1、2020 年湖北省年湖北省湖北省武汉市江汉区湖北省武汉市江汉区中考数学适应性试卷（三）中考数学适应性试卷（三） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1的倒数是（ ） A3 B3 C D 2式子在实数范围内有意义，x 的取值范围是（ ） Ax5 Bx5 Cx5 Dx5 3下列事件为必然事件的是（ ） A射击一次，中靶 B12 人中至少有 2 人的生日在同一个月 C画一个三角形，其内角和是 180 D掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 4在下列这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） 5如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A B
2、 C D 6函数 y的图象上有三个点（2，y1） ， （1，y2） ， （1，y3） ，函数值 y1，y2，y3的大小为（ ） Ay1y2y3 By3y1y2 Cy2y3y1 Dy2y1 y3 7如图所示，两个可以自由转动的转盘，每个盘面被等分成几个面积相等的扇形区域，并涂上图中所示的 颜色，分别转动两个转盘，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，重转） ，两个指针指向区域的颜色 相同的概率为（ ） A B C D 8如图是甲、乙两人追赶过程中路程和时间函数关系的图象，下列关于图象的叙述正确的个数是（ ） （1）甲追乙； （2）甲的速度是 4km/h； （3）乙出发 5h 与甲相遇； （4）乙
3、共走 20km A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9如图，在AOB 中，AOB90，以 O 为圆心，OB 为半径的圆分别交 AB，AO 于 C，D 两点，若 OB 2，BC2AC，则 AO 的长为（ ） A B2 C2 D 10观察下列等式：701，717，7249，73343，742401，7516807，根据其中的规律可得， 7+71+72+72019+72020的结果的个位数是（ ） A0 B1 C7 D8 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11计算 12小明同学 5 次数学小测验成绩分别是 90 分、85 分
4、、85 分、95 分、100 分，则小明这 5 次成绩的众数 是 13计算： 14如图，将正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边点 E 处，点 A 落在点 F 处，折痕为 MN，若NEC 32，FMN 15如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OAOC， 对称轴为直线 x1， 则下列结论： abc0； a+b+c0； 当 m1 时， 关于 x 的方程 ax2+bx+c+m 0 无实根；acb+10；OAOB其中正确的结论有 16如图，等边ABC 中，D 是 BC 边的中点，E 是射线 AD 上一动点，以 BE 为边
5、作 RtBEF，使得BEF 90，且 tanBFE，若 AB2，则 AF 的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （8 分）计算：3a32a3+a8a2（2a2）3 18 （8 分）如图，点 D、E 在ABC 的 BC 边上，ABAC，ADAE求证：BDCE 19 （8 分）在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并 绘制成部分统计图表如下： 类别 家庭藏书 m 本 学生人数 A 0m25 20 B 26m100 a C 101m200 50 D m201 66 根据以上信息，解答下列问题： （1
6、）该调查的样本容量为 ，a ； （2）在扇形统计图中， “A”对应扇形的圆心角为 ； （3）若该校有 2000 名学生，请估计全校学生中家庭藏书 200 本以上的人数 20 （8 分）图、图均是 55 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为 1，点 A、B 均在格点上在图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画 法，保留作图痕迹 （1）在图中以线段 AB 为腰画一个等腰 RtABC，所画ABC 的面积为 ； （2）在图中以线段 AB 为边画一个ABE，使BAE90，且面积为； （3）在图中过点 E 作出 AB 的平行线 21 （8 分）如图，矩形 A
7、BCD 中，点 E 和点 F 分别为 BC，CD 上的点，以 EF 为直径作O，恰好与 AD 相切于点 G （1）求证：EFAB+DF； （2）若AEF90，求 tanDAF 的值 22 （10 分）鄂北公司以 10 元/千克的价格收购一批产品进行销售，为了得到日销售量 y（千克）与销售价 格 x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格 x（元/千克） 10 15 20 25 30 日销售量 y（千克） 300 225 150 75 0 （1）请你根据表中的数据直接写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）问当销售价格是多少时，鄂北公司所获利润为 1125 元； （3
8、）若鄂北公司每销售 1 千克这种产品共支出 a 元（a0）的相关费用，当 20 x25 时，鄂北公司的 日获利最大值为 1215 元，求 a 的值 23 （10 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，将 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AE，连接 BE，CE （1）证明：EAB2EBC； （2）将 BE 绕点 E 顺时针旋转 90至 FE，连 BF 交 AE 于点 M，若 AMEM，求证：BEC135； （3）在（2）的条件下，请直接写出 tanEAB 的值 24 （12 分）二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求二次函
9、数的解析式； （2）如图 1，连接 AC，若在抛物线上存在点 D，使点 D 到直线 AC 的距离为，求点 D 的坐标； （3）如图 2，连接 BC，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 向点 B 运动，动点 Q 以每秒个单 位长度的速度从点 B 向点 C 运动，P、Q 两点同时出发，连接 PQ，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点同时 停止运动设运动的时间为 t 秒当 t2 时，延长 QP 交 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点 N，使 得 PQ 的中点恰为 MN 的中点，若存在，求出点 N 的坐标与 t 的值，若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选
10、择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1的倒数是（ ） A3 B3 C D 【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得一个数的倒数 【解答】解：的倒数是3， 故选：B 【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键 2式子在实数范围内有意义，x 的取值范围是（ ） Ax5 Bx5 Cx5 Dx5 【分析】利用二次根式有意义的条件可得 5+x0，再解即可 【解答】解：由题意得：5+x0， 解得：x5， 故选：D 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数 3下列事件为必然事
11、件的是（ ） A射击一次，中靶 B12 人中至少有 2 人的生日在同一个月 C画一个三角形，其内角和是 180 D掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【分析】必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可判断 【解答】解：A射击一次，中靶是随机事件； B12 人中至少有 2 人的生日在同一个月是随机事件； C画一个三角形，其内角和是 180是必然事件； D掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件； 故选：C 【点评】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件 指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随 机事件是指在一定条
12、件下，可能发生也可能不发生的事件 4在下列这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） 【分析】根据中心对称图形的概念求解即可 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B 【点评】 本题考查了中心对称图形的概念 中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后两部分重合 5如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线 【解答】解：该几何体的左视图如选项 D 所示， 故选：D 【点评】
13、本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义 6函数 y的图象上有三个点（2，y1） ， （1，y2） ， （1，y3） ，函数值 y1，y2，y3的大小为（ ） Ay1y2y3 By3y1y2 Cy2y3y1 Dy2y1 y3 【分析】先判断出函数图象所在的象限，再根据其坐标特点解答即可 【解答】解：k240， 函数图象位于二、四象限， （2，y1） ， （1，y2）位于第二象限，21， y2y10； 又（1，y3）位于第四象限， y30， y2y1y3 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：当 k0 时，在每个象限内，反比例 函
14、数值 y 随 x 的增大而增大 7如图所示，两个可以自由转动的转盘，每个盘面被等分成几个面积相等的扇形区域，并涂上图中所示的 颜色，分别转动两个转盘，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，重转） ，两个指针指向区域的颜色 相同的概率为（ ） A B C D 【分析】根据题意画出树状图可得所有等可能的结果，进而可得两个指针指向区域的颜色相同的概率 【解答】解：根据题意画出树状图如下： 根据树状图可知： 所有等可能的结果有 12 种， 颜色相同的有 2 种， 所以两个指针指向区域的颜色相同的概率为： 故选：B 【点评】本题考查了列表法与树状图，解决本题的关键是掌握概率公式 8如图是甲、乙两人追赶过
15、程中路程和时间函数关系的图象，下列关于图象的叙述正确的个数是（ ） （1）甲追乙； （2）甲的速度是 4km/h； （3）乙出发 5h 与甲相遇； （4）乙共走 20km A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】结合图象逐一分析即可得出正确选项 【解答】解：由图象可知，甲出发后开始计时，计时后 2 小时乙出发，所以乙追赶甲，故（1）说法错误； 2054（4km/h） ，即甲的速度是 4km/h；故（2）说法正确； 乙出发 3h 与甲相遇；故（3）说法错误； 乙共走 20km；故（4）说法正确 正确的说法有（2） （4）共 2 个 故选：B 【点评】本题考查了函数图象，比较简单，根据图象
16、的横轴确定出甲先出发是解题的关键，另外，了解 相遇问题的等量关系是相遇时两人的走过的路程相同也很重要 9如图，在AOB 中，AOB90，以 O 为圆心，OB 为半径的圆分别交 AB，AO 于 C，D 两点，若 OB 2，BC2AC，则 AO 的长为（ ） A B2 C2 D 【分析】如图，过点 O 作 OHBC 于 H，则 CHBH证明 ACCHBH，设 ACCHBHm利 用相似三角形的性质，构建方程求出 m，再利用勾股定理，可得结论 【解答】解：如图，过点 O 作 OHBC 于 H，则 CHBH BC2AC， ACCHBH， 设 ACCHBHm BB，OHBAOB90， BHOBOA， ，
17、， m或（舍弃） ， AB2， OA2 故选：B 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似 三角形解决问题，属于中考常考题型 10观察下列等式：701，717，7249，73343，742401，7516807，根据其中的规律可得， 7+71+72+72019+72020的结果的个位数是（ ） A0 B1 C7 D8 【分析】由 717，7249，73343，742401，7516807，得出规律：个位数 4 个数一循环，由 1+7+9+320 可得每循环的个位数字均为 0，进而可求解 【解答】解：由 717，7249，73343，742401
18、，7516807，可得：个位数 4 个数一循环，且 4 个数一循环的个位数字之和为 7+9+3+120， 20204505， 7+71+72+720207+50507， 故选：C 【点评】本题主要考查尾数特征及有理数的乘方，找到等式中的规律是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11计算 【分析】利用二次根式性质及绝对值的代数意义计算即可 【解答】解：原式| 故答案为： 【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键 12小明同学 5 次数学小测验成绩分别是 90 分、85 分、85 分
19、、95 分、100 分，则小明这 5 次成绩的众数 是 85 分 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案 【解答】解：85 分出现了 2 次，出现的次数最多， 小明这 5 次成绩的众数是 85 分； 故答案为：85 分 【点评】此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键 13计算： 【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果 【解答】解：原式m（m7） 故答案为： 【点评】 此题考查了分式的乘除法， 分式乘除法的关键是约分， 约分的关键是找出分子、 分母的公因式 14如图，将正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边点 E 处，点 A 落在点 F 处，折痕为
20、MN，若NEC 32，FMN 119 【分析】根据正方形的性质得到ACD90，根据折叠的性质得到FA90，FEN C90， DNMENM， 根据平角的定义得到ENM （180ENC） （18058） 61，根据四边形的内角和即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ACD90， 将正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边点 E 处，点 A 落在点 F 处， FA90，FENC90，DNMENM， NEC32， ENC58， ENM（180ENC）（18058）61， FMN360909061119， 故答案为：119 【点评】本题考查了角的计算，翻折变换的问题，折叠问
21、题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相 等，找到相等的角是解决本题的关键 15如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OAOC， 对称轴为直线 x1， 则下列结论： abc0； a+b+c0； 当 m1 时， 关于 x 的方程 ax2+bx+c+m 0 无实根；acb+10；OAOB其中正确的结论有 【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴、与 x 轴、y 轴的交点坐标，以及二次函数与一元二次方 程的关系，逐个进行判断，得出答案 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a0， 抛物线与 y 轴的交
22、点在 x 轴上方， c0， abc0，所以正确； 点 A 到直线 x1 的距离大于 1， 点 B 到直线 x1 的距离大于 1， 即点 B 在（2，0）的右侧， 当 x2 时，y0， 即 4a+2b+c0， a+b+c0，所以错误； 二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点， b24ac0， a0，m1， 4am0 b24ac4am0 不一定成立，故错误； C（0，c） ，OAOC， A（c，0） ， ac2bc+c0，即 acb+10，所以正确； 设 A（x1，0） ，B（x2，0） ，有 x1、x2是方程 ax2+bx+c0 的两个根，有有 x1+x2，又OA
23、x1， OBx2，所以 OAOB，故错误； 故答案为 【点评】考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象和性质是 正确解答的关键 16如图，等边ABC 中，D 是 BC 边的中点，E 是射线 AD 上一动点，以 BE 为边作 RtBEF，使得BEF 90，且 tanBFE，若 AB2，则 AF 的最小值为 42 【分析】过点 F 作 FTDA 交 DA 的延长线于 T，设 DEx利用相似三角形的性质，根据二次函数， 利用二次函数的性质解决问题即可 【解答】解：过点 F 作 FTDA 交 DA 的延长线于 T，设 DEx ABC 是等边三角形，BDDC， ADBC
24、，BADCADBAC30， AB2， BD，ADBD， BEFBDET90， BED+FET90，FET+EFT90， BEDEFT， BDEETF， ， tanBFE， ET2，FT2x， AT2（x） ， AF ， 50， AF 有最小值，最小值42 故答案为：42 【点评】本题考查二次函数的应用，等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知 识，解题的关键是学会利用参数，构建二次函数解决问题，属于中考常考题型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （8 分）计算：3a32a3+a8a2（2a2）3 【分析】 直接利用单项式乘以
25、单项式、 同底数幂的除法运算法则、 积的乘方运算法则分别化简得出答案 【解答】解：原式6a6+a6+8a6 15a6 【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式、同底数幂的除法运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算 法则是解题关键 18 （8 分）如图，点 D、E 在ABC 的 BC 边上，ABAC，ADAE求证：BDCE 【分析】要证明线段相等，只要过点 A 作 BC 的垂线，利用三线合一得到 P 为 DE 及 BC 的中点，线段 相减即可得证 【解答】证明：如图，过点 A 作 APBC 于 P ABAC， BPPC； ADAE， DPPE， BPDPPCPE， BDCE 【点评】本题考查了等腰三
26、角形的性质，做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相 等是解答本题的关键 19 （8 分）在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并 绘制成部分统计图表如下： 类别 家庭藏书 m 本 学生人数 A 0m25 20 B 26m100 a C 101m200 50 D m201 66 根据以上信息，解答下列问题： （1）该调查的样本容量为 200 ，a 64 ； （2）在扇形统计图中， “A”对应扇形的圆心角为 36 ； （3）若该校有 2000 名学生，请估计全校学生中家庭藏书 200 本以上的人数 【分析】 （1）根据“C”的人数和在扇形图
27、中所占的百分比，先求出样本容量，再根据“B”的百分比计 算出 a 的值； （2）利用圆心角计算公式，即可得到“A”对应的扇形的圆心角； （3）依据家庭藏书 200 本以上的人数所占的比例，即可估计该校家庭藏书 200 本以上的人数 【解答】解： （1）因为“C”有 50 人，占样本的 25%， 所以样本5025%200（人） 因为“B”占样本的 32%， 所以 a20032%64（人） 故答案为：200，64； （2） “A”对应的扇形的圆心角36036， 故答案为：36； （3）全校学生中家庭藏书 200 本以上的人数为： 2000660（人） 答：全校学生中家庭藏书 200 本以上的人数为
28、 660 人 【点评】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到 必要的信息是解决问题的关键扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 20 （8 分）图、图均是 55 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为 1，点 A、B 均在格点上在图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画 法，保留作图痕迹 （1）在图中以线段 AB 为腰画一个等腰 RtABC，所画ABC 的面积为 ； （2）在图中以线段 AB 为边画一个ABE，使BAE90，且面积为； （3）在图中过点 E 作出 AB 的平行线 【分析】 （1）利用数形结
29、合的思想解决问题即可 （2）取格点 T，连接 AT，通过计算发现，AEAT，取格点 G，H，连接 GH 交 AT 于 E，连接 BE 即 可 （3）取格点，连接 BW，取格点 M，N，连接 MN 交 BW 于 EF，作直线 EF 即可 【解答】W 解： （1）如图 1 中，ABC 即为所求SABC 故答案为 （2）如图 2 中，ABE 即为所求 （3）如图直线 EF 即为所求 【点评】本题考查作图应用与设计，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线等知识， 解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型 21 （8 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 和点 F 分别为
30、BC，CD 上的点，以 EF 为直径作O，恰好与 AD 相切于点 G （1）求证：EFAB+DF； （2）若AEF90，求 tanDAF 的值 【分析】 （1） 连接 GO 并延长交O 于点 P， 交 BC 于点 Q， 过点 P 作 PHDC， 交 DC 的延长线于点 H， 连接 GF、CP，先证明RtGDFRtPHC（HL） ，从而可知 DFCF，再根据矩形的性质即可证明 EFAB+DF （2）先证明AEBEFC，然后设 AB3，EC2，DFx，所以 EF3+x，CF3x，根据勾股定 理可求出 x 的值，根据锐角三角函数的定义即可求出答案 【解答】解： （1）连接 GO 并延长交O 于点 P
31、，交 BC 于点 Q，过点 P 作 PHDC，交 DC 的延长线于 点 H， 连接 GF、CP， AD 与O 相切， DGF90， GPFC， GP、FC 是O 的弦， GFCP， GDPH，GDC90， 四边形 GDHP 是矩形， GDPH， 在 RtGDF 与 RtPHC 中， ， RtGDFRtPHC（HL） ， DFCF， ABGQCD， GPGQ+CH， EFAB+DF （2）AEFBDCB90， AEBEFC， AEBEFC， ， ， 设 AB3，EC2，DFx， EF3+x，CF3x， 由勾股定理可知： （3+x）2（3x）2+22， x， EF， AE5， 由勾股定理可知：AF
32、， sinDAF， tanDAF 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形 的性质与判定等知识，需要学生灵活运用所学知识 22 （10 分）鄂北公司以 10 元/千克的价格收购一批产品进行销售，为了得到日销售量 y（千克）与销售价 格 x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格 x（元/千克） 10 15 20 25 30 日销售量 y（千克） 300 225 150 75 0 （1）请你根据表中的数据直接写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）问当销售价格是多少时，鄂北公司所获利润为 1125 元； （3）若鄂北公
33、司每销售 1 千克这种产品共支出 a 元（a0）的相关费用，当 20 x25 时，鄂北公司的 日获利最大值为 1215 元，求 a 的值 【分析】 （1）根据表格中的数据，可以求得 y 与 x 之间的函数表达式； （2）根据题意和（1）中的结果，可以得到相应的方程，从而可以求得当销售价格是多少时，鄂北公司 所获利润为 1125 元； （3）根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以求得 a 的值 【解答】解： （1）设 y 与 x 之间的函数表达式时 ykx+b， ，得， 即 y 与 x 之间的函数表达式是 y15x+450； （2）由题意可得， （x10） （15x+450）1125
34、， 解得，x115，x225， 即当售价是 15 元或 25 元时，鄂北公司所获利润为 1125 元； （3）当 20 x25 时，设获得的利润为 w 元， w（x10a） （15x+450）15x2+（600+15a）x450（10+a） ， 对称轴是直线 x20+a， 当 a10 时，则当 x25 时，w 取得最大值，此时 w112575a1215，不符合题意； 当 0a10 时，则当 x20+a 时，w 取得最大值，此时 w15（20+a） 2+（600+15a） （20+ a） 450（10+a）150a+1500， 当 w1215 时，1215150a+1500， 解得，a12，a2
35、38（舍去） ， 由上可得，a 的值是 2 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数 的性质解答 23 （10 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，将 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AE，连接 BE，CE （1）证明：EAB2EBC； （2）将 BE 绕点 E 顺时针旋转 90至 FE，连 BF 交 AE 于点 M，若 AMEM，求证：BEC135； （3）在（2）的条件下，请直接写出 tanEAB 的值 【分析】 （1）由旋转的性质可得 AEAB，由等腰三角形的性质可得AEBABE，由三角形的内角和 定理可得EAB+2ABE180，由余角的
36、性质可得ABE+CBE90，可得结论； （2）过点 A 作 AHEF 交 BF 于 H，由“AAS”可证AMHEMF，可得 EFAH，由“SAS”可证 AHBEBC，可得AHBBEC135； （3）过点 A 作 AHEF 交 BF 于 H，交 BE 于 P，连接 EH，过点 E 作 EQAB 于 Q，设 BHEHa， 可求 BEa，HPBEa，BEAHa，CEBHa，由勾股定理可求 BC 的长，由面积法 可求 EQa，由勾股定理可求 AQ 的长，即可求解 【解答】证明： （1）将 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AE， AEAB， AEBABE， EAB+AEB+ABE180， EAB+2ABE
37、180， ABC90， ABE+CBE90， 2ABE+2EBC180， EAB2EBC； （2）如图 1，过点 A 作 AHEF 交 BF 于 H， 将 BE 绕点 E 顺时针旋转 90至 FE， EFBE，FEB90， EFBEBF45， EFAH， EFBAHM45， 在EMF 和AMH 中， ， EMFAMH（AAS） ， EFAH， EBF45， ABF+CBE45，AHB135， AHF45ABF+HAB， CBEHAB， 在AHB 和BEC 中， ， AHBBEC（SAS） ， AHBBEC135； （3）过点 A 作 AHEF 交 BF 于 H，交 BE 于 P，连接 EH，过
38、点 E 作 EQAB 于 Q， AHEF， APBFEB90， 又ABAE， AP 是 BE 的垂直平分线， EHBH， HBEHEB45， EHB90，HEB+CEB180， 点 C，点 E，点 H 三点共线， 设 BHEHa， EHBH，BHEH，HPBE， BEa，HPBEa， 由（2）可知：AHBEBC， BEAHa，CEBHa， CHCE+EH2a，APAH+HPa， BCa， ABBCAEa， SABEABEQBEAP， aEQaa， EQa， AQa， tanEAB 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的 判定和性质，勾股定理，
39、锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键 24 （12 分）二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求二次函数的解析式； （2）如图 1，连接 AC，若在抛物线上存在点 D，使点 D 到直线 AC 的距离为，求点 D 的坐标； （3）如图 2，连接 BC，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 向点 B 运动，动点 Q 以每秒个单 位长度的速度从点 B 向点 C 运动，P、Q 两点同时出发，连接 PQ，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点同时 停止运动设运动的时间为 t 秒当 t2 时，延长
40、QP 交 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点 N，使 得 PQ 的中点恰为 MN 的中点，若存在，求出点 N 的坐标与 t 的值，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）用待定系数法求解即可； （2）由函数的解析式求得点 C（0，3） ，再求得 AC 的长，点 D 的坐标为（m，m22m3） ， （m 1） ，作 DHAC 于点 H，求得直线 AD 的解析式；根据三角形的面积公式得出关于 m 的方程，解方程即 可得出答案； （3）表示出点 P、点 Q 及 PQ 中点的坐标，用待定系数法求得直线 PQ 的解析式，则可得点 M 的坐标， 根据对称性可用 t 表示出点 N 的坐标，然后根据抛物线上
41、横坐标为 2 的点，纵坐标为3，得到关于 t 的 方程，解方程即可得出答案 【解答】解： （1）把 A（1，0） ，B（3，0）代入二次函数 yx2+bx+c，得： ， 解得 二次函数的解析式为 yx22x3； （2）二次函数的解析式为 yx22x3； C（0，3） ， 又A（1，0） ， AC， 设点 D 的坐标为（m，m22m3） ， （m1） ，作 DHAC 于点 H，如图： 设直线 AD 的解析式为 ykx+h，将 A（1，0）及 D（m，m22m3）代入，得： ， 解得：kh 点 D 到直线 AC 的距离为， SACD3|m+1|+3|， 化简得：|m2+m|6， m2+m6，或 m
42、2+m6， 解 m2+m6，得 m3 或 m2； 方程 m2+m6 无解， |m2+m|6 的解为 m3 或 m2， 点 D 的坐标为（2，3）或（3，12） ； （3）由题意可知 APt，BQt， P（t1，0） ，Q（3t，t） ， （0t2） ， PQ 的中点为（1，） ，记为点 R，如图： 设直线 PQ 的解析式为 ypx+q，代入 P、Q 的坐标可得： ， 解得：， 直线 PQ 的解析式为 yx+， M（0，） 若存在，则 N 为 M 关于 R 的对称点，坐标为（2，t） 抛物线上横坐标为 2 的点，纵坐标为3， t3， 解得 t或 t（舍去） ， N（2，3） ，t 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、利用面积法求点的坐标、一元 二次方程的应用及二次函数的图象与性质等知识点，数形结合、熟练掌握待定系数法及相关性质及定理 是解题的关键
