1、 第 1 页（共 18 页） 2021 年上海市奉贤区高考数学二模试卷年上海市奉贤区高考数学二模试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1 （4 分）经过点(2,4)的抛物线 2 yax焦点坐标是 2 （4 分）把一个表面积为16平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥 （假设没有任何损耗） ，则圆锥的高是 厘米 3（4 分） 已知 1 ( 1 i zi i 是虚数单位） 是方程 2 10()xaxaR 的一个根， 则|za 4 （4 分） 已知各项为正的等差数列 n a的前n
2、项和为 n S， 若 2 576 0aaa， 则 11 S 5 （4 分）已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年 收入为 万元 家庭年收入 （万元） 4，5) 5，6) 6，7) 7，8) 8，9) 9，10) 频率f 0.2 0.2 0.2 0.26 0.07 0.07 6 （4 分）某参考辅导书上有这样的一个题： ABC中，tan A与tan B是方程 2 310 xx 的两个根，则tanC的值为( ) 3 . 2 A 3 . 2 B 1 . 2 C 1 . 2 D 你对这个题目的评价是 （用简短语句回答） 7 （5 分）用 0、1 两个数字编码，码长为 4
3、 的二进制四位数（首位可以是0)，从所有码中 任选一码，则事件A码中至少有两个1的概率是 8 （5 分）设 n S为正数列 n a的前n项和， 11nn SqSS ，1q ，对任意的1n，nN均 有 1 4 nn Sa ，则q的取值为 9 （5 分）函数3 31 x x a y 在(0,)内单调递增，则实数a的取值范围是 10 （5 分）假如 1 ()nx x 的二项展开式中 3 x项的系数是84，则 1 ()nx x 二项展开式中系数 最小的项是 第 2 页（共 18 页） 11 （5 分）函数 2 ( )cosf xx n ，xZ的值域由 6 个实数组成，则非零整数n的值是 12 （5 分
4、）如图，已知P是半径为 2，圆心角为 3 的一段圆弧AB上的一点，若2ABBC， 则PC PA的值域是 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）如图，PA 面ABCD，ABCD为矩形，连接AC、BD、PB、PC、PD，下 面各组向量中，数量积不一定为零的是( ) APC与BD BPB与DA CPD与AB DPA与CD 14 （5 分）下列选项中，y可表示为x的函数是( ) A | |2 30 y x B 2 3 xy Csin(arcsin )sinxy D 2 lnyx 15 （5 分）已知 1 x、 2 x、 1 y
5、、 2 y都是非零实数， 22222 1 2121122 ()()()x xy yxyxy成立的充 要条件是( ) A 21 21 101 00 11 0 xx yy B 11 22 101 00 0 yx yx 第 3 页（共 18 页） C 11 22 101 00 0 yx xy D 21 12 101 00 11 0 xx yy 16（5 分） 设点A的坐标为( , )a b，O是坐标原点， 向量OA绕着O点顺时针旋转后得到OA， 则A的坐标为( ) A( cossin , sincos )abab B( cossin , cossin )abba C( sincos , cossin
6、 )abab D( cossin , sincos )baba 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分）分） 17 （14 分） 已知M、N是正四棱柱 1111 ABCDABC D的棱 11 BC、 11 C D的中点， 异面直线MN 与 1 AB所成角的大小为 10 arccos 10 （1）求证：M、N、B、D在同一平面上； （2）求二面角 1 CMNC的大小 18 （14 分）设函数( )(1 cos2 )cos()f xlgxx，0，) 2 （1）讨论函数( )yf x的奇偶性，并说明理由； （2）设0，解关于x的不等式 3 (
7、)()0 44 fxfx 19 （14 分）假设在一个以米为单位的空间直角坐标系Oxyz中，平面xOy内有一跟踪和 控制飞行机器人T的控制台A，A的位置为(170，200，0)，上午 10 时 07 分测得飞行机器 人T在(150P，80，120)处，并对飞行机器人T发出指令：以速度 1 13v 米/秒沿单位向量 1 3 (13d ， 12 13 ， 4 ) 13 作匀速直线飞行（飞行中无障得物） ，10 秒后到达Q点，再发出指令 让机器人在点原地盘旋 2 秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到 8 米/秒，然后保持 8 米 /秒，再沿单位向量 2 1 ( 2 d ， 2 2 ， 1) 2 作匀
8、速直线飞行（飞行中无障碍物） ，当飞行机器 人T最终落在平面xOy内发出指令让它停止运动，机器人T近似看成一个点 第 4 页（共 18 页） （1）求从P点开始出发 20 秒后飞行机器人T的位置； （2）求在整个飞行过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离（精确到米） 20 （16 分）曲线 22 1 1 xy a 与曲线 22 1(0) 49 xy a a 在第一象限的交点为A，曲线是C是 22 1(1) 1 A xy x x a 剟和 22 1() 49 A xy xx a 组成的封闭图形，曲线C与x轴的左交点为M、 右交点为N （1） 设曲线 22 1 1 xy a 与曲线 22 1(0)
9、 49 xy a a 具有相同的一个焦点F， 求线段AF的方程； （2）在（1）的条件下，曲线C上存在多少个点S，使得NSNF，请说明理由； （3）设过原点O的直线l与以(D t，0)(0)t 为圆心的圆相切，其中圆的半径小于 1，切点 为T， 直线l与曲线C在第一象限的两个交点为P、Q， 当 2 22 11 OT OPOQ 对任意直线l恒 成立，求t的值 21 （18 分）设数列 n a满足： 1 1 1 sin, cos, nnnn n nnnn aka aa a aka aa ， 1nn aa ，设 1 aa， 2 ab （1）设 5 6 b ，k ，若数列的前四项 1 a、 2 a、
10、3 a、 4 a满足 1423 a aa a，求a； （2）已知0k ，4n，nN，当(0,) 2 a ，(0,) 2 b ，ab时，判断数列 n a是否能 成等差数列，请说明理由； （3）设4a ，7b ，1k ，求证：对一切的1n，nN，均有 7 2 n a 第 5 页（共 18 页） 2021 年上海市奉贤区高考数学二模试卷年上海市奉贤区高考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1 （4 分）经过点(2,4)的抛物线 2 yax焦点坐标
11、是 1 (0, ) 4 【解答】解：抛物线 2 yax经过点(2,4)， 1a， 抛物线标准方程为 2 xy， 抛物线焦点坐标为 1 (0, ) 4 故答案为： 1 (0, ) 4 2 （4 分）把一个表面积为16平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥 （假设没有任何损耗） ，则圆锥的高是 8 厘米 【解答】解：一个表面积为16平方厘米实心铁球的半径为R， 可得 2 164 R，解得2R ， 圆锥的底面半径为 2，体积为： 32 41 22 33 h解得8h ， 故答案为：8 3（4 分） 已知 1 ( 1 i zi i 是虚数单位） 是方程 2 10()xaxaR 的一个根，
12、则|za 1 【解答】解：因为 1(1)(1)2 1(1)(1)2 iiii zi iii ， 则有 2 10iai ，解得0a ， 所以| | 1zaz 故答案为：1 4（4分） 已知各项为正的等差数列 n a的前n项和为 n S， 若 2 576 0a a a ， 则 11 S 22 【解答】解：由 2 576 0aaa可得： 2 66 20aa，0 n a ， 6 2a， 111 116 11() 1122 2 aa Sa ， 故答案为：22 5 （4 分）已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年 收入为 6.51 万元 第 6 页（共 18 页） 家庭年收
13、入 （万元） 4，5) 5，6) 6，7) 7，8) 8，9) 9，10) 频率f 0.2 0.2 0.2 0.26 0.07 0.07 【解答】解：由题意可知，估计该社区内家庭的平均年收入为： 0.24.50.25.50.26.50.267.50.078.50.079.56.51（万元） 故答案为：6.51 6 （4 分）某参考辅导书上有这样的一个题： ABC中，tan A与tan B是方程 2 310 xx 的两个根，则tanC的值为( ) 3 . 2 A 3 . 2 B 1 . 2 C 1 . 2 D 你对这个题目的评价是 错题，C为钝角，A，B中也有一个为钝角， 构不成三角形 （用 简
14、短语句回答） 【解答】解：错题，C为钝角，A，B中也有一个为钝角，构不成三角形 由韦达定理知， tantan3 tantan1 AB AB ， tantan33 tantan()tan()0 1tantan1( 1)2 AB CABAB AB ， C为钝角， tantan10AB ， A，B中也有一个为钝角， 无法构成三角形，是一道错题 故答案为：错题，C为钝角，A，B中也有一个为钝角，构不成三角形 7 （5 分）用 0、1 两个数字编码，码长为 4 的二进制四位数（首位可以是0)，从所有码中 任选一码，则事件A码中至少有两个1的概率是 11 16 【解答】解：用 0、1 两个数字编码，码长为
15、 4 的二进制四位数（首位可以是0)， 从所有码中任选一码， 第 7 页（共 18 页） 基本事件总数 4 216n ， 事件A码中至少有两个1包含的基本事件个数 234 444 11mCCC， 则事件A码中至少有两个1的概率是 11 16 m P n 故答案为： 11 16 8 （5 分）设 n S为正数列 n a的前n项和， 11nn SqSS ，1q ，对任意的1n，nN均 有 1 4 nn Sa ，则q的取值为 2 【解答】解： 11nn SqSS ， 11( 2) nn SqSS n ， 1nn aqa ， 1 (2) n n a q n a ， 把1n 代入 11nn SqSS 得
16、， 21112 Sqaaaa， 21 aqa，满足上式， n a是首相为 1 a，公比为q的等比数列， 1 4 nn Sa ， 1 11 1 (1) 4 1 n n aq a q q ， 1 0a ，1q ， 11 441 nnn qqq ， 12 (2)1 n qq ， 2 1 1 (2)()min n q q ， 当1q ，n时， 1 1 0 n q ， 2 (2)0q， 又 2 (2)0q， 2 (2)0q，即2q ， 故答案为：2 9 （5 分）函数3 31 x x a y 在(0,)内单调递增，则实数a的取值范围是 (，4 【解答】解：3 31 x x a y ，(0)x ， 2 2
17、 33 (31) (31) x x x ln ya ， 函数在(0,)内单调递增， 2 (31)0 x a 即 2 (31) x a在(0,)恒成立， 而 2 (31)4 x y ，故4a， 故答案为：(，4 10 （5 分）假如 1 ()nx x 的二项展开式中 3 x项的系数是84，则 1 ()nx x 二项展开式中系数 最小的项是 126 x 第 8 页（共 18 页） 【解答】解： 1 ()nx x 的二项展开式的通项公式为 2 1 ( 1) rrnr rn TCx ，令23nr，求 得23nr， 可得展开式中 3 x项的系数是 23 ( 1)84 rr r C ，故3r ，9n 则
18、1 ()nx x 二项展开式中第1r 项的系数为 9 ( 1)r r C，故当5r 时，系数最小， 故 1 ()nx x 二项展开式中系数最小的项为第六项 51 69 126 TCx x ， 故答案为： 126 x 11 （5 分）函数 2 ( )cosf xx n ，xZ的值域由 6 个实数组成，则非零整数n的值是 10 或11 【解答】解：根据题意， 2 ( )cosf xx n ，其周期 2 | 2 | Tn n ， 又由xZ，则周期0，|n上，x可取的值为 0，1，2，| 1n ， 若函数 2 ( )cosf xx n ，xZ的值域由 6 个实数组成， 而其中f（1）(| 1)fn，f
19、（2）(| 2)fn， 若n为偶数，除(0)f和 | () 2 n f之外，有 4 个函数值，必有10n ， 若n为奇数，除(0)f，有 5 个不同的函数值，必有11n ， 故答案为：10或11 12 （5 分）如图，已知P是半径为 2，圆心角为 3 的一段圆弧AB上的一点，若2ABBC， 则PC PA的值域是 52 13，513) 【解答】解：以圆心为原点，平行AB的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系， 第 9 页（共 18 页） 则( 1, 3)A ，(2, 3)C，设(2cos ,2sin )P， 2 33 剟， 则(22cosPC PA，32sin ) ( 12c
20、os ，32sin )52cos4 3sin 52 13sin()，且 3 0tan 6 ，0， 2 33 剟，则 1 sin()(2，1， 则52 13sin()52 13PC PA，513)， 故答案为：52 13，513) 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）如图，PA 面ABCD，ABCD为矩形，连接AC、BD、PB、PC、PD，下 面各组向量中，数量积不一定为零的是( ) APC与BD BPB与DA CPD与AB DPA与CD 【解答】解：对于A，直线PC与BD不一定垂直，故向量PC与BD不一定垂直， 所以
21、数量积不一定为零，故选项A符合； 对于B，根据题意，PA 面ABCD，AD 平面ABCD，则PAAD， 又ADAB，ABPBP，则AD 平面PAB，PB 平面PAB，所以ADPB， 即PB与DA一定垂直，所以数量积一定为零，故选项B不符合； 对于C，因为PA 面ABCD，AB 平面ABCD，所以PAAB， 又ABPD，PDPAP，所以AB 平面PAD， 第 10 页（共 18 页） 又PD平面PAD，所以PDAB，即向量PD与AB一定垂直， 所以数量积一定为零，故选项C不符合； 对于D，因为PA 面ABCD，CD 平面ABCD， 所以PACD，即向量PA与CD一定垂直，所以数量积一定为零，故选
22、项D不符合； 故选：A 14 （5 分）下列选项中，y可表示为x的函数是( ) A | |2 30 y x B 2 3 xy Csin(arcsin )sinxy D 2 lnyx 【解答】解：对于A：令0 x ，没有y的值与之对应，故A错误， 对于B：令4x ，y可以取2，故B错误， 对于:sin(arcsin )sinCxxy，令1x ，则2 2 yk ，故C错误， 对于 2 : x D ye，是一一对应的关系，符合函数的定义，故D正确， 故选：D 15 （5 分）已知 1 x、 2 x、 1 y、 2 y都是非零实数， 22222 1 2121122 ()()()x xy yxyxy成立
23、的充 要条件是( ) A 21 21 101 00 11 0 xx yy B 11 22 101 00 0 yx yx C 11 22 101 00 0 yx xy 第 11 页（共 18 页） D 21 12 101 00 11 0 xx yy 【解答】 解：1x、 2 x、 1 y、 2 y都是非零实数， 22222 1 2121122 ()()()x xy yxyxy， 化为：1 221 x yx y 对于C：左边 12121221 1( 1)0 xyyxx yx y ，因此 1221 Cx yx y 经过验证只有ABD不满足充要条件 故选：C 16（5 分） 设点A的坐标为( , )a
24、 b，O是坐标原点， 向量OA绕着O点顺时针旋转后得到OA， 则A的坐标为( ) A( cossin , sincos )abab B( cossin , cossin )abba C( sincos , cossin )abab D( cossin , sincos )baba 【解答】解：根据题意，设|OAr，向量OA与x轴正方向的夹角为， 又由点A的坐标为( , )a b，则cosar，sinbr， 向量OA绕着O点顺时针旋转后得到OA，则( cos()A r，sin()r 而cos()coscossinsincossinrrab， sin()sincoscossincossinrrrb
25、a， 故A的坐标为( cossin , cossin )abba， 故选：B 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分）分） 17 （14 分） 已知M、N是正四棱柱 1111 ABCDABC D的棱 11 BC、 11 C D的中点， 异面直线MN 与 1 AB所成角的大小为 10 arccos 10 （1）求证：M、N、B、D在同一平面上； （2）求二面角 1 CMNC的大小 【解答】 （1）证明：连结BD， 11 B D， 因为M，N分别为 11 BC， 11 C D的中点， 第 12 页（共 18 页） 所以 11 / /MNB
26、D， 又在正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 11 / /BBDD，且 11 BBDD， 所以四边形 11 BDD B为平行四边形，故 11 / /BDB D， 所以/ /MNBD， 故M、N、B、D在同一平面上； （2）解：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设正四棱柱 1111 ABCDABC D的底面边长为 2，高为(0)a a ， 则(2M，1，)a，(1N，2，)a，(0A，0，0)， 1(2 B，0，)a， 所以 1 ( 1,1,0),(2,0, )MNABa ， 因为异面直线MN与 1 AB所成角的大小为 10 arccos 10 ， 所以 1 1 2 1 |
27、210 |cos,| 10| 24 MN AB MN AB MNAB a ，解得4a ， 所以(2M，1，4)，(1N，2，4)，(2C，2，0)， 所以( 1,1,0),(1,0, 4)MNNC ， 设平面CMN的法向量为( , , )nx y z， 则有 0 40 n MNxy n NCxz ， 令1z ，则4xy，故(4,4,1)n ， 平面 1 C MN的一个法向量为(0,0,1)m ， 所以 |133 |cos,| |3333 1 m n m n m n ， 由图可知，二面角 1 CMNC的平面角为锐角， 所以二面角 1 CMNC的大小为 33 arccos 33 第 13 页（共
28、18 页） 18 （14 分）设函数( )(1 cos2 )cos()f xlgxx，0，) 2 （1）讨论函数( )yf x的奇偶性，并说明理由； （2）设0，解关于x的不等式 3 ()()0 44 fxfx 【解答】解： （1） 2 ( )(1 cos2 )cos()(2sin)cos()f xlgxxlgxx， 由sin0 x 可得()xkkZ，关于原点对称， 因为 2 ()(2sin)cos()fxlgxx ， 当0时， 2 ( )(2sin)cosf xlgxx， 22 ()(2sin)cos()(2sin)cos( )fxlgxxlgxxf x， 所以函数( )yf x是偶函数；
29、当(0,) 2 时， 2 ( )(2sin)cos()f xlgxx， 2 ()(2sin)cos()fxlgxx ， 2 ()(2sin)cos()fxlgxx ， 所以()( )0fxf x， 函数( )yf x是非奇非偶函数 （2）因为 2 ()2sin ()cos()(1sin2 )cos() 4444 fxlglgxxlgxx ， 3333 ()1cos(2 )()(1sin2 )cos() 4244 fxlgxxosxlgxx ， 因为 3 ()()0 44 fxfx ， 所以 3 (1sin2 )cos()(1sin2 )cos() 44 lgxxlgxx ， 即 3 cos()
30、cos() 44 xx ， 第 14 页（共 18 页） 整理得coscos()0 4 x ， 所以cos()0 4 x ，且1sin20 x， 所以 3 22 242 kxk ，且 3 2 4 xk ，kZ， 解得 5 22 44 kxk ，且 3 2 4 xk ，kZ， 故不等式的解集 5 |22 44 xkxk ，且 3 2 4 xk ，kZ 19 （14 分）假设在一个以米为单位的空间直角坐标系Oxyz中，平面xOy内有一跟踪和 控制飞行机器人T的控制台A，A的位置为(170，200，0)，上午 10 时 07 分测得飞行机器 人T在(150P，80，120)处，并对飞行机器人T发出指
31、令：以速度 1 13v 米/秒沿单位向量 1 3 (13d ， 12 13 ， 4 ) 13 作匀速直线飞行（飞行中无障得物） ，10 秒后到达Q点，再发出指令 让机器人在点原地盘旋 2 秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到 8 米/秒，然后保持 8 米 /秒，再沿单位向量 2 1 ( 2 d ， 2 2 ， 1) 2 作匀速直线飞行（飞行中无障碍物） ，当飞行机器 人T最终落在平面xOy内发出指令让它停止运动，机器人T近似看成一个点 （1）求从P点开始出发 20 秒后飞行机器人T的位置； （2）求在整个飞行过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离（精确到米） 【解答】解： （1）由已知可得机器
32、人T在 10 秒后到达Q点， 则Q点的坐标为(150，80， 3 124 120)13 10(,)(180 13 1313 ，200，80)， 在Q点原地盘旋 2 秒再移动 8 秒后到达的位置为： (180，200， 121 80)8 8 ( ,)(212 222 ，20032 2，48)， 则从P点出发 20 秒后飞行机器人T的位置为(212，20032 2，48)； （2）当Q点与A点处于同一垂直线上时，与控制台A的距离最近， 则两点间的距离为 222 (180 170)(200200)(800)100640010 65d 米， 则最近距离为10 65米 第 15 页（共 18 页） 20
33、 （16 分）曲线 22 1 1 xy a 与曲线 22 1(0) 49 xy a a 在第一象限的交点为A，曲线是C是 22 1(1) 1 A xy x x a 剟和 22 1() 49 A xy xx a 组成的封闭图形，曲线C与x轴的左交点为M、 右交点为N （1） 设曲线 22 1 1 xy a 与曲线 22 1(0) 49 xy a a 具有相同的一个焦点F， 求线段AF的方程； （2）在（1）的条件下，曲线C上存在多少个点S，使得NSNF，请说明理由； （3）设过原点O的直线l与以(D t，0)(0)t 为圆心的圆相切，其中圆的半径小于 1，切点 为T， 直线l与曲线C在第一象限的
34、两个交点为P、Q， 当 2 22 11 OT OPOQ 对任意直线l恒 成立，求t的值 【解答】解： （1）若曲线 22 1 1 xy a 与曲线 22 1(0) 49 xy a a 具有相同的一个焦点F， 则149aa，解得24a ， 所以双曲线的方程为 2 2 1 24 y x ，椭圆的方程为 22 1 4924 xy ， 联立 2 2 22 1 24 1 4924 y x xy ，解得 7 5 x ， 24 5 y ， 因为A在第一象限， 所以A的坐标为 7 ( 5 ， 24) 5 ， 当(5,0)F时，直线AF的方程为 24 0 5 0(5) 7 5 5 yx ，即 420 7 (5)
35、 335 yxx 剟， 当( 5,0)F 时，直线AF的方程为 24 0 5 0(5) 7 5 5 yx ，即 3157 ( 5) 445 yxx 剟 第 16 页（共 18 页） （2）在（1）的条件下，(7,0)N， 当( 5,0)F 时，12NF ， 椭圆C中不存在S点，不符合题意， 当(5,0)F时，2NFNS， 所以S是以N为原点，半径为 2 的圆，即 22 (7)4xy， 联立 22 22 (7)4 1 4924 xy xy ，得 2 2568633810 xx， 2 ( 686)4 25 33810 ， 所以方程组有两组解， 所以存在两个S点，使得NSNF （3）设圆 222 (
36、)D xtyr，直线l的方程为ykx， 联立 2 2 1 24 ykx y x ，得 2 2 24 24 x k ， 所以 2 24 24 P x k ， 2 24 24 P yk k ， 联立 22 1 4924 xy ykx ，得 2 2 1 1 4924 x k ， 所以 2 1 1 4924 Q x k ， 2 1 1 4924 Q yk k ， 因为|ODt，tankTOD， 2 1 cos 1 TOD k ， 所以 2 1 | | cos 1 OTODTODt k ， 所以 2 22222 2 24 (1)(1) 24 PPP OPxykxk k ， 2 22222 2 1 (1)
37、(1) 1 4924 QQQ OQxykxk k ， 所以 2 2 2 2 22222 1 11241 4924 24(1)11 k k OTt kkk OPOQ ， 第 17 页（共 18 页） 所以 222 111 1 244924 kkt，所以 2 50 49 t ， 解得 5 2 7 t 21 （18 分）设数列 n a满足： 1 1 1 sin, cos, nnnn n nnnn aka aa a aka aa ， 1nn aa ，设 1 aa， 2 ab （1）设 5 6 b ，k ，若数列的前四项 1 a、 2 a、 3 a、 4 a满足 1423 a aa a，求a； （2）已
38、知0k ，4n，nN，当(0,) 2 a ，(0,) 2 b ，ab时，判断数列 n a是否能 成等差数列，请说明理由； （3）设4a ，7b ，1k ，求证：对一切的1n，nN，均有 7 2 n a 【解答】解： （1）若 5 6 a ，即ab，即 12 aa，所以 322 sinaaka， 可得 2 5 623 a ， 所以 433 cosaaka， 可得 326 ， 所以 1423 a aa a， 可得 5 663 a ， 可得 5 3 a ； 若 5 6 a ，同理可得，无解 所以 5 3 a ； （2）若 n a为等差数列，因为 21 abaa，所以 21 2 nnn aaa ， n
39、 a递增， 11 sin0 nnn daaka ，因为0k ，所以 1 (0, ) n a ， 又因为 n a递增，所以 1n a 一定会出现大于，且不满足0d ，所以矛盾， 所以数列 n a不能成等差数列； （3）证明：1n 时， 1 7 4 2 aa ； 假设nk时， 7 2 k a 成立， 则1nk时， 1 1 1 sin, cos, kkkk k kkkk aa aa a aa aa ， k a在第一、二象限时， 7 sin1 2 k a 成立； k a在第三、四象限时，sin0 k a ， 1 7 2 k a 成立； 第 18 页（共 18 页） k a在第一、四象限时， 7 cos1 2 k a 成立； k a在第二、三象限时，cos0 k a ，所以 1 7 2 k a 成立； 所以对一切的1n，nN，均有 7 2 n a
