2021年新疆高考数学第二次适应性检测试卷（理科）含答案解析

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1、第 1 页（共 24 页） 2021 年新疆高考数学第二次适应性检测试卷（理科）年新疆高考数学第二次适应性检测试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题目要求的。 1 （5 分）已知集合 1A ，0，1， |1|By yx，xA，则(AB ) A 1，0 B0，1 C 1，1 D 1，0，1 2 （5 分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为 1，两点A，B对应的复数分别为 1 z， 2 z，则 12 (zz ) A47i B

2、87i C8i D4i 3 （5 分）若关于x的不等式 2 cos2 0 x xmxn 的解集为( 2,3)，则(mn ) A5 B5 C6 D6 4 （5 分）已知a，b，c为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A若/ /ab，b，则/ /a B若a，b，c，/ /ab，则/ /bc C若b，c，ab，ac，则a D若a，b，/ /ab，则/ / 5 （5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入n，x的值

3、分别为 3，3，输出v时循环体被执行的次数为( ) 第 2 页（共 24 页） A2 B3 C4 D5 6 （5 分）以直角三角形两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙（希波克拉蒂月牙）面积的和等于该直角三角形的面积，这个定理叫作希波克拉蒂的“月牙定理” 如图所示，在直角三角形ABC中，1BC ，30CAB，将整个图形记为区域M，若向区域M内随机投一点P，则点P落入“希波克拉蒂月牙”的概率为( ) A 3 2 3 B 3 2 C 3 D 3 3 7 （5 分）函数( )cos()(f xx ，常数，0，|) 2 的部分图象如图所示，为得到函

4、数sinyx的图象，只需将函数( )f x的图象( ) 第 3 页（共 24 页） A向右平移 2 3 个长度单位 B向右平移 3 个长度单位 C向左平移 6 个长度单位 D向左平移 3 个长度单位 8 （5 分）已知向量a，b满足| 2a ，| 2 3b ，a与ab夹角的大小为 3 ，则(a b ) A0 B2 C2 D1 9 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx，直线1(0)xmym与C交于A，B两点，若k表示直线AB的斜率，则|kAB的最小值为( ) A6 B7 C8 D9 10 （5 分）设，(,) 2 2 ，sin，sin是方程 2 5210 xx 的两根，则coscos(

5、) A 3 2 5 B 2 3 5 C 3 2 5 D 2 3 5 11 （5 分）已知 1( 5,0) F ， 2(5,0) F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个焦点，过 1 F的直线l与圆 222 :O xya切于点T，且与双曲线右支交于点P，M是线段 1 PF的中点，若 | 1OMTM，则双曲线的方程为( ) A 22 1 916 xy B 22 1 169 xy C 22 1 1213 xy D 22 1 1312 xy 12 （5 分）若函数( ) xx f xeex ，则满足 2 ()( 12 (| 1) 0 2 x f afln x 恒成立的实数a的

6、取值范围是( ) A 1 2 4 ln ，) B 7 62 2 ln ，) C 1 2 2 ln，) D 1 22 2 ln，) 第 4 页（共 24 页）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）若变量x，y满足 22 0, 1 0, 1 0, xy xy xy 则目标函数2zxy的取值范围是 14 （5 分）2021 年 1 月，某地成为新冠疫情中风险地区，志愿者纷纷驰援若将 4 名医生志愿者分配到两家医院，每人去一家医院，每家医院至少去 1 人，则共有种不同的分配方案 15 （5 分）在ABC中，已知9AB ，7BC ， 1

7、9 cos() 21 CA，则cosB 16 （5 分）南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理： “幂势既同，则积不容异” 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等已知曲线 2 :4C xy，直线l为曲线C在点(2,1)的切线如图所示，阴影部分为曲线C，直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为U过点(0，)(01)yy剟作U的水平截面，所得截面面积是（用y表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出U的体积是

8、三三.解答题：共解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （12 分）记数列 n a的前n项和为 n S，已知 2 23(*) n Snn nN （1）求证：数列 n a为等差数列；（2）若数列 1 1 (1)(1) nn aa 的前n项和为 n T，求满足 3 19 n T 的最小正整数n 18（12 分）已知多边形ABCDEF是边长为 2 的正六边形，沿对角线AD将平面ADEF折起，使得6BF 第 5 页（共 24 页）（1）证明：平面ABCD 平面ADEF；（2）在线段AD上是否存在一点C，使二面角ABFG

9、的余弦值为 10 5 ，若存在，请求出AG的长度；若不存在，请说明理由 19 （12 分）全面建成小康社会，一个也不能少，2020 年是我国全而打赢脱贫攻坚战的收官之年某地区围绕脱贫攻坚作出一系列重大部署和安排，鼓励农户利用荒坡种植中药材脱贫致富某农户考察三种不同的药材苗A，B，C，经引种试验后发现，引种苗A的自然成活率为 0.8，引种苗B，C的自然成活率均为(0.70.9)pp剟（1）任取苗A，B，C各一株，估计自然成活的株数为X，求X的分布列及()E X；（2）将（1）中的()E X取得最大值时p的值作为B种药材苗自然成活的概率该农户决定引种n株B种药材苗，引种后没有自然

10、成活的苗中有75%的苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为 0.8，其余的苗不能成活求一株B种药材苗最终成活的概率；若每株药材苗引种最终成活后可获利 300 元，不成活的每株亏损 50 元，该农户为了获利不低于 20 万元，问至少引种B种药材苗多少株？ 20 （12 分）已知椭圆 2 2 2 :1(0) x Eya a 的两个焦点为 1 F， 2 F，过右焦点 2 F作斜率为 1 的直线交椭圆于A，B两点，且 1 ABF的面积为 4 3 （1）求a的值；（2）过椭圆E上异于其顶点的任意一点P作圆 22 1 2 xy的两条切线，切点分别为C， D若直线CD在x轴、y轴上的截距分别是

11、m，n，问 22 11 2mn 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由 21 （12 分）已知函数 2 ( )(0) 2 x xa f xea x （1）讨论函数( )f x的单调性；（2）当0b，1)时，设函数 2 (1) ( )(0) x eb x g xx x 有最小值h（b），求h（b）的最大第 6 页（共 24 页）值选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的极坐标方程为 2 2 4 13sin ，曲线 2 C的极坐标方程为1若正方形ABCD的顶点都在

12、2 C上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(1,) 6 （1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为 1 C上任意一点，求 22 |PAPC的取值范围选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23 （10 分）已知函数( ) |1|f xx （1）求不等式( )(2 ) 4f xfx的解集M；（2）记集合M中的最大元素为m，若不等式 2( )()fmxf axm在1，)上有解，求实数a的取值范围第 7 页（共 24 页） 2021 年新疆高考数学第二次适应性检测试卷（理科）年新疆高考数学第二次适应性检测试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题

13、：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题目要求的。 1 （5 分）已知集合 1A ，0，1， |1|By yx，xA，则(AB ) A 1，0 B0，1 C 1，1 D 1，0，1 【解答】解： 1A ，0，1，0B ，1，2， 0AB，1 故选：B 2 （5 分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为 1，两点A，B对应的复数分别为 1 z， 2 z，则 12 (zz ) A47i B87i C8i D4i 【解答】解：由图可知： 1 32zi， 2

14、 2zi ，则 12 (32 )( 2)623447zziiiii ，故选：A 3 （5 分）若关于x的不等式 2 cos2 0 x xmxn 的解集为( 2,3)，则(mn ) A5 B5 C6 D6 【解答】解：因为cos20 x ，又 2 cos2 0 x xmxn 的解集为( 2,3)，所以 2 0 xmxn的解集为( 2,3)，第 8 页（共 24 页）故23m ，23n ，所以1m ，6n ，则6mn 故选：C 4 （5 分）已知a，b，c为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A若/ /ab，b，则/ /a B若a，b，c，/ /ab，则/

15、/bc C若b，c，ab，ac，则a D若a，b，/ /ab，则/ / 【解答】解：若/ /ab，b，则/ /a或a，故A错误；若a，b，c，/ /ab，则/ /bc，正确，证明如下： / /ab，a，b，/ /a，又a，且c，/ /ac，则/ /bc，故B正确；若b，c，ab，ac，且b与c相交，则a，当b与c平行时，a与可能有三种位置关系，即a或/ /a或a与相交，相交也不一定垂直，故C错误；若a，b，/ /ab，则/ /或与相交，故D错误故选：B 5 （5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍

16、是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入n，x的值分别为 3，3，输出v时循环体被执行的次数为( ) 第 9 页（共 24 页） A2 B3 C4 D5 【解答】解：若输入n，x的值分别为 3，3，执行程序有1v ，2i ，第一次执行循环体，是，5v ，1i ，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，是，16v ，0i ，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体，是，48v ，1i ，满足退出循环的条件；故输出v时循环体被执行的次数为 3 次，故选：B 6 （5 分）以直角三角形两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三

17、个半圆所围成的两个月牙（希波克拉蒂月牙）面积的和等于该直角三角形的面积，这个定理叫作希波克拉蒂的“月牙定理” 如图所示，在直角三角形ABC中，1BC ，30CAB，将整个图形记为区域M，若向区域M内随机投一点P，则点P落入“希波克拉蒂月牙”的概率为( ) A 3 2 3 B 3 2 C 3 D 3 3 【解答】解：直角三角形ABC中，1BC ，30CAB，第 10 页（共 24 页）所以3AC ，2AB ， 3 2 R ， 1 2 r ， 2 1 13 28 SR ， 2 2 1 28 Sr ， 31 3 22 ABC SS 阴影，故向区域M内随机投一点P，点P

18、落入 “ 希波克拉蒂月牙 ” 的概率 133 2333 288 P 故选：D 7 （5 分）函数( )cos()(f xx ，常数，0，|) 2 的部分图象如图所示，为得到函数sinyx的图象，只需将函数( )f x的图象( ) A向右平移 2 3 个长度单位 B向右平移 3 个长度单位 C向左平移 6 个长度单位 D向左平移 3 个长度单位【解答】解：根据函数( )cos()(f xx ，常数，0，|) 2 的部分图象，可得1A， 1 225 4312 ，2 再根据五点法作图，可得 5 2 12 ，故 6 ，函数( )cos(2) 6 f xx 为得到函数sinsin

20、，| 2ab， cosa， 2 ()461 222| aabaa b ab a ba ab ，此时a与ab夹角的大小为 2 3 ，与已知矛盾，舍去；当0a b，| 4ab， cosa， 2 ()401 242| aabaa b ab a ba ab ，此时a与ab夹角的大小为 3 ，符合条件，综上可得，0a b 故选：A 9 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx，直线1(0)xmym与C交于A，B两点，若k表示直线AB的斜率，则|kAB的最小值为( ) A6 B7 C8 D9 【解答】解：由抛物线的方程 2 :4C yx，可得2p ，所以抛物线的焦点为(1,0)F，所以直线AB

21、的方程为1xmy经过点F，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，由 2 1 4 xmy yx ，得 2 440ymy，第 12 页（共 24 页） 2 16160m成立，所以 12 4yym，所以 2 121212 (1)(1)()242xxmymym yym，所以 2 12 |44ABxxpm，因为直线AB的斜率 1 (0)km m ，所以 2 1 | 44kABm m ，令 2 1 ( )44f mm m ，(0,)m，则 3 22 181 ( )8 m f mm mm ，当 1 0 2 m时，( )0f m，( )f m单调递减，当 1 2 m

22、时，( )0f m，( )f m单调递增，所以 2 11 ( )( )4( )247 22 min f mf 所以|kAB的最小值为 7，故选：B 10 （5 分）设，(,) 2 2 ，sin，sin是方程 2 5210 xx 的两根，则coscos( ) A 3 2 5 B 2 3 5 C 3 2 5 D 2 3 5 【解答】解：因为sin，sin是方程 2 5210 xx 的两根，所以可取 16 sin 5 ， 16 sin 5 ，又，(,) 2 2 ，所以 2 182 6 cos1 5 sin ， 2 182 6 cos1 5 sin ，所以 182 6182 62 3

23、 coscos 555 故选：D 第 13 页（共 24 页） 11 （5 分）已知 1( 5,0) F ， 2(5,0) F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个焦点，过 1 F的直线l与圆 222 :O xya切于点T，且与双曲线右支交于点P，M是线段 1 PF的中点，若 | 1OMTM，则双曲线的方程为( ) A 22 1 916 xy B 22 1 169 xy C 22 1 1213 xy D 22 1 1312 xy 【解答】解：由题意可得 22 5cab，即 22 25ab，连接OT，在直角三角形OTM中，可得 222 |OMTMa，又| 1OMTM，

25、页（共 24 页） A 1 2 4 ln ，) B 7 62 2 ln ，) C 1 2 2 ln，) D 1 22 2 ln，) 【解答】解：( )f x的定义域为R，且()() xxxx fxeexeex ，则( )f x为奇函数， ( ) xx f xeex ，( )1 2 1 10 xx f xee 恒成立， ( )f x在R上单调递增，要使 2 ()( 12 (| 1) 0 2 x f afln x 恒成立，则 2 ()( 12 (| 1)(12 (| 1) 2 x f afln xfln x 恒成立，即 2 12 (| 1) 2 x aln x恒成立，也就是 2 1 2 (

26、| 1) 2 x aln x恒成立，令 2 ( )2 (| 1) 2 x g xln x，该函数为偶函数，只需求 2 ( )2 (| 1) 2 x g xln x在0，)上的最大值 2 ( )2 (1) 2 x g xln x， 2 22(1)(2) ( ) 111 xxxx g xx xxx 当(0,1)x时，( )0g x，当(1,)x时，( )0g x， ( )g x有最大值为g（1） 1 22 2 ln，可得 1 2 2 2 aln ，实数a的取值范围是 1 22 2 ln，) 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13（5

27、分）若变量x，y满足 22 0, 1 0, 1 0, xy xy xy 则目标函数2zxy的取值范围是 1，10 【解答】解：由约束条件作出可行域如图，第 15 页（共 24 页）由图可得(0,1)A，联立 10 220 xy xy ，解得(3,4)B 作出直线20 xy，由图可知，平移直线20 xy至A时， 2yxz 在y轴上的截距最小，z有最小值为 1，平移直线20 xy至B时，2yxz 在y轴上的截距最大，z有最大值为 10 目标函数2zxy的取值范围是1，10 故答案为：1，10 14 （5 分）2021 年 1 月，某地成为新冠疫情中风险地区，志愿者纷纷驰援若将 4 名医生

28、志愿者分配到两家医院，每人去一家医院，每家医院至少去 1 人，则共有 14 种不同的分配方案【解答】解：根据题意，将 4 名医生志愿者分配到两家医院，每人去一家医院，每人有 2 种选法，则 4 人有 4 2 2 2 2216 种情况，其中 4 人同去一个医院的情况有 2 种，则每人去一家医院，每家医院至少去 1 人的安排方法有16214种；故答案为：14 15 （5 分）在ABC中，已知9AB ，7BC ， 19 cos() 21 CA，则cosB 11 21 【解答】解：9AB ，7BC ，ABBC，CA，作CDAD，交AB于D，则DCAA ， BCDCA ，即 19 c

29、os 21 BCD，设ADCDx，则9BDx，在BCD中，由余弦定理知， 222 2cosBDCDBCCD BCBCD，第 16 页（共 24 页） 22 19 (9)4927 21 xxx ，解得6x ， 6ADCD，3BD ，在BCD中，由余弦定理知， 222 9493611 cos 22 3 721 BDBCCD B BD BC 故答案为： 11 21 16 （5 分）南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理： “幂势既同，则积不容异” 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积

30、总相等，那么这两个几何体的体积相等已知曲线 2 :4C xy，直线l为曲线C在点(2,1)的切线如图所示，阴影部分为曲线C，直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为U过点(0，)(01)yy剟作U的水平截面，所得截面面积是 2 (1) (01)yy剟（用y 表示），试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出U的体积是【解答】解：过点(0, )y的直线与抛物线 2 1 : 4 C yx的交点为(2y，)y，01y剟直线l为曲线C在点(2,1)处的切线，则切线的斜率为 2 |1 x y ，切线方程为1yx 过点(0, )y的直线与切线1yx的交点为(1,

31、 )yy，用平行于底面的平面截几何体所得截面为圆环，截面面积为 22 (21 4 )(1)yyyy ；取底面直径为 2，高为 1 的圆锥，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到截面为圆，圆的半径为(1)y，截面面积为 2 (1) y，符合题意则U体积等于圆锥的体积等于 2 1 11 33 第 17 页（共 24 页）故答案为： 2 (1)y； 3 三三.解答题：共解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （12 分）记数列 n a的前n项和为 n S，已知 2 23(*) n Snn nN （1）求证：数列 n a为

32、等差数列；（2）若数列 1 1 (1)(1) nn aa 的前n项和为 n T，求满足 3 19 n T 的最小正整数n 【解答】证明：（1）数列 n a的前n项和为 n S，已知 2 23(*) n Snn nN 当1n 时，解得 1 1a ，当2n时， 2 1 23(1)(1) n Snn ，所以得：264 n an，故32 n an 所以 1 3 nn aa （常数），故数列 n a为等差数列解：（2）由于 1 11111 () (1)(1)(31)(32)3 3132 n nn b aannnn ，所以 1 1111111 11 ()() 3 255831323 2

33、3264 n n T nnnn ， 3 6419 n n T n ，解得12n ，故n的最小值为 13 18（12 分）已知多边形ABCDEF是边长为 2 的正六边形，沿对角线AD将平面ADEF折起，使得6BF （1）证明：平面ABCD 平面ADEF；（2）在线段AD上是否存在一点C，使二面角ABFG的余弦值为 10 5 ，若存在，请求出AG的长度；若不存在，请说明理由第 18 页（共 24 页）【解答】（1）证明：在正六边形ABCDEF中，连接BF，与AD交于点O，则FOAD， 3FOBO，且6BF ， 222 FOOBBF，因此BOFO， AD、BO 平面ABCD，且A

34、DBOO， FO平面ABCD，又FO 平面ADEF，平面ABCD 平面ADEF；（2）解：建立如图所示空间直角坐标系，则(0A，1，0)，( 3B，0，0)，(0F，0，3)，设(0G，a，0)( 13)a 剟，设平面ABF的一个法向量为 111 (,)mx y z，则 11 11 30 30 m ABxy m AFyz ，取 1 1x ，得( 1, 3, 1)m ；又(3,0, 3)BF ，(3, ,0)BGa ，设平面BFG的一个法向量为 222 (,)nxyz，则 22 22 330 30 n BFxz n BGxay ，取 2 1x ，得 3 (1,1)n a 设二面

35、角ABFG的平面角为，则 2 3 |2| |10 cos |53 52 m n a m n a ，解得 1 4 a ， 15 | 1 44 AG 故在线段AD上存在点G，使二面角ABFG的余弦值为 10 5 ， 5 | 4 AG 第 19 页（共 24 页） 19 （12 分）全面建成小康社会，一个也不能少，2020 年是我国全而打赢脱贫攻坚战的收官之年某地区围绕脱贫攻坚作出一系列重大部署和安排，鼓励农户利用荒坡种植中药材脱贫致富某农户考察三种不同的药材苗A，B，C，经引种试验后发现，引种苗A的自然成活率为 0.8，引种苗B，C的自然成活率均为(0.70.9)pp剟（1）任取苗A

36、，B，C各一株，估计自然成活的株数为X，求X的分布列及()E X；（2）将（1）中的()E X取得最大值时p的值作为B种药材苗自然成活的概率该农户决定引种n株B种药材苗，引种后没有自然成活的苗中有75%的苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为 0.8，其余的苗不能成活求一株B种药材苗最终成活的概率；若每株药材苗引种最终成活后可获利 300 元，不成活的每株亏损 50 元，该农户为了获利不低于 20 万元，问至少引种B种药材苗多少株？【解答】解：（1）由题意可知，X的可能取值为 0，1，2，3，所以 22 (0)0.2(1)0.20.40.2P Xppp， 2122 2 (

37、1)0.8(1)0.2(1)0.8(1)0.4(1)0.41.20.8P XpCpppppp， 2122 2 (2)0.20.8(1)0.21.6 (1)1.41.6P XpCppppppp， 2 (3)0.8P Xp，所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 2 0.20.40.2pp 2 0.41.20.8pp 2 1.41.6pp 2 0.8p 所以 2222 ()0 (0.20.40.2) 1 (0.41.20.8)2 ( 1.41.6 )3 0.8E Xppppppp 20.8(0.70.9)pp剟；（2）当0.9p 时，()E X取得最大值一株B药材苗最终成活的概率为0.9

38、0.1 0.750.80.96；记Y为n株药材的成活株数，( )M n为n株药材的利润，则( ,0.96)YB n，( )0.96E Yn，( )30050()35050M nYnYYn， ( )350 ( )50286E M nE Ynn，要使( ) 200000E M n ，则有 43 699143n，第 20 页（共 24 页）所以该农户至少种植 700 株药材，就可获利不低于 20 万元 20 （12 分）已知椭圆 2 2 2 :1(0) x Eya a 的两个焦点为 1 F， 2 F，过右焦点 2 F作斜率为 1 的直线交椭圆于A，B两点，且 1 ABF的面积为 4 3 （

39、1）求a的值；（2）过椭圆E上异于其顶点的任意一点P作圆 22 1 2 xy的两条切线，切点分别为C， D若直线CD在x轴、y轴上的截距分别是m，n，问 22 11 2mn 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，则 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，过右焦点 2 F作斜率为 1 的直线为：yxc，显然 22 1ac，故椭圆方程为 2 2 2 1 1 x y c ，联立方程 2 2 2 1 1 yxc x y c ，整理可得： 22 (2)210cycy ，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 121

40、2 22 21 , 22 c yyy y cc ，因为三角形 1 ABF的面积 1212 14 2(|)| 23 Scyycyy ，且 2 22 121212 22 88 |()4 (2) c yyyyy y c ，则 2 22 884 (2)3 c c c ，解得1c ，所以 22 12ac ，又0a ，所以2a ；（2）设点 0 (P x， 0) y，由P是椭圆 2 2 1 2 x y上的一点， 2 |1 2 min OP ，可知点P在圆 22 1 2 xy外，过P作圆的切线有两条，设切点 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y，CD是过P作圆的切线产生的切点弦，

41、由C，D是切点知OCPC，ODPD，所以直线 1 00 1 :() x PC yyxx y ，因为 1 (C x， 1) y在PC上，所以 1 1010 1 () x yyxx y ，即直线 22 1 01011 :PC x xy yxy，第 21 页（共 24 页）又因为 1 (C x， 1) y在 22 1 2 xy上，则 22 11 1 2 xy，所以直线 1010 1 : 2 PC x xy y，同理直线 2020 1 : 2 PD x xy y，所以直线上有两点满足方程 00 1 2 x xy y，因为两点定唯一一条直线，所以直线CD的方程为： 00 1 2 x xy

42、 y，由直线CD在x轴，y轴的截距分别为m，n，于是 00 11 , 22 mn xy ， 2 2220 000 22 11 244() 22 x xyy mn ，又因为 2 20 0 1 2 x y，故 22 11 4 2mn 为定值 21 （12 分）已知函数 2 ( )(0) 2 x xa f xea x （1）讨论函数( )f x的单调性；（2）当0b，1)时，设函数 2 (1) ( )(0) x eb x g xx x 有最小值h（b），求h（b）的最大值【解答】解：（1）函数( )f x的定义域为(，2)( 2，)，且 2 22 42 ( ) (2)2(2) xx

43、axaxaxa fxee xxx ，令 2 0 xaxa，则 2 4aa，当04a剟时，0， 2 0 xaxa ，即( ) 0fx且不恒为零，故( )f x的单调递增区间为(, 2) 和( 2,)，当4a 时， 0，方程 2 0 xaxa的两根为 2 1 4 2 aaa x ， 2 2 4 2 aaa x ，由于 2 1 44 ( 2)0 2 aaa x ， 2 2 44 ( 2)0 2 aaa x ，（或令 2 ( ) xxaxa，( 2)40)a 故 12 2xx ，因此当 1 (,)xx 时，( )0fx，( )f x单调递增，当 1 (xx，2)时，( )0fx，(

44、)f x单调递减，当 2 ( 2,)xx 时，( )0fx，( )f x单调递减，当 2 (xx，)时，( )0fx，( )f x单调递增，第 22 页（共 24 页）综上，当04a剟时，( )f x的单调递增区间为(, 2) 和( 2,)；当4a 时，( )f x在 2 4 (,) 2 aaa 单调递增，在 2 4 ( 2 aaa ，2)单调递减，在 2 4 ( 2,) 2 aaa 单调递减，在 2 4 ( 2 aaa ，)单调递增（2）由 33 2 (2)() (2)(2) 2 ( ) x x x xeb xeb x x g x xx ，设 2 ( )(0) 2 x x k

45、 xeb x x ，由（1）知，0a 时， 2 ( ) 2 x x f xe x 在(0,)单调递增，故( )k x在区间(0,)单调递增，由于k（2）0b ，(0)10kb ，故在(0，2上存在唯一 0 x，使 0 ()0k x， 0 0 0 2 2 x x be x ，又当 0 (0,)xx时，( )0k x ，即( )0g x，( )g x单调递减，当 0 (xx，)时，( )0k x ，即( )0g x，( )g x单调递增，故(0,)x时，h（b） 00 00 0 0 00 0 22 000 2 (1) 2 () 2 xx xx x eex ebxbxe g x xxx

46、， 0 (0 x ，2，又设( ) 2 x e m x x ，(0 x，2，故 22 (2)(1) ( )0 (2)(2) xxx exeex m x xx ，所以( )m x在(0，2上单调递增，故( )m xm（2） 2 4 e ，即h（b）的最大值为 2 4 e 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的极坐标方程为 2 2 4 13sin ，曲线 2 C的极坐标方程为1若正方形ABCD的顶点都在 2 C上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(1,) 6 （1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为 1 C上任意一点，求 22 |PAPC的取值范围第 23 页（共 24 页）【解答】解：（1）点A的极坐标为(1,) 6 ，根据 222 cos sin x y xy 转换为直角坐标为 3 1 (, ) 22 ，点B的极坐标为(1,) 62 ，根据 222 cos sin x y xy 转换为直角坐标为 13 (,) 22 ，点C的极坐标为(1,) 6 ，根据 222 cos sin x y xy 转换为直角坐标为 31 (,) 22 ，点D的极坐标为 3 (1,) 62 ，根据 222

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