 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，以 1 OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点)O，若线段 1 MF交双曲线于点P，且 2/ / MFOP，则该双曲线的离心率为 2 【解答】解：设 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，由 2 22 0 () 24 bxay cc xy ，解得 2 ( a M c ，) ab c ，因为

29、 2/ / MFOP，O为 12 F F的中点，所以P为 1 F M的中点，所以 22 ( 2 ac P c ，) 2 ab c ，将P的坐标代入双曲线的方程，可得 2222 222 () 1 44 aca a cc ，化简可得 22 2ca，则2 c e a 故答案为：2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17 题第题第 21 题题为为必考题，每个考题考生必须作答。第必考题，每个考题考生必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题为选考题，考生根据要求作答。（一

30、）必考题：共题：共 60 分。分。 17 （12 分）在等差数列 n a和等比数列 n b中，已知 123 aaa， 25 31aa， 214 ba a， 25 36bb （1）求 n a， n b的通项公式；（2）求数列 nn ab的前n项和 n T 【解答】解：（1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b中的公比为q，由于已知 123 aaa， 25 31aa， 214 ba a， 25 36bb 建立方程组，解得 1 1ad， 1 1b ，2q ，所以 n an，2n n b （2）由（1）得2n nn n ca bn，所以 2 1 22 22n n Tn ，第 1

31、6 页（共 21 页） 231 21 22 22n n Tn ，得， 121 2222 nn n Tn ，整理得 1 (1) 22 n n Tn 18 （12 分）国际学生评估项目()PISA，是经济合作与发展组织()OECD举办的，该项目的内容是对 15 岁学生的阅读、数学、科学能力进行评价研究在 2018 年的 79 个参测国家（地区）的抽样测试中，中国四省市（北京、上海、江苏、浙江）为一个整体在所有参测国家（地区）取得全部 3 项科目中第一的好成绩，某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试的中国学生中随机抽取了 200 名参赛选手进行调研，得到如表统计数据：成绩

32、优秀成绩一般总计家长高度重视学生教育 90 x y 家长重视学生教育一般 30 z w 总计 120 80 200 若从如表“家长高度重视学生教育”的参测选手中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般” 的选手的概率为 4 13 （1）判断是否有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关；（2）现从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取 20 人，进行“家长对学生情感支持” 的调查，再从这 20 人中抽取 3 人进行“学生家庭教育资源保障”的调查记进行“学生家庭教育资源保障”调查中抽取到“家长高度重视学生教育”的人数为X求X的分布列和数学期望附：

33、 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 2 0 ()P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解：（1）由题意可知，家长高度重视学生教育且成绩优秀的概率为 49 1 1313 ，第 17 页（共 21 页）所以家长高度重视学生教育的总人数为 9 90130 13 ， 40 x，130y ，40z ，70w ， 2 2 200 (904040 30) 13.18710.828 130 70 80 120 K ，所以

34、有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关；（2）由图表可知成绩优秀的学生中家长高度重视和一般重视的比为3:1，所以抽取的家长高度重视的人数为 3 2015 4 人，家长一般重视的有20155人，所以X的取值为 0，1，2，3， 3 5 3 20 1 (0) 114 C P X C ； 21 515 3 20 5 (1) 38 C C P X C ； 12 515 3 20 35 (2) 76 C C P X C ； 3 15 3 20 91 (3) 228 C P X C ，所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 114 5 38 35 7

35、6 91 228 1535919 ()0123 11438762284 E X 19 （12 分）如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点E是 1 BB的中点，点F在棱AB上，且2AFFB，设直线 1 BD、DE相交于点G （1）证明：/ /GF平面 111 A AD D （2）求二面角 1 DCED的余弦值第 18 页（共 21 页）【解答】（1）证明：连接 1 AD，因为点E是 1 BB的中点，所以 1 2DDBE，所以 1 3BGBD，因为2AFFB，所以3BFBA，所以 1 / /FGAD，又因为 1 AD 平面 111 A AD D，FG平面 11

36、1 A AD D，所以/ /GF平面 111 A AD D （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系， (0CE ，1， 1 ) 2 ，(1CD ，0，0)， 1 (1CD ，0，1)，设平面DCE和平面 1 CED的法向量分别为(mx，y，) z，(nu，v，)w， 1 0 2 0 CE myz CD mx ，令2z ，(0m ，1，2)， 1 1 0 2 0 CE nvw CD nuw ，令2w ，( 2n ，1，2)，因为二面角 1 DCED为锐角，所以二面角 1 DCED的余弦值为 |55 | |35 3 m n mn 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy C

37、ab ab 的焦距为 8，且点 5 3 ( 2 M， 1) 2 在C上第 19 页（共 21 页）（1）求C的方程；（2）若直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OM平分，求(AOB O为坐标原点）面积的最大值【解答】解：（1）由焦距为 8，可知4c ，将点 5 3 ( 2 M， 1) 2 代入椭圆C，可得 22 22 751 1 44 16 ab ab ，解之得 2 20a ， 2 4b ，所以C的方程为 22 1 204 xy ；（2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，AB的中点为 0 (x， 0) y，则 22 11 22 22 52

38、0 520 xy xy ，相减化简可得 0 0 3 5 AB x k y ，设直线方程为：3yxm，联立直线和椭圆方程可得 22 1610 35200 xmxm，则 2 20(64)0m，即 2 64m 2 5(64) |3 1 164 m AB ，点O到直线AB的距离为 | 23 1 mm d ， 22 5(64)1 |2 5 216 AOB mm SAB d ，当且仅当 2 32m 时取等号即AOB面积的最大值为2 5 21 （12 分）已知函数 2 ( )2f xxmlnxx （1）若( )f x在定义域内为增函数，求m的取值范围；（2）设0m，若( ) 12f xx恒成立，求

39、m的值【解答】解：（1）函数 2 ( )2f xxmlnxx的导数为( )22 m fxx x ， ( )f x在定义域内为增函数，可得( ) 0fx对0 x 恒成立，由22 0 m x x ，即有 2 (22 )minmxx，第 20 页（共 21 页）由 22 11 222() 22 yxxx，可得 1 2 x 时， 2 22yxx取得最小值 1 2 ，所以 1 2 m，即m的取值范围是(， 1 2 ；（2）若( ) 12f xx恒成立，即为 2 1 0 xmlnx 恒成立，设 2 ( )1g xxmlnx，( )2 m g xx x ，因为0m，所以当 2 m x 时，

40、( )0g x，( )g x递增；当0 2 m x递减，可得( )g x在 2 m x 处取得最小值()1 222 mmm gmln，则1 0 22 mm mln ，可令(0) 2 m t t，则 2 2mt，即有 22 21 0tt lnt ，设 22 ( )21h ttt lnt，( )22(2)4h tttlntttlnt ，当1t 时，( )0h t，( )h t递减；当01t 时，( )0h t，( )h t递增，则( )h t在1t ，即2m 处取得最大值 0，即有 22 21 0tt lnt ，所以 22 210tt lnt ，可得1t ，即2m (二二)选考题选考

41、题:共共 10 分请考生在第分请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，题中任选一题作答，选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，直线l的倾斜角为a，且过点(0, 2)P，以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos （1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同的两点M，N，求|PMPN的最大值【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为4cos，根据 222 cos sin x y xy ，转换为直角坐标方程为 22 (2)4xy （2）直线l的倾斜角为，且过

43、成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）若( )|21|f xx的解集为0，2，即为|21|xax，即(31)(1) 0 xaxa 的解集为0，2，可得 0，2 是方程(31)(1)0 xaxa 的两根，则(1)( 1)0aa ，(5)(1)0aa，解得1a ；（2）对任意xR，不等式 2 ( ) |2 |4f xxaaa恒成立，等价为 2 4(|2 |)minaaxaxa，由|2 |2 | |3 |xaxaxaxaa，当()(2 ) 0 xa xa时，取得等号所以 2 43|aaa，当0a时， 2 70aa，解得07a剟；当0a 时， 2 0aa ，该不等式无解综上可得，a的取值范围是0，7

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